Achteck

Ein Achteck (griech. octogon) ist ein Polygon mit genau acht Ecken und genau acht Seiten.

Mathematische Zusammenhänge

Oft ist mit einem Achteck ein regelmäßiges Achteck gemeint, bei dem alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind. Konstruieren kann man ein Achteck, indem man bei einem Quadrat auf alle Seiten Mittelsenkrechten konstruiert, und die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten mit dem Umkreis mit den Ecken verbindet. Die Summe aller Innenwinkel eines regulären Achtecks beträgt 1080° und ergibt sich aus der Formel:

\sum \alpha =(n-2)\cdot 180^{\circ }=6\cdot 180^{\circ }=1080^{\circ }

Der Winkel im regulären Achteck beträgt

\alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {3}{4}}\cdot 180^{\circ }=135^{\circ }

Formel für die Flächenberechnung

Zerlege das regelmäßige Achteck in 8 gleichschenklige Dreiecke. Der einmalige Winkel im Dreieck beträgt 360/8 = 45 Grad. Die beiden gleichen Winkel des Dreieckes betragen 67,5 Grad. Die Höhe halbiert das gleichschenklige Dreieck. Es entsteht durch Einzeichnen der Höhe ein rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 67,5 Grad, 22,5 Grad und 90 Grad. Folgende Lösungsansätze gehen von diesem rechtwinkligen Dreieck aus, dabei gilt:

a ist die Seitenlänge des Achtecks
a' ist die halbe Seitenlänge des Achtecks
r ist der Radius des Inkreises
R ist der Radius des Umkreises
A ist die Fläche des gleichschenkligen Dreiecks
A' ist die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks

Gegeben sei der Radius des Innenkreises r:
Der gesuchte Schenkel (Gegenkathete zum spitzen Winkel) lässt sich durch den Tangens von 22.5° ermitteln:

$a'=r\cdot \tan 22{,}5^{\circ }$

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

$A'={\frac {1}{2}}\cdot a'\cdot r={\frac {1}{2}}\cdot (r\cdot \tan 22{,}5^{\circ })\cdot h={\frac {1}{2}}\cdot r^{2}\cdot \tan 22{,}5^{\circ }$

Das gleichschenklige Dreieck hat die doppelte Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, das Achteck die achtfache Fläche des gleichschenkligen Dreiecks:

Formel 1: $A=2\cdot 8\cdot A'=16\cdot \left({\frac {1}{2}}\cdot r^{2}\cdot \tan 22{,}5^{\circ }\right)=8\cdot r^{2}\cdot \tan 22{,}5^{\circ }$

Gegeben sei die Seitenlänge a des Achtecks:
Analog zur obigen Betrachtung lässt sich der Radius r des Inkreises mit Hilfe des Tangens von 22.5° ermitteln, a' sei die Hälfte von a:

Formel 2: $r={\frac {a'}{\tan 22{,}5^{\circ }}}$

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

$A'={\frac {1}{2}}\cdot a'\cdot r={\frac {1}{2}}\cdot a'\cdot {\frac {a'}{\tan 22{,}5^{\circ }}}={\frac {a'^{2}}{2\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}}$

Setzt man A' in die Formel für die Gesamtfläche (siehe Formel 1) ein, erhält man

$A=8\cdot 2\cdot A'=16\cdot {\frac {a'^{2}}{2\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}}={\frac {8\cdot a'^{2}}{\tan 22{,}5^{\circ }}}$

Gegeben sei der Radius R des Umkreises:
Das Verhältnis a' zu R entspricht dem Sinus des spitzen Winkels:

$a'=R\cdot \sin 22{,}5^{\circ }$

Der Radius r des Inkreises beträgt (siehe Formel 2)

$r={\frac {a'}{\tan 22{,}5^{\circ }}}={\frac {R\cdot \sin 22{,}5}{\tan 22{,}5^{\circ }}}=R\cdot \cos 22{,}5^{\circ }$

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

$A'={\frac {1}{2}}\cdot a'\cdot r={\frac {1}{2}}\cdot (R\cdot \sin 22{,}5^{\circ })\cdot (R\cdot \cos 22{,}5^{\circ })={\frac {R^{2}\cdot \sin 22{,}5^{\circ }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }}{2}}$

Setzt man A' in die Formel für die Gesamtfläche (siehe Formel 1) ein, erhält man

$A=8\cdot 2\cdot A'=16\cdot \left({\frac {1}{2}}\cdot R^{2}\cdot \sin 22{,}5^{\circ }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }\right)=8\cdot R^{2}\cdot \sin 22{,}5^{\circ }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }$

Allgemeine Formeln für regelmäßige n-Ecke
Aus den obigen Ansätzen lassen sich folgende Formeln für n-Ecke herleiten:

Bei gegebenem Radius r des Inkreises gilt: $A=n\cdot r^{2}\cdot \tan \left({\frac {180}{n}}\right)$

Bei gegebener Seitenlänge a des n-Ecks gilt: $A={\frac {n\cdot a^{2}}{4\cdot \tan \left({\frac {180}{n}}\right)}}$

Siehe auch

Vorlage:Regelmäßige Polygone