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Regel der Mittelzahlen

Die Regel der Mittelzahlen ist ein elementarer mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Analysis, welcher dem französischen Mathematiker Nicolas Chuquet zugerechnet wird. Der Satz beinhaltet zwei Ungleichungen für Brüche aus positiven Zahlen.

Formulierung der Regel

Hat man zwei Brüche mit positiven Zählern und Nennern und bildet man dazu eine dritten Bruch, dessen Zähler gleich der Summe der Zähler und dessen Nenner gleich der Summe der Nenner der beiden gegebenen Brüche ist, so liegt dieser dritte Bruch auf der Zahlengeraden stets zwischen den beiden gegebenen Brüchen.

Formal ausgedrückt:

Für vier reelle Zahlen $a,b,x,y>0$ mit ${\frac {a}{b}}<{\frac {x}{y}}$ gilt stets

${\frac {a}{b}}<{\frac {a+x}{b+y}}<{\frac {x}{y}}$   .

Anmerkung

• Wie im Lexikon bedeutender Mathematiker ausdrücklich hervorgehoben wird, hat Nicolas Chuquet selbst die Regel als eigene Entdeckung bezeichnet.

Quellen

• Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds und Karl-Heinz Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Thun 1990, ISBN 3-8171-1164-9, S. 103–104.  MR1089881

Einzelnachweise und Fußnoten

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Lemma von McShane

Das Lemma von McShane, englisch McShane lemma, ist ein Lehrsatz, welcher zwischen den mathematischen Teilgebieten der Allgemeinen Topologie und der Funktionalanalysis angesiedelt ist. Das Lemma geht auf den US-amerikanischen Mathematiker Edward James McShane zurück und behandelt die Frage der Fortsetzung lipschitzstetiger reellwertiger Funktionen auf Teilräumen metrischer Räume.

Formulierung des Lemmas

Das Lemma besagt folgendes:

Sei $X$ ein metrischer Raum, sei $A\subseteq X$ ein darin gelegener Teilraum und sei

$f\colon A\rightarrow \mathbb {R}$

eine lipschitzstetige reellwertige Funktion auf $A$ mit der Lipschitzkonstanten $L>0$ .

Dann gilt:

$f$ hat eine eine lipschitzstetige Fortsetzung

$F\colon X\rightarrow \mathbb {R}$

mit derselben Lipschitzkonstanten $L$ .

Quellen

• Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2013, ISBN 978-1-61197-258-0.  MR3136903
• E. J. McShane: Extension of range of functions. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 40, 1934, S. 837–842, doi:10.1090/S0002-9904-1934-05978-0.  MR1562984

Einzelnachweise und Fußnoten

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Fundamentalsatz der Variationsrechnung

Der Fundamentalsatz der Variationsrechnung ist ein grundlegender Satz des mathematischen Teilgebiets der Variationsrechnung und eng verwandt mit dem weierstraßschen Satz vom Minimum. Er behandelt die in der Variationsrechnung zentrale Frage, unter welchen Bedingungen reellwertige Funktionale ein Minimum annehmen.

Formulierung des Fundamentalsatzes

Der Fundamentalsatz der Variationsrechnung lässt sich formulieren wie folgt:

Sei $X$ ein reflexiver Banachraum über $\mathbb {R}$ und sei darin $M\subset X$ eine nichtleere, schwach abgeschlossene und zugleich beschränkte Teilmenge.

Sei weiter $\phi \colon M\to \mathbb {R}$ ein schwach unterhalbstetiges Funktional.

Dann nimmt das Funktional $\phi$ auf $M$ ein Minimum an.

Mit anderen Worten:

Es existiert ein Element $x_{0}\in M$ mit

$\phi (x_{0})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}=\min _{x\in M}{\phi (x)}$.

Beweis

Der Darstellung von Fučík, Nečas und Souček folgend lässt sich der Beweis wie folgt führen:

Nach dem Satz von Eberlein–Šmulian impliziert die Reflexivität des Banachraums $X$, dass darin jede beschränkte Folge eine schwach-konvergente Teilfolge besitzt.

Also gibt es unter den genannten Bedingungen in $M$ eine Folge von Elementen $x_{n}\in M\;(n\in \mathbb {N} )$, die einerseits in $\mathbb {R}$ den Grenzwert

$\lim _{n\rightarrow \infty }\phi (x_{n})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}$

bildet und die andererseits in $M$ schwach gegen ein Element $x_{0}\in M$ konvergiert.

Dieses Element $x_{0}$ ist die gesuchte Minimumstelle für $\phi$ .

Denn in Verbindung mit der Halbstetigkeit von $\phi$ ergibt sich die folgende Ungleichungskette:

$\inf _{x\in M}{\phi (x)}\leq \phi (x_{0})\leq \liminf _{n\to \infty }{\phi (x_{n})}=\lim _{n\rightarrow \infty }\phi (x_{n})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}$

Das jedoch bedeutet

$\phi (x_{0})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}=\min _{x\in M}{\phi (x)}$

und der Satz ist bewiesen.

Folgerungen aus dem Fundamentalsatz

An den Fundamentalsatz lassen sich zwei direkte Folgerungen anschließen:

(I)

(a) Die Bedingungen des Fundamentalsatzes sind erfüllt, wenn dort $M$ eine nichtleere, abgeschlossene, beschränkte und konvexe Teilmenge des reflexiven $\mathbb {R}$-Banachraums $X$ und das Funktional $\phi$ stetig und konvex ist.

Das heißt: In diesem Falle hat $\phi$ eine Minimumstelle $x_{0}\in M$.

(b) Ist dann $\phi$ darüber hinaus noch strikt konvex, so ist die Minimumstelle $x_{0}\in M$ sogar eindeutig bestimmt.

(II)

(a) Ist $\phi \colon X\to \mathbb {R}$ ein schwach unterhalbstetiges und zugleich koerzitives Funktional des reflexiven $\mathbb {R}$-Banachraums $X$, so gilt die Behauptung des Fundamentalsatzes ebenfalls.

Das bedeutet:

Es ist dann

$\inf _{x\in M}{\phi (x)}>{-\infty }$

sowie

$\phi (x_{0})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}=\min _{x\in M}{\phi (x)}$

für mindestens ein $x_{0}\in X$

(b) Im Falle, dass $\phi \colon X\to \mathbb {R}$ koerzitiv, stetig und konvex bzw. strikt konvex ist, ist die Folgerung (I) in entsprechender Weise gültig.

Anmerkung zum Beweis der Folgerungen

1. Wegen der schwachen Abgeschlossenheit von $M$ ist das Funktional $\phi$ genau dann schwach unterhalbstetig, wenn für jede reelle Zahl $a$ die Urbildmenge ${\phi }^{-1}(]\infty ,a])$ des zugehörigen Intervalls $(-\infty ,a]$ schwach abgeschlossen ist.
2. Ein stetiges und konvexes Funktional auf einer konvexen Teilmenge eines Banachraums ist stets schwach unterhalbstetig.

Andere Version des Fundamentalsatzes

Eine etwas andere, jedoch verwandte Version des Fundamentalsatzes ist die folgende:

Sei $M$ eine nichtleerer Hausdorff-Raum und sei weiter

$\phi \colon M\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ ein unterhalbstetiges Funktional.

Weiterhin gebe es eine reelle Zahl $r$ mit:

(i) $M_{\phi \;,\;r}\colon =\{x\in M\mid \phi (x)\leq r\}\neq \emptyset$

(ii) $M_{\phi \;,\;r}$ ist folgenkompakt.

Dann gilt:

Es existiert ein Element $x_{0}\in M$ mit

$\phi (x_{0})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}=\min _{x\in M}{\phi (x)}$.

Abgrenzung: Das Fundamentallemma der Variationsrechnung

In der Variationsrechnung spielt auch das sogenannte Fundamentallemma der Variationsrechnung oder Hauptlemma der Variationsrechnung, (englisch Fundamental lemma of calculus of variations oder Dubois-Reymond lemma) eine zentrale Rolle. Es wird manchmal ebenfalls mit dem hier genannten Stichwort verknüpft, fällt jedoch mit dem oben dargestellten Fundamentalsatz der Variationsrechnung nicht zusammen. Es handelt sich um ein bedeutendes Lemma, welches dem deutschen Mathematiker Paul Dubois-Reymond zugerechnet wird.

In seiner einfachsten Version macht das Fundamentallemma die folgende Aussage:

Sei $I=[a\;,\;b]\subset \mathbb {R}$ ein kompaktes reelles Intervall und sei $g\colon I\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.

und dabei gelte für jede stetig differenzierbare Funktion $h\colon I\to \mathbb {R}$ mit $h(a)=h(b)=0$:

$\int _{a}^{b}{g(t)\;h(t)}\;\mathrm {d} t=0$

Dann ist $g$ die Nullfunktion.

Eine weiterreichende Version des Fundamentallemmas, welche auch mehrdimensionale Integration einbezieht, lautet wie folgt:

Sei $\Omega$ eine offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ und sei $g:\Omega \to \mathbb {R}$ eine lokal integrierbare Funktion.

Es gelte für jede unendlich oft differenzierbare Funktion $h\colon \Omega \to \mathbb {R}$ mit kompaktem Träger:

$\int _{\Omega }{g(x)\;h(x)}\;\mathrm {d} x=0$

Dann ist $g$ die Nullfunktion.

Quellen

• Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Ein Lehrbuch. Springer Verlag, Wien, New York 1982, ISBN 3-211-81692-5.  MR0687073
• Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2013, ISBN 978-1-61197-258-0.  MR3136903
• Svatopluk Fučík, Jindřich Nečas, Vladimír Souček: Einführung in die Variationsrechnung. Erweiterte Ausgabe des Vorlesungsskripts Úvod do variačního počtu (= Teubner-Texte zur Mathematik). Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1977. 

Einzelnachweise

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Satz von Minty-Browder

Der Satz von Minty-Browder oder auch Satz von Browder und Minty, englisch Minty-Browder theorem, ist ein mathematischer Lehrsatz der Nichtlinearen Funktionalanalysis, welcher auf Arbeiten der beiden Mathematiker George Minty und Felix Browder aus den Jahren 1962 und 1963 zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage der Bedingungen, unter denen ein monotoner Operator auf einem reflexiven separablen Banachraum über dem Körper der reellen Zahlen surjektiv ist. Er wird auch als Hauptsatz der Theorie monotoner Operatoren bezeichnet und gilt als nichtlineares Analogon zum Satz von Lax-Milgram. Der Satz findet vielfache Anwendung bei der Lösung nichtlinearer Randwertaufgaben der Variationsrechnung. Der Beweis des Satzes lässt sich mit Hilfe der Galerkin-Methode führen.

Formulierung des Satzes

Der Darstellung von Růžička bzw. Ciarlet folgend lässt sich der Satz von Minty-Browder angeben wie folgt:

Sei $X$ ein separabler reflexiver Banachraum über $\mathbb {R}$ .

Sei dazu $A\colon X\to X^{'}=L(X,\mathbb {R} )$ ein Operator von dem Banachraum in seinen Dualraum.

Der Operator $A$ besitze folgende Eigenschaften:

(a) $A$ ist monoton.

(b) $A$ ist koerziv.

(c) $A$ ist hemistetig.

Dann gilt:

(1) $A$ ist surjektiv.

(2) Ist $A$ zudem noch strikt monoton, so ist $A$ sogar eine Bijektion.

Erläuterungen zur Terminologie

Hinsichtlich der oben genannten Eigenschaften des Operators $A\colon X\to X^{'}$ sind folgende Termini wesentlich:

• $A$ ist monoton genau dann, wenn für $u,v\in X$ stets gilt:

$\langle A(u)-A(v)\;,\;u-v\rangle \geq 0$

• Der Operator $A$ ist strikt monoton genau dann, wenn für $u,v\in X$ mit $u\neq v$ stets gilt:

$\langle A(u)-A(v)\;,\;u-v\rangle >0$

• Der Operator $A$ ist koerziv genau dann, wenn gilt:

$\lim _{\|x\|\to {\infty }}{\frac {\langle A(x)\;,\;x\rangle }{\|x\|}}={\infty }$.

• Der Operator $A$ ist hemistetig genau dann, wenn für $u,v,w\in X$ stets gilt:

Die auf dem Intervall $[0\;,\;1]$ definierte reellwertige Funktion $t\mapsto \langle A(u+tv)\;,\;w\rangle$ ist stetig.

Siehe auch

• Satz von Lax-Milgram

Quellen und Hintergrundliteratur

• Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Ein Lehrbuch. Springer Verlag, Wien, New York 1982, ISBN 3-211-81692-5.  MR0687073
• Felix E. Browder: Nonlinear elliptic boundary value problems. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 69, 1963, S. 862–874 ([1]).  MR0156116
• Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2013, ISBN 978-1-61197-258-0.  MR3136903
• George J. Minty: On a "monotonicity" method for the solution of non-linear equations in Banach spaces. In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Band 50, 1963, S. 1038–1041 ([2]).  MR0162159
• George J. Minty: Monotone (nonlinear) operators in Hilbert space. In: Duke Mathematical Journal. Band 29, 1962, S. 341–346 ([3]).  MR0169064
• Michael Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis. Eine Einführung. Springer Verlag]], Berlin, Heidelberg (u. a.) 2004, ISBN 3-540-20066-(?!). 

Einzelnachweise

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Maximalitätssatz von Wermer

Der Maximalitätssatz von Wermer , auch Wermers Maximalitätssatz genannt, englisch Wermer's maximality theorem,ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher zwischen Funktionentheorie und Funktionalanalysis angesiedelt ist. Der Satz geht zurück auf den Mathematiker John Wermer und behandelt Maximalitätseigenschaften einer speziellen banachschen Funktionenalgebra über dem Körper der komplexen Zahlen.

Formulierung des Satzes

Der Maximalitätssatz von Wermer lässt sich angeben wie folgt:

Sei $\mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} \colon |z|\leq 1\}\subseteq \mathbb {C}$ die abgeschlossene Einheitskreisscheibe im Körper der komplexen Zahlen, deren topologischer Rand die Einheitssphäre $S^{1}=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}$ ist.

Sei weiter ${\mathcal {C}}={\mathcal {C}}(S^{1}\;,\;\mathbb {C} )$ die $\mathbb {C}$-Banachalgebra der auf der Einheitssphäre definierten stetigen komplexwertigen Funktionen, versehen mit den üblichen punktweise definierten Operationen und der Maximumsnorm.

Sei schließlich ${\mathcal {A}}$ die Teilmenge derjenigen Funktionen $f\in {\mathcal {C}}$, welche eine stetige Fortsetzung auf $\mathbb {D}$ derart besitzen, dass diese Fortsetzungsfunktion im Inneren ${\mathbb {D} }^{\circ }=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}$ von $\mathbb {D}$ sogar holomorph ist.

Dann gilt:

${\mathcal {A}}\subset {\mathcal {C}}$ bildet eine abgeschlossene Teilalgebra von ${\mathcal {C}}$ und ist als solche maximal, wird also von keiner anderen in ${\mathcal {C}}$ enthaltenen abgeschlossenen Teilalgebra echt umfasst .

Quellen

• Paul J. Cohen: A note on constructive methods in Banach algebras. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 12, 1961, S. 159–163, doi:10.2307/2034144.  MR0124515
• Edmund Landau , Dieter Gaier: Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie. 3., erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u.   a.) 1986, ISBN 3-540-16886-9.  MR0869998
• G. Lumer: On Wermer's maximality theorem. In: Inventiones Mathematicae. Band 8, 1969, S. 236–237 ([4]).  MR0251542
• Walter Rudin: Analyticity, and the maximum modulus principle. In: Duke Mathematical Journal. Band 20, 1953, S. 449–457, doi:10.1215/S0012-7094-53-02045-6.  MR0056076
• John Wermer: On algebras of continuous functions. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 4, 1953, S. 866–869, doi:10.2307/2031819.  MR0058877

Einzelnachweise

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Dreikreisesatz von Hadamard

Der Dreikreisesatz von Hadamard, auch hadamardscher Dreikreisesatz genannt, englisch Hadamard’s three-circle theorem, ist ein Lehrsatz auf dem mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie. Der Satz geht zurück auf den französischen Mathematiker Jacques Hadamard (1865 – 1963). Er kann als Folgerung aus dem Maximumprinzip der Funktionentheorie gezogen werden und zieht insbesondere den Satz von Liouville nach sich.

Formulierung des Satzes

Der Dreikreisesatz lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein Gebiet $G\subseteq \mathbb {C}$ sowie eine darauf definierte holomorphe Funktion $f\colon G\to \mathbb {C} \;;\;z\mapsto f(z)$ , welche nicht die Nullfunktion sei.

Gegeben seien weiter zwei reelle Zahlen $a,b\;(0<a<b)$ und dazu ein in $G$ enthaltener Kreisring $A=\{z\in \mathbb {C} \colon a\leq |z|\leq b\}$.

Dann gilt für die zugehörige reellwertige Funktion

$M\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{>0}\;;\;r\mapsto M(r):=\max _{|z|=r}\;{|f(z)|}$

stets die Ungleichung

$M(r)\leq {M(a)}^{\frac {\ln(b)-\ln(r)}{\ln(b)-\ln(a)}}\cdot {M(b)}^{\frac {\ln(r)-\ln(a)}{\ln(b)-\ln(a)}}$ .

Mit anderen Worten:

Die reellwertige Funktion $r\mapsto \ln {\bigl (}M(r){\bigr )}$ ist eine in $\ln(r)$ konvexe Funktion und erfüllt daher stets die Ungleichung

$\ln {\bigl (}(M(r){\bigr )}\leq {{\frac {\ln(b)-\ln(r)}{\ln(b)-\ln(a)}}\cdot \ln {\bigl (}(M(a){\bigr )}+{{\frac {\ln(r)-\ln(a)}{\ln(b)-\ln(a)}}\cdot \ln {\bigl (}(M(b){\bigr )}}\;(a\leq r\leq b)}$.

Anwendung: Der Satz von Jentzsch

Wie Edmund Landau zeigte, lässt sich durch Anwendung des Dreikreisesatzes ein anderes bekanntes Resultat der Funktionentheorie herleiten, nämlich der Satz von Jentzsch. Dieser geht zurück auf Inauguraldissertation von Robert Jentzsch aus dem Jahre 1914. Der Satz wurde von Jentzsch dann auch in den Acta Mathematica des Jahres 1916 veröffentlicht und gab Anlass zu vielen weiterführenden funktionentheoretischen Untersuchuchungen. Er lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben sei eine in $\mathbb {C}$ um den Entwicklungspunkt $z_{0}=0$ entwickelte Potenzreihe $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}z^{n}}=a_{0}+a_{1}z^{1}+a_{2}z^{2}+\ldots +a_{n}z^{n}+a_{n+1}z^{n+1}\ldots$

mit endlichem Konvergenzradius $r<\infty$ und Konvergenzkreis $D=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<r\}$ .

Die zughörige komplexwertige Funktion $f\colon \,D\to \mathbb {C} ,\;z\mapsto f(z)$

sei nicht konstant und es gelte $a_{0}\neq 0$ .

Weiter seien

$s_{k}(z)=\sum _{n=0}^{k}{a_{n}z^{n}}=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\ldots +a_{k}z^{k}\;(k\in \mathbb {N} _{0})$

die zugehörigen Abschnittsfunktionen .

Dann gilt:

In jeder beliebig kleinen offenen Umgebung eines jeden Randpunktes des Konvergenzkreises haben stets unendlich viele Abschnittsfunktionen je mindestens eine Nullstelle.

Quellen

Monographien

• Robert B. Burckel: An introduction to classical complex analysis. Vol. 1. Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1979, ISBN 3-7643-0989-X. MR0555733
• G. M. Golusin: Geometrische Funktionentheorie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 31). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1957. MR0089896
• Adolf Hurwitz , Richard Courant: Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 3). 4., vermehrte und verbesserte Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u.   a.) 1964.  MR0173749
• Edmund Landau , Dieter Gaier: Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie. 3., erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u.   a.) 1986, ISBN 3-540-16886-9.  MR0869998
• Rolf Nevanlinna: Eindeutige analytische Funktionen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 46). Springer-Verlag, Berlin (u. a.), ISBN 3-540-06233-5. 
• Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2. verbesserte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München, Wien 1999, ISBN 3-486-24789-1.  MR1736644
• Fritz Rühs: Funktionentheorie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 56). 3., berichtigte Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976.  MR0486433
• E. C. Titchmarsh: The Theory of Functions. Oxford University Press, Oxford, London (u. a.) 1978. 

Originalarbeiten

• Aryeh Dvoretzky: On the theorem of Jentzsch. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. Band 35, 1949, S. 246–252.  MR0029995
• Robert Jentzsch: Untersuchungen zur Theorie der Folgen analytischer Funktionen. In: Acta Mathematica. Band 41, 1916, S. 219–251 ([5]).  MR1555151
• Raphael M. Robinson: Hadamard's three circles theorem. In: Bulletin of the American Mathematical Society . Band 50, 1944, S. 795–802 ([6]).  MR0011120

Einzelnachweise und Fußnoten

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Satz von Olivier

Der Satz von Olivier ist ein mathematischer Lehrsatz der Analysis, welcher auf eine Arbeit des Mathematikers Louis Olivier im zweiten Band des crelleschen Journals aus dem Jahre 1827 zurückgeht. Der Satz gibt eine notwendige Bedingung für die Konvergenz von Reihen, deren Glieder eine monoton fallende Folge positiver reeller Zahlen bilden, und liefert dabei eine Verschärfung des bekannten Nullfolgenkriteriums. Als direkte Anwendung des Satzes ergibt sich unter anderem die Divergenz der harmonischen Reihe.

Formulierung

Der Satz von Olivier lässt sich wie folgt formulieren:

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen und die zugehörige Reihe $a_{1}+a_{2}+\ldots$ sei konvergent, also

$\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}<\infty$.

Dann gilt

$\lim _{n\to \infty }{n\cdot a_{n}}=0$,

das heißt, die Zahlenfolge $(n\cdot a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine Nullfolge.

Beweis nach Konrad Knopp

Der Ansatz zum Beweis des Satzes von Olivier ergibt sich aus dem Cauchy-Kriterium für Reihen.

Ist nämlich ein beliebiges $\varepsilon >0$ vorgegeben, so setzt man zunächst ${\varepsilon }_{0}={\frac {\varepsilon }{2}}$ und findet dazu eine untere Schranke $N=N({\varepsilon }_{0})$ , so dass für beliebige $n\;,\;p\in \mathbb {N}$ mit $n\;,\;p\geq N$ stets die Ungleichung

$a_{p+1}+a_{p+2}+\ldots +a_{p+n}<{\varepsilon }_{0}$

gilt.

Damit ist wegen der vorausgesetzten Monotonieeigenschaft der Zahlenfolge zunächst

$n\cdot a_{p+n}<{\varepsilon }_{0}$

und folglich

$2n\cdot a_{p+n}<\varepsilon$

gegeben.

Das aber bedeutet insbesondere, dass man für $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq N$ stets

$2n\cdot a_{N+n}<\varepsilon$

und damit

$(N+n)\cdot a_{N+n}<\varepsilon$

hat.

Als untere Schranke zu $\varepsilon$ wählt man nun $N(\varepsilon )=2N$   .

Damit ergibt sich nämlich für alle $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq 2N$ wegen $n-N\geq N$ und $n=N+(n-N)$ die Ungleichung

$n\cdot a_{n}=(N+(n-N))\cdot a_{N+(n-N)}<\varepsilon$   .

Folglich ist $(n\cdot a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge.

Anmerkung

• Für

$a_{n}={\frac {1}{n}}\;\;(n\in \mathbb {N} )$

hat man

$\lim _{n\to \infty }{n\cdot a_{n}}=1$   ,

was mit dem Satz von Olivier die Divergenz der harmonischen Reihe impliziert.

• Anhand der abelschen Reihe, welche

$a_{n}={\frac {1}{n\cdot \ln(n)}}\;\;(n\in \mathbb {N} \;,\;n\geq 2)$

als allgemeines Glied hat , sieht man, dass der Satz von Olivier lediglich eine notwendige, jedoch keine hinreichende Bedingung formuliert. Denn der abelschen Reihe liegt zwar eine monoton fallende Gliederfolge zugrunde und dabei ist

$\lim _{n\to \infty }{n\cdot a_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln(n)}}=0$   ,

aber dennoch folgt mit dem Verdichtungskriterium von Cauchy

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln(n)}}=\infty$   .

Literatur

• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin/ Göttingen/ Heidelberg/ New York 1964, ISBN 3-540-03138-3.  MR0183997
• Herbert Meschkowski: Unendliche Reihen. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01613-2.  MR0671586
• Louis Olivier: Remarques sur les séries infinies et leur convergence. In: J. Reine Angew. Math. Band 2, 1827, S. 31–44 ([7]). 

Einzelnachweise und Fußnoten

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KKKategorie:Folgen und Reihen]]

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Zum Vollständigkeitsaxiom bzw. zum Supremumsaxiom bzw. zum Intervallschachtelungsaxiom gleichwertige Axiome (wurde mal unter Reelle Zahl gelöscht)

Anstelle der drei genannten Axiome kann man auch verschiedene andere Axiome setzen und Olmsted: S. 194–195. </ref>:

• das Intervallschachtelungsaxiom (zweite Version):

  Jede Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$ besitzt einen Kern.

• das Infimumsaxiom:

  Jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge von $\mathbb {R}$ besitzt ein Infimum.

• das Heine-Borel-Axiom:

  Wird ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall von $\mathbb {R}$ durch beliebige viele offene Mengen von $\mathbb {R}$ überdeckt, so gibt es unter diesen offenen Mengen stets endlich viele, welche das Intervall überdecken.

• das Bolzano-Weierstraß-Axiom:

  Jede unendliche, beschränkte Teilmenge von $\mathbb {R}$ besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

• das Monotonieaxiom:

  Jede monotone, beschränkte Folge in $\mathbb {R}$ konvergiert.

• das Zusammenhangsaxiom:

  Die reellen Zahlen bilden in der üblichen Topologie einen zusammenhängenden topologischen Raum.

• das Zwischenwertaxiom:

  Eine auf einem Intervall von $\mathbb {R}$ definierte stetige reelle Funktion nimmt in ihrem Wertebereich stets jeden Zwischenwert an.

• das Beschränktheitsaxiom:

  Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall von $\mathbb {R}$ definierte stetige reelle Funktion hat stets einen nach oben beschränkten Wertebereich.

• das Maximumsaxiom:

  Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall von $\mathbb {R}$ definierte stetige reelle Funktion besitzt stets eine Maximumsstelle.

Durch die so gewonnenen äquivalenten Axiomensysteme ist der Körper der reellen Zahlen jeweils (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt, denn je zwei vollständige angeordnete Körper sind isomorph .

Quellen

• John M. H. Olmsted: The Real Number System. Appleton-Century-Crofts, New York 1962. 
• Der kleine Duden "Mathematik". 2. Auflage. Dudenverlag, Mannheim [u. a.] 1996, ISBN 3-411-05352-6. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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