Bernoulli-Gleichung

Die Bernoullische Energiegleichung (auch Satz von Bernoulli) nach Daniel Bernoulli besagt, dass bei der stationären (zeitlich sich nicht verändernden) Bewegung einer idealen (reibungsfreien) Flüssigkeit, die nur der Schwerkraft unterworfen ist, für alle Punkte einer Stromlinie gilt, dass die Summe aus

Geschwindigkeitshöhe

${{v^{2}} \over {2g}}$

Druckhöhe

${p \over {\rho g}}$

und geodätischer Höhe $z$ konstant ist.

wobei

v: Geschwindigkeit,

g: Erdbeschleunigung,

p: Druck (nur kleines p!),

ρ (rho): Dichte,

z: Höhe über/unter einer Bezugsebene mit gleicher geodätischer Höhe

Diese Summe wird als Energiehöhe bezeichnet und zumeist in Meter angegeben. Die Geschwindigkeitshöhe kann als Staudruck der Strömung verstanden werden, die Druckhöhe als Maß des Druckes der Flüssigkeit.

Aus der Bernoullischen Energiegleichung ist ersichtlich, dass zum Beispiel eine Geschwindigkeitserhöhung in einer Rohrleitung durch Einengung des Querschnittes zu einer Verminderung des Druckes führen muss, wenn die geodätische Höhe gleich bleibt.

Schema des Druckverlaufs in einer Rohrleitung

Die erweiterte Bernoullische Energiegleichung setzt sich mit zähen Flüssigkeiten auseinander. Dabei werden die Reibungsverluste berücksichtigt. Die so genannte Verlusthöhe h_v wird empirisch meist durch einen Verlustbeiwert $\zeta$ mit folgender Funktion berechnet:

$H_{v}=\zeta {{v^{2}} \over {2g}}$

$\zeta$ .... Verlustbeiwert

v .... Geschwindigkeit

g .... Erdbeschleunigung

Diese Annahme fußt auf der empirischen Beobachtung, dass die Druckverluste in Rohrleitungen bei turbulenter Strömung mit dem Quadrat der Fließgeschwindigkeit steigen. Der Verlustbeiwerte oder die Summe der Verlustbeiwerte in einem Gesamtsystem setzen sich aus

• Einzelverlusten wie Ein- und Auslaufverlust, Einbautenverlust (Krümmer, Einengungen, Schieber) und
• Verlusten aus der Rohhreibung

zusammen.

Die erweitere Energiegleichung lautet daher:

${{v^{2}} \over {2g}}+{p \over {\rho g}}+z+\zeta {{v^{2}} \over {2g}}=\mathrm {konstant} =H_{0}$

Mit dieser Gleichung können bei Kenntnis der Verlustbeiwerte die üblichen Fragen der Bemessung von Rohrleitungssystemen mit turbulenter Strömung gelöst werden.

Für die Berechnung der Energieverluste wäre zwischen Einzelverlusten und Verlusten in geraden Rohren zu unterscheiden.

Einzelverluste:

Diese werden nach der Formel

$H_{v}=\zeta {{v^{2}} \over {2g}}$

berechnet. Diese Werte für $\zeta$ betragen beispielhaft:

Einläufe in Rohrleitungen:
$\zeta$ = 0,50 (senkrechter Einlauf, scharfkantig)
$\zeta$ = 0,06 bis 0,005 (senkrechter, abgerundeter Einlauf)

oder bei plötzlicher Querschnitterweiterung:
$\zeta$ = (F₂/F₁-1)²

oder bei allmählicher Verengung (Winkel der Verengung < 20°):
$\zeta$ = 0,04

Verluste in geraden Rohrleitungen

Diese werden nach der Formel

$I=\lambda {{v^{2}} \over {2gd}}$

I .... Energieliniengefälle, das heißt Verlusthöhe je Längenheit der Rohrleitung.
$\lambda$ .... Verlustbeiwert
d .... Rohrdurchmesser

berechnet. Der Parameter $\zeta$ wird nach empirischen Formeln bestimmt, die von der Rauigkeit der Rohrleitung und dem Fließverhalten des Mediums abhängen.

Bei laminarer Strömung wird $\lambda$ berechnet als

$\lambda ={{64} \over {Re}}$

Re .... die Reynoldsche Zahl (siehe laminare Strömung).

Die Verluste entwickeln sich lediglich proportional zur Geschwindigkeit des Abflusses.

Bei turbulenter Strömung ist zu unterscheiden:

• Hydraulisch glattes Rohr, das heißt die Unebenheiten der Wand des Rohres sind zur Gänze von einer laminaren Grenzschicht umhüllt. Der Wert von $\lambda$ errechnet sich mit der Formel von PRANDTL:
  ${{1} \over {\sqrt {\lambda }}}=2,0log\left(Re{\sqrt {\lambda }}\right)-0,8$
• Hydraulisch raues Rohr, das heißt die Unebenheiten der Wand des Rohres werden nicht mehr von einer laminaren Grenzschicht umhüllt. Der Wert von $\lambda$ errechnet sich mit der Formel von COLEBROOK:
  ${{1} \over {\sqrt {\lambda }}}=2log\left({{3,71d} \over {k}}\right)$
  
  d .... Rohrdurchmesser
  k .... absolute Rauigkeit [mm]
• Übergangsbereich zwischen den vorstehend angeführten Zuständen. Hier gilt nach COLEBROOK:
  ${{1} \over {\sqrt {\lambda }}}=-2log\left({{2,51} \over {Re{\sqrt {\lambda }}}}+{{k} \over {3,71d}}\right)$
  
  Die Grenze zwischen Übergangs- und rauem Bereich verläuft nach MOODY bei
  $Re{\sqrt {\lambda }}\ {k \over d}=200$

Die so genannten absoluten Rauigkeitsbeiwerte k betragen z.Bsp. 1,0 mm für gerade Kanalstrecken oder 0,1 mm für Reinwasser-Druckrohrleitungen.

Die Verlustbeiwerte können berechnet oder aus Tabellen bzw. Diagrammen entnommen werden.

In Entsprechung der Berechnung der Verlustbeiwerte für vollgefüllte Rohre, können diese auch für teilgefüllte Rohre bzw. beliebige Gerinnequerschnitte ermittelt werden. Dabei wird in der Berechnung statt des Rohrdurchmessers d der so genannte hydraulische Radius:

$R={{A} \over {U}}$

R .... hydraulischer Radius
A .... Querschnittsfläche
U .... Benetzter Umfang

verwendet. Die Anwendung dieses Verfahrens für die Berechnung des Abflusses in offenen Gerinnen hat sich bisher nicht durchgesetzt, und findet nur zur Berechnung des Abflusses in Kanalrohren Anwendung. Zur Berechnung des Abflusses in offenen Gerinnen wird zumeist immer noch auf die empirisch gewonnene Funktion nach STRICKLER (im englischen Sprachraum MANNING) zurückgegriffen, nach der die Geschwindigkeit des Abflusses wie folgt berechnet werden kann:

$v=k_{st}*R^{{2} \over {3}}*I^{{1} \over {2}}$

k_st .... Abflussbeiwert nach Strickler
R .... hydraulischer Radius
I .... Gefälle

Der Strickler-Beiwert k_st ist in Abhängigkeit von der Oberflächenbeschaffenheit zu wählen und ändert sich grundsätzlich auch mit der Abflusstiefe.

Typische k_st wären:
20 bis 40 für natürliche Gerinne
45 bis 50 Bruchsteine, alter Beton
50 bis 60 Beton
80 bis .. Glatter Beton
90 bis .. Glatte Holzgerinne

Es hat sich gezeigt, dass bei in der Vergangenheit durchgeführten Gerinneberechnungen mitunter zu optimistische Beiwerte eingesetzt wurden und bei Nachprüfung in der Natur zu geringe Abflusskapazität vorhanden war. Dies wird durch aufkommenden Bewuchs im Gerinne zusätzlich verschärft.

Siehe auch

Bernoulli-Gleichung, Daniel Bernoulli