Benutzer:NikelsenH/Spielwiese

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Beziehung zur schwach-*-Topologie

Parallel zur schwachen Topologie lässt sich eine schwach-*-Topologie auf dem Dualraum $X$ definieren. Analog zur schwachen Topologie und Konvergenz lässt sich die schwach-*-Topologie und Konvergenz entweder als Initialtopologie oder über die linearen Funktionale definieren. Dazu fasst man die Elemente aus $X$ über

$T_{x}:X'\to \mathbb {K}$

definiert durch

$T_{x}(x'):=x'(x)$

als lineare Funktionale auf $X'$ auf. Dann ist die schwach-*-Topologie die gröbste Topologie auf $X'$, so dass alle diese Funktionale stetig sind. Alternativ heißt eine Folge $(x'_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ schwach-*-konvergent in $X'$ gegen $x'$, wenn

$\lim _{n\to \infty }x_{n}'(x)=x'(x){\text{ für alle }}x\in X$

gilt.

Schwache Topologie

Die schwache Topologie ist in der Mathematik eine spezielle Topologie, die auf normierten Räumen oder allgemeiner auf lokalkonvexen Hausdorff-Räumen definiert wird. Die Konvergenz bezüglich der schwachen Topologie wird dann schwache Konvergenz genannt. Die schwache Konvergenz und die schwache Topologie ist ein zentrales Konzept der Funktionalanalysis, da sich mit ihr beispielsweise allgemeinere Kriterien für die Existenz von Minima und Maxima formulieren lassen.

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Definition in normierten Räumen

Gegeben sei ein normierter Raum $X$ sowie sein topologischer Dualraum $X'$, also der Vektorraum aller stetigen linearen Funktionale

$x'\colon X\to \mathbb {K}$,

der versehen mit der Operatornorm auch zum normierten Vektorraum wird.

Über die linearen Funktionale

Dann heißt eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $X$schwach konvergent gegen $x\in X$, wenn

$\lim _{n\to \infty }x'(x_{n})=x'(x){\text{ für alle }}x'\in X'$

gilt. Die von der schwachen Konvergenz erzeugte Topologie $\tau _{s}$ heißt dann die schwache Topologie

Als Initialtopologie

Umgekehrt lässt sich die schwache Topologie auch als Initialtopologie definieren. Die schwache Topologie ist dann die Initialtopologie auf $X$ bezüglich der Elemente aus $X'$. Somit ist die schwache Topologie $\tau _{s}$ die gröbste Topologie auf $X$, so dass alle Elemente des topologischen Dualraumes

$x':X\to \mathbb {R}$

stetig sind. Eine bezüglich der schwachen Topologie konvergente Folge heißt dann schwach konvergent.

Beispiel

Betrachtet man als normierten Raum $X$ den Lp-Raum $L^{p}$ mit $p\in (1,\infty )$, so ist aufgrund der Dualität von Lp-Räumen ist der Dualraum $X'$ normisomorph zu $L^{q}$, wobei $q$ der zu $p$ konjugierte Index ist. Es gilt also ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$.

Somit besitzt jedes stetige lineare Funktional

$x'_{g}:X\to \mathbb {R}$

eine Darstellung von der Form

$x'_{g}(f)=\int fg\mathrm {d} \mu$,

wobei $g\in L^{q}$ und $f\in L^{p}$ ist. Somit ist eine Funktionenfolge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ aus $L^{p}$ genau dann schwach konvergent gegen $f\in L^{p}$, wenn

$\lim _{n\to \infty }\int f_{n}g\mathrm {d} \mu =\int fg\mathrm {d} \mu {\text{ für alle }}g\in L^{q}$

gilt. Dies ist genau die Schwache Konvergenz in Lp.

Beziehung zur Normkonvergenz

Die Normtopologie $\tau _{N}$ des vorgegebenen Raumes ist immer feiner als die schwache Topologie $\tau _{n}$, es gilt also

$\tau _{S}\subset \tau _{N}$.

Im allgemeinen ist diese Inklusion echt, das heißt alle normkonvergenten Folgen sind auch schwach Konvergent, aber es existieren auch schwach konvergente Folgen, die nicht normkonvergent sind.

Ein Beispiel hierfür lässt sich im Folgenraum $\ell ^{p}$ konstruieren, wobei $p\in (1,\infty )$ ist. Wählt man als Folge

$e_{1}=(1,0,0,\dots ),\,e_{2}=(0,1,0,0,\dots ),\dots$,

so ist immer

$\lim _{n\to \infty }\|e_{n}\|_{\ell ^{p}}=1$.

Ist aber $\Phi \in \left(\ell ^{p}\right)'$, so gibt es eine Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ aus $\ell ^{q}$, so dass

$\Phi (x)=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}x_{i}$

ist. Dabei ist $q$ wieder der zu $p$ konjugierte Index. Somit ist

$\lim _{n\to \infty }\Phi (e_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$,

da $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist. Somit konvergiert die Folge schwach gegen 0, aber nicht bezüglich der Norm gegen 0.

Der Satz von Mazur liefert eine eingeschränkte Umkehrung: er besagt, dass sich aus den Folgegliedern einer schwach konvergenten Folge immer durch Konvexkombinationen eine zweite Folge konstruiert werden kann, die bezüglich der Norm konvergiert.

Schwache Kompaktheit

In der schwachen Topologie muss unterschieden werden zwischen

• Folgenkompaktheit, also der Eigenschaft, dass jede Folge eine schwach konvergente Teilfolge besitzt
• Überdeckungskompaktheit, also der Eigenschaft, dass jede Überdeckung mit Mengen aus der schwachen Topologie eine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Im allgemeinen fallen diese beiden Begriffe nicht zusammen. In der Anwendung ist die Folgenkompaktheit von größerer Bedeutung als die Überdeckungskompaktheit, da auf schwach folgenkompakte Mengen oder schwach relativ folgenkompakten Mengen größere Klassen von Funktionalen Minima und Maxima annehmen.

Nach dem Satz von Eberlein–Šmulian fallen in Banachräumen

Schwach folgenabgeschlossene Menge

Wichtige AUssagen

Satz von Eberlein–Šmulian

Teilmengen der Schwachen Topologie

Schwach folgenkompakte Menge Schwach relativ folgenkompakte Menge folgenkompakt i.a. nicht äquivalent zu überdeckngskompakt, es sei denn $X$ ist separabel. ALt S. 238

Sammelstelle

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