Satz von Vieta

In der Mathematik betrachtet man quadratische Gleichungen

$x^{2}+px+q=0$,

über deren Lösungen (Wurzeln) $x_{1}$ und $x_{2}$ die Satzgruppe von Vieta (nach dem latinisierten Namen von François Viète) folgendes besagt:

• $p=-(x_{1}+x_{2})\,$
• $q=x_{1}\cdot x_{2}$
• $x^{2}+px+q=(x-x_{1})(x-x_{2})$

Beispiel: Nullstellen einer vorgegebenen Gleichung

Ist die quadratische Gleichung $x^{2}-7x+10=0$ gegeben, dann muss für die Nullstellen $x_{1}$, $x_{2}$ gelten:

$x_{1}+x_{2}=7\,$

$x_{1}\cdot x_{2}=10$

Wenn wir zunächst nach ganzzahligen Nullstellen suchen, müssen die Nullstellen Teiler der 10 sein, die zu 7 aufaddiert werden können. Mit etwas Probieren findet man die Nullstellen 2 und 5. Als Probe berechnen wir $(x-2)\cdot (x-5)=x^{2}-7x+10$.

Verallgemeinerung

Die Gleichung

$x^{2}+px+q=(x-x_{1})(x-x_{2})$

lässt sich leicht für Polynomgleichungen bzw. Polynome beliebigen Grades als Wurzelsatz von Vietá verallgemeinern:

Das (reelle oder komplexe) Polynom

$P(x)=a_{n}\cdot x^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots {}+a_{2}\cdot x^{2}+a_{1}\cdot x^{1}+a_{0}$

mit den (komplexen) Nullstellen $x_{1}$ bis $x_{n}$ lässt sich darstellen als:

$P(x)=a_{n}(x-x_{n})(x-x_{n-1})\cdots {}(x-x_{2})(x-x_{1})$

Die Verallgemeinerungen der ersten beiden Aussagen ist etwas komplizierter: Für die Polynomgleichung

$1\cdot {}x^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots {}+a_{2}\cdot x^{2}+a_{1}\cdot x^{1}+a_{0}=0$

mit den Lösungen x₁ bis x_n gilt:

${\begin{matrix}a_{n-1}&=&-p_{1}\\a_{n-2}&=&p_{2}\\a_{n-3}&=&-p_{3}\\a_{n-4}&=&p_{4}\\&\vdots {}&\\a_{0}&=&(-1)^{n}p_{n}\\\end{matrix}}$

wobei $p_{k}$ die Summe über alle Produkte von $k$ Lösungen ist (wobei die Reihenfolge der Faktoren nicht unterschieden wird). Für ein Polynom vierten Grades

$P(x)=x^{4}+a_{3}\cdot x^{3}+a_{2}\cdot x^{2}+a_{1}\cdot x+a_{0}=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})$

gilt also

${\begin{matrix}a_{3}&=&-p_{1}&=&-(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\\a_{2}&=&p_{2}&=&x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}\\a_{1}&=&-p_{3}&=&-(x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})\\a_{0}&=&p_{4}&=&x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\\end{matrix}}$

Die Terme $p_{1}$ bis $p_{n}$ nennt man auch elementarsymmetrische Terme in den Werten $x_{1}$ bis $x_{n}$. Sie bleiben bei Vertauschen der Werte gleich, sind also symmetrisch.

Siehe auch Wurzelsatz von Vieta