Netz (Topologie)

Ein Netz oder eine Moore-Smith-Folge (nach E. H. Moore and H. L. Smith, 1922) stellt in der Topologie (einem Teilgebiet der Mathematik) eine Verallgemeinerung einer Folge dar.

Für eine gerichtete Menge $(I,\triangleleft )$ und eine Menge $X$ ist ein Netz eine Abbildung $x:I\to X$. Meist schreibt man analog zu Folgen $(x_{i})_{i\in I}$.

Wie bei Folgen heißt ein Netz konvergent gegen $x\in X$, wenn gilt:

$\forall U\in {\mathcal {U}}(x)\ \exists i_{0}\in I\ \forall i\in I:i_{0}\triangleleft i\Rightarrow x_{i}\in U$

Man schreibt dann $(x_{i})_{i\in I}\to x$ oder $x_{i}\to x$.

Da die natürlichen Zahlen mit der gewöhnlichen Anordnung eine gerichtete Menge bilden, sind Folgen spezielle Netze.

Teilnetz

$(I,\triangleright )$ und $(J,\triangleright )$ seien gerichtete Mengen, $(x_{i})_{i\in I}$ ein Netz in $X$ und $\varphi \colon J\to I$ eine Abbildung, die der folgenden Bedingung genügt:

$\forall i_{o}\in I\ \exists j_{0}\in J\colon \ \forall j\geq j_{0}\ \varphi (j)\geq i_{0}$

$(x_{\varphi (j)})_{j\in J}$ heißt dann Teilnetz des Netzes $(x_{i})_{i\in I}$.

Weblinks

• Lydia Außenhofer: Mengentheoretische Topologie (Skript)

Literatur

• Vorlage:Querenburg3
• EH Moore, HL Smith (1922): A General Theory of Limits. American Journal of Mathematics 44 (2), 102–121