Singuläre Funktion

Eine singuläre Funktion ist eine spezielle reelle Funktion in der Maßtheorie. Singuläre Funktionen zeichnen sich durch scheinbar widersprüchliche Eigenschaften aus. So sind sie stetig und fast überall konstant, aber gleichzeitig wachsend. Das Wachstum findet also auf einer Menge des Volumens null statt.

Singuläre Funktionen treten beispielsweise bei der Lebesgue-Zerlegung von Funktionen auf oder als Verteilungsfunktionen von stetigsingulären Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Definition

Sei $\beta$ das Borel-Maß auf $\mathbb {R}$ und

$F\colon \mathbb {R} \supset I\to \mathbb {R}$

eine reelle Funktion.

Dann heißt $F$ genau dann eine singuläre Funktion, wenn sie stetig und wachsend ist und ihre Ableitung $F'$ $\beta$-fast überall gleich null ist.

Bemerkung, Eigenschaften und Beispiel

Plot der Cantorfunktion (10 Iterationen)

Die Funktion $F$ aus der Definition muss nicht differenzierbar sein, da sie aufgrund ihrer Monotonie automatisch $\beta$-fast überall differenzierbar ist.

Bei singulären Funktionen besteht ein enger Zusammenhang zu den singulären Maßen: $F$ ist genau dann eine singuläre Funktion, wenn das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Maß atomlos und singulär bezüglich dem Borel-Maß ist.

Standardbeispiel für eine singuläre Funktion ist die Cantor-Funktion. Rechts ist eine Approximation der Cantor-Funktion abgebildet, eine detaillierte Konstruktion findet sich im Hauptartikel. Beachtenswert ist, dass sie auf dem Komplement der Cantor-Menge ${\mathcal {C}}$ und konstant ist.

Weblinks

• B.I. Golubov: Singular function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.