Übergangskern

Übergangswahrscheinlichkeiten beschreiben in der Statistik die Wahrscheinlichkeiten, vom Zustand zu einem aktuellen Beobachtungszeitpunkt i in bestimmte andere Zustände überzugehen. Sie finden in der Bioinformatik eine breite Anwendung bei der Modellbildung unter Zuhilfenahme von Markow- und Hidden-Markow-Modellen.

Diskreter Fall

$\Omega$ und $\Omega '$ seien endliche oder abzählbare Mengen. Eine Matrix $\pi =(\pi _{i,j})_{i\in \Omega ,j\in \Omega '}$ mit $\pi _{i,j}\in [0,1]$ heißt stochastische Matrix, wenn gilt $\sum _{j\in \Omega '}\pi _{i,j}=1$ für jedes $i\in \Omega$.

$\pi$ beschreibt Übergangswahrscheinlichkeiten von $\Omega$ nach $\Omega '$: Wenn eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\Omega$ mit einer Zähldichte $\rho =(\rho _{i})_{i\in \Omega }$ gegeben ist, dann definiert $\rho \pi =(\sum _{i\in \Omega }\rho _{i}\pi _{i,j})_{j\in \Omega '}$ eine Zähldichte in $\Omega '$.

Bemerkung: Bei manchen Definitionen werden Zeilen und Spalten der Matrix umgekehrt verwendet.

Allgemeiner Fall

$(\Omega ,{\mathcal {A}})$ und $(\Omega ',{\mathcal {A}}')$ seien Messräume. Eine Abbildung $\pi :\Omega \times {\mathcal {A}}'\to [0,1]$ heißt stochastischer Kern oder Markow-Kern von $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ nach $(\Omega ',{\mathcal {A}}')$, wenn gilt:

• Für jedes $x\in \Omega$ ist $\pi (x;\;\cdot \;):A\mapsto \pi (x;A)$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega ',{\mathcal {A}}')$.
• Für jedes $A\in {\mathcal {A}}'$ ist $\pi (\;\cdot \;;A):x\mapsto \pi (x;A)$ eine ${\mathcal {A}}$-messbare Funktion.

$\pi$ beschreibt Übergangswahrscheinlichkeiten von $\Omega$ nach $\Omega '$: Wenn ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ auf $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ gegeben ist, dann definiert $A\mapsto \int _{\Omega }P(dx)\pi (x;A)$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega ',{\mathcal {A}}')$.

Bemerkung: Bei manchen Definitionen werden die Argumente von $\pi$ in umgekehrter Reihenfolge geschrieben, $\pi (A;x)$ oder auch $\pi (A|x)$, in Anlehnung an bedingte Wahrscheinlichkeiten.