Unerreichbare Kardinalzahl

In der Mengenlehre heißt eine Kardinalzahl $\kappa$ schwach unerreichbar, wenn sie überabzählbarer, regulärer Limes ist, wenn also $\mathrm {cf} (\kappa )=\kappa >\omega$ gilt und für jedes $\mu <\kappa$ auch $\mu ^{+}<\kappa$. Schwach unerreichbare Kardinalzahlen sind genau die regulären Fixpunkte der Aleph-Reihe.

$\kappa$ heißt stark unerreichbar, wenn $\kappa$ überabzählbarer, regulärer starker Limes ist, wenn also $\mathrm {cf} (\kappa )=\kappa >\omega$ gilt und für jedes $\mu <\kappa$ auch $2^{\mu }<\kappa$. Stark unerreichbare Kardinalzahlen sind genau die regulären Fixpunkte der Beth-Reihe.

Konsistenz

Da $2^{\kappa }\geq \kappa ^{+}$ ist jede stark unerreichbare Kardinalzahl auch schwach unerreichbar. Ist $\kappa$ schwach unerreichbar, so ist $L_{\kappa }$ ein Modell des Zermelo-Fraenkelschen Axiomensystems der Mengenlehre ZFC, ist $\kappa$ stark unerreichbar, so ist auch $V_{\kappa }$ ein Modell von ZFC. Die Existenz unerreichbarer Kardinalzahlen impliziert also die Widerspruchsfreiheit von ZFC. Nimmt man an, dass ZFC widerspruchsfrei ist, so kann nach dem zweiten Gödelschen Unvollständigkeitssatz nicht in ZFC bewiesen werden, dass es eine unerreichbare Kardinalzahl gibt. Deshalb zählen sie zu den großen Kardinalzahlen.