Ziegenproblem (Geometrie)

Das Ziegenproblem im Einheitskreis

Das Ziegenproblem ist ein seit mehreren Jahrhunderten bekanntes Problem der Unterhaltungsmathematik.

Problemstellung

Wie groß muss bei der gezeigten Abbildung $r$ sein, damit die rote Fläche die Hälfte der Kreisfläche ist? Konkrete Motivation: Am Punkt $Q$ sei eine Ziege/Stier/Pferd angebunden. Wie lang muss die Leine sein, damit das Tier auf genau der Hälfte der Kreisfläche grasen kann?

Lösung mit Berechnung der Linsenfläche

Die vom Tier erreichbare Fläche hat die Form einer asymmetrische Linse, die von den beiden Kreisbögen begrenzt wird.

Die Fläche $A$ einer Linse bei zwei Kreisen mit Radien $R,r$ und Mittelpunktabstand $d$ ist:

A=r^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2dr}}\right)+R^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}-r^{2}+R^{2}}{2dR}}\right)-{\frac {1}{2}}{\sqrt {(d+r-R)(d-r+R)(-d+r+R)(d+r+R)}}

was sich bei $R=d=1$ und halber Kreisfläche vereinfacht zu

{\frac {1}{2}}\pi =r^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {1}{2}}r\right)+\cos ^{-1}\left(1-{\frac {1}{2}}r^{2}\right)-{\frac {1}{2}}r{\sqrt {4-r^{2}}}

Diese Gleichung kann nur iterativ gelöst werden und ergibt $r=1{,}1587\ldots$ (Folge A133731 in OEIS).

Lösung mit Integration

Aus der Integration über die Linsenfläche mit

{\frac {1}{4}}\pi =\int _{0}^{\sqrt {r^{2}-{\frac {r^{4}}{4}}}}\left({\sqrt {r^{2}-t^{2}}}+{\sqrt {1-t^{2}}}-1\right)\,\mathrm {d} t

folgt die ebenfalls transzendente Gleichung

r={\frac {\pi }{\pi r-{\sqrt {4-r^{2}}}+\left({\frac {4}{r}}-2r\right)\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}r\right)}}

mit derselben Lösung.

Erweiterungen

Datei:Two intersecting spheres.png

Der dreidimensionale Fall mit Einheitskugel oben und Ziegenkugel unten

Im dreidimensionalen Fall befindet sich Punkt $Q$ auf der Oberfläche einer Einheitskugel, und die Fragestellung ist, wie groß der Radius $r$ der zweiten Kugel sein muss, damit der Schnittkörper genau die Hälfte des Volumens der Einheitskugel hat.

Der vom Tier erreichbare Teil der Einheitskugel hat die Form einer asymmetrischen dreidimensionalen Linse, die von den beiden Kugelkalotten begrenzt wird.

Das Volumen $V$ einer Linse bei zwei Kugeln mit Radien $R,r$ und Mittelpunktabstand $d$ ist:

V={\frac {\pi (R+r-d)^{2}\left(d^{2}+2dr-3r^{2}+2dR+6rR-3R^{2}\right)}{12d}}

was sich bei $R=d=1$ und halbem Kugelvolumen vereinfacht zu

{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}\pi ={\frac {\pi }{12}}r^{2}(-3r^{2}+8r)

woraus als Lösung folgt $r=1{,}2285\ldots$

Es kann gezeigt werden, dass sich $r$ bei weiter zunehmender Dimensionalität dem Wert ${\sqrt {2}}$ annähert.

Literatur

Raymond Clare Archibald: Involutes of a circle and a pasturage problem. In: American Mathematical Monthly, 1921 (28), S. 328–329.
Marshall Fraser: A tale of two goats. In: Mathematics Magazine, 1982 (55), S. 221–227.
Marshall Fraser: The grazing goat in n dimensions. In: The College Mathematics Journal, 1984 (15), S. 126–134.
Jean Jacquelin: Le problème de l’hyperchèvre. In: Quadrature, 2003, 49, S. 6–12.