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Die Darstellungstheorie von Gruppen ist ein Teilgebiet der Mathematik, in dem man untersucht, wie Gruppen auf gegebenen Strukturen operieren.

Man betrachtet vor allem die Operationen von Gruppen auf Vektorräumen (lineare Darstellungen), allerdings auch in andere Kategorien, wie zum Beispiel Darstellungen in die Kategorie der Gruppen oder die Kategorie der Mengen (Permutationsdarstellung).

In diesem Artikel werden bis auf gekennzeichnete Ausnahmen nur endliche Gruppen betrachtet.
Wir beschränken uns außerdem bei den Darstellungsräumen auf Vektorräume über Grundkörpern der Charakteristik $0.$ Da die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik $0$ abgeschlossen ist, können wir im folgenden ohne Einschränkung Vektorräume über $\mathbb {C}$ betrachten.

Die Darstellungstheorie findet in vielen Bereichen der Mathematik, als auch in der Quantenchemie und Physik Anwendung. Man verwendet die Darstellungstheorie unter anderem in der Algebra, um die Struktur von Gruppen zu untersuchen, in der Harmonischen Analyse und in der Zahlentheorie. Beispielsweise wird im modernen Ansatz zum besseren Verständnis automorpher Formen die Darstellungstheorie verwendet.

Definition

Lineare Darstellungen

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum, und $G$ eine endliche Gruppe. Eine lineare Darstellung von $G$ ist ein Gruppenhomomorphismus $\rho :G\to {\text{GL}}(V)={\text{Aut}}(V),$ d.h. es gilt $\rho (st)=\rho (s)\rho (t)$ für alle $s,t\in G.$ Man nennt $V$ den Darstellungsraum von $G$. Oft wird auch die Bezeichnung Darstellung von $G$ für $V$ verwendet.
Man verwendet den Begriff lineare Darstellung auch für Darstellungen einer Gruppe in Moduln statt Vektorräumen.
Wir schreiben $(\rho ,V_{\rho })$ für die Darstellung $\rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })$ von $G$ oder auch nur $(\rho ,V),$ falls klar ist zu welcher Darstellung der Raum $V$ gehören soll.

Dieser Artikel beschränkt sich, bis auf das letzte Kapitel, auf den Fall ${\text{dim}}V<\infty$. Da man sich in den meisten Fällen nur für eine endliche Anzahl an Vektoren aus $V$ interessiert, kann man sich auf eine Teildarstellung beschränken, deren Darstellungsraum endliche Dimension hat. Der Grad einer Darstellung ist die Dimension ${\text{dim}}V=n$ des Darstellungsraumes $V.$ Oft wird auch ${\text{dim}}(\rho )$ für den Grad der Darstellung $\rho$ verwendet.

Beispiele

Ein sehr einfaches Beispiel ist die sogenannte Einsdarstellung oder triviale Darstellung, die gegeben ist durch $\rho (s)={\text{Id}}$ für alle $s\in G.$
Eine Darstellung vom Grad $1$ einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus $\rho :G\to {\text{GL}}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{\times }$ in die multiplikative Gruppe von $\mathbb {C} .$ Da jedes Element aus $G$ endliche Ordnung hat, sind die Werte $\rho (s)$ Einheitswurzeln.

Weitere nicht triviale Beispiele:
Sei $\rho :G=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ^{\times }$ eine lineare Darstellung, die nicht trivial ist. Dann gilt: $\textstyle \rho ({\overline {0}})=1,\,\rho ({\overline {1}})=i,\,\rho ({\overline {2}})=-1,\,\rho ({\overline {3}})=-i$. Die Bilder sind also genau die vierten Einheitswurzeln.

Sei $G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ und sei $\rho :G\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$ der Gruppenhomomorphismus definiert durch:

$\rho ((0,0))=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right),\,\,\rho ((1,0))=\left({\begin{array}{cc}-1&0\\0&-1\end{array}}\right),\,\,\rho ((0,1))=\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right),\,\,{\text{und }}\rho ((1,1))=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\-1&0\end{array}}\right)$.

Dann ist $\rho$ eine lineare Darstellung von $G$ vom Grad $2$.

Permutationsdarstellung

Siehe auch: Permutationsgruppe

Eine Permutationsdarstellung ist eine Darstellung in die Kategorie der Mengen und Abbildungen.
Sei $X$ eine endliche Menge auf der $G$ operiert. Die Gruppe ${\text{Aut}}(X)$ ist dann die Gruppe aller Permutationen von $X$ mit der Komposition als Verknüpfung.
Man erhält eine lineare Darstellung, die zu $X$ assoziierte Permutationsdarstellung, als Darstellung von $G$ in einen Vektorraum, dessen Basis mit den Elementen aus $X$ indiziert werden kann und die $\rho (s)(e_{x})=e_{sx}$ für jedes $s\in G,x\in X$ erfüllt. Dadurch sind die linearen Abbildungen $\rho (s)$ eindeutig festgelegt.

Beispiel
Sei $X=\{1,2,3\}$ und $G={\text{Per}}(3)$. Dann operiert $G$ auf $X$ und es gilt ${\text{Aut}}(X)=G$.
Die zugehörige lineare Darstellung ist $\rho :G\to {\text{GL}}(V)\cong {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$ wobei $\rho (\sigma )(e_{i})=e_{\sigma (i)}$ für $\sigma \in G,i\in X$.

Links- und Rechtsreguläre Darstellung

Sei ${\text{ord}}(G)=g$ und sei $V$ ein Vektorraum der Dimension $g$, dessen Basis $(e_{t})_{t\in G}$ mit den Elementen aus $G$ indiziert wird. Die Linksreguläre Darstellung ist dann ein Sonderfall der Permutationsdarstellung, in dem wir $X=G$ setzen. Damit bildet die Familie $(\rho (s)(e_{1}))_{s\in G}$ der Bilder von $e_{1}$ eine Basis von $V.$ Der Grad der Linksregulären Darstellung entspricht der Gruppenordnung.
Die Rechtsreguläre Darstellung wird ähnlich definiert: In diesem Fall operiert $G$ von rechts auf der mit Elementen aus $G$ indizierten Basis von $V$: $\rho (s)(e_{t})=e_{ts^{-1}}.$ Auch hier bilden die Bilder des ersten Basisvektors unter der Operation eine Basis des Vektorraums und der Grad entspricht der Gruppenordnung.
Die beiden Darstellungen sind via $e_{s}\mapsto e_{s^{-1}}$ isomorph zu einander. Daher spricht man hier häufig auch nur von der regulären Darstellung.
Eine nähere Betrachtung ergibt, dass jede lineare Darstellung $\rho :G\to {\text{GL}}(W)$ mit der Eigenschaft, dass es ein $w\in W$ gibt, sodass $(\rho (s)(w))_{s\in G}$ eine Basis von $W$ ist, isomorph zur Linksregulären Darstellung ist.

Beispiel
Sei $G=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ und $V=\mathbb {R} ^{5}$ mit Basis $e_{0},...,e_{4}$. Die Linksreguläre Darstellung $L_{\rho }:G\to {\text{GL}}(V)$ ist dann definiert durch $L_{\rho }(k)(e_{i})=e_{k+i}$ für $k,i\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$.
Die Rechtsreguläre Darstellung erhält man analog durch $R_{\rho }(k)(e_{i})=e_{i-k}$ für $k,i\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$.

Darstellungen, Moduln und die Faltungsalgebra

Sei $G$ eine Gruppe endlicher Ordnung und sei $K$ ein kommutativer Ring. Mit $K[G]$ bezeichnen wir die Gruppenalgebra von $G$ über $K.$ Diese Algebra ist frei und hat eine Basis indiziert mit den Gruppenelementen. Meistens wird die Basis mit $G$ identifiziert. Es lässt sich dann jedes Element $f\in K[G]$ schreiben als $\textstyle f=\sum _{s\in G}a_{s}s$ mit eindeutigen $a_{s}\in K.$ Die Multiplikation in $K[G]$ setzt die in $G$ fort.

Sei nun $V$ ein $K-$Modul und sei $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ eine lineare Darstellung von $G$ in $V.$ Für $s\in G$ und $x\in V$ definiere $sx=\rho (s)x.$ Durch lineare Fortsetzung liefert dies auf $V$ die Struktur eines Links-$K[G]$-Moduls. Umgekehrt lässt sich aus einem links $K[G]$-Modul $V$ eine lineare Darstellung von $G$ in $V$ herleiten. Daher können die beiden Begriffe austauschbar verwendet werden.
Mit $K=\mathbb {C}$ gilt, dass der Links-$\mathbb {C} [G]$-Modul, der durch $\mathbb {C} [G]$ selbst gegeben ist, korrespondiert zur Linksregulären Darstellung, ebenso korrespondiert $\mathbb {C} [G]$ als der Rechts-$\mathbb {C} [G]$-Modul zur Rechtsregulären Darstellung.

Für eine Gruppe $G$ wird die Menge $L^{1}(G):=\{f:G\to \mathbb {C} \}$ mit der Addition und der skalaren Multiplikation ein $\mathbb {C}$-Vektorraum, isomorph zu $\textstyle \mathbb {C} ^{G}$. Mit der Faltung $\textstyle f*g(x)=\sum _{y\in G}f(y)g(y^{-1}x)$ wird $\textstyle L^{1}(G)$ dann zu einer Algebra, genannt die Faltungsalgebra.
Die Faltungsalgebra besitzt eine Basis indiziert mit den Gruppenelementen: $(\delta _{g})_{g\in G}$, wobei

$\delta _{g}(x)={\begin{cases}1\,\,\,\,\,{\text{falls }}x=g\\0\,\,\,\,\,{\text{sonst}}\end{cases}}$.

Mit der Faltung gilt: $\delta _{g}*\delta _{h}=\delta _{gh}$.
Wir definieren eine Abbildung zwischen $L^{1}(G)$ und $\mathbb {C} [G]$, indem wir für Basiselemente definieren: $\delta _{g}\mapsto e_{g}$ und linear fortsetzen. Diese Abbildung ist offensichtlich bijektiv. Man erkennt an obiger Gleichung für die Faltung zweier Basiselemente aus $L^{1}(G)$, dass die Multiplikation in $L^{1}(G)$ der in $\mathbb {C} [G]$ entspricht. Damit sind die Faltungsalgebra und die Gruppenalgebra als Algebren isomorph.
Mit der Involution $\textstyle f^{*}(x)={\overline {f(x^{-1})}}$ wird $\textstyle L^{1}(G)$ zu einer $^{*}$-Algebra. Es gilt $\delta _{g}^{*}=\delta _{g^{-1}}$.
Eine Darstellung $(\pi ,V_{\pi })$ einer Gruppe $G$ setzt $\pi$ fort zu einem $^{*}$-Algebrenhomomorphismus $\pi :L^{1}(G)\to {\text{End}}(V_{\pi })$ durch $\pi (\delta _{g})=\pi (g)$. Die Eigenschaften eines $^{*}$-Algebrenhomomorphismus liefern uns die Gleichungen $\pi (f*g)=\pi (f)\pi (g)$ und $\pi (f)^{*}=\pi (f^{*}),$ wobei für die zweite Gleichung benötigt wird, das $\pi$ unitär ist. Die Definition einer unitären Darstellung findet sich unter Eigenschaften. Dort wird auch gezeigt, dass wir eine lineare Darstellung ohne Einschränkung als unitär annehmen können.

Im Rahmen der Faltungsalgebra kann man auf Gruppen eine Fouriertransformation durchführen. In der Harmonischen Analyse wird gezeigt, dass diese Definition mit der Definition der Fouriertransformation auf $\mathbb {R}$ konsistent ist.
Sei nun $\rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })$ eine Darstellung und $\varphi \in L^{1}(G)$, dann definiert man die Fouriertransformierte ${\hat {\varphi }}(\rho )\in {\text{End}}(V_{\rho })$ durch die Formel

${\hat {\varphi }}(\rho )=\sum _{g\in G}\varphi (g)\rho (g)$.

Es gilt dann ${\widehat {\phi *\psi }}(\rho )={\hat {\varphi }}(\rho )\cdot {\hat {\psi }}(\rho )$.

Abbildungen zwischen Darstellungen

Eine Abbildung zwischen zwei Darstellungen $(\rho ,V_{\rho }),(\tau ,V_{\tau })$ derselben Gruppe $G$ ist eine lineare Abbildung
$\phi :V_{\rho }\to V_{\tau }$ sodass für alle $g\in G$ und alle $v\in V_{\rho }$ gilt $\tau (g)(\phi (v))=\phi (\rho (g)(v))$.
Eine solche Abbildung heißt auch $G$-lineare Abbildung. Man kann den Kern, das Bild und den Kokern von $\phi$ standardmäßig definieren. Diese sind wieder $G$-Moduln und liefern damit über die Beziehung aus dem vorhergehenden Abschnitt wieder Darstellungen von $G$.

Eigenschaften

Zwei Darstellungen $(\rho ,V_{\rho }),(\pi ,V_{\pi })$ heißen äquivalent oder isomorph, falls es einen Vektorraumisomorphismus $\tau :V_{\rho }\to V_{\pi }$ gibt, sodass $\tau \circ \rho (s)=\pi (s)\circ \tau \,\,\,\forall \,s\in G.$ Insbesondere haben äquivalente Darstellungen den gleichen Grad.

Eine Darstellung $(\pi ,V_{\pi })$ heißt treu, falls $\pi$ injektiv ist. In diesem Fall induziert $\pi$ einen Isomorphismus zwischen $G$ und dem Bild $\pi (G).$ Da letzteres einer Untergruppe von ${\text{GL}}(V_{\pi })$ ist, kann man $G$ als Gruppe von Automorphismen auf $V_{\pi }$ via $\pi$ auffassen.

Sei $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ eine lineare Darstellung von $G.$ Falls $W$ ein $G$-invarianter Unterraum von $V$ ist, d.h. $\rho (s)(x)\in W$ für alle $s\in G,x\in W$, ist die Einschränkung $\rho (s)|_{W}$ ein Isomorphismus auf $W$. Da sich Restriktion und Gruppenhomomorphismus vertragen, liefert diese Konstruktion eine Darstellung von $G$ nach $W.$ Diese heißt Teildarstellung oder auch Unterdarstellung von $V$. In der Sprache der Gruppenalgebra entsprechen die Teildarstellungen genau den Unteralgebren.

Ebenso wie man den Bildbereich einschränken kann, kann man auch den Definitionsbereich einer Darstellung einschränken:
Sei $H$ eine Untergruppe der Gruppe $G.$ Für eine Darstellung $\rho$ von $G$ ist ${\text{Res}}_{H}(\rho )$ die Einschränkung von $\rho$ auf die Untergruppe $H$.
Falls keine Verwechslugnsgefahr besteht, schreiben wir auch nur ${\text{Res}}(\rho )$ oder auch kurz ${\text{Res}}\rho$.
Man verwendet auch die Schreibweise ${\text{Res}}(V)$ für die Einschränkung der Darstellung von $V$ von $G$ auf $H.$
Sei $\varphi$ eine Funktion auf $G,$ dann schreiben wir ${\text{Res}}(\varphi )$ für die Einschränkung auf die Untergruppe $H.$

Eine Darstellung $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ heißt irreduzibel oder einfach, falls es keinen nicht-trivialen echten $G$-invarianten Untervektorraum gibt. Die irreduziblen Darstellungen entsprechen in der Sprache der Gruppenalgebra den einfachen $\mathbb {C} [G]$-Moduln.
Man kann zeigen, dass die Anzahl an irreduziblen Darstellungen von $G$ (bzw. die Anzahl an einfachen $\mathbb {C} [G]$-Moduln) der Anzahl an Konjugationsklassen von $G$ entspricht.

Falls eine Darstellung als direkte Summe irreduzibler Darstellungen geschrieben werden kann, heißt sie halbeinfach oder vollständig reduzibel. Dies ist eine analoge Definition dazu, dass eine Algebra, die als direkte Summe einfacher Unteralgebren geschrieben werden kann, halbeinfach genannt wird.

Eine Darstellung heißt isotypisch, falls sie eine direkte Summe von isomorphen irreduziblen Darstellungen ist.

Sei $(\rho ,V_{\rho })$ eine beliebige Darstellung der Gruppe $G.$ Sei $\tau$ eine irreduzible Darstellung von $G$, so ist der $\tau$-Isotyp $V_{\rho }(\tau )$ von $G$ definiert als die Summe aller irreduziblen Unterdarstellungen von $V$, die zu $\tau$ isomorph sind.

Über $\mathbb {C}$ können wir jeden Vektorraum mit einem Skalarprodukt ausstatten. Eine Darstellung $\rho$ einer Gruppe $G$ in einen Vektorraum mit Skalarprodukt heißt unitär, falls $\rho (g)$ unitär ist für jedes $g\in G$ (d.h. insbesondere ist jedes $\rho (g)$ diagonalisierbar).
Eine Darstellung ist genau dann unitär bezüglich eines gegebenen Skalarproduktes, wenn das Skalarprodukt unter der durch die Darstellung induzierten Operation von $G$ invariant ist.
Man kann ein gegebenes Skalarprodukt $(\cdot |\cdot )$ stets durch ein invariantes ersetzen, in dem man $(x|y)$ austauscht durch $\textstyle \sum _{t\in G}(\rho (t)(x)|\rho (t)(y)).$ So können wir ohne Einschränkung annehmen, dass alle im weiteren betrachteten Darstellungen unitär sind.

Beispiel

Sei $G=D_{6}=\{{\text{id}},\sigma ,\sigma ^{2},\tau ,\sigma \tau ,\sigma ^{2}\tau \}$ die Diedergruppe der Ordnung 6 mit Erzeugern $\sigma ,\tau$ für die gilt $\tau ^{2}={\text{id}},$ $\sigma ^{3}={\text{id}},$ $\tau \sigma \tau =\sigma ^{2}.$ Sei $\rho :D_{6}\to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$ eine lineare Darstellung von $D_{6}$ auf den Erzeugern definiert durch:

$\rho (\sigma )=\left({\begin{array}{ccc}{\text{cos}}({\frac {2\pi }{3}})&0&-{\text{sin}}({\frac {2\pi }{3}})\\0&1&0\\{\text{sin}}({\frac {2\pi }{3}})&0&{\text{cos}}({\frac {2\pi }{3}})\end{array}}\right),\,\,\,\,\rho (\tau )=\left({\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{array}}\right).$

Diese Darstellung ist treu. Der Unterraum $\mathbb {C} e_{2}$ ist ein $D_{6}$-invarianter Unterraum. Damit ist die Darstellung nicht irreduzibel und es existiert eine Teildarstellung $\textstyle \rho |_{\mathbb {C} e_{2}}:D_{6}\to \mathbb {C} ^{\times }$ mit $\tau \mapsto -1,\sigma \mapsto 1$. Diese Teildarstellung hat Grad 1 und ist irreduzibel. Das Komplement zu $\textstyle \mathbb {C} e_{2}$ ist ebenfalls $D_{6}$-invariant, und liefert die Teildarstellung $\textstyle \rho |_{\mathbb {C} e_{1}\oplus \mathbb {C} e_{3}}$ mit

$\tau \mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,\,\,\sigma \mapsto {\begin{pmatrix}{\text{cos}}({\frac {2\pi }{3}})&-{\text{sin}}({\frac {2\pi }{3}})\\{\text{sin}}({\frac {2\pi }{3}})&{\text{cos}}({\frac {2\pi }{3}})\end{pmatrix}}.$

Auch diese Teildarstellung ist irreduzibel. Unsere ursprüngliche Darstellung ist also vollständig reduzibel:

$\textstyle \rho =\rho |_{\mathbb {C} e_{2}}\oplus \rho |_{\mathbb {C} e_{1}\oplus \mathbb {C} e_{3}}.$

Beide Teildarstellungen sind isotypisch und sind jeweils die Isotypen von $\rho .$
Die Darstellung $\rho$ ist unitär bezüglich des Standardskalarprodukts auf $\textstyle \mathbb {C} ^{3}$.
In dem man einen beliebigen Vektorraumisomorphismus $\textstyle \phi :\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}$ nimmt, kann eine zu $\rho$ isomorphe Darstellung definiert werden: Sei $\textstyle \eta :D_{6}\to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$ definiert durch $\textstyle \eta (s):=\phi \circ \rho (s)\circ \phi ^{-1}$ für alle $s\in D_{6}.$
Man kann nun noch den Definitionsbereich der Darstellung auf eine Untergruppe, z. B. $H=\{{\text{id}},\sigma ,\sigma ^{2}\}$, einschränken und erhält so ${\text{Res}}_{H}(\rho )$. Diese Darstellung ist definiert durch das Bild $\rho (\sigma )$ wie oben angegeben.

Konstruktionen

Duale Darstellung

Zu einer gegebenen Darstellung $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ kann man die duale Darstellung $\rho ^{*}:G\to {\text{GL}}(V^{*})$ in den dualen Vektorraum $V^{*}$ definieren durch $\rho ^{*}(g)=(\rho (g^{-1}))^{t}$ für alle $g\in G.$ Mit dieser Definition gilt für die natürliche Paarung zwischen $V^{*}$ und $V$: $\langle \rho ^{*}(g)(v^{*}),\rho (g)(v)\rangle =\langle v^{*},v\rangle (:=v^{*}(v))$ für alle $g\in G,v\in V,v^{*}\in V^{*}$.

Beispiel

Sei $G=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ und sei $\rho :\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$ eine Darstellung von $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ definiert durch

$\rho ({\overline {0}})={\text{Id}},\,\,\rho ({\overline {1}})=\left({\begin{array}{cc}{\text{cos}}({\frac {2\pi }{3}})&-{\text{sin}}({\frac {2\pi }{3}})\\{\text{sin}}({\frac {2\pi }{3}})&{\text{cos}}({\frac {2\pi }{3}})\end{array}}\right),\,\,{\text{ und }}\,\,\rho ({\overline {2}})=\left({\begin{array}{cc}{\text{cos}}({\frac {4\pi }{3}})&-{\text{sin}}({\frac {4\pi }{3}})\\{\text{sin}}({\frac {4\pi }{3}})&{\text{cos}}({\frac {4\pi }{3}})\end{array}}\right).$

Dann ist die duale Darstellung $\rho ^{*}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}((\mathbb {C} ^{2})^{*})$ gegeben durch:

$\rho ^{*}({\overline {0}})={\text{Id}},\,\,\rho ^{*}({\overline {1}})=\left({\begin{array}{cc}{\text{cos}}({\frac {4\pi }{3}})&{\text{sin}}({\frac {4\pi }{3}})\\-{\text{sin}}({\frac {4\pi }{3}})&{\text{cos}}({\frac {4\pi }{3}})\end{array}}\right),\,\,{\text{ und }}\,\,\rho ^{*}({\overline {2}})=\left({\begin{array}{cc}{\text{cos}}({\frac {2\pi }{3}})&{\text{sin}}({\frac {2\pi }{3}})\\-{\text{sin}}({\frac {2\pi }{3}})&{\text{cos}}({\frac {2\pi }{3}})\end{array}}\right).$

Direkte Summe von Darstellungen

Seien $\textstyle (\rho _{1},V_{\rho _{1}}),(\rho _{2},V_{\rho _{2}})$ Darstellungen von $\textstyle G_{1}$ bzw. $\textstyle G_{2}$. Die direkte Summe der Darstellungen wird definiert als: $\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}:G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{\rho _{1}}\oplus V_{\rho _{2}})$, wobei $\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}(s_{1},s_{2})(v_{1},v_{2}):=\rho _{1}(s_{1})(v_{1})\oplus \rho _{2}(s_{2})(v_{2})$ für alle $(s_{1},s_{2})\in G_{1}\times G_{2}$ und $v_{1}\in V_{\rho _{1}},v_{2}\in V_{\rho _{2}}.$
Auf diese Weise wird $\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}$ wieder zu einer linearen Darstellung.
Sind $\textstyle \rho _{1},\rho _{2}$ Darstellungen der gleichen Gruppe $\textstyle G$, so definiert man die direkte Summe der Darstellungen der Einfachheit halber auch als Darstellung von $\textstyle G$, also $\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{1}\oplus V_{2})$, in dem man $\textstyle G$ als die diagonale Untergruppe von $\textstyle G\times G$ auffasst.

Beispiel
Sei $\textstyle \rho _{1}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$ die lineare Darstellung, die gegeben ist durch

$\rho _{1}(1)=\left({\begin{array}{cc}0&-i\\i&0\end{array}}\right).$

Und sei $\textstyle \rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$ die lineare Darstellung, die gegeben ist durch

$\rho _{2}(1)=\left({\begin{array}{ccc}1&0&e^{\frac {2\pi i}{3}}\\0&e^{\frac {2\pi i}{3}}&0\\0&0&e^{\frac {4\pi i}{3}}\end{array}}\right).$

Dann ist $\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}$ eine lineare Darstellung von $\textstyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ in den $\textstyle \mathbb {C} ^{2}\oplus \mathbb {C} ^{3}=\mathbb {C} ^{5}$, die für $k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ nach Definition wie folgt aussieht:

$\rho _{1}\oplus \rho _{2}(k,l)=\left({\begin{array}{cc}\rho _{1}(k)&0\\0&\rho _{2}(l)\end{array}}\right).$

Da es reicht das Bild des Erzeugers der Gruppe anzugeben, finden wir, dass $\textstyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{5}(\mathbb {C} )$ gegeben ist durch:

$\rho _{1}\oplus \rho _{2}(1,1)=\left({\begin{array}{ccccc}0&-i&0&0&0\\i&0&0&0&0\\0&0&1&0&e^{\frac {2\pi i}{3}}\\0&0&0&e^{\frac {2\pi i}{3}}&0\\0&0&0&0&e^{\frac {4\pi i}{3}}\end{array}}\right).$

Tensorprodukt von Darstellungen

Seien $\rho ^{1}:G_{1}\to {\text{GL}}(V_{\rho _{1}}),\,\rho ^{2}:G_{1}\to {\text{GL}}(V_{\rho _{2}})$ lineare Darstellungen. Wir definieren die lineare Darstellung $\rho ^{1}\otimes \rho ^{2}:G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{\rho _{1}}\otimes V_{\rho _{2}})$ in das Tensorprodukt von $V_{\rho _{1}}$ und $V_{\rho _{2}}$ durch $\rho ^{1}\otimes \rho ^{2}(s_{1},s_{2})=\rho ^{1}(s_{1})\otimes \rho ^{2}(s_{2}),$ wobei $s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{2}.$ Diese Darstellung wird äußeres Tensorprodukt der Darstellungen $\rho ^{1}$ und $\rho ^{2}$ genannt. Existenz und Eindeutigkeit folgen aus den Eigenschaften des Tensorprodukts.

Seien $\rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{\rho _{1}})$ und $\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{\rho _{2}})$ zwei lineare Darstellungen der selben Gruppe und sei $s\in G,$ dann kann $\rho (s)\in {\text{GL}}(V_{\rho _{1}}\otimes V_{\rho _{2}})$ definiert werden durch $\rho (s)(x\otimes y)=\rho _{1}(s)(x)\otimes \rho _{2}(s)(y)$, für $x\in V_{\rho _{1}},y\in V_{\rho _{2}}.$ Man schreibt dafür $\rho (s)=\rho _{1}(s)\otimes \rho _{2}(s).$ Die Abbildung $s\mapsto \rho (s)$ definiert dann eine lineare Darstellung von $G$, die ebenfalls Tensorprodukt der gegebenen Darstellungen genannt wird.

Man muss diese beiden Fälle jedoch strikt unterscheiden. Der erste Fall ist eine Darstellung des Gruppenprodukts in das Tensorprodukt der zugehörigen Darstellungsräume, der zweite Fall ist eine Abbildung von einer Gruppe $G$ ins Tensorprodukt der Darstellungsräume. Der Definitionsbereich ist also ein anderer. Der zweite Fall kann jedoch als Spezialfall des ersten Falls angesehen werden, in dem man die diagonale Untergruppe $G\times G$ betrachtet. Die Definitionen können endlich oft iteriert werden.

Seien $V,W$ Darstellungen von $G,$ dann ist ${\text{Hom}}(V,W)$ eine Darstellung durch die Identifikation ${\text{Hom}}(V,W)=V^{*}\otimes W.$ Sei $\phi \in {\text{Hom}}(V,W)$ und sei $\rho$ die Darstellung auf ${\text{Hom}}(V,W),$ $\rho _{V}$ die Darstellung auf $V,$ $\rho _{W}$ die Darstellung auf $W.$ Dann liefert die obige Identifikation die Gleichung:

$\rho (g)(\phi )(v)=\rho _{W}(g)(\phi (\rho _{V}(g)))(v)$ für alle $g\in G,v\in V.$

Satz
Die irreduziblen Darstellungen von $G_{1}\times G_{2}$ sind bis auf Isomorphie genau die Darstellungen $\rho _{1}\otimes \rho _{2}$ mit $\rho _{1},\rho _{2}$ irreduzibel.

Dieses Ergebnis schränkt das Studium der Darstellungen von $G_{1}\times G_{2}$ auf das Studium der Darstellungen von $G_{1}$ und $G_{2}$ ein.

Beispiel
Wir greifen das obige Beispiel aus der direkten Summe noch einmal auf, um den Unterschied zwischen direkter Summe und Tensorprodukt zu unterstreichen.
Sei $\textstyle \rho _{1}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$ die lineare Darstellung, die gegeben ist durch

$\rho _{1}(1)=\left({\begin{array}{cc}0&-i\\i&0\end{array}}\right)$.

Und sei $\textstyle \rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$ die lineare Darstellung, die gegeben ist durch

$\rho _{2}(1)=\left({\begin{array}{ccc}1&0&e^{\frac {2\pi i}{3}}\\0&e^{\frac {2\pi i}{3}}&0\\0&0&e^{\frac {4\pi i}{3}}\end{array}}\right)$.

Dann ist das äußere Tensorprodukt $\rho _{1}\otimes \rho _{2}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3})={\text{GL}}_{6}(\mathbb {C} )$ gegeben durch $\rho _{1}(k)\otimes \rho _{2}(l),$ wobei $k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} .$ Die Matrix, die zum Erzeuger $\rho _{1}(1)\otimes \rho _{2}(1)$ gehört, ist dann in der Basis von $\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {C} ^{6}$ gegeben durch:

$\rho _{1}(1)\otimes \rho _{2}(1)=\left({\begin{array}{cccccc}0&0&0&-i&0&-ie^{\frac {2\pi i}{3}}\\0&0&0&0&-ie^{\frac {2\pi i}{3}}&0\\0&0&0&0&0&-ie^{\frac {4\pi i}{3}}\\i&0&ie^{\frac {2\pi i}{3}}&0&0&0\\0&ie^{\frac {2\pi i}{3}}&0&0&0&0\\0&0&ie^{\frac {4\pi i}{3}}&0&0&0\end{array}}\right).$

Ein Vergleich mit der direkten Summe zeigt den Unterschied. Die erhaltenen Darstellungen besitzen auch nicht den selben Grad.

Symmetrisches und Alternierendes Quadrat

Sei $\rho :G\to V\otimes V$ eine lineare Darstellung von $G$ und $(e_{i})$ eine Basis von $V$. Definiere $\theta :V\otimes V\to V\otimes V$ durch $\theta (e_{i}\otimes e_{j})=e_{j}\otimes e_{i}$. Dann gilt $\theta (x\otimes y)=y\otimes x,\,\forall x,y\in V$ und $\theta ^{2}=1$. Damit zerfällt $V\otimes V$ in $V\otimes V={\text{Sym}}^{2}(V)\oplus {\text{Alt}}^{2}(V),$ wobei ${\text{Sym}}^{2}(V)=\{z\in V\otimes V:\theta (z)=z\}$ und $\textstyle {\text{Alt}}^{2}(V)=\bigwedge ^{2}(V)=\{z\in V\otimes V:\theta (z)=-z\}.$ Diese Unterräume sind $G$-invariant und definieren so Teildarstellungen die Symmetrisches bzw. Alternierendes Quadrat genannt werden. Diese Teildarstellungen existieren auch für $V^{\otimes n}$, werden dann allerdings mit Hutprodukt $\textstyle \bigwedge ^{n}(V)$ und Symmetrisches Produkt ${\text{Sym}}^{n}(V)$ bezeichnet. In diesem Fall ergibt sich der Vektorraum dann im Allgemeinen nicht mehr als die Summe der beiden Produkte.

Zerlegungen

Um Darstellungen leichter verstehen zu können, möchte man den Darstellungsraum in die direkte Summe von einfacheren Teildarstellungen zerlegen. Für endliche Gruppen erhält man folgende Resultate:

Satz
Sei $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ eine lineare Darstellung, und sei $W$ ein $G$-invarianter Unterraum von $V.$ Dann existiert das Komplement $\textstyle W^{0}$ von $W$ in $V$ und $\textstyle W^{0}$ ist ebenfalls $G$-invariant. Eine Teildarstellung und ihr Komplement legen die Darstellung eindeutig fest.

Der folgende Satz wird in allgemeinerer Formulierung präsentiert, da er ein sehr schönes Resultat für Darstellungen kompakter - also insbesondere endlicher - Gruppen liefert:

Satz
Über Körpern der Charakteristik $0$ gilt:
Jede lineare Darstellung kompakter Gruppen ist eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen.
In der Formulierung der $K[G]$-Moduln bedeutet dies: Ist ${\text{char}}(K)=0,$ so ist die Gruppenalgebra $K[G]$ halbeinfach, d.h. sie ist die direkte Summe einfacher Algebren.
Diese Zerlegung ist nicht eindeutig. Allerdings hängt die Anzahl der auftretenden Teildarstellungen, die zu einer gegebenen irreduziblen Darstellung isomorph sind, nicht von der gewählten Zerlegung ab.

Die kanonische Zerlegung

Um eine eindeutige Zerlegung zu bekommen, fasst man alle zueinander isomorphen irreduziblen Teildarstellungen zusammen. Man zerlegt den Darstellungsraum also in die direkte Summe seiner Isotypen. Diese Zerlegung ist eindeutig. Sie heißt die kanonische Zerlegung.
Seien $\{\tau _{i}\}_{\{i\in I\}}$ die Menge aller irreduziblen Darstellungen einer Gruppe $G$ bis auf Isomorphie. Sei $V$ eine Darstellung von $G$ und $\{V(\tau _{i})\}$ die Menge der Isotypen von $V.$ Die Projektion $p_{i}:V\to V(\tau _{i})$ zur kanonischen Zerlegung ist gegeben durch

$p_{i}={\frac {n_{i}}{|G|}}\sum _{t\in G}{\overline {\chi _{\tau _{i}}(t)}}\rho (t)$, wobei $n_{i}={\text{dim}}(\tau _{i})$ und $\chi _{\tau _{i}}$ der zu $\tau _{i}$ gehörige Charakter ist.

Im folgenden sehen wir, wie man den Isotyp zur trivialen Darstellung bestimmen kann:

Projektionsformel
Für jede Darstellung $(\rho ,V)$ einer Gruppe $G$ definiere $V^{G}=\{v\in V:\rho (g)(v)=v\,\,\,\,\forall g\in G\}$.
Im Allgemeinen ist $\rho (g):V\to V$ nicht $G$-linear. Setze $\textstyle \varphi :={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\rho (g)\in {\text{End}}(V).$ Dann ist $\varphi$ eine $G$-lineare Abbildung, da $\textstyle \sum _{g\in G}\rho (g)=\sum _{g\in G}\rho (hgh^{-1})$.

Proposition
Die Abbildung $\varphi$ ist eine Projektion von $V$ nach $V^{G}$.

Mit dieser Proposition können wir nun explizit den Isotyp zur trivialen Teildarstellung einer gegebenen Darstellung bestimmen.
Die Anzahl, wie oft die triviale Darstellung in $V$ auftritt, ist gegeben durch die Spur von $\varphi$. Dies folgt aus den Eigenschaften einer Projektion. Man erhält damit

${\text{dim}}V(1)={\text{dim}}V^{G}=Tr(\varphi )={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{V}(g),$

wobei $V(1)$ den Isotyp zur trivialen Darstellung bezeichnet.
Sei $V_{\pi }$ eine nicht triviale irreduzible Darstellung von $G,$ dann ist der Isotyp zur Trivialendarstellung von $\pi$ der Nullraum. D.h. es gilt

$\varphi ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\pi (g)=0.$

Sei $e_{1},...,e_{n}$ eine Orthonormalbasis von $V_{\pi }$. Dann gilt:

$\sum _{g\in G}{\text{Tr}}(\pi (g))=\sum _{g\in G}\sum _{i=1}^{n}\langle \pi (g)e_{i},e_{i}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\langle \sum _{g\in G}\pi (g)e_{i},e_{i}\rangle =0.$

Damit gilt also für eine nicht triviale irreduzible Darstellung $V$:

$\sum _{g\in G}\chi _{V}(g)=0.$

Beispiele

Sei $G={\text{Per}}(3)$ die Permutationsgruppe in $3$ Elementen. Sei $\rho :{\text{Per}}(3)\to {\text{GL}}_{5}(\mathbb {C} )$ eine lineare Darstellung von ${\text{Per}}(3)$ auf den Erzeugern definiert durch:

$\rho ((1,2))=\left({\begin{array}{ccccc}-1&2&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right),\,\,\,\rho ((1,3))=\left({\begin{array}{ccccc}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0\\{\frac {1}{2}}&-1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\end{array}}\right),\,\,\,\rho ((2,3))=\left({\begin{array}{ccccc}0&-2&0&0&0\\-{\frac {1}{2}}&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\end{array}}\right)$

Dann lässt sich diese Darstellung auf den ersten Blick zerlegen in die Linksreguläre Darstellung der ${\text{Per}}(3),$ hier bezeichnet mit $\pi ,$ und die Darstellung $\eta :{\text{Per}}(3)\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$ mit

$\eta (1,2)={\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}},\,\,\eta (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-1\end{pmatrix}},\,\,\,\eta (2,3)={\begin{pmatrix}0&-2\\-{\frac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}.$

Mit Hilfe der im nächsten Abschnitt vorgestellten Irreduzibilitätskriterien erkennen wir, dass $\eta$ irreduzibel und $\pi$ nicht irreduzibel ist. Denn es gilt: $(\eta |\eta )=1,(\pi |\pi )=2$.
Der Unterraum $\mathbb {C} (e_{1}+e_{2}+e_{3})$ von $\mathbb {C} ^{3}$ ist unter der Linksregulären Darstellung invariant. Eingeschränkt auf diesen Unterraum ergibt sich die triviale Darstellung. Das orthogonale Komplement zu $\mathbb {C} (e_{1}+e_{2}+e_{3})$ ist $\mathbb {C} (e_{1}-e_{2})\oplus \mathbb {C} (e_{1}+e_{2}-2e_{3})$. Eingeschränkt auf diesen Unterraum, der nach obigen Resultaten ebenfalls $G$-invariant ist, ergibt sich die Darstellung $\tau$, die gegeben ist durch

$\tau (1,2)={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,\,\tau (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,\,\,\,\tau (2,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {3}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

Wie oben prüft man mit den Kriterien aus dem nächsten Anschnitt nach, dass $\tau$ irreduzibel ist. Nun sind aber $\eta$ und $\tau$ isomorph, da $\eta (s)=\phi \circ \tau (s)\circ \phi ^{-1}$ für alle $s\in {\text{Per}}(3)$ gilt, wobei $\phi :\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}$ gegeben ist durch die Matrix

$M_{\phi }={\begin{pmatrix}2&2\\0&2\end{pmatrix}}$.

Eine Zerlegung von $(\rho ,\mathbb {C} ^{5})$ in irreduzible Teildarstellungen ist dann: $\rho =\tau \oplus \eta \oplus 1$ mit dem Darstellungsraum $\mathbb {C} ^{5}=\mathbb {C} (e_{1},e_{2})\oplus \mathbb {C} (e_{3}-e_{4},e_{3}+e_{4}-2e_{5})\oplus \mathbb {C} (e_{3}+e_{4}+e_{5})$.
Die kanonische Zerlegung ergibt sich nun, in dem wir alle isomorphen irreduziblen Teildarstellungen zusammenfassen: $\rho _{1}:=\eta \oplus \tau$ ist der $\tau$-Isotyp von $\rho$ und die kanonische Zerlegung ist $\rho =\rho _{1}\oplus 1,\,\mathbb {C} ^{5}=\mathbb {C} (e_{1},e_{2},e_{3}-e_{4},e_{3}+e_{4}-2e_{5})\oplus \mathbb {C} (e_{3}+e_{4}+e_{5})$.

Dass obige Sätze zur Zerlegung für unendliche Gruppen nicht mehr unbedingt gelten, soll hier an einem Beispiel illustriert werden: Sei $\textstyle G=\{A\in {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )|\,A\,\,{\text{ ist}}{\text{ obere}}{\text{ Dreiecksmatrix}}\}.$ Dann ist $G$ mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe unendlicher Mächtigkeit. Die Gruppe $G$ operiert auf $\mathbb {C} ^{2}$ durch Matrix-Vektor-Multiplikation. Wir betrachten die Darstellung $\rho (A)=A$ für alle $A\in G$. Der Unterraum $\mathbb {C} e_{1}$ ist ein $G$-invarianter Unterraum.
Zu diesem Unterraum existiert nun aber kein $G$-invariantes Komplement. Die Annahme, dass ein solches Komplement existiere, führt zum Widerspruchsresultat, dass jede Matrix über $\mathbb {C}$ diagonalisierbar wäre.
D.h. wenn wir unendliche Gruppen betrachten, kann der Fall eintreten, dass eine Darstellung nicht irreduzibel ist, aber trotzdem nicht in die direkte Summe irreduzibler Teildarstellungen zerfällt.

Charaktertheorie

Definition

Sei $\textstyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)$ eine lineare Darstellung der endlichen Gruppe $\textstyle G$ in den Vektorraum $\textstyle V.$ Definiere die Abbildung $\chi _{\rho }$ durch $\textstyle \chi _{\rho }(s)={\text{Tr}}(\rho (s)),$ wobei ${\text{Tr}}(\rho (s))$ die Spur der linearen Abbildung $\rho (s)$ bezeichnet. Die dadurch erhaltene komplexwertige Funktion $\textstyle \chi _{\rho }$ heißt Charakter der Darstellung $\textstyle \rho$.
Manchmal wird der Charakter einer Darstellung $\textstyle \rho$ auch definiert, als $\textstyle \chi (s)={\text{dim}}(\rho ){\text{Tr}}(\rho (s))$, wobei $\textstyle {\text{dim}}(\rho )$ den Grad der Darstellung bezeichnet. In diesem Artikel wird diese Definition allerdings nicht verwendet.
Anhand der Definition erkennt man sofort, dass isomorphe Darstellungen den selben Charakter haben.

Beispiele
Ein einfaches Beispiel ist eine Grad $1$ Darstellung $\rho$. Ihr Charakter ist gegeben durch $\chi =\rho$.

Betrachten wir als Beispiel die Permutationsdarstellung $V$ von $G$ assoziiert zur Linksoperation von $G$ auf einer endlichen Menge $X$. Dann ist $\chi _{V}(g)=|\{x\in X:g.x=x\}|$.

Ein weiteres Beispiel ist der Charakter $\chi _{R}$ der regulären Darstellung $R.$ Er ist gegeben durch $\chi _{R}(g)={\begin{cases}0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,&{\text{falls }}g\neq e\\|G|\,\,\,\,\,\,&{\text{falls }}g=e\end{cases}}$.
Hier ist es übrigens sinnvoll nur von der regulären Darstellung zu sprechen und Links- und Rechtsregulär nicht zu unterscheiden, da sie isomorph zueinander sind, und somit den gleichen Charakter besitzen.

Als letztes Beispiel betrachten wir $G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .$ Und sei $\rho :G\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$ definiert durch:

$\rho ((0,0))=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right),\,\,\rho ((1,0))=\left({\begin{array}{cc}-1&0\\0&-1\end{array}}\right),\,\,\rho ((0,1))=\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right),\,\,{\text{und }}\rho ((1,1))=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\-1&0\end{array}}\right)$.

Dann ist der Charakter $\chi _{\rho }$ gegeben durch $\chi _{\rho }(0,0)=2,\,\,\chi _{\rho }(1,0)=-2,\,\,\chi _{\rho }(0,1)=\chi _{\rho }(1,1)=0$.
Wie man an diesem Beispiel sieht, ist der Charakter im Allgemeinen kein Gruppenhomomorphismus.

Eigenschaften

Wie bei den Eigenschaften linearer Darstellungen gezeigt wurde, können wir ohne Einschränkung jede Darstellung als unitär annehmen. Ein Charakter heißt unitär, wenn die zugehörige Darstellung unitär ist.
Ein Charakter heißt irreduzibel, falls er von einer irreduziblen Darstellung kommt.
Sei $\chi$ der Charakter einer (unitären) Darstellung $\rho$ vom Grad $n$. Dann gilt:

• $\chi (1)=n.$
• $\chi (s^{-1})={\overline {\chi (s)}},\,\,\,\forall \,s\in G.$
• $\chi (tst^{-1})=\chi (s),\,\,\forall \,s,t\in G.$
• Für $g\in G$ der Ordnung $n$ gilt:
  • $\chi (g)$ ist die Summe der Eigenwerte von $\rho (g)$ mit Vielfachheit.
  • $\chi (g)$ ist die Summe von $n$-ten Einheitswurzeln.
  • $|\chi (g)|\leq n$.
  • $\{g\in G|\chi (g)=n\}$ ist ein Normalteiler in $G$.

Charaktere spezieller Konstruktionen

Seien $\rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{\rho _{1}}),\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{\rho _{2}})$ zwei lineare Darstellungen von $G$ und seien $\chi _{1},\chi _{2}$ die zugehörigen Charaktere. Dann gilt:

• Der Charakter $\chi _{1}^{*}$ der dualen Darstellung $\rho _{1}^{*}$ von $\rho _{1}$ ist gegeben durch $\chi _{1}^{*}={\overline {\chi _{1}}}$.
• Der Charakter $\chi$ der direkten Summe $V_{\rho _{1}}\oplus V_{\rho _{2}}$ entspricht $\chi _{1}+\chi _{2}$.
• Der Charatker $\chi$ des Tensorproduktes $V_{\rho _{1}}\otimes V_{\rho _{2}}$ entspricht $\chi _{1}\cdot \chi _{2}$.
• Der Charakter $\chi$ der zu ${\text{Hom}}(V_{\rho _{1}},V_{\rho _{2}})$ gehörigen Darstellung ist ${\overline {\chi _{1}}}\chi _{2}.$

Sei $\chi _{1}$ der Charakter zu $\rho _{1}:G_{1}\to {\text{GL}}(W_{\rho _{1}})$, $\chi _{2}$ der Charakter zu $\rho _{2}:G_{2}\to {\text{GL}}(W_{\rho _{2}})$, dann ist der Charakter $\chi$ von $\rho _{1}\otimes \rho _{2}$ gegeben durch $\chi (s_{1},s_{2})=\chi _{1}(s_{1})\cdot \chi _{2}(s_{2})$.

Sei $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ eine lineare Darstellung von $G$ und sei $\chi$ der zugehörige Charakter. Sei $\chi _{\sigma }^{(2)}$ der Charakter des symmetrischen Quadrates und sei $\chi _{\alpha }^{(2)}$ der Charakter des Alternierenden Quadrates. Für jedes $s\in G$ gilt:

${\begin{aligned}\chi _{\sigma }^{(2)}(s)&={\frac {1}{2}}(\chi (s)^{2}+\chi (s^{2}))\\\chi _{\alpha }^{(2)}(s)&={\frac {1}{2}}(\chi (s)^{2}-\chi (s^{2}))\\\chi ^{2}&=\chi _{\sigma }^{(2)}+\chi _{\alpha }^{(2)}\end{aligned}}$

Lemma von Schur

Seien $\rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{\rho _{1}})$ und $\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{\rho _{2}})$ zwei irreduzible lineare Darstellungen. Sei $f:V_{\rho _{1}}\to V_{\rho _{2}}$ eine lineare Abbildung, sodass $\rho _{2}(s)\circ f=f\circ \rho _{1}(s)$ für alle $s\in G.$ Dann gilt:

• Falls $\rho _{1}$ und $\rho _{2}$ nicht isomorph sind, ist $f=0.$
• Falls $V_{\rho _{1}}=V_{\rho _{2}}$ und $\rho _{1}=\rho _{2},$ so ist $f$ eine Homothetie (d.h. $f=\lambda {\text{Id}}$ für ein $\lambda \in \mathbb {C}$).

Beweis

Sei $f\neq 0.$ Dann gilt $(f\circ \rho _{1}(s))(x)=(\rho _{2}(s)\circ f)(x)=0$ für alle $x\in {\text{ker}}(f).$ Damit folgt $\rho _{1}(s)(x)\in {\text{ker}}(f)$ für alle $s\in G,x\in {\text{ker}}(f)$ und ${\text{ker}}(f)$ ist $G$-invariant. Da $V_{\rho _{1}}$ irreduzibel und $f\neq 0,$ folgt ${\text{ker}}(f)=0.$ Nun sei $y\in {\text{im}}(f).$ Dann gibt es ein $x\in V_{\rho _{1}},$ sodass $fx=y,$ und es gilt $\rho _{2}(s)(y)=\rho _{2}(s)(f(x))=f(\rho _{1}(s))(x))$ und damit ist auch ${\text{im}}(f)$ $G$-invariant. Da $f\neq 0$ und $V_{\rho _{2}}$ irreduzibel ist, folgt ${\text{im}}(f)=V_{\rho _{2}}.$ Also ist $f$ ein Isomorphismus und die erste Behauptung ist gezeigt.
Seien nun $V_{\rho _{1}}=V_{\rho _{2}},\,\,\rho _{1}=\rho _{2}.$ Da wir uns über $\mathbb {C}$ befinden, besitzt $f$ mindestens einen Eigenwert $\lambda .$ Sei $f'=f-\lambda ,$ dann ist ${\text{ker}}(f')\neq 0$ und es gilt $\rho _{2}(s)\circ f'=f'\circ \rho _{1}(s)$ für alle $s\in G.$ Nach obiger Überlegung ist dies nur möglich, wenn $f'=0,$ d.h. $f=\lambda .$ $\Box$

Skalarprodukt und Charaktere

Auf der Menge aller komplexwertigen Funktionen auf einer Gruppe kann man ein Skalarprodukt definieren:

$(\Phi |\Psi )_{G}={\frac {1}{{\text{ord}}(G)}}\sum _{t\in G}\Phi (t){\overline {\Psi (t)}}$

Außerdem kann man auf der Menge aller Funktionen auf einer Gruppe eine symmetrische Bilinearform definieren:

$\langle \Phi ,\Psi \rangle _{G}={\frac {1}{{\text{ord}}(G)}}\sum _{t\in G}\Phi (t)\Psi (t^{-1})$

Auf den Charakteren stimmen beide Formen überein. Der Index bei beiden Formen gibt an, über welcher Gruppe die Form gebildet wird. Falls keine Verwechslungsgefahr besteht, wird er auch weggelassen.

Für zwei $\mathbb {C} [G]$-Moduln $V_{1},V_{2}$ definieren wir $\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}:={\text{dim}}({\text{Hom}}^{G}(V_{1},V_{2}))$, wobei ${\text{Hom}}^{G}(V_{1},V_{2})$ der Vektorraum aller $G$-linearen Abbildungen ist. Diese Form ist bilinear bezüglich der direkten Summe.

Lemma
Seien $\varphi _{1},\varphi _{2}$ die Charaktere von $V_{1},V_{2}$ dann gilt: $\langle \varphi _{1},\varphi _{2}\rangle _{G}=(\varphi _{1}|\varphi _{2})_{G}=\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}.$

Mit diesen Definitionen kann man schöne Resultate im Bereich der Zerlegung von Darstellungen erzielen.

Satz
Sei $V$ eine lineare Darstellung von $G$ mit Charakter $\Phi .$ Es gelte $V=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{k}$, wobei die $W_{i}$ irreduzibel sind. Sei nun $(\tau ,W)$ eine irreduzible Darstellung von $G$ mit Charakter $\chi .$ Dann gilt:
Die Anzahl an Teildarstellungen $W_{i}$ die zu $W$ äquivalent sind, hängt nicht von der gegebenen Zerlegung ab und entspricht dem Skalarprodukt $(\Phi |\chi ).$
D.h. der $\tau$-Isotyp $V(\tau )$ von $V$ ist unabhängig von der Wahl der Zerlegung und es gilt:

$(\Phi |\chi )={\frac {{\text{dim}}(V(\tau ))}{{\text{dim}}(\tau )}}=\langle V,W\rangle$

und damit

${\text{dim}}(V(\tau ))={\text{dim}}(\tau )(\Phi |\chi ).$

Korollar
Jede irreduzible Darstellung $V$ von $G$ ist ${\text{dim}}V$-mal in der regulären Darstellung enthalten. D.h. für die reguläre Darstellung $R$ von $G$ gilt: $\textstyle R\cong \oplus (W_{i})^{\oplus {\text{dim}}W_{i}},$ wobei $\{W_{i}\}$ die Menge aller irreduziblen Darstellungen von $G$ beschreibt, die paarweise nicht isomorph zu einander sind.
In Worten der Gruppenalgebra erhalten wir $\mathbb {C} [G]\cong {\text{End}}(W_{i})$ als Algebren.

Als numerisches Resultat erhalten wir:

$\textstyle |G|=\chi _{R}(e)={\text{dim}}(R)=\sum _{i}{\text{dim}}(W_{i}^{\oplus (\chi _{W_{i}}|\chi _{R})})=\sum _{i}(\chi _{W_{i}}|\chi _{R})\cdot {\text{dim}}W_{i}=\sum _{i}{\text{dim}}(W_{i})^{2},$

wobei $R$ hier die reguläre Darstellung bezeichnet und $\textstyle \chi _{W_{i}}$ bzw. $\textstyle \chi _{R}$ die zu $\textstyle W_{i}$ bzw. $\textstyle R$ zugehörigen Charaktere. Ergänzend sei erwähnt, dass $e$ das neutrale Element der Gruppe bezeichnet.
Diese Formel ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für alle irreduziblen Darstellungen einer Gruppe bis auf Isomorphie und liefert eine Möglichkeit zu überprüfen, ob man bis auf Isomorphie alle irreduziblen Darstellungen einer Gruppe gefunden hat.
Ebenso erhalten wir, wieder über den Charakter der regulären Darstellung diesmal für $g\neq e,$ die Gleichheit:

$\textstyle 0=\chi _{R}(g)=\sum _{i}({\text{dim}}W_{i})\cdot \chi _{W_{i}}(g).$

Über die Beschreibung der Darstellungen mit der Faltungsalgebra erhalten wir äquivalente Fomulierungen dieser Gleichungen:
Die Fourier Inversionsformel:

$\varphi (g)={\frac {1}{|G|}}\sum _{\rho {\text{ irred. Darst. von }}G}{\text{dim}}(V_{\rho })\cdot {\text{Tr}}(\rho (g^{-1})\cdot {\hat {\varphi }}(\rho )).$

Außerdem kann man die Plancherel Formel zeigen:

$\sum _{g\in G}\varphi (g^{-1})\psi (g)={\frac {1}{|G|}}\sum _{\rho {\text{ irred. Darst. von }}G}{\text{dim}}(V_{\rho })\cdot {\text{Tr}}({\hat {\varphi }}(\rho ){\hat {\psi }}(\rho )).$

In beiden Formeln ist $(\rho ,V_{\rho })$ eine lineare Darstellung der Gruppe $G$ und $\varphi ,\psi \in L^{1}(G).$

Im Folgenden werden wichtige Ergebnisse vorgestellt, die zeigen, wie hilfreich es ist, bei der Untersuchung einer Darstellung den Charakter näher zu betrachten.

Satz
Zwei Darstellungen mit dem gleichen Charakter sind isomorph. D.h. jede Darstellung ist durch ihren Charakter festgelegt.

Irreduzibilitätskriterium
Sei $\Phi$ der Charakter einer Darstellung $V$, dann ist $(\Phi |\Phi )\in \mathbb {N} _{0}$ und es gilt $(\Phi |\Phi )=1$ genau dann, wenn $V$ irreduzibel ist.

Klassenfunktionen
Eine Funktion auf $G$, die $f(tst^{-1})=\chi (s),\,\,\forall \,s,t\in G$ erfüllt, heißt Klassenfunktion. Die Menge aller Klassenfunktionen $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)=\{f:G\to \mathbb {C} |f(sts^{-1})=f(t)\forall s,t\in G\}$ ist eine $\mathbb {C}$-Algebra, deren Dimension der Anzahl an Konjugationsklassen von $G$ entspricht.

Satz
Seien $\chi _{1},...,\chi _{h}$ die verschiedenen irreduziblen Charaktere von $G.$ Eine Klassenfunktion auf $G$ ist genau dann ein Charakter von $G,$ wenn sie als Linearkombination der $\chi _{i}$ mit nicht negativen Koeffizienten dargestellt werden kann.

Lemma
Sei $G$ eine Gruppe. Dann sind äquivalent:

• $G$ ist abelsch.
• Jede Funktion auf $G$ ist eine Klassenfunktion.
• Alle irreduziblen Darstellungen von $G$ haben Grad $1.$

Orthonormaleigenschaft
Sind $\chi ,\chi '$ die Charaktere zweier nicht isomorpher irreduzibler Darstellungen $V,V',$ so gilt $(\chi |\chi ')=\langle V,V'\rangle =0.$ D.h. zusammen mit der im Irreduzibilitätskriterium genannten Eigenschaft $(\chi |\chi )=1$ bilden die Charaktere irreduzibler Darstellungen von $G$ bezüglich dieses Skalarproduktes ein Orthonormalsystem auf $\mathbb {C} _{\text{class}}(G).$
Man kann sogar zeigen, dass die irreduziblen Charaktere $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ erzeugen, in dem man nachweist, dass es außer der $0$ keine Klassenfunktion gibt, die auf den irreduziblen Charakteren orthogonal ist. Damit bilden die paarweise nicht isomorphen irreduziblen Charaktere einer Gruppe eine Orthonormalbasis von $\mathbb {C} _{\text{class}}(G).$
Äquivalent dazu gilt:
Die Anzahl aller irreduziblen Darstellungen einer Gruppe $G$ bis auf Isomorphie entspricht genau der Anzahl aller Konjugationsklassen von $G$.
In Worten der Gruppenalgebra bedeutet das, es gibt genauso viele einfache $\mathbb {C} [G]$-Moduln (bis auf Isomorphie) wie Konjugationsklassen von $G.$

Induzierte Darstellungen

Wie wir in Eigenschaften linearer Darstellungen gesehen haben, kann man durch Einschränkung aus einer Darstellung einer Gruppe eine Darstellung einer Untergruppe erhalten.
Die Frage, die sich nun stellt, ist die nach dem umgekehrten Prozess. Kann man aus einer gegebenen Darstellung einer Untergruppe eine Darstellung der ganzen Gruppe erhalten?
Man stellt fest, dass die im folgenden definierten inuzierte Darstellung genau das Gesuchte liefert. Allerdings ist diese Konstruktion nicht invers, sondern adjungiert zur Einschränkung.

Definition

Sei $\rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })$ eine lineare Darstellung von $G.$ Sei $H$ eine Untergruppe und $\rho |_{H}$ die Einschränkung. Sei $W$ eine Teildarstellung von $\rho _{H}.$ Schreibe $\theta :H\to {\text{GL}}(W)$ für diese Darstellung. Sei $s\in G,$ der Vektorraum $\rho (s)(W)$ hängt nur von der Linksnebenklasse $sH$ von $s$ ab. Sei $R$ ein Vertretersystem von $G/H,$ dann ist $\textstyle \sum _{r\in R}\rho (r)(W)$ eine Teildarstellung von $V_{\rho }.$

Eine Darstellung $\rho$ von $G$ in $V_{\rho }$ heißt induziert durch die Darstellung $\theta$ von $H$ in $W,$ falls $\textstyle V_{\rho }=\bigoplus _{r\in R}W_{r}.$ Dabei ist $R$ ein Vertretersystem von $G/H$ und $W_{r}=\rho (s)(W)$ für jedes $s\in rH.$

Anders formuliert:
Die Darstellung $(\rho ,V_{\rho })$ ist induziert von $(\theta ,W),$ falls jedes $x\in V_{\rho }$ eindeutig als $\textstyle \sum _{r\in R}x_{r}$ geschrieben werden kann, wobei $x_{r}\in W_{r}$ für jedes $r\in R.$

Alternative Beschreibung der induzierten Darstellung
Über die Gruppenalgebra erhalten wir eine alternative Beschreibung der induzierten Darstellung:
Sei $G$ eine Gruppe, $V$ ein $\mathbb {C} [G]$-Modul und $W$ ein $\mathbb {C} [H]$-Untermodul von $V$ zur Untergruppe $H$ von $G.$ Dann heißt $V$ von $W$ induziert, falls $V=\mathbb {C} [G]\otimes _{\mathbb {C} [H]}W,$ wobei $G$ auf dem ersten Faktor operiert: $k\cdot (e_{g}\otimes w)=e_{kg}\otimes w$ für alle $k,g\in G.$

Eigenschaften

Eindeutigkeit und Existenz der induzierten Darstellung
Sie $(\theta ,W_{\theta })$ eine lineare Darstellung einer Untergruppe $H$ von $G$. Dann existiert eine lineare Darstellung $(\rho ,V_{\rho })$ von $G$, die von $(\theta ,W_{\theta })$ induziert wird und diese ist bis auf Isomorphie eindeutig.

Transitivität der Induktion
Für eine aufsteigende Kette von Gruppen $H\leq G\leq K$ gilt

${\text{Ind}}_{G}^{K}({\text{Ind}}_{H}^{G}(W))\cong {\text{Ind}}_{H}^{K}(W).$

Lemma
Sei $(\rho ,V_{\rho })$ von $(\theta ,W_{\theta })$ induziert und sei $\rho ':G\to {\text{GL}}(V')$ eine lineare Darstellung von $G$ und sei $f:W_{\theta }\to V'$ eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass $f\circ \theta (t)=\rho '(t)\circ f$ für alle $t\in G.$ Dann existiert eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung $F:V_{\rho }\to V',$ die $f$ fortsetzt und für die $F\circ \rho (s)=\rho '(s)\circ F$ für alle $s\in G$ gilt.
D.h. wenn man $V'$ als $\mathbb {C} [G]$-Modul auffasst, gilt: ${\text{Hom}}^{H}(W_{\theta },V')\cong {\text{Hom}}^{G}(V_{\rho },V'),$ wobei ${\text{Hom}}^{G}(V_{\rho },V')$ den Vektorraum aller $\mathbb {C} [G]$-Homomorphismen von $V_{\rho }$ nach $V'$ bezeichnet, gleiches gilt für ${\text{Hom}}^{H}(W_{\theta },V').$

Induktion auf Klassenfunktionen
Wie bei Darstellungen können wir auch, über sog. Induktion, aus Klassenfunktionen auf einer Untergruppe eine Klassenfunktion auf der großen Gruppe erhalten.
Sei $f$ eine Klassenfunktion auf $H.$ Definiere die Funktion $f'$ auf $G$ durch

$f'(s)=\sum _{t\in G \atop t^{-1}st\in H}^{}f(t^{-1}st)$

wobei $h={\text{ord}}(H).$
Wir sagen, $f'$ ist von $f$ induziert und schreiben ${\text{Ind}}_{H}^{G}(f)=f'$ oder ${\text{Ind}}(f)=f'.$

Proposition
Die Funktion ${\text{Ind}}(f)$ ist eine Klassenfunktion auf $G.$ Falls $f$ der Charakter einer Darstellung $W$ von $H$ ist, dann ist ${\text{Ind}}(f)$ der Charakter der induzierten Darstellung ${\text{Ind}}(W)$ von $G.$

Lemma
Falls $\psi$ eine Klassenfunktion auf $H$ ist und $\varphi$ eine Klassenfunktion auf $G$, gilt: ${\text{Ind}}(\psi \cdot {\text{Res}}\varphi )=({\text{Ind}}\psi )\cdot \varphi .$

Satz
Sei $(\rho ,V_{\rho })$ die durch die Darstellung $(\theta ,W_{\theta })$ der Untergruppe $H$ induzierte Darstellung von $G$ und seien $\chi _{\rho },\chi _{\theta }$ die korrespondierenden Charaktere. Sei $h={\text{ord}}(H)$ und sei $R$ ein Vertretersystem von $G/H$. Für jedes $u\in G$ gilt:

$\chi _{\rho }(u)=\sum _{r\in R, \atop r^{-1}ur\in H}^{}\chi _{\theta }(r^{-1}ur)={\frac {1}{h}}\sum _{s\in G, \atop s^{-1}us\in H}^{}\chi _{\theta }(s^{-1}us).$

Eine Darstellung von $G$ heißt monomial, falls sie von einer Grad-$1$-Darstellung einer Untergruppe von $G$ induziert ist.

Ein Resultat

Im Folgendens zeigen wir, wie alle irreduziblen Darstellungen einer Gruppe $G,$ die semidirektes Produkt eines abelschen Normalteilers $A\vartriangleleft G$ und einer Untergruppe $H\leq G$ sind, klassifiziert werden.

Proposition
Sei $A$ eine normale Untergruppe der Gruppe $G$ und sei $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ eine irreduzible Darstellung von $G.$ Dann gilt:

• entweder gibt es eine echte Untergruppe $H$ von $G,$ die $A$ enthält und eine irreduzible Darstellung $\sigma$ von $H,$ die $\rho$ induziert
• oder die Einschränkung von $\rho$ auf $A$ ist isotypisch.

Falls $A$ abelsch ist, ist der zweite Punkt der obigen Proposition äquivalent dazu, dass $\rho (a)$ eine Homothetie ist für jedes $a\in A.$

Für das weitere benötigen wir das folgende Korollar
Falls $A$ eine abelsche normale Untergruppe von $G$ ist, dann teilt der Grad jeder irreduziblen Darstellung von $G$ den Index $(G:A)$ von $A$ in $G.$
Ist $A$ eine abelsche Untergruppe von $G$ (nicht unbedingt normal), so gilt im Allgemeinen nicht mehr ${\text{deg}}(\rho )|(G:A),$ jedoch gilt weiterhin ${\text{deg}}(\rho )\leq (G:A).$

Nun können wir beginnen die Klassifizierung aufzubauen.

Seien $A$ und $H$ Untergruppen der Gruppe $G$, wobei $A$ normal ist. Im folgenden nehmen wir an, dass $A$ abelsch ist, und $G$ das semidirekte Produkt von $H$ und $A.$

Da $A$ abelsch ist, sind die irreduziblen Charaktere von $A$ vom Grad $1$ und bilden eine Gruppe $X={\text{Hom}}(A,\mathbb {C} ^{\times }).$ Die Gruppe $G$ operiert auf $X$ durch $(s\chi )(a)=\chi (s^{-1}as)$ für $s\in G;\chi \in X;a\in A.$
Sei $(\chi _{i})_{i\in X/H}$ ein Vertretersystem der Bahn von $H$ in $X.$ Für jedes $i\in X/H$ sei $H_{i}=\{h\in H:h\chi _{i}=\chi _{i}\}.$ Dies ist eine Untergruppe von $H.$ Sei $G_{i}=A\cdot H_{i}$ die korrespondierende Untergruppe von $G.$ Dann dehnen wir die Funktion $\chi _{i}$ auf $G_{i}$ aus, in dem wir $\chi _{i}(ah)=\chi _{i}(a)$ für $a\in A;h\in H_{i}$ setzen.
Da $h\chi _{i}=\chi _{i}$ für alle $h\in H_{i}$, folgt, dass $\chi _{i}$ ein Charakter vom Grad $1$ von $G_{i}$ ist. Sei nun $\rho$ eine irreduzible Darstellung von $H_{i}.$ Dann erhält man eine irreduzible Darstellung ${\tilde {\rho }}$ von $G_{i}$, in dem man $\rho$ mit der kanonischen Projektion $G_{i}\to H_{i}$ verknüpft. Schließlich bilden wir das Tensorprodukt von $\chi _{i}$ und ${\tilde {\rho }}$ und erhalten eine irreduzible Darstellung $\chi _{i}\otimes {\tilde {\rho }}$ von $G_{i}.$
Um nun die Klassifizierung zu zeigen betrachten wir $\theta _{i,\rho },$ die korrespondierende induzierte Darstellung von $G.$
Damit erhalten wir folgendes Ergebnis:

Proposition

• $\theta _{i,\rho }$ ist irreduzibel.
• Falls $\theta _{i,\rho }$ und $\vartheta _{i',\rho '}$ isomorph sind, dann ist $i=i'$ und $\rho$ ist isomorph zu $\rho '.$
• Jede irreduzible Darstellung von $G$ ist isomorph zu einer der $\theta _{i,\rho }.$

D.h. wir haben alle irreduziblen Darstellungen der Gruppe $G$ klassifiziert.

Frobeniusreziprozität

Frobeniusreziprozität

Sei $\psi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(H)$ und sei $\varphi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(G),$ dann gilt

$\langle \psi ,{\text{Res}}\varphi \rangle _{H}=\langle {\text{Ind}}\psi ,\varphi \rangle _{G}$

Die Aussage gilt ebenso für das Skalarprodukt.

Beweis
Da sich jede Klassenfunktion als ganzzahlige Linearkombination irreduzibler Charaktere schreiben lässt, und $<\cdot ,\cdot >$ eine Bilinearform ist, können wir ohne Einschränkung $\psi$ bzw. $\varphi$ als Charakter einer irreduziblen Darstellung von $H$ in $W$ bzw. von $G$ in $V$ annehmen. Wir setzen $\psi (x)=0$ für $x\in G\setminus H.$
Dann gilt:

${\begin{aligned}\langle {\text{Ind}}\psi ,\varphi \rangle _{G}&={\frac {1}{{\text{ord}}G}}\sum _{t\in G}{\text{Ind}}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{{\text{ord}}(G)}}\sum _{t\in G}{\frac {1}{{\text{ord}}(H)}}\sum _{s\in G \atop s^{-1}ts\in H}\psi (s^{-1}ts)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{{\text{ord}}(G)}}{\frac {1}{{\text{ord}}(H)}}\sum _{t\in G}\sum _{s\in G}\psi (s^{-1}ts)\varphi ((s^{-1}ts)^{-1})\\&={\frac {1}{{\text{ord}}(G)}}{\frac {1}{{\text{ord}}(H)}}\sum _{t\in G}\sum _{s\in G}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{{\text{ord}}(H)}}\sum _{t\in G}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{{\text{ord}}(H)}}\sum _{t\in H}\psi (t)\varphi (t^{-1})\\&={\frac {1}{{\text{ord}}(H)}}\sum _{t\in H}\psi (t){\text{Res}}(\varphi )(t^{-1})\\&=\langle \psi ,{\text{Res}}(\varphi )\rangle _{H}\end{aligned}}$

Dabei haben wir nur die Definition der Induktion auf Klassenfunktionen eingesetzt und die Eigenschaften der Charaktere ausgenutzt. $\Box$

Die Frobeniusreziprozität sagt uns, dass die Abbildungen ${\text{Res}}$ und ${\text{Ind}}$ adjungiert zu einander sind.
Betrachten wir mit $W$ eine irreduzible Darstellung von $H$ und sei $V$ eine irreduzible Darstellung von $G$, dann sagt uns die Frobeniusreziprozität außerdem, dass $W$ so oft in ${\text{Res}}(V)$ enthalten ist, wie ${\text{Ind}}(W)$ in $V$.

Alternativer Beweis
In der alternativen Beschreibung der induzierten Darstellung über die Gruppenalgebra, ist die Frobeniusreziprozität ein Spezialfall der Gleichung für den Wechsel zwischen Ringen:

${\text{Hom}}_{\mathbb {C} [H]}(W,U)={\text{Hom}}_{\mathbb {C} [G]}(\mathbb {C} [G]\otimes _{\mathbb {C} [H]}W,U).$

Diese Gleichung ist per definitionem äquivalent zu

$\langle W,{\text{Res}}(U)\rangle _{H}=\langle W,U\rangle _{H}=\langle {\text{Ind}}(W),U\rangle _{G}.$

Und da diese Bilinearform mit der Bilinearform auf den dazugehörigen Charakteren übereinstimmt, folgt der Satz ganz ohne Nachrechnen. $\Box$

Kriterium von Mackey

George Mackey hat ein Kriterium aufgestellt um die Irreduzibilität von induzierten Darstellungen zu überprüfen.
Dazu benötigen wir zuerst noch eine Definition und einige Festlegungen bezüglich der Notation.

Zwei Darstellungen $V_{1}$ und $V_{2}$ einer Gruppe $G$ heißen disjunkt, falls sie keine irreduzible Komponente gemeinsam haben, d.h. falls $\langle V_{1},V_{2}\rangle =0.$

Sei $G$ eine Gruppe und sei $H$ eine Untergruppe. Sei $S$ ein Repräsenentantensystem der Menge aller Doppelnebenklassen $H\backslash G/H.$ Definiere $H_{s}=sHs^{-1}\cap H$ für $s\in S.$
Sei $(\rho ,W)$ eine Darstellung der Untergruppe $H.$ Diese definiert durch Einschränkung eine Darstellung ${\text{Res}}_{s}(\rho )$ von $H_{s}.$ Wir schreiben ${\text{Res}}_{s}(\rho )$ für ${\text{Res}}_{H_{s}}(\rho ).$ Außerdem definiert $\rho$ eine weitere Darstellung von $H_{s}$ durch $\rho ^{s}(g)=\rho (s^{-1}gs).$ Diese beiden Darstellungen sollten nicht verwechselt werden.

Mackeys Irreduzibilitätskriterium

Die induzierte Darstellung $V={\text{Ind}}_{H}^{G}(W)$ ist genau dann irreduzibel, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• $W$ ist irreduzibel
• Für jedes $s\in G\setminus H$ sind die zwei Darstellungen $\rho ^{s}$ und ${\text{Res}}_{s}(\rho )$ von $H_{s}$ disjunkt.

Für einen Beweis dieses Satzes siehe ....

Aus dem Satz erhalten wir direkt folgendes Korollar
Sei $H$ eine normale Untergruppe von $G$. Dann ist ${\text{Ind}}_{H}^{G}(\rho )$ genau dann irreduzibel, wenn $\rho$ irreduzibel und nicht isomorph zu den Konjugaten $\rho ^{s}$ für $s\notin H$ ist.

Beweis
Ist $H$ normal, so gilt $H_{s}=H$ und ${\text{Res}}_{s}(\rho )=\rho$ und damit folgt die Aussage direkt aus dem Kriterium von Mackey.$\Box$

Darstellungsring

Der Darstellungsring von $G$ wird definiert als die abelsche Gruppe

$R(G)=\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}\pi _{i}|a_{i}\in \mathbb {Z} ,\pi _{i},i=1,...,n\,\,{\text{ alle irreduzible Darstellungen von }}G{\text{ bis auf Isomorphie}}\},$

die mit Multiplikation durch das Tensorprodukt zum Ring wird. Die Elemente von $R(G)$ heißen virtuelle Darstellungen.

Der Charakter definiert einen Ringhomomorphismus in die Menge aller Klassenfunktionen auf $G$ mit komplexen Werten

${\begin{aligned}\chi :R(G)&\to \mathbb {C} _{\text{class}}(G)\\\sum a_{i}\pi _{i}&\mapsto \sum a_{i}\chi _{i},\end{aligned}}$

wobei $\chi _{i}$ die zu $\pi _{i}$ gehörigen irreduziblen Charaktere sind.

Da eine Darstellung durch seinen Charakter festgelegt ist, ist $\chi$ injektiv. Die Bilder von $\chi$ heißen virtuelle Charaktere.
Da die irreduziblen Charaktere eine Orthonormalbasis von $\mathbb {C} _{\text{class}}$ bilden, induziert $\chi$ einen Isomorphismus

$\chi _{\mathbb {C} }:R(G)\otimes \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} _{\text{class}}(G),$

in dem man die Abbildung auf einer Basis aus reinen Tensoren $(\pi _{i}\otimes 1)_{i=1,...n}$ definiert durch $\chi _{\mathbb {C} }(\pi _{i}\otimes 1)=\chi _{i}$ bzw. $\chi _{\mathbb {C} }(\pi _{i}\otimes z)=z\chi _{i},$ und dann bilinear fortsetzt.

Wir schreiben ${\mathcal {R}}^{+}(G)$ für die Menge aller Charaktere auf $G$ und ${\mathcal {R}}(G)$ für die von ${\mathcal {R}}^{+}(G)$ erzeugte Gruppe, d.h. für die Menge aller Differenzen von zwei Charakteren. Es gilt ${\mathcal {R}}(G)=\mathbb {Z} \chi _{1}\oplus \cdots \mathbb {Z} \chi _{h}$ und ${\mathcal {R}}(G)={\text{Im}}(\chi )=\chi (R(G)).$ Damit gilt also $R(G)\cong {\mathcal {R}}(G),$ also entsprechen sich virtuelle Charaktere und virtuelle Darstellungen in optimaler Weise.

Ein Element von ${\mathcal {R}}(G)$ heißt virtueller Charakter. Da das Produkt zweier Charaktere einen Charakter liefert, ist ${\mathcal {R}}(G)$ ein Unterring des Rings $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ aller Klassenfunktionen auf $G.$ Da die $\chi _{i}$ eine Basis von $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ bilden, erhalten wir wie schon für $R(G)$ die Isomorphie $\mathbb {C} \otimes {\mathcal {R}}(G)\cong \mathbb {C} _{\text{class}}(G).$

Falls $H$ eine Untergruppe von $G$ ist, dann definiert die Einschränkung einen Ringhomomorphismus $\textstyle {\mathcal {R}}(G)\to {\mathcal {R}}(H),f\mapsto f|_{H},$ den wir mit ${\text{Res}}_{H}^{G}$ oder ${\text{Res}}$ bezeichnen. Ebenso definiert die Induktion auf Klassfunktionen einen Homomorphismus abelscher Gruppen $\textstyle {\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)$, der mit ${\text{Ind}}_{H}^{G}$ bzw. ${\text{Ind}}$ bezeichnet wird.
Nach der Frobeniusreziprozität sind die beiden Homomorphismen adjungiert zueinander bezüglich der bilinearen Formen $\langle \varphi ,\psi \rangle _{H}$ und $\langle \varphi ,\psi \rangle _{G}.$ Weiterhin zeigt die Formel ${\text{Ind}}(\varphi \cdot {\text{Res}}(\psi ))={\text{Ind}}(\varphi )\cdot \psi ,$ dass das Bild von ${\text{Ind}}:{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)$ ein Ideal des Ringes ${\mathcal {R}}(G)$ ist.
Analog kann man über die Einschränkung von Darstellungen die Abbildung ${\text{Res}}$ und über die Induktion die Abbildung ${\text{Ind}}$ für $R(G)$ definieren. Mit der Frobeniusreziprozität erhält man dann, dass die Abbildungen adjungiert zueinander sind und dass Bild ${\text{im}}({\text{Ind}})={\text{Ind}}(R(H))$ ein Ideal in $R(G)$ ist.

Falls $A$ ein kommutativer Ring ist, lassen sich die Homomorphismen ${\text{Res}}$ und ${\text{Ind}}$ zu $A$-linearen Abbildungen fortsetzen:

${\begin{aligned}A\otimes {\text{Res}}:A\otimes R(G)&\to A\otimes R(H)\\(a\otimes \sum a_{i}\pi _{i})&\mapsto (a\otimes \sum a_{i}{\text{Res}}(\pi _{i}))\end{aligned}}$

${\begin{aligned}A\otimes {\text{Ind}}:A\otimes R(H)&\to A\otimes R(G)\\(a\otimes \sum a_{j}\eta _{j})&\mapsto (a\otimes \sum a_{j}{\text{Ind}}(\eta _{j}))\end{aligned}}$

wobei $\eta _{j}$ die irreduziblen Darstellungen von $H$ bis auf Isomorphie sind.

Mit $A=\mathbb {C}$ erhalten wir insbesondere, dass ${\text{Ind}}$ und ${\text{Res}}$ Homomorphismen zwischen $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ und $\mathbb {C} _{\text{class}}(H)$ liefern.

Seien $G_{1}$ udn $G_{2}$ zwei Gruppen mit jeweiligen Darstellungen $(\rho _{1},V_{\rho _{1}})$ und $(\rho _{2},V_{\rho _{2}})$, dann ist $\rho _{1}\otimes \rho _{2}$ Darstellung des direkten Produkts $G_{1}\times G_{2}$, wie in einem früheren Abschnitt gezeigt wurde. Dabei wurde auch klar, dass alle irreduziblen Darstellungen von $G_{1}\times G_{2}$ genau die Darstellungen $\eta _{1}\otimes \eta _{2}$ sind, wobei $\eta _{1},\eta _{2}$ irreduzible Darstellungen von $G_{1}$ bzw. $G_{2}$ sind. Dies überträgt sich auf den Darstellungsring als Identität $R(G_{1}\times G_{2})=R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2}),$ wobei $R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2})$ das Tensorprodukt der Darstellungsringe als $\mathbb {Z}$-Moduln ist.

Satz von Artin

Sei $X$ eine Familie von Untergruppen einer endlichen Gruppe $G$. Sei ${\text{Ind}}:\bigoplus _{H\in X}{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)$ der Homomorphismus, definiert durch die Familie der ${\text{Ind}}_{H}^{G},\,\,H\in X$. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

• Der Kokern von ${\text{Ind}}:\bigoplus _{H\in X}{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)$ ist endlich.
• $G$ ist die Vereinigung der Konjugate der zu $X$ gehörenden Untergruppen, also $G=\bigcup _{H\in X \atop g\in G}gHg^{-1}.$
  

Da ${\mathcal {R}}(G)$ als Gruppe endlich erzeugt ist, kann man den ersten Punkt wie folgt umformulieren:

• Für jeden Charakter $\chi$ von $G$ existiert ein virtueller Charakter $\chi _{H}\in {\mathcal {R}}(H),\,H\in X$ und eine ganze Zahl $d\geq 1$, sodass $d\cdot \chi =\sum _{H\in X}{\text{Ind}}_{H}^{G}(\chi _{H}).$

Der Satz gilt analog für $R(G)\cong {\mathcal {R}}(G).$

Für einen Beweis dieses Satzes siehe ...

Korollar
Jeder Charakter von $G$ ist eine rationale Linearkombination von Charakteren, die von Charakteren zyklischer Untergruppen von $G$ induziert werden.

Dies folgt sofort aus dem Satz von Artin, da $G$ die Vereinigung aller Konjugate seiner zyklischen Untergruppen ist.

Satz von Brauer

Eine Gruppe heißt $p$-elementar, falls sie das direkte Produkt einer zyklischen Gruppe $C$ der Primzahl-Ordnung $p$ mit einer $p$-Gruppe ist. Eine Untergruppe von $G$ heißt elementar, falls sie $p$-elementar für mindestens eine Primzahl $p$ ist.

Satz von Brauer

Jeder Charakter von $G$ ist eine ganzzahlige Linearkombination von Charakteren, die von Charakteren elementarer Untergruppen induziert werden.

Ein Beweis dieses Satzes findet sich in ...

Da $p$-elementare Gruppen nilpotent und damit superauflösbar sind, kann folgender Satz angewendet werden:

Satz
Sei $G$ eine superauflösbare Gruppe. Dann ist jede irreduzible Darstellung von $G$ induziert von einer Darstellung von Grad $1$ einer Untergruppe von $G$. D.h. jede irreduzible Darstellung von $G$ ist monomial.

Damit erhalten wir eine

Alternative Formulierung zum Satz von Brauer

Jeder Charakter von $G$ ist eine ganzzahlige Linearkombination von monomialen Charakteren.

Reelle Darstellungen

Falls eine Gruppe $G$ auf einem reellen Vektorraum $V_{0}$ operiert, dann heißt die korrespondierende Darstellung auf dem Vektorraum $V=V_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ reell.
Der Vektorraum $V=V_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ ist ein komplexer Vektorraum, auch genannt die Komplexifizierung von $V_{0}$. Diese korrespondierende Darstellung ist gegeben durch $g.(v_{0}\otimes z)=(g.v_{0})\otimes z$ für alle $g\in G,v_{o}\in V_{0},z\in \mathbb {C}$.
Für eine reelle Darstellung $\rho$ ist die lineare Abbildung $\rho (g)$ reellwertig für alle $g\in G$. Damit folgt, dass der Charakter einer reellen Darstellung stets auch reellwertig ist.
Allerdings ist nicht jede Darstellung, die einen reellwertigen Charakter hat, reell. Um sich das klar zu machen, sei $G\subset {\text{SU}}(2)$ eine endliche nicht abelsche Untergruppe der Gruppe

$SU(2)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\-{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}:\,\,|a|^{2}+|b|^{2}=1\}.$

Dann operiert $G$ auf $V=\mathbb {C} ^{2}.$ Da die Spur einer Matrix aus ${\text{SU}}(2)$ reell ist, ist der Charakter der Darstellung reellwertig.
Angenommen $\rho$ wäre eine reelle Darstellung, dann dürfte $G$ nur aus reellwertigen Matrizen bestehen und wäre somit eine Untergruppe von ${\text{SU}}(2)\cap {\text{GL}}_{2}(\mathbb {R} )={\text{SO}}(2)=S^{1},$ der Drehgruppe. Diese ist abelsch, also wäre auch $G$ abelsch. Wir hatten aber $G$ als nicht abelsch gewählt.
Nun müssen wir noch zeigen, dass eine nicht abelsche endliche Untergruppe von ${\text{SU}}(2)$ exisitert. Um eine solche Gruppe zu finden, beachte, dass man ${\text{SU}}(2)$ mit den Einheiten der Quaternionen identifizieren kann. Setze $G=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm ij\}.$ Gebe nun eine zweidimensionale Darstellung von $G$ an, die nicht reellwertig ist, deren Charakter aber reellwertig ist:
Sei $\rho :G\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$ ein Gruppenhomomorphismus festgelegt durch:

$\rho (1)={\text{E}}_{2},\rho (-1)=-{\text{E}}_{2}$

$\rho (i)={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\rho (j)={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}.$

Dann ist das Bild von $\rho$ nicht reellwertig, aber Teilmenge von ${\text{SU}}(2)$ und damit ist der Charakter der Darstellung reell.

Lemma
Eine irreduzible Darstellung $V$ von $G$ ist genau dann reell, wenn es eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform $B$ auf $V\times V$ gibt, die von $G$ erhalten wird.

Eine irreduzible Darstellung von $G$ auf einem Vektorraum über $\mathbb {R}$ kann bei Ausdehnung des Grundkörpers auf $\mathbb {C}$ reduzibel werden. Ein Beispiel ist die irreduzible Darstellung der zyklischen Gruppe $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ nach $\mathbb {R} ^{2},$ gegeben durch

$k\mapsto {\begin{pmatrix}{\text{cos}}({\frac {2\pi ik}{n}})&{\text{sin}}({\frac {2\pi ik}{n}})\\-{\text{sin}}({\frac {2\pi ik}{n}})&{\text{cos}}({\frac {2\pi ik}{n}})\end{pmatrix}},$

die über $\mathbb {C}$ reduzibel wird.
Das bedeutet, dass man durch die Kassifikation aller irreduziblen Darstellungen über $\mathbb {C}$, die reell sind, noch nicht alle irreduziblen reellen Darstellungen klassifiziert hat.
Man erhält jedoch folgendes:
Sei $V_{0}$ ein reeller Vektorraum, auf dem $G$ irreduzibel operiert, $V=V_{0}\otimes \mathbb {C}$ die korrespondierende reelle Darstellung von $G$. Falls $V$ nicht irreduzibel ist, hat es genau zwei irreduzible Faktoren und diese sind konjugierte komplexe Darstellungen von $G.$

Definition
Eine quaternionische Darstellung ist eine (komplexe) Darstellung $V$, die einen $G$-invarianten Homomorphismus $J:V\to V$ besitzt, der antilinear ist und $J^{2}=-{\text{Id}}$ erfüllt.
Somit definiert eine schiefsymmetrische nicht-ausgeartete $G$-invariante Bilinearform eine quaternionische Struktur auf $V$.

Satz
Eine irreduzible Darstellung $V$ ist genau eine der folgenden:

1. komplex: $\chi _{V}$ ist nicht reellwertig und $V$ hat keine $G$-invariante nicht-ausgeartete Bilinearform
2. reell: $V=V_{0}\otimes \mathbb {C} ,$ eine reelle Darstellung; $V$ hat eine $G$-invariante symmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform
3. quaternionisch: $\chi _{V}$ ist reell, aber $V$ ist nicht reell; $V$ hat eine $G$ invariante schiefsymmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform und es gibt keine symmetrische.

Ausblick - kompakte Gruppen

Definition und Eigenschaften

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe mit einer Topologie, bezüglich der die Gruppenverknüpfung und die Inversenbildung stetig sind. Eine solche Gruppe heißt kompakt, falls jede in der Topologie offene Überdeckung von $G$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Abgeschlossene Untergruppen einer kompakten Gruppe sind wieder kompakt.

Sei $G$ eine kompakte Gruppe und sei $V$ ein endlich dimensionaler $\mathbb {C}$-Vektorraum. Eine lineare Darstellung von $G$ nach $V$ ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus $\rho :G\to {\text{GL}}(V),$ d.h $\rho (s)x$ ist stetige Funktion in den zwei Variablen $s\in G,x\in V.$
Eine lineare Darstellung von $G$ in einen Banachraum $V$ wird definiert, als stetiger Gruppenhomomorphismus von $G$ in die Menge aller bijektiven, beschränkten linearen Operatoren auf $V$. Ab jetzt werden wir uns besonders mit Darstellungen kompakter Gruppe $G$ in Hilberträumen beschäftigen.

Wie bei endlichen Gruppen kann man die Gruppenalgebra und die Faltungsalgebra definieren. Allerdings liefert die Gruppenalgebra im Falle nicht-endlicher Gruppen keine hilfreichen Informationen, da die Stetigkeitsbedingung bei der Bildung verloren geht. Stattdessen nimmt die Faltungsalgebra $L^{1}(G)$ ihren Platz ein.

Die meisten Eigenschaften von Darstellungen endlicher Gruppen lassen sich mit entsprechenden Änderungen auf kompakte Gruppen übertragen. Dafür benötigen wir eine Entsprechung für die Summation über einer endlichen Gruppe:

Existenz und Eindeutigkeit des Haarmaßes auf $G$
Auf einer kompakten Gruppe $G$ existiert genau ein Maß $dt$, sodass:

• $\int _{G}^{}f(t)dt=\int _{G}f(st)dt$ für alle $s\in G$, d.h. das Maß ist linksinvariant.
• $\int _{G}dt=1,$ also die gesamte Gruppe hat Maß $1.$

Ein solches linksinvariantes, normiertes Maß heißt Haarmaß der Gruppe $G$.
Da $G$ kompakt ist, kann man zeigen, dass dieses Maß auch rechtsinvariant ist, d.h. es gilt zusätzlich

• $\int _{G}^{}f(t)dt=\int _{G}f(ts)dt$ für alle $s\in G.$

Auf einer endlichen Gruppe ist das Haarmaß gegeben durch $dt(g)={\frac {1}{|G|}}$ für alle $g\in G.$

Alle Definitionen zu Darstellungen endlicher Gruppen, die in Eigenschaften angegeben werden, gelten auch für Darstellungen kompakter Gruppen. Es gibt einige wenige Modifizierungen:
Für eine Unterdarstellung benötigt man nun einen abgeschlossenen Unterraum. Bei endlich dimensionalen Darstellungsräumen wird dies nicht gefordert, da in diesem Falle jeder Unterraum abgeschlossen ist. Desweiteren heißen zwei Darstellungen $\rho ,\pi$ einer kompakten Gruppe $G$ äquivalent, falls es einen linearen Operator $T$ zwischen den jeweiligen Darstellungsräumen gibt, der stetig und invertierbar ist, und dessen Inverses ebenfalls stetig ist und der $T\rho (g)=\pi (g)T$ für alle $g\in G$ erfüllt.
Ist $T$ unitär, so heißen die beiden Darstellungen unitär äquivalent.
Um ein $G$-invariantes Skalarprodukt aus einem nicht invarianten zu erhalten, verwendet man nun nicht die Summe über $G,$ sondern das Integral. Ist $(\cdot |\cdot )$ ein Skalarprodukt auf einem Hilbertraum $V,$ das bezüglich der Darstellung $\rho$ von $G$ nicht invariant ist, so bildet

$(x|y)_{\rho }=\int _{G}(\rho (t)x|\rho (t)y)dt$

ein $G$-invariantes Skalarprodukt auf $V,$ auf Grund der Haarmaßeigenschaften von $dt$.
Damit können Darstellungen auf Hilberträumen ohne Einschränkung als unitär angesehen werden.

Sei $G$ eine kompakte Gruppe und sei $x\in G.$ Auf dem Hilbertraum $L^{2}(G)$ der quadratisch integrierbaren Funktionen auf $G$ wird der Operator $L_{x}$ definiert durch $L_{x}\phi (y)=\phi (x^{-1}y)$, wobei $\phi \in L^{2}(G),y\in G.$
Die Abbildung $x\mapsto L_{x}$ ist eine unitäre Darstellung von $G.$ Sie hießt die Linksreguläre Darstellung. Man kann auch die Rechtsregläre Darstellung definieren. Da das Haarmaß auf $G$ zusätzlich rechtsinvariant ist, ist der Operator $R_{x}$ auf $L^{2}(G)$ gegeben durch $R_{x}\phi (y)=\phi (yx).$ Die Rechtsreguläre Darstellung ist dann die unitäre Darstellung, die gegeben ist durch $x\mapsto R_{x}.$ Die beiden Darstellungen $x\mapsto L_{x}$ und $x\mapsto R_{x}$ sind dual zueinander.
Falls $G$ nicht endlich ist, haben diese Darstellungen keinen endlichen Grad. Für eine endliche Gruppe sind die Rechts- und Linksreguläre Darstellung, wie am Anfang definiert, isomorph zu der eben definierten Rechts- bwz. Linksregulären Darstellung, da in diesem Fall $L^{2}(G)\cong L^{1}(G)\cong \mathbb {C} [G].$

Konstruktionen und Zerlegungen

Die verschiedenen Konstruktionsmöglichkeiten von neuen Darstellungen aus Gegebenen funktioniert für kompakte Gruppen ebenso wie bei endlichen Gruppen, mit Ausnahme der dualen Darstellung, auf die noch eingegangen wird. Die direkte Summe und das Tensorprodukt mit jeweils endlich vielen Summanden/Faktoren werden jedoch genau gleich definiert wie bei endlichen Gruppen. Dies gilt auch für das symmetrische und alternierende Quadrat. Um auch für kompakte Gruppen das Resultat zu erhalten, dass die irreduziblen Darstellungen des Produkts zweier Gruppen bis auf Isomorphie genau die Tensorprodukte der irreduziblen Darstellungen der einzlenen Gruppen sind, benötigen wir ein Haarmaß auf dem direkten Produkt. Das direkten Produkt zweier kompakter Gruppen $G_{1}\times G_{2}$ liefert mit der Produkttopologie wieder eine kompakte Gruppe. Das Haarmaß auf dieser Gruppe ist gegeben durch das Produkt der Haarmaße auf den einzelnen Gruppen.

Für die duale Darstellung auf kompakten Gruppen benötigen wir den topologischen Dual $V'$ des Vektorraums $V$. Dies ist der Vektorraum aller stetigen Linearformen auf $V.$ Sei $\pi$ eine Darstellung der kompakten Gruppe $G$ in $V.$ Die duale Darstellung $\pi ':G\to {\text{GL}}(V')$ ist dann definiert durch die Eigenschaft $\langle \pi '(g)v',\pi (g)v\rangle =\langle v',v\rangle :=v'(v)$ für alle $v\in V,v'\in V',g\in G.$ Es ergibt sich damit, dass die duale Darstellung gegeben ist durch $\pi '(g)v'=v'\circ \pi (g^{-1})$ für alle $v'\in V',g\in G.$ Dies ist wieder ein stetiger Gruppenhomomorphismus und damit eine Darstellung.
Auf Hilberträumen gilt: $\pi$ ist genau dann irreduzibel, wenn $\pi '$ irreduzibel ist.

Die Resultate aus dem Abschnitt Zerlegungen übertragen sich in einfacher Weise auf kompakte Gruppen. Insbesondere gilt:

Satz
Jede irreduzible Darstellung $(\tau ,V_{\tau })$ einer kompakten Gruppe $G$ in einen Hilbertraum ist endlich dimensional und es gibt ein Skalarprodukt auf $V_{\tau }$, sodass $\tau$ unitär ist. Dieses Skalarprodukt ist bis auf Vielfache eindeutig.
Jede Darstellung einer kompakten Guppe ist isomorph zu einer direkten Hilbertsumme irreduzibler Darstellungen.

Sei $(\rho ,V_{\rho })$ eine unitäre Darstellung der kompakten Gruppe $G$. Für eine irreduzible Darstellung $(\tau ,V_{\tau })$ definieren wir wie bei endlichen Gruppen den Isotyp von $\tau$ bzw. die isotypische Komponente in $\rho$ als den Unterraum

$V_{\rho }(\tau )=\sum _{U\subset V_{\rho } \atop U\cong V_{\tau }}U.$

Dies ist die Summe aller invarianten Unterräume $U$, die $G$-isomorph zu $V_{\tau }$ sind.
Man beachte, dass die Isotypen nicht äquivalenter, irreduzibler Darstellungen paarweise orthogonal sind.

Satz

• $V_{\rho }(\tau )$ ist ein abgeschlossener invarianter Unterraum von $V_{\rho }$.
• $V_{\rho }(\tau )$ ist $G$-isomorph zu einer direkten Summe von Kopien von $V_{\tau }$.
• $V_{\rho }$ ist die direkte Hilbertsumme der Isotypen $V_{\rho }(\tau ),$ wobei $\tau$ alle Isomorphieklassen der irreduziblen Darstellungen durchläuft.

Indem man wieder alle isomorphen irreduziblen Darstellungen zusammenfasst, erhält man die kanonische Zerlegung des Hilbertraums. Die zur kanonischen Zerlegung gehörende Projektion $p_{\tau }:V\to V(\tau ),$ wobei $V(\tau )$ ein Isotyp von $V$ ist, ist bei kompakten Gruppen gegeben durch

$p_{\tau }(x)=n_{\tau }\int _{G}{\overline {\chi _{\tau }(t)}}\rho (t)(x)dt,$

wobei $n_{\tau }={\text{dim}}(V(\tau ))$ und $\chi _{\tau }$ der zur irreduziblen Darstellung $\tau$ gehörige Charakter ist. Es soll hier daran erinnert werden, dass Darstellungen in Hilberträume immer als unitär angenommen werden können.

Projektionsformel
Für jede Darstellung $(\rho ,V)$ einer kompakten Gruppe $G$ definiere $V^{G}=\{v\in V:\rho (g)(v)=v\,\,\,\forall g\in G\}.$
Im Allgemeinen ist $\rho (g):V\to V$ nicht $G$-linear. Setze $\textstyle \varphi (v):=\int _{G}\rho (g)(v)dg.$ Die Abbildung $\varphi$ ist definiert als Endomorphismus auf $V$ durch die Eigenschaft

$(\int _{G}\rho (g)(v)dg|w)=\int _{G}(\rho (g)v|w)dg,$

die für das Skalarprodukt des Hilbertraums $V$ gilt.

Dann ist $\varphi$ $G$-linear, denn es gilt

${\begin{aligned}(\int _{G}\rho (g)(\rho (h)(v))dg|w)&=\int _{G}(\rho (hgh^{-1})(\rho (h)v)|w)dg\\&=\int _{G}(\rho (hg)v|w)dg\\&=\int (\rho (h)\rho (g)v|w)dg\\&=(\rho (h)(\int _{G}\rho (g)(v))dg|w),\end{aligned}}$

wobei wir die Invarianz des Haarmaßes ausgenutzt haben.

Proposition
Die Abbildung $\varphi$ ist eine Projektion von $V$ nach $V^{G}.$

Falls die Darstellung endlich dimensional ist kann man wie bei endlichen Gruppen die direkte Summe der trivialen Teildarstellungen bestimmen.

Charaktere, Lemma von Schur und das Skalarprodukt

Die Darstellungen kompakter Gruppen betrachtet man im Allgemeinen auf Hilbert- oder Banachräumen. Diese sind meist nicht endlich-dimensional. Es ist also für beliebige Darstellungen kompakter Gruppen nicht sinnvoll von Charakteren zu sprechen. Allerdings kann man sich meist auf den endlich-dimensionalen Fall einschränken:
Da irreduzible Darstellungen kompakter Gruppen endlich-dimensional und mit den Resulateten aus dem ersten Unterkaptiel ohne Einschränkung unitär sind, können irreduzible Charaktere analog wie für endliche Gruppen definiert werden.
Wie bei endlichen Gruppen vertragen sich die Charaktere mit den Konstruktionen, solange die konstruierten Darstellungen endlich dimensional bleiben.

Auch für kompakte Gruppen gilt das Lemma von Schur:
Sei $(\pi ,V)$ eine irreduzible unitäre Darstellung einer kompakten Gruppe $G.$ Dann ist jeder bechränkte Operator $T:V\to V$ mit der Eigenschaft $T\circ \pi (g)=\pi (g)\circ T,$ ein skalares Vielfaches der Identität, d.h. es gibt ein $\lambda \in \mathbb {C}$ sodass $T=\lambda {\text{Id}}.$

Auf der Menge $L^{2}(G)$ aller quadratisch integrierbaren Funktionen einer kompakten Gruppe kann man ein Skalarprodukt definieren, durch

$(\phi |\psi )=\int _{G}\phi (t){\overline {\psi (t)}}dt.$

Ebenso definiert man auf $L^{2}(G)$ für eine kompakten Gruppe $G$ eine Bilinearform durch

$\langle \phi ,\psi \rangle =\int _{G}\phi (t)\psi (t^{-1})dt.$

Analog zu endlichen Gruppen gelten damit folgende Resulatate:

Satz
Sei $V$ eine Darstellung von $G$. Es gelte $V=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{k}$, wobei die $W_{i}$ irreduzibel sind. Da die direkte Summe endlich ist, lässt sich für $V$ durch die Summe der irreduziblen Charaktere ein Charakter $\phi$ definieren. Sei nun $(\tau ,W)$ eine irreduzible Darstellung von $G$ mit Charakter $\chi$. Dann gilt:
Die Anzahl an Teildarstellungen $W_{i}$ die zu $W$ äquivalent sind, hängt nicht von der gegebenen Zerlegung ab und entspricht dem Skalarprodukt $(\Phi |\chi )$.
D.h. der $\tau$-Isotyp $V(\tau )$ von $V$ ist unabhängig von der Wahl der Zerlegung und es gilt:

${\text{dim}}(W)(\Phi |\chi )={\text{dim}}(V(\tau ))={\text{dim}}(W)\langle V,W\rangle .$

Korollar
Jede irreduzible Darstellung $V$ von $G$ ist ${\text{dim}}V$-mal in der Linksregulären Darstellung enthalten.

Satz
Zwei irreduzible Darstellungen mit dem gleichen Charakter sind isomorph.

Irreduzibilitätskriterium
Sei $\Phi$ der Charakter einer Darstellung $V,$ dann ist $(\Phi |\Phi )\in \mathbb {N} _{0}$ und es gilt $(\Phi |\Phi )=1$ genau dann, wenn $V$ irreduzibel ist.

Lemma
Sei $G$ eine kompakte Gruppe. Dann sind äquivalent:

• $G$ ist abelsch.
• Alle irreduziblen Darstellungen von $G$ haben Grad $1.$

Orthonormaleigenschaft
Sind $\chi ,\chi '$ die Charaktere zweier nicht isomorpher, irreduzibler Darstellungen $V,V'$, so gilt $(\chi |\chi ')=0$. D.h. bzgl. dieses Skalarprodukts bilden die Charaktere irreduzibler Darstellungen von $G$ ein Orthonormalsystem auf $L^{2}(G).$
Man kann sogar zeigen, dass die irreduziblen Charaktere $L^{2}(G)$ erzeugen, in dem man zeigt, dass es außer der $0$ keine quadratisch integrierbare Funktion gibt, die auf den irreduziblen Charakteren orthogonal ist. Damit bilden die paarweise nicht isomorphen irreduziblen Charaktere einer Gruppe eine Orthonormalbasis von $L^{2}(G).$
Wie bei endlichen Gruppen gilt auch: Die Anzahl der irreduziblen Darstellungen einer Gruppe $G$ bis auf Isomorphie entspricht der Anzahl an Konjugationsklassen von $G$. Allerdings hat eine kompakte Gruppe im Allgemeinen unendlich viele Konjugationsklassen.

Induzierte Darstellungen

Falls $H$ eine abgeschlossene Untergruppe von endlichem Index in der kompakten Gruppe $G$ ist, kann die Definition der induzierten Darstellung wie bei endlichen Gruppen übernommen werden.
Die induzierte Darstellung kann jedoch auch allgemeiner definiert werden, sodass die Definition auch gültig ist, falls der Index von $H$ in $G$ nicht endlich ist.
Sei dazu $(\gamma ,V_{\gamma })$ eine unitäre Darstellung von $H$. Die stetig induzierte Darstellung ${\text{Ind}}_{H}^{G}(\gamma )=(I,V_{I})$ wird wie folgt definiert:
Mit $V_{I}$ bezeichnen wir den Hilbertraum aller messbaren, quadratisch intergrierbaren Funktionen $f:G\to V_{\gamma }$ mit der Eigenschaft, dass $f(lg)=\gamma (l)f(g)$ für alle $l\in L,g\in G.$ Die Norm ist $||f||_{G}={\text{sup}}_{g\in G}||f(g)||$ und die Darstellung $I$ ist gegeben durch Rechtstranslation: $I(g)f(k)=f(kg).$
Die induzierte Darstellung ist dann wieder eine unitäre Darstellung.
Da $G$ kompakt ist, zerfällt die induzierte Darstellung in die direkte Summe irreduzibler Darstellungen von $G.$ Dabei gilt, dass alle irreduziblen Darstellungen, die zum gleichen Isotyp gehören, mit der Vielfachheit auftreten, die ${\text{dim}}({\text{Hom}}_{G}(V_{\gamma },V_{I}))$ entspricht.
Sei $(\rho ,V_{\rho })$ eine Darstellung von $G$, dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus

$\psi :{\text{Hom}}_{G}(V_{\rho },I_{H}^{G}(\gamma ))\to {\text{Hom}}_{H}(V_{\rho }|_{H},V_{\gamma }).$

Die Frobeniusreziprozität überträgt sich mit der modifizierten Definition des Skalarproduktes und der Bilinearform auf kompakte Gruppen, wobei der Satz anstatt für Klassenfunktionen, hier für quadratisch integrierbare Funktionen auf $G$ gilt und die Untergruppe $H$ abgeschlossen sein muss.

Satz von Peter-Weyl

Siehe auch: Satz von Peter-Weyl

Ein weiteres wichtiges Resultat zur Darstellungstheorie kompakter Gruppen, das in der Harmonischen Analyse bewiesen wird, ist der Satz von Peter-Weyl.

Satz von Peter-Weyl

Sei $G$ eine kompakte Gruppe. Für jede irreduzible Darstellung $(\tau ,V_{\tau })$ von $G$ wähle eine Orthonormalbasis $e_{1},...e_{{\text{dim}}(\tau )}$ von $V_{\tau }$ und definiere die Matrixkoeffizienten $\tau _{i,j}(k)=\langle \tau (k)e_{i},e_{j}\rangle$, falls $1\leq i,j\leq {\text{dim}}(\tau ).$
Dann ist

$({\sqrt {{\text{dim}}(\tau )}}\tau _{i,j})_{i,j}$

eine Orthonormalbasis von $L^{2}(G).$

Zweite Version des Satzes von Peter-Weyl

Es gibt einen natürlichen $G\times G$-Isomorphismus

$L^{2}(G)\cong _{G\times G}{\widehat {\oplus }}_{\tau \in {\hat {G}}}{\text{End}}(V_{\tau })\cong _{G\times G}{\widehat {\oplus }}_{\tau \in {\hat {G}}}\tau \otimes \tau ^{*}$

wobei ${\hat {G}}$ die Menge aller irreduziblen Darstellungen von $G$ bis auf Isomorphie bezeichnet und $V_{\tau }$ den zur Darstellung $\tau$ gehörigen Darstellungsraum.

Dieser Isomorphismus bildet ein gegebenes $f\in L^{2}(G)$ ab auf $\sum _{\tau \in {\hat {G}}}\tau (f),$ wobei

$\tau (f)=\int _{G}f(x)\tau (x)dx\in {\text{End}}(V_{\tau }).$

Dieser Satz ist lediglich eine Umformulierung der ersten Version.

Einen Beweis dieses Satzes findet man in ....
Für mehr Informationen zu Darstellungstheorie kompakter Gruppen siehe ...

Literatur

• Serre, Jean-Pierre: Linear Representations of Finite Groups. Springer Verlag, New York 1977, ISBN 0-387-90190-6.
• Fulton, William; Harris, Joe: Representation Theory A First Course. Springer-Verlag, New York 1991, ISBN 0-387-97527-6.
• Alperin, J.L.; Bell, Rowen B.: Groups and Represenations Springer-Verlag, New York 1995, ISBN 0-387-94525-3.
• Deitmar, Anton: Automorphe Formen Springer-Verlag 2010, ISBN 978-3-642-12389-4, S.89-93,185-189
• Echterhoff, Siegfried; Deitmar, Anton: Principles of harmonic analysis Springer-Verlag 2009, ISBN 978-0-387-85468-7, S.127-150