Diskussion:Stellenwertsystem

Zur eineindeutigen Darstellbarkeit

Die Abbildung ist meiner Meinung nach immer bijektiv! Oder kennst Du einen Fall, inder sie nur injektiv ist, Flups? Abgesehen davon sollte der Link nicht auf eine Begriffsklärunsseite führen! --Coma 18:50, 29. Apr 2003 (CEST)

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Namensgebung

Diskussion zur Namensgebung dieses Artikels verschoben nach Diskussion:Stellenwertsystem/p-adische Zahlen. --SirJective 12:58, 21. Nov 2003 (CET)

• Verzeiht, wenn ich hier eine alte Diskussion aufwärme, aber die momentane Abgrenzung von b-adisch gegen p-adisch suggeriert für mein Gefühl, dass der Unterschied im Namen der Basis liegt. Hier sollte Klärung geschaffen werden (der Unterschied liegt mehr oder weniger im verwendeten Konvergenzbegriff; für "beidseitig abbrechende" Zahlen gibt es keinen Unterschied).-- Gunther 17:09, 8. Apr 2005 (CEST)

Ist denn b-adisch überhaupt quellenmäßig gesichert? Schließlich heißen die ersten Varianten binär (oder dual), ternär und später octal, dezimal usw. während die p-adischen manchmal explizit dyadisch, triadisch usw. heißen. Sinnvoll wäre daher wohl n-äres System (oder n-ales?), vgl. engl n-ary (was ich allerdings eher aus dem Zusammenhang n-ary relation = n-stellige Relation kenne).

's gibt b-adische und unsym-b-adische! --Tobias b köhler 13:05, 16. Mär. 2009 (CET)

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Eine ganz elementare Frage: Es gibt das Dualsystem, gleichbedeutend mit Zweiersystem oder Binärsystem und das Zehnersystem oder Dezimalsystem. Während nun beim Dezimalsystem der Begriff „Dezimalstelle“ ausschließlich für eine Nachkommastelle reserviert ist, scheint das bei einer „Binärstelle“ nicht der Fall zu sein, die Bezeichnung Binärstelle gilt wohl für alle Stellen einer Binärzahl, für Vor- und Nachkommastellen. Bei Dezimalzahlen hat man mit Nachkommastellen, Dezimalen und Dezimalstellen gleich drei Bezeichnungen für die Stellen rechts vom Komma. Wie heißt nun bei Dezimalzahlen eine Stelle links vom Komma? Eine Dezimalstelle ist es ja wohl nicht. Da man vom „dekadischen Stellenwertsystem“ spricht, ist es vielleicht eine „dekadische Stelle“, die dann auch alle Stellen einer Dezimalzahl bezeichnet? --WA Reiner (Diskussion) 12:02, 13. Sep. 2012 (CEST)

Endliche und unendliche Darstellung

Hallo Coma, ich hoffe, meine Aenderung (Unterschied zwischen endlicher und unendlicher Darstellung) ist als erste Version zu gebrauchen. Bin ueber eventuelle Verbesserungen der Darstellung stets erfreut. --SirJective 11:18, 14. Nov 2003 (CET)

Das ist so erstmal inhaltlich in Ordnung. Ich hätte das mit den Mathematikern anders formuliert. Ein Mathematiker kann ja auch beide Auffassungen haben und unterscheidet dann den Darstellungsbegriff. Es würde auch reichen, wenn man von endlicher oder unendlicher Darstellung spricht. --Coma 13:22, 14. Nov 2003 (CET)

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Ziffernsymbole vs. Zahl

Warum wird die Formel als $\sum _{i=0}^{n}f(a_{i})\cdot b^{i}$ und nicht als $\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot b^{i}$ angegeben? Welchen Wert hat es, die Mantisse als Funktion zu betrachten?

Die a_i sind Ziffern, also Symbole, keine Zahlen. Die Abbildung f ordnet jeder Ziffer a_i ihren Zahlenwert f(a_i) zu. Die Zeichenkette "12" ist eine Ziffernfolge, der erst durch eine Definition ein Zahlenwert zugeordnet werden muss. Einigen wir uns auf das Dezimalsystem, dann bedeutet diese Zeichenkette die Zahl f(1)*10 + f(2)*1 = 1*10 + 2*1 = 12. Genausogut könnten wir aber die Ziffern n,e,z,d,v,f,s,S,a,N für die Zahlen 0 bis 9 verwenden. Die Zeichenkette "ez" hätte dann im Dezimalsystem den Zahlenwert 12. Bei einer anderen Zuordnung von Ziffern zu Zahlenwerten würde diese Zeichenkette eine andere Zahl bezeichnen. Klar geworden? :-) --SirJective 21:12, 23. Okt 2004 (CEST)

Es überzeugt mich nicht ganz. Was ist f? Keine Funktion, denn Symbole sind keine Objekte. Was ist eine Zifferndarstellung? Entweder eine Folge von Symbolen, also eine Formel des formalen Systems, oder eine Folge als mathematisches Objekt, und dann kann man als Ziffern auch einfach die Zahlen 0,...,b−1 nehmen.--Gunther 18:56, 27. Apr 2005 (CEST)

Die Unterscheidung zwischen den Ziffernsymbolen und den Ziffernwerten via f ist durchaus sogar von praktischer Bedeutung, etwa in der Programierung, wo die Symbole ASCII-Zeichen sind und man nicht vergessen darf, erst '0' abzuziehen, hier ist also f(c)=c-'0'.--Hagman 22:56, 23. Mär. 2007 (CET)

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Optimale Stellenzahl

Es gibt doch ein Optimum zwischen der Anzahl der Symbole in einem System und der Anzahl Stellen, die man braucht um eine beliebige Zahl x darzustellen. Evtl. passt das gut hierher --Heliozentrik 18:34, 27. Apr 2005 (CEST)

Mir ist nicht klar, wie dieses Optimum erklärt sein soll. Kannst du das näher erläutern? --SirJective 18:44, 27. Apr 2005 (CEST)

Frage: gibt es ein Stellenwertsystem, in dem es möglich ist eine beliebige Zahl x mit der kleinstmöglichen Anzahl von Symbolen und der kleinstmöglichen Anzahl Stellen darzustellen ?

Dass beide Forderungen kokurrieren ist ja klar. Kann es sein, dass das gesuchte System die Basis e hat? --Heliozentrik 19:02, 27. Apr 2005 (CEST)

Kannst Du präzisieren, was Du Dir vorstellst? Jede Zahl x hat in jedem System zu einer Basis größer als x eine einstellige Darstellung. Meinst Du also eine Art Erwartungswert?--Gunther 19:12, 27. Apr 2005 (CEST)

Nochmal anders gesagt, welches Stellenwertsystem hat für eine beliebige Zahl x zugleich die kleinste Anzahl Symbole UND die kleinste Anzahl Stellen?--Heliozentrik 19:32, 27. Apr 2005 (CEST)

Meinst Du mit "UND" vielleicht "plus"? Denn ansonsten ist die Antwort: in der Regel keines. Denn die kleinste Anzahl Symbole hat das Zweier- oder notfalls Einersystem, die wenigsten Stellen ergibt eine große Basis.--Gunther 19:46, 27. Apr 2005 (CEST)

genau. Existiert ein Stellenwertsystem S zur Basis b in dem eine beliebige Zahl x mit der Anzahl Stellen a dargestellt wird und für das gilt b + a -> MIN .

Ich frage deshalb so blöd, weil ich nicht sehe, warum b + a in irgendeiner Weise "besser" ist als 2a + b oder ab oder sonst irgendein Ausdruck, der monoton in beiden Variablen ist.

Also: Eine Zahl x hat im System zur Basis b genau

$a=\left\lfloor {\frac {\log x}{\log b}}\right\rfloor +1$

Stellen. Ignoriert man die Abrundung, so hat die Funktion b + a für festes x ein Minimum für

$b(\log b)^{2}=\log x,$

d.h. für große $x$ wird das optimale $b$ ebenfalls groß.--Gunther 10:11, 28. Apr 2005 (CEST)

Man könnte noch sagen, dass sich jede ganze Zahl auch in $(-B)$-adischer Darstellung eindeutig schreiben lässt.

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Darstellung irrationaler Zahlen

In der Fortentwicklung der Texte zur Darstellung rationaler u. reeller Zahlen sind folgende Gesichtspunkte für mich mittlerweile leider etwas diffus verschwommen:

• Rationale Zahlen haben immer eine periodische Entwicklung (ein Spezialfall der periodischen ist die endlich abbrechende Entwicklung).
• Irrationale Zahlen haben immer eine nichtperiodische Entwicklung; nicht notwendigerweise jedoch eine, die man nicht auf endliche Weise notieren kann! Z.B. könnte man für die Zahl $0{,}101001000100001000001....$ eine der Periodennotation ähnliche Notationsschreibweise kreieren, die diese Zahl endlich "notieren" könnte.--JFKCom 18:44, 3. Jan 2006 (CET)

Ist es jetzt besser? --Koethnig 23:31, 3. Jan 2006 (CET)

Ja, damit kann ich leben.--JFKCom 00:31, 4. Jan 2006 (CET)

Aus dem Review

Wollte euere Meinung mal dazu hören, was fehlt noch und wird nicht in anderen Artikel besprochen? --Coma 01:50, 21. Dez 2005 (CET)

Etwas anderes: Wie schon auf der Diskussionsseite gesagt, überzeugt mich der Standpunkt "Ziffern sind Symbole" nicht:

• Was ist f? Jedenfalls keine Funktion (Mathematik), denn die Argumente sind ja Symbole, keine mathematischen Objekte (= Mengen).
• Was ist 0,999...? Eine unendlich lange Formel?

--Gunther 14:06, 21. Dez 2005 (CET)

Natürlich sind Symbole auch Objekte die man in Mengen organisieren kann. --Coma 14:41, 21. Dez 2005 (CET)

0,999... ist das, was im Text auch steht eine unendlich lange Folge. --Coma 14:45, 21. Dez 2005 (CET)

Ja Gunther, f ist keine Funktion im ZFC-Sinne (aber Mathematik ist nicht nur ZFC). Was Ziffern sind, sollte eigentlich in den Artikeln Ziffer und Zahlzeichen erklärt werden, gestützt vom Artikel Symbol.

Im Artikel Alphabet (Informatik) wird das Dezimalsystem als Beispiel einer formalen Sprache angegeben: Die Ziffern 0 bis 9 bilden das endliche Alphabet, und alle endlichen Zeichenketten über diesem Alphabet bilden die Sprache der natürlichen Dezimalzahlen (mit führenden Nullen).

Zahldarstellungen in einem Stellenwertsystem sind keine (mathematischen) Formeln, sondern Wörter einer formalen Sprache, und die Sprache der b-adischen Darstellung rationaler oder reeller Zahlen umfasst - im Gegensatz zur üblichen Definition einer formalen Sprache in der theoretischen Informatik - auch unendlich lange Wörter.

Wir können dieses Vorgehen formalisieren, indem wir eine Mengenlehre nutzen, die die benötigten Zeichen als Urelemente enthält (zu denen haben wir leider noch keinen Artikel, ich hab nur Nichtmenge gefunden).

--SirJective 20:17, 21. Dez 2005 (CET)

Irgendwie sehe ich den Vorteil dieses ganzen Ansatzes nicht. Für alle mathematischen Zwecke sind die natürlichen Zahlen $0,\ldots ,b-1$ als "Ziffern" völlig ausreichend. Wozu jetzt an den Grundlagen rumbasteln und Urelemente einführen? Wer macht das überhaupt so? Noch nirgendwo habe ich jedenfalls die Aussage gesehen, dass die letzte Dezimalziffer einer natürlichen Zahl nicht $n{\bmod {1}}0$, sondern $f^{-1}(n{\bmod {1}}0)$ ist.--Gunther 20:55, 21. Dez 2005 (CET)

Also ich versuchs nochmal. :-) Im Prinzip hast du Recht. Statt den Symbolen kann man nat. auch direkt die nat. Zahlen nehmen. Dann braucht man keine Abbildung von Symbolen auf diese. Allerdings geht es ja hier um die Darstellung von Zahlen. Um etwas darzustellen, braucht man Symbole. Die sind beliebig austauschbar. Ihre Semantik erhalten sie über die Zuordnung f. Imho ist das über eine Metaebene auch so möglich, dass das mit ZFC geht und f tatsächlich eine Funktion ist. Man muss hier also zwei Ebenen sehen. Die semantische und die, der Darstellung. Die Erklärung mit f hat den Vorteil, das der Leser lernt zwischen den Symbolen 0 ... 9 und den Zahlen 0 ... 9 zu unterscheiden. --Coma 21:16, 21. Dez 2005 (CET)

Natürlich kann man das immer soweit runterdrücken, dass es echte Funktionen werden. Nur eigentlich will ich halt nicht das übliche Setting verlassen, nur um über die Dezimaldarstellung einer Zahl sprechen zu können; zumindest für die mathematischen Aspekte ist das eben auch nicht nötig (Bijektion zwischen reellen Zahlen und Dezimaldarstellungen, Teilbarkeitsregeln).

Als Lösung würde ich vorschlagen, die formal-sprachlichen und die im engeren Sinne mathematischen Aspekte voneinander zu trennen, d.h. einerseits die Beziehung zwischen Abbildungen $\mathbb {Z} \to \{0,\ldots ,b-1\}$ (+Vorzeichen) und Folgen von Symbolen, andererseits die Beziehung zwischen Abbildungen $\mathbb {Z} \to \{0,\ldots ,b-1\}$ und Zahlen.--Gunther 22:30, 21. Dez 2005 (CET)

Schau mal, ob du dich mit der Änderung mehr anfreunden kannst... --Koethnig 14:54, 28. Dez 2005 (CET)

Ist auf jeden Fall besser, aber ich finde, die Möglichkeit, die Darstellung als Folge von Zahlen aus $\{0,\ldots ,b-1\}$ aufzufassen, sollte nicht ganz fehlen (Stichwort Quersumme). Man könnte sich noch überlegen, ob man durch konsequente Verwendung des Begriffes "Wort" vielleicht die Verwirrung, ob die Folgen jetzt von rechts nach links oder umgekehrt geschrieben werden, vermindern kann; außerdem könnte man p-adische Zahlen erwähnen.--Gunther 01:25, 29. Dez 2005 (CET)

Ich rück jetzt mal wieder etwas weniger ein :-). Zum ersten Punkt: Wie wäre es mit einem Satz: "In der Mathematik ist es üblich die Symbole für die Ziffern direkt mit einer Zahl aus {0,...b-1} zu identifzieren". Zum zweiten Punkt: Willst du "Wort" bei der Symbolfolge und "Folge" bei der Zahlenfolge verwenden? Da müsste man den Begriff "Wort" vermutlich noch erklären. Zum dritten Punkt: Die p-adischen Zahlen sind ja nun doch noch was anderes. Und in der Einleitung wird ja schon prominent drauf verwiesen. Muss da wirklich noch was dazu in den Artikel? Am besten du setzt mal selber deine Vorstellungen im Artikel um, dann muss ich nicht soviel raten... :-) --Koethnig 04:28, 29. Dez 2005 (CET)

Ich habe die Einleitung entsprechend geändert und warte erstmal die Proteste ab :-) --Gunther 01:07, 3. Jan 2006 (CET)

Damit kann ich gut leben, damit lässt sich auch die "unendliche Darstellung" unten vielleicht etwas leichter einordnen. Gibts noch mehr zu bemängeln? --Koethnig 02:00, 3. Jan 2006 (CET)

Insgesamt beschäftigt sich der Artikel hauptsächlich mit der trivialen Richtung "Zifferndarstellung → Zahl" und erwähnt eher am Rande, dass das weitgehend bijektiv ist. Die wesentlichen Punkte stehen natürlich in Zahlbasiswechsel, aber dieser Artikel hat wiederum eine etwas andere Sichtweise. Ich weiß nicht, wie weit man das ausbreiten sollte, aber irgendetwas in der Richtung $n-b\lfloor n/b\rfloor$ und den Zusammenhang zu Restklassen modulo $b^{k}$ würde nicht schaden. Oder steht das schon woanders?--Gunther 02:19, 3. Jan 2006 (CET)

Hmm, in der Einleitung ist ja jetzt schon von zwei Betrachtungsweisen die Rede. Was hälst du davon deine Betrachtungsweise in einen eigenen Abschnitt zu packen (der sollte dann möglichst als ersten auftauchen). Die Ausführungen zu deiner Betrachtungsweise dürfte imho ja nicht so lang werden, wie die andere. Ich würde dann die andere (also alles ab Ziffer) noch entsprechend anpassen. --Koethnig 15:13, 5. Jan 2006 (CET)

Das Problem dabei ist, dass die "innermathematische" Betrachtungsweise weniger leicht zugänglich ist. Als Einstieg ist sie abschreckend, als Nachtrag wenig erhellend. Sie über den Text zu verteilen, ist auch kaum praktikabel, weil sie vom Niveau her nicht dazu passt. Ich glaube, es ist besser, es bei dem kurzen Hinweis in der Einleitung zu belassen; das zu formalisieren, kann man den ausreichend vorgebildeten Lesern selbst überlassen.

Die oben noch genannten Punkte habe ich als kleine Formelsammlung ergänzt.--Gunther 03:02, 16. Jan 2006 (CET)

Lesenswert-Diskussion

Im Review kam nicht mehr viel, deshalb versuch ich es hier nochmal. Als Autor enthalte ich mich. --Koethnig 04:01, 16. Jan 2006 (CET)

•  Pro Mir gefällt's. --Udq8 14:14, 16. Jan 2006 (CET)
• Grundsätzlich pro, schöner Theorieartikel. Ich habe in der Einleitung bei den Beispielen noch mal die b-adisch-Form wiederholt, weil sonst m.E. der Zusammenhang etwas fehlt. Vielleicht könnte man noch erwähnen, das die -adisch-Vorsilben griechisch sind und die gebräuchlichere Variante (dual, dezimal...) lateinisch. Was für den Laien bestimmt schwer verständlich ist, ist der Unterschied zwischen Ziffer und Zahl. Eventuell könnte man hier das Hexadezimal-Beispiel nach oben nehmen, da es dort am besten klar wird (Ziffer A = Zahl 10). So ganz oma-tauglich ist es imho noch nicht, aber trotzdem gut.--Wiggum 20:15, 16. Jan 2006 (CET)
• pro stark laiengeprägt, aber fachlich verlass ich mich auf koethnig, ich als ahnungsloser finde den artikel relativ gut verständlich und an mangelnden stimmabgaben soll es dann nicht scheitern. -- southpark Köm ?!? 21:03, 21. Jan 2006 (CET)
• pro --Andreas ?! 19:12, 22. Jan 2006 (CET)
• pro - Kleine Anregung: das Hexadezimal-Beispiel vielleicht nicht gerade mit der Ziffer B nehmen; es könnte beim Verständnis zu Komplikationen mit dem b-adischen System kommen (hab das übrigens in der Einleitung fett und kursiv gesetzt). Ich weiß nicht, wie allgemeingebräuchlich der Begriff Dezimalsystem wirklich ist. Vielleicht könnte man noch darauf hinweisen, dass dies das "normale" System ist, um einem Laien einen ihm bekannten Anhaltspunkt zu geben (sofern er den Artikel überhaupt liest). --Griensteidl 23:48, 22. Jan 2006 (CET)

Hab das Beispiel mal auf C geändert und noch ein "das im Alltag gebräuchliche" hinzugefügt... --Koethnig 04:41, 23. Jan 2006 (CET)

• pro - fachlich einwandfrei (soweit ich das als Nichtmathematiker, aber mit 4 Semestern Mathegequälter beurteilen kann), dazu noch verständlich formuliert (besonders die Zuordnung Zahlen <=> Ziffern ist gelungen), ausserdem ist das Layout gut --Henristosch 05:57, 23. Jan 2006 (CET)

•  Neutral - Der Artikel ist zwar bei dem Teil des Lemmas, den er behandelt sehr gut, aber ich denke der Begriff Stellenwertsystem ist hier nicht allgemein genug erklärt. Es gibt auch Stellenwertsysteme, die nicht b-adisch sind (Bsp: BCD-Zählcode, JEDE Stelle hat den Stellenwert 1). Denkbar wären auch Stellenwertsysteme, bei denen der Stellenwert nicht mit dem Wert der Ziffer multipliziert, sondern dazu addiert wird. Bevor der Artikel für mich als Lesenswert durchgeht, sollte herausgehoben werden, dass b-adische Systeme nur eine (wichtige) Untermenge der Stellenwertsysteme sind. Außerdem sollte in der Einleitung präzise darauf eingegangen werden, was man unter dem Wert einer Stelle versteht. Ich habe gerade nicht viel Zeit, sonst würde ich das übernehmen, so kann ich nur darauf aufmerksam machen. Ich bin mir auch nicht sicher, ob b-adisch eine eindeutige Bezeichnung für Stellenwertsysteme ist, die Stellenwerte haben, die durch eine Basis und natürlich hochgezählte Exponenten gebildet werden. --Supaari ^bla!_bla! 16:47, 7. Jun 2006 (CEST)

Ergänzung: Ich hab gerade doch noch mal im Bronstein (Taschenbuch der Mathematik BSB B.G. Teubner 1979) nachgeschaut. Dort Ist das Stellen- oder Positionssystem genau das, was im Artikel beschrieben steht. Dort steht auch, dass für die Basiszahl Eins kein Positionssystem existiert. Was zu meinem Beispiel BCD-Zählcode einen direkten Widerspruch bildet, es sei denn, man nennt diesen Code nicht Positionsystem. Da dort aber eindeutig jeder Stelle ein Wert zugeordnet ist, denke ich, kann man es schon Stellenwertsystem nennen. Ist nun der Bronstein veraltet oder

Positionsystem = Stellensystem $\not =$ Stellenwertsystem ? Oder sind meine Überlegungen Quatsch? --Supaari ^bla!_bla! 17:13, 7. Jun 2006 (CEST)

Nein, kein Quatsch. Die Frage nach den Grenzfällen ist immer spannend. Allerdings handelt es sich hierbei um eine Begriffsdefinition (finis[lat.]:Grenze). Diese Eingrenzung dessen, was man als Stellenwertsystem bezeichnen möchte, ist nicht von sich aus richtig oder falsch, sie ist selbstgewählt. Allerdings möchte ein Mathematiker, dass sich alle Fälle innerhalb einer Definition in gleicher Weise betrachten lassen. Das "1-adische Stellenwertsystem" weicht in einigen Eigenschaften derart von anderen Stellenwertsystemen ab, dass es sinnvoll ist, dieses auszuschliessen. (Bsp.: 10101 = 111 (fehlende Bijektivität/nicht eineindeutig)) Der Wert einer Ziffer ist unabhängig von ihrer Stelle - wieso soll es dann "Stellenwert"system heißen? --95.222.210.145 13:24, 19. Jul. 2009 (CEST)

•  Kontra - ...und zwar vehement! Dieser Artikel enthält wenig Fehler (sowohl grammatikalisch als auch inhaltlich). Er ist trotzdem schlecht. Die "Oma" versteht ihn nicht und derjenige, der schon Vorwissen hat, kennt bessere Erklärungsansätze. (...und weniger laienhaftes Rumgeeier (...was haben denn die rationalen Zahlen hier verloren? Es ist doch irrelevant, wie die Zahlen "heißen"; wenn 3 gleich ELSBETH wäre und 5 gleich HORST, dann wären 3/5 eben ELSBETH/HORSTEL,..(das Problem hierbei besteht nicht aus den Brüchen, sondern daraus, dass man Dezimalbrüche (KOMMA-Zahlen) in b-adische Brüche (auch wieder Kommazahlen, nur zu einer anderen Basis) überführen möchte (...tja, "Kommazahlen" sind oft nur eine Krücke und zum Rechnen unvorteilhafter,.. )))) (Zahlensysteme zu einer von zehn verschiedenen Basis kenne ich seit der zweiten Klasse. Eine(!) Vertretungsstunde reichte aus, mir das näherzubringen. Der didaktische Ansatz war ungefähr folgender: "Zähl mal, aber ohne 8 und 9. ...und was machst du nach der 7 ? 1 0 . Aha, und was bedeutet die 1? Acht!" Am Ende der Unterrichtsstunde sagte der Lehrer, jetzt könnt ihr zuhause sagen: "Meine Freundin ist 21 zur Basis 3.")

Konstruktive Kritik: Es wäre viel eindrücklicher, die Bedeutung eines "Stellenwertsystems" ZUERST am Beispiel des von allen verinnerlichten Dezimalsystems zu erläutern ("Die Bedeutung der Ziffer 5 ist verschieden, je nachdem, wo sie steht: 5 (fünf), 5000 (fünftausend), 3541 (fünfhundert (die "5" in dieser Ziffernfolge steht für fünfhundert)). Das veranschaulicht doch schon, was ein STELLENWERTSYSTEM ausmacht.) Danach kann man erklären, warum die "5" in "50" gerade "ZEHNMAL-5" bedeutet(Stichwort: Basis des Exponenten, ..und, wo oder was ist der Exponent?).

b>1

Diejenigen, die hier in letzter Zeit immer wieder die Bedingung $b>1$ zu torpedieren versuchen, sollen bitte einmal erläutern, wie eine formale Anwendung der Definition auf den Fall $b=1$ irgendetwas Sinnvolles produzieren kann! Schließlich besteht er Ziffernvorrat aus den Ziffern von 0 (einschließlich) bis $b$ (ausschließlich), im Fall $b=1$ ist also die 0 die einzige Ziffer. Dann ist aber auch $\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot b^{i}=0$.--Hagman 19:10, 24. Apr. 2007 (CEST)

Wer sagt, dass die Ziffernmenge {0,...,b−1} sein muss? Mit der Ziffernmenge {1} kann man jede natürliche Zahl 1-adisch darstellen, auch bekannt als Strichliste.--80.136.159.37 10:52, 26. Jun. 2007 (CEST)

Wenn man keine Ahnung hat: Einfach mal Klappe halten! --Koethnig 13:40, 26. Jun. 2007 (CEST)

Nun, wenn man ein Stellenwertsystem so definiert, dass es die Ziffern 0 bis b-1 enthält, dann gibt es wohl kein sinnvolles 1-adisches System. Und genau das sollte im Artikel so beibehalten werden, da es ja die herrschende Ansicht ist. Den Gedanken jedoch mit einer Beleidigung abzutun, ist nicht gerechtfertigt. Meiner Meinung nach kann und sollte man durchaus untersuchen, ob sich Begriffe nicht verallgemeinern lassen. Das führt nicht selten zu einem Erkenntnisgewinn. Auch die folgende Definition macht durchaus Sinn: Ein Stellenwertsystem enthält jedenfalls die Ziffern 0 und 1 und darüber hinaus die Ziffern bis b-1. Für den Fall b=1 bleiben damit nur die Ziffern 0 und 1 übrig. Dann gilt: $\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot b^{i-1}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot 1^{i-1}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

Das ist eine Liste mit 1 und 0, wobei alle Ziffern gleich viel Wert sind und somit die Ziffernsumme den Wert der Zahl bestimmt. Da es nicht auf die Stelle ankommt, an der eine Ziffer steht, ändert sich der Wert einer Zahl nicht, egal ob und wie viele Nullen enthalten sind. Sei $n_{1}$ die Anzahl der Einser und $n_{0}$ die Anzahl der Nullen so gilt: $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{i=1}^{n_{1}}1+\sum _{i=1}^{n_{0}}0=n_{1}\cdot 1+0=n_{1}$

Der Wert einer 1-adischen Zahl ist somit gleich der Anzahl der Ziffern 1, die sie enthält. Dies als Stellenwertsystem aufzufassen, ist meiner Meinung nach durchaus berechtigt. Ebenso wie in jedem anderen Stellenwertsystem bestimmt sich der Wert einer Ziffer innerhalb einer Zahl durch das Produkt aus dem Wert der Ziffer mit dem Wert der Potenz aus Basis hoch Stellenexponent. Für 1101 ergibt das zB $1\cdot 1^{3}+1\cdot 1^{2}+0\cdot 1^{1}+1\cdot 1^{0}=1\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1=3\cdot 1=3$ --Lukas Neubauer (nicht signierter Beitrag von 194.0.73.114 (Diskussion | Beiträge) 00:13, 6. Mai 2009 (CEST))

Abschnitt „Darstellung natürlicher Zahlen“

Gibt es einen Grund warum in "Darstellung natürlicher Zahlen" die Folge an,...a2,a1,a0 als Zahl sum(i=0 ; n-1 ; ai*b^i) dargestellt wird? --Anonymous2 11:30, 3. Dez 2007 (CEST)

Der Endwert der Summe war falsch. Ich habe ihn entsprechend korrigiert. --Stefan Birkner 10:37, 8. Dez. 2007 (CET)

"Stellenwert" generell

Unsinnigerweise werden meine Ergänzungungen pauschal gelöscht, mit Beleidigungen garniert. (Es folgt nunmehr meine Beleidigung: Dies ist eine Enzyklopädie. Oder, sachlicher:) Nicht nur Mathematiker suchen nach dem Wortumfeld von "Stellenwertsystem", und von „Stellenwert“ wird nun einmal HIERHER UMGELEITET! Ironiefestigkeit ist o.k.; also grabesernst: Bitte, argumentiert im Einzelnen, verbessert Einzelheiten usw., wie man das so macht. Meine Argumente sind: (1) "Stellenwert" ist nun einmal auch gehobene Umgangssprache; (2) es gibt/gab in der Güntherlogik einen Spezialgebrauch; wo, wenn nicht hier, das ansprechen? Wäre ein Abschnitt "Abweichender Sprachgebrauch" o.ä. am Artikelende angemessener, so wäre auch das eine Lösung. Herzlicher Gruß -- €pa 09:56, 24. Jan. 2008 (CET)

Dieser Artikel beschreibt den mathematischen Terminus (und dabei dürfte es sich wohl um die "Haupt"-Bedeutung handeln). Abweichende Bedeutungen von Stellenwert, insb. solche in anderen Fachgebieten, machen eine Begriffsklärung erforderlich. Welche der verschiedenen bekannten Varianten zu verwenden wäre, sei vorerst einmal dahingestellt. Die Relevanz der Güntherlogik zu beurteilen, traue ich mir nicht zu, obwohl es sich zumindest nach flüchtigem Überblick über die Verweise um einen recht engen Kreis von Autoren zu handeln scheint.--Hagman 17:21, 24. Jan. 2008 (CET)

Das würde dann so aussehen, aus der Linkseite eine BKL zu machen, und eine Seite "Stellenwert (Philosophie)" oder was auch immer anzulegen. Bitte gleich zu Anfang mit genug Text und einiger Literatur/Links, damit das nicht sofort durch's Raster fällt.--LutzL 19:05, 24. Jan. 2008 (CET)

Vigesimalsystem

Woher stammt die Aussage »Die Indianer Südamerikas verwendeten Zahlensysteme zur Basis 4, 8 oder 16, da sie mit Händen und Füßen rechneten, jedoch die Daumen dabei nicht einbezogen.«, von der ich nie gehört habe, obwohl ich mich ein bißchen damit auskenne, wohingegen das Vigesimalsystem der Mayas nicht einmal erwähnt wird? -- G. Bach 13:31, 10. Aug. 2010 (CEST)

Darstellung rationaler Zahlen

Im Artikel steht:

Dieses Phänomen tritt bei jeder Basis b auf, denn falls n die Ziffer mit dem Wert b-1 bezeichnet, dann hat die Ziffernfolge

$0{,}0\mathbf {nnn} \ldots =0{,}0{\overline {\mathbf {n} }}$

den Wert ${\tfrac {1}{b}}$.

Das ist nicht richtig. Die Rechnung und damit der Wert ${\tfrac {1}{b}}$ führt in jedem Stellenwertsystem ausschließlich zur Zahlendarstellung 0,1. Denn jedes b wird mit der Zahlendarstellung 10 dargestellt. Allerdings drückt der Wert ${\tfrac {1}{b}}$ im Dezimalsystem eine kleinere reelle Zahl aus als beispielsweise im Dualsystem oder Oktalsystem, während zugleich der Wert b selbst im Dezimalsystem eine größere natürliche Zahl darstellt als im Dual- bzw. Oktalsystem.

Ich bitte daher um Korrektur. --Wikilaser 00:48, 1. Jul. 2011 (CEST)

Sei $x=0{,}0{\overline {\mathbf {n} }}$. Dann ist

$x\cdot b=0{,}{\overline {\mathbf {n} }}$

und

$x\cdot b-0{,}\mathbf {n} =0{,}0{\overline {\mathbf {n} }}$

Daraus folgt:

$x=x\cdot b-0{,}\mathbf {n} =x\cdot b-(b-1)/b$

also

$x(1-b)=-(b-1)/b$

und mithin

$x=1/b$.

--Daniel5Ko 01:36, 1. Jul. 2011 (CEST)

Hallo Daniel, bis zur vierten Zeile einschließlich kann ich noch folgen (auch wenn bereits die zweite Zeile meiner Intuition widerspricht, aber lassen wir das mal beiseite). Wie ganz genau kommst Du von der vierten zur fünften und dann weiter zur letzten Zeile? --Wikilaser 11:36, 1. Jul. 2011 (CEST)

Zur letzten Gleichung komme ich durch eine Division der vorletzten Gleichung durch $(1-b)$.

Die vorletzte Gleichung entsteht durch Ausammeln der x-Koeffizienten in $x=x\cdot b-(b-1)/b$ auf der linken Seite, oder anders ausgedrück: Subtraktion von $x\cdot b$ auf beiden Seiten, anschließende Ausklammerung von x. --Daniel5Ko 12:27, 1. Jul. 2011 (CEST)

Den vorletzten Schritt habe ich jetzt verstanden:

$x=x\cdot b-(b-1)/b$ $|-x\cdot b$

$x-x\cdot b=-(b-1)/b$

$x\cdot (1-b)=-(b-1)/b$

Jetzt müßte es so weitergehen:

$x\cdot (1-b)=-(b-1)/b$ $|/(1-b)$

$x=(-(b-1)/b)/(1-b)$

Und dann? --Wikilaser 15:51, 2. Jul. 2011 (CEST)

Es gilt $-(b-1)=1-b$. --Daniel5Ko 02:06, 3. Jul. 2011 (CEST)

Jetzt sehe ich es auch. Dann kürzt man diese beiden Werte jeweils zu 1 und erhält:

$x\cdot 1=1/b/1$

$x=1/b$

Danke!

Bei der Gelegenheit: Warum werden manche Zeilen nicht in mathematische Schriftzeichen umgewandelt? --Wikilaser 12:09, 3. Jul. 2011 (CEST)

Benutzereinstellungssache. Default ist: wenn texvc weiß wie's geht, kriegst du html-Fragmente, sonst Bilder. --Daniel5Ko 01:05, 5. Jul. 2011 (CEST)

Da es bei Dir auch nicht immer funktioniert, nehme ich an, daß der Fehler bei Wikipedia selbst zu suchen ist. Oder machen wir beide etwas falsch? --Wikilaser 21:58, 7. Jul. 2011 (CEST)

Die Bemerkung von Daniel5Ko ist völlig korrekt.

Sie trifft evtl. jedoch nicht den von Wikilaser aufgeworfenen Einwand, der trotzdem zurückzuweisen ist, denn der Darstellung $0{,}0{\overline {\mathbf {n} }}$ geht nicht notwendigerweise eine irgendwie geartete „Rechnung“ voraus, sondern sie ist zunächst einfach nur möglich (und erfüllt alle Bedingungen, bspw. konvergiert auch). Im Text wird darauf hingewiesen, dass es zu „endlichen“ Stellenwertsystembrüchen im Prinzip 3 Darstellungen gibt:

1. eine endliche der Art $0{,}1$ (evtl. mit abgezählt endlich vielen Nullen),
2. die unendliche mit Enden der Art $0{,}1\mathbf {000} \ldots =0{,}1{\overline {\mathbf {0} }}$,
3. die unendliche mit Enden der Art $0{,}0\mathbf {nnn} \ldots =0{,}0{\overline {\mathbf {n} }}$.

Normalerweise kann man alle zugleich zulassen, da kaum Missverständnisse zu befürchten sind. Wenn jedoch von der Situation her die Eindeutigkeit der Darstellung unbedingt erforderlich ist (z.B. bei der $b$-adischen Bruchpressung àla Z-Kurve, wo $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ injektiv abgebildet wird und wo 2 $b$-Brüche versetzt in einen gepresst werden), sollte man eine klare Auswahl treffen. Meist arbeitet man dann mit einer unendlichen Darstellung und meist ist man in der Auswahl völlig frei. -- Nomen4Omen 09:16, 1. Jul. 2011 (CEST)

Vielleicht ist es leichter verständlich, wenn man es anders aufbaut:

Zunächst gilt: 1/10 = 0,1 = 0,1000... bzw. 1/b = 0,b = 0,b000...

Durch Umformung {Angabe der einzelnen Schritte} kommt man jedoch auch auf: 1/b = $0{,}0{\overline {\mathbf {n} }}$ --Wikilaser 11:36, 1. Jul. 2011 (CEST)

Falsche Definition hier im Artikel! (vermutlich seit Jahren?)

Zitat: "Ein Stellenwertsystem, Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem ist ein Zahlensystem, das im Vergleich zu Additionssystemen mit einem endlichen Vorrat von Symbolen (meist Ziffern oder Zahlzeichen genannt) beliebig große Zahlen darstellen kann. "

Ha, ha, ha. Das ist Bloedsinn und falsch. Auch eine Strichliste oder das roemische Zahlenssytem kann mit endlich vielen Symbolen beliebig grosse Zahlenwerte darstellen. :-(

Etwas wesentliches, was jetzt erst in einer Anmerkung in einer Fussnote implizit untergeschoben wird ist: Der Wert einer Ziffer haengt wesentlich von ihrer Position in der Darstellung ab! Dies ist ein ganz (DAS?) entscheidendes Kriterium. Auch die Basis 1 ist ansonsten ein Stellenwertsystem -- jede Stelle hat eben den gleichen Wert. Na und? -- ist fuer die jetzige Artikeldefinition des Stellenwertsystems absolut zulaessig. (nicht signierter Beitrag von 2001:638:504:C00E:214:22FF:FE49:D786 (Diskussion | Beiträge) 16:30, 20. Sep. 2012 (CEST))

Nein die 1 als Basis funktioniert nicht, denn wie stellst du es rechts vom Komma an? 1 hoch -1 oder 1 hoch -2 usw. ist halt alles 1. (nicht signierter Beitrag von 77.4.84.250 (Diskussion) 20:27, 5. Feb. 2014 (CET))

im römischen Additionssystem dagegen gilt etwa I < III < V

@YMS!

Bei Deiner Korrektur musst Du mir erklären, wie ein Römer 10⁹ hinschreibt, ohne wenigstens 10⁶ Zeichen zu verbrauchen!

Mit der Erklärung "dagegen gilt etwa I < III < V" kann ich das nicht unmittelbar lösen.

--Nomen4Omen (Diskussion) 17:36, 24. Sep. 2012 (CEST)

Dafür muss der Römer eine neue Ziffer erfinden, klar. Aber erkläre du mir doch bitte, wo die Länge der Zahlendarstellung z.B. beim Übergang von 999 (CMXCIX) zu 1000 (M) linear ansteigt. --YMS (Diskussion) 17:42, 24. Sep. 2012 (CEST)

@YMS.

1. Die Römer sind alle tot, da gibt's keinen, der eine neue Ziffer erfindet.
2. Vielleicht hast Du schon mal gehört, dass diese Aussagen immer "asymptotisch" gemeint sind. Da kommt's auf so Kleinigkeiten nicht an, sondern nur auf die Umgebung von ∞. Also selbst, wenn er erfände, der Römer, würde er nicht fertig.

--Nomen4Omen (Diskussion) 17:55, 24. Sep. 2012 (CEST)

Deine Formulierung enthielt keinen Hinweis darauf, dass das eine asymptotische Betrachtung sein sollte. Da stand in umgangssprachlichen Worten, dass die Länge bei Additionssystemen linear von der Größe der Zahl abhängt. Den Beweis des Gegenteils (also dass die Länge bei zunehmender Größe nicht monoton steigt) habe ich durch Beispiele erbracht. --YMS (Diskussion) 20:45, 24. Sep. 2012 (CEST)

Da stimme ich Nomen4Omen zu. @YMS: vgl. dazu z.B. Landau-Symbole. Ein endlicher Zeichenvorrat ist außerdem explizit vorausgesetzt, so dass also nicht unendlich oft ein neues Zeichen hinzugefügt werden kann. Um den Satz noch etwas sauberer zu formulieren, könnte man ein "asymptotisch" einfügen. Ich ändere das mal entsprechend und hoffe, dass alle diese Version akzeptabel finden. Freundliche Grüße, --Arno Nymus (Diskussion) 20:48, 24. Sep. 2012 (CEST)

Hmm, der zweite Verweis auf Landau-Symbole in dieser kurzen Diskussion, ohne dass ein solches Landau-Symbol im fraglichen Text verwendet würde. Wäre die Landau-Notation verwendet worden, hätte ich mich vermutlich nicht hier gemeldet. In der nunmehr modifiziert wieder eingesetzten Artikelversion ist es zwar per Nennung des Stichworts "asymptotisch" sicher sachlich korrekt, gefallen tut mir aber auch diese nicht. In der Praxis interessiert mich das Verhalten für Zahlen nahe unendlich nicht, da ist es viel relevanter, dass in einem solchen System auch z.B. die Zahl 1000 kürzer dargestellt werden kann als die Zahl 3. --YMS (Diskussion) 21:02, 24. Sep. 2012 (CEST)

So war's gemeint. --Nomen4Omen (Diskussion) 21:51, 24. Sep. 2012 (CEST)

Ich hatte den Link unter "asymptotisch" in Nomen4Omens Text gar nicht verfolgt - Entschuldigung für die Dopplung für die Landau-Symbole.

Abgesehen von der asymptotischen Betrachtung, wird für gewöhnlich bei Längen-/Aufwandsbetrachtungen der "schlimmste Fall" betrachtet, vereinfacht ausgedrückt stellt man sich also die praxisnahe Frage "Wie viele Zeichen brauche ich maximal, um jede beliebige der ersten n Zahlen ausdrücken zu können?" In dem vorliegenden Fall kann man bereits bei kleinen Zahlen so den schneller steigenden Charakter in additiven Systemen gegenüber dem logarithmischen Stellenwertsystem gut erkennen. Im Stellenwertsystem kann man mit n Stellen jede beliebige Zahl bis ($b^{n}-1$) darstellen, im Umkehrschluss benötigt man also für alle Zahlen bis k-1 ($log_{b}k$) Stellen. Im 7er-Stellenwertsystem* sind also die "schlimmsten Fälle", d.h. die kleinsten Zahlen, die eine bestimmte Stellenzahl benötigen: 1 -> 1 Stelle, 7 -> 2 Stellen, 49 -> 3 Stellen, 343 -> 4 Stellen, 2.401 -> 5 Stellen, 16.807 -> 6 Stellen, 117.649 -> 7 Stellen usw.; in additiven Systemen braucht man bereits deutlich früher weitere Stellen (auch wenn der komplette lineare Charakter natürlich erst mit der Verwendung des letzten Elementarzeichens einsetzt). Im römischen hat man: 1 -> 1 Stelle, 2 -> 2 Stellen, 3 -> 3 Stellen, 8 -> 4 Stellen, 18 -> 5 Stellen, 28 -> 6 Stellen, 38 -> 7 Stellen usw.

Um also z.B. die Stundenzahl (0-23) einer Digital-Uhr darstellen zu können, benötigt das 7er-Stellenwertsystem 2 Stellen, das römische, additive Zahlensystem 5 Stellen.

• Wieso das 7er-System? Im römischen System hat man 7 Elementarzeichen: I, V, X, L, C, D, M. Entsprechend ist das 7er-System der "faire" Vergleich.

Man kann also insbesondere gut erkennen: Das Stellenwertsystem weist hier wiederum logarithmisches Wachstum auf; das additive System gemäß seinen Elemenarzeichen ein "gestuftes" lineares Wachstum. Sogar bevor es seine letzte Stufe erreicht, ist es - bei gleichem Zeichenvorrat - bereits bei deutlich längeren Darstellungen angekommen als das Stellenwertsystem (in obigem Beispiel: das Stellenwertsystem braucht zur Darstellung aller Zahlen bis 1000 nur 5 Stellen, das additive System benötigt bereits bei den ersten 38 Zahlen 7 Stellen, bis 1000 sogar 12 Stellen (vgl. 888 = DCCCLXXXVIII). Schon bei kleinen Zahlen übersteigt also die in der Praxis notwendige Stellenzahl im additiven System durch seinen (gestuft-)linearen Charakter also bereits die Stellenzahl, die ein Stellenwertsystem mit selber Anzahl an Symbolen benötigt.

Diese ganzen Ausführungen sind schon recht lang und sie müssten formal eigentlich noch ausgeweitet werden. Daher denke ich, dass die aktuelle Version an Informationsgehalt in Relation zur Länge die bessere Version darstellt. Freundliche Grüße, --Arno Nymus (Diskussion) 22:19, 24. Sep. 2012 (CEST)

Grundlagen

(Zitat Anfang)

Insbesondere bei ungeradem $b$ sind Ziffern mit den Wertigkeiten $-{\tfrac {b-1}{2}},\dotsc ,-1,0,1,\dotsc ,{\tfrac {b-1}{2}}$ interessant. Knuth nennt diese Systeme „balanciert“. Sie haben die Eigenschaften:

• Das Negative einer Zahl erhält man durch Austausch einer jeden Ziffer mit ihrem inversen Gegenüber.
• Die erste von 0 verschiedene Stelle zeigt das Vorzeichen an.
• Eine Rundung zur nächsten ganzen Zahl geschieht durch einfaches Abschneiden beim Komma.

(Zitat Ende)

Zwei Anmerkungen:

1. Was sind denn nun "balancierte Systeme"? Jedes System mit b ungerade? Oder nur "insbesondere" jedes System mit ungeradem b (was auch immer das heißen mag)? Und müssen die Ziffern die genannten Wertigkeiten haben oder sind sie dann nur "interessant". Bitte noch einmal weniger missverständlich formulieren. Ansonsten löschen.

2. Wodurch ist denn die Einordnung so früh und auch noch unter "Grundlagen" motiviert? Ziffern mit negativen Wertigkeiten sind wohl für 99% der Laien in dieser nicht erklärenden Form kaum zu verstehen und selbstverständlich auch nicht als bekannt vorauszusetzen. Ich sehe jetzt auch nicht, wo im Artikel sonst noch andere Ziffern als die üblichen 0, ..., b-1 (mit "handelsüblicher" Wertigkeit) verwendet werden. Die genannten Eigenschaften erscheinen mir auch eher von akademischem Interesse. Bei den anderen mir bekannten Darstellungsformen von Zahlen ist das Ermitteln des Negativen, des Vorzeichens sowie des nächstgelegenen ganzzahligen Wertes zumindest ähnlich trivial... Also wie unter 1. empfohlen entweder löschen oder wenigstens in einen späteren Abschnitt verschieben. Ein wenig "dramaturgisches Gespür" schadet auch bei Wikipedia nicht. --VerwunderterLeser (nicht signierter Beitrag von 92.229.39.237 (Diskussion) 11:59, 19. Nov. 2012 (CET))

erledigtErledigt --Nomen4Omen (Diskussion) 09:19, 5. Feb. 2014 (CET)

Also mir ist 1. auch jetzt nicht ganz klar: Warum muss die Basis ungerade sein? Es geht doch auch z.B. für Basis 4 mit Ziffern -1,0,1,2?

Im englischen Wikipedia gibt es einen Artikel zu Redundant binary representation (Basis 2, Ziffern -1, 0, 1). Ist das dann kein Stellenwertsystem? Was soll es denn sonst sein? --130.133.8.114 18:48, 17. Jan. 2016 (CET)

Meines Wissens stammt der Begriff „balanced number Systems“ von Knuth. Er stellt für ihn keine Definition heraus. Man kann aber implizit schließen, dass die 3 genannten Forderungen – wovon m.E. die erste („the negative number is obtained by interchanging 1 and 1“) die stärkste ist (und auch von der Wortbedeutung "balanciert" her) – als definierend angesehen werden können/kann. Das impliziert auf jeden Fall zusammen mit der 0 (die wegen 0=0 nicht gepaart ist) einen ungeradzahligen Ziffernsatz. Bei Deinem Vorschlag [Basis 4; Ziffern -1,0,1,2] ist die 2 nicht gepaart, er ist also kein balanciertes System.
Ist 2 die Basis, dann kommt man mit 2 Ziffern (plus ggf. einem Vorzeichen) aus. Hat man aber Basis 2 und 3 Ziffern (bspw. im Ziffernsystem [Basis 2, Ziffern 0, 1, 1 (:= -1)]) zur Verfügung, dann entsteht "Redundanz": Gemeint ist vermutlich, dass die Anzahl an Varianten, in denen sich die Zahlen sich darstellen lassen, riesig ist. Bspw.: 1₁₀ = 1 = 11 = 111 =… . --Nomen4Omen (Diskussion) 22:25, 17. Jan. 2016 (CET)

In diesem Fall habe ich noch zwei Anmerkungen: Erstens möchte ich wissen, wie deine Quelle heißt (Knuth hilft mir nicht). Zweitens müsste gerade an dieser Stelle auf das redundante Stellenwertsystem hingewiesen werden. Schon vor Knuth wurden Stellenwertsysteme mit -1 = 1 verwendet (siehe John Colson (1726) "A Short Account of Negativo-affirmative Arithmetick", Philosophical Transactions of the Royal Society 34: 161-73). --160.45.45.11 16:30, 18. Jan. 2016 (CET)

Ich meinte mit "Knuth hilft mir nicht", dass mir das korrekte Zitat fehlt (Welcher Text von Knuth). Sorry, war etwas missverständlich. (nicht signierter Beitrag von 87.152.51.89 (Diskussion) 17:35, 18. Jan. 2016 (CET))

Was war zuerst da?

Frage: Wenn ich die Zahl "10" hinschreibe, dann muss ich im Stellenwertsystem erst einmal "10" hoch 0 und "10" hoch 1 definieren. Dabei nutze ich aber schon die Zahl "10", die ich doch aber erst durch 1x10^1 + 0x10^0 konstruieren will. (nicht signierter Beitrag von 77.4.255.34 (Diskussion) 01:37, 5. Feb. 2014 (CET))

Liebe/r 77.4.255.34! Bei jeder Basis b gilt: 10_b = b. Das ist eine Aussage über das b-adische Stellenwertsystem und keine Definition von b. Du hast also recht: Mit 10₁₀ = 10 kann man 10 (zehn) nicht definieren. Eine Möglichkeit wäre, auf das unäre System zurück zu greifen: 2 := || und zehn := ||||||||||. Man könnte also schreiben 10_{|||| ||||} = zehn. Wir rechnen alle seit Ewigkeiten im ||||||||||-adischen oder dek-adischen System und haben uns so daran gewöhnt, dass wir zehn gar nimmer anders als 10 schreiben können. Und so viel ich weiß, gilt deshalb die Abmachung: Wenn bei 10 kein Suffix dranhängt, dann ist die Zahl zehn gemeint. Wenn ich was anderes meine, muss ich ein Suffix beigeben, zB 10₂ = 2. --Nomen4Omen (Diskussion) 09:30, 5. Feb. 2014 (CET)

Ziffernsystem

Im Artikel ist mehrfach von "Ziffernsystemen" die Rede. Was ist das? Dasselbe wie ein Zahlensystem? Es gibt keinen Artikel darüber! --Röhrender Elch (Diskussion) 21:16, 15. Mär. 2014 (CET)

Länge der Darstellung logarithmisch in der Anzahl der Stellen ?

Mit der letzten Änderung von Benutzer:Saure habe ich Schwierigkeiten. Ich hätte gedacht, dass die Länge logarithmisch zur Größe der Zahl und gleich zur Anzahl der Stellen ist. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:03, 8. Apr. 2014 (CEST)

Du hast recht; das muss ich ändern. Danke sagt der Saure 18:34, 8. Apr. 2014 (CEST)

Ziffer

Die Definition des Begriffs "Ziffer" gehört in den Artikel Zahlzeichen, und nicht hierhin. --Röhrender Elch (Diskussion) 21:58, 11. Mai 2014 (CEST)

Siehe QS. Bitte die Diskussion nicht zerfasern. --Quartl (Diskussion) 06:11, 12. Mai 2014 (CEST)

Definition Basis

Auch wenn bei natürlichen Basen die Anzahl der verwendeten Ziffern mit der Basis identisch ist, kann man die Basis nicht als Anzahl der verwendeten Ziffern definieren, sondern sie ist die Zahl, als deren Potenzsumme die darzustellende Zahl aufgefasst wird. Sonst gäbe es keine nichtnatürlichen Basen, weil die Anzahl der verwendeten Ziffern immer natürlich ist. Die Anzahl der verwendeten Ziffern ist von der Basis abhängig. --Röhrender Elch (Diskussion) 23:15, 9. Jan. 2015 (CET)

Gibt es denn Stellenwertsysteme mit nicht-natürlicher Basis? Das ist doch dann höchstens eine Spielerei. --Digamma (Diskussion) 19:48, 10. Jan. 2015 (CET)

Es gibt sie, siehe Stellenwertsystem#Nicht-nat.C3.BCrliche_Zahlen_als_Basis. Ob sie einen praktischen Nährwert haben oder nur Spielerei sind, weiß ich nicht. --Röhrender Elch (Diskussion) 19:55, 10. Jan. 2015 (CET)

Ich denke im Sinne der Allgemeinverständlichkeit sollte man die Definition von "Basis" als Anzahl der verfügbaren Ziffern an dieser Stelle so lassen. Im Abschnitt zu den nichtnatürlichen Basen sagt man dann, dass man auch eine mehr oder weniger beliebige Zahl als Basis zulassen kann (wobei dann klarerweise nicht mehr die Anzahl der Ziffern gemeint ist). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:29, 11. Jan. 2015 (CET)

Quater-imaginäres System

So weit mir bekannt ist, muss bei einem nichtbalancierten Stellenwertsystem der höchste Ziffernwert die größte natürliche Zahl sein, die kleiner ist als der Betrag der Basis. (Bei einer natürlichen Basis ist das die Basis minus eins.) Wie kann dann ein System mit der Basis 2i die Ziffern 2 und 3 verwenden? --Röhrender Elch (Diskussion) 22:20, 24. Jan. 2015 (CET)

Lies am besten den englischen Artikel dazu. --Digamma (Diskussion) 23:11, 24. Jan. 2015 (CET)

Übrigens diskutiert Knuth in seinem Kapitel "Positional Number Systems" noch ganz andere nicht-zusammenhängende Ziffernvorräte. Um alle ganze Zahlen darstellen zu können, braucht man für jede Restklasse modulo Basis zumindest eine Ziffer. Ist es genau eine, ist eine (fast) eindeutige Darstellung schon garantiert. --Nomen4Omen (Diskussion) 09:33, 25. Jan. 2015 (CET)

6.2 Umrechnung

Das Beispiel mit "AFFE" ist undurchsichtig/unvollständig, es fehlt die sprechende Zuordnung der Hexadezimalwerte "A=10, F=16, E=15".--Mideal (Diskussion) 13:08, 13. Okt. 2015 (CEST)

Ich habe die Werte ergänzt. Ist es so OK? --Digamma (Diskussion) 20:33, 14. Okt. 2015 (CEST)