Diskussion:Tupel

• Die Definition der n-Tupel über die Mengen ist falsch, bitte ändern.
  • Inwiefern falsch? Es erfüllt die Bedingung, wenn ich mich nicht irre. (Ist allerdings nicht unbedingt die übliche Definition, die ich kenne ...) Problematischer ist die rekursive Definition - da wird "(X, a)" verwendet, ohne zu sagen, was das ist. Man sollte dazusagen, dass 2-Tupel wie oben definiert werden. -- Paul E. 00:16, 2. Sep 2004 (CEST)

Kritik an Lehrmeinung

Der aktuelle Abschnitt mit der Kritik an der üblichen Tupeldefinition ist hier aus diversen Gründen fehl am Platze.

• wir sind hier keine wissenschaftliche Publikation, d.h. wir stellen keine neuen Ideen hier erstmals vor und wir fordern auch schon gar nicht die entsprechende technische Sauberkeit
• ein guter Wikipediaartikel sollte Laien einen ersten Einblick geben und Profis als Gedächtnisstütze oder zum überblickhaften Lernen der Grundideen dienen, wer es dann ganz genau wissen soll, der soll sich woanders (meinetwegen auch wikibooks) umschauen
• weiter zweifelt (glaube ich jedenfalls) kein normaler Mensch an der normalen Tupeldefinition
• der Nicolas Bourbaki ist so ein Werk, wo alles ganz genau versucht wird, aber ich glaube das gilt eher als gescheitert, denn gelungen. Ein bisschen Intuition gehört auch zur Mathematik, nicht nur Formalismus. --Marc van Woerkom 18:12, 3. Dez 2004 (CET)

Fehl am Platz ?

In der Wissenschaft (und auch in der Wikipedia) sollten wir unsere gegensätzlichen Meinungen mit möglichst sachbezogenen, rationalen Argumenten erläutern. Das vage Gefühl, dass wahrscheinlich kein normaler Mensch an einer bestimmten Sache nicht zweifeln würde, mag ein (unter Umständen guter) Anhaltspunkt dafür sein, in welche Richtung man sich mit seinen eigenen Gedanken bewegen möchte. Es taugt aber nicht als Argument in einer sachbezogenen Auseinandersetzung, ebenso wie die Meinung, dass dieser oder jener "eher als gescheitert" gelte (wer möchte auch ernstlich darüber richten?).

Falls es gewünscht wird, ziehe ich meinen Verbesserungsvorschlag selbstverständlich zurück (ebenso natürlich, falls sich herausstellt, dass er nicht wirklich etwas verbessert). Er ist ohnehin nur als ein Beispiel dafür gedacht, wie man den dargestellten Mangel bei der bisherigen Definition beheben könnte. Das ist auf vielerlei Arten möglich. Die kritischen Bemerkungen zu der herkömmlichen Definition möchte ich allerdings gerne stehen lassen, denn sie sind meines Erachtens ganz gut geeignet, das Verständnis dafür zu schärfen, was diese Definition leistet, wie sie das tut und wo ihre Grenzen liegen. Ich hoffe, dass diese wenigen Sätze nicht den Rahmen sprengen, den die Wikipedia bietet. Sie sollte auch bei mathematischen Begriffen mehr sein, als ein blosses Glossar. Ich schätze die Wikpedia sehr und bin selber daran interessiert, dass sie nicht zum Forum für die Selbstdarstellung verwirrter Eigenbrötler verkommt. Insofern würde ich allerdings auch von jedem Artikel ein entsprechendes Maß an technischer Sauberkeit fordern.

Was die Sache selber angeht, kann ich der Kritik nichts entnehmen, was inhaltlich konstruktiv ist. Merkwürdig übrigens, dass die unter erstens in dem Artikel gegebene Definition, die richtiggehend falsch ist, dort über ein Jahr stehen konnte, ohne dass dies aufgefallen oder geändert worden wäre. Als Letztes: Einen Funken mathematische Intuition zu haben, nehme ich für mich selber durchaus in Anspruch. Ansonsten wäre ich kein Mathematiker, sondern allenfalls ein schlechter Computer. Aber um aus einem Funken ein Feuer zu schlagen, das einem selber und den Mitmenschen nützt und nicht etwa eine verbrannte Wüste hinterlässt - dazu gehört eine ganze Menge Arbeit, viel Handwerk und (nicht nur in der Mathematik) eine gewisse Meisterschaft in der Beherrschung der Formalismen.--Walter Lorenz 13:12, 4. Dez 2004 (CET)

Kritik an der zweiten Definition

Ist wirklich was dran an der Kritik an der zweiten Definition? Dem Symbol "2" sieht man ja auch nicht an, ob die natürliche, ganze oder reelle Zahl gemeint ist; auch die berühmte Gleichung $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ ist ohne Angabe der Grundmenge sinnlos. Wenn ich ein "Tupel" vor mir habe, muss ich natürlich dazusagen, aus welcher Grundmenge es ist, ob ich es also als k-Tupel oder als l-Tupel interpretieren muss. Natürlich kann man die Grundmenge in jede Notation hineinpacken wie z.B. "2L" in der Programmiersprache C für "2 interpretiert als long int" im Gegensatz zu "2" für "2 interpretiert als int" steht, aber das ist doch auch in der restlichen Mathematik nur in Einzelfällen wirklich notwendig. --NeoUrfahraner 05:16, 19. Mär 2005 (CET)

Ist das kartesische Produkt von Mengen assoziativ?

Eine der wichtigsten Anwendungen von n-Tupel ist im Artikel gar nicht erwähnt, nämlich die Verwendung bei der Definition des kartesischen Produkts von Mengen. Nach der ersten Definition ist das kartesische Produkt offensichtlich assoziativ, bei der zweiten Definition anscheinend nicht, zumindest nicht offensichtlich. Gibt es keine bessere Definition, bei der das Assoziativgesetz erhalten bleibht? Kann man auf das Assoziativgesetz verzichten? Die Definition des n-fachen kartesischen Produkts $A^{n}$ der Menge $A$ wird ohne Assoziativgesetz schwieriger; die Rechenregel $A^{m+n}=A^{m}\times A^{n}$ geht jedenfalls verloren. --NeoUrfahraner 02:47, 20. Mär 2005 (CET)

Ich sehe die Assoziativität im ersten Fall nicht. Es gibt kanonische Bijektionen, mehr will man eigentlich auch gar nicht.--Gunther 03:05, 20. Mär 2005 (CET)

Kann man tatsächlich auf die Assoziativität verzichten? Zumindest die französische Version sieht das anders: "D'après ce qui précède, A×B×C = (A×B)×C" (fr:Produit_cartésien); die deutsche und die englische äußert sich nicht wirklich dazu. --NeoUrfahraner 03:35, 20. Mär 2005 (CET)

Es gilt aber mit dieser Konstruktion nicht A×B×C = A×(B×C).--Gunther 03:43, 20. Mär 2005 (CET)

Sprache

Mir hat mal jemand erzählt, dass es das Wort "Tupel" gar nicht gibt, sondern höchstens "n-Tupel". Könnte das Beutelspacher gewesen sein?--Gunther 01:46, 14. Mär 2005 (CET)

Es ist jedenfalls kein Wort der Standardsprache, sondern ein Kunstwort. Wenn es aber seinen Zweck erfüllt, warum sollte man es dann nicht verwenden? --NeoUrfahraner 06:58, 14. Mär 2005 (CET)

Habe nachgeschaut: ich habe mich an Das ist o.B.d.A. trivial! von Albrecht Beutelspacher erinnert. "Tupel" ist einer der vielen Ausdrücke, die die deutsche Sprache quälen.--Gunther 23:58, 18. Mär 2005 (CET)

Das n in "n-Tupel" ist aber meines Erachtens kein Teil des Wortes, sondern eine Variable, welche die Anzahl der Elemente des Tupels bezeichnet. Würdest Du, wenn Du von Tupeln mit k bzw. l Elementen sprichst, von einem "k-n-Tupel" und einem "l-n-Tupel" sprechen, oder doch eher von einem "k-Tupel" und "l-Tupel"? Im Artikel wird übrigens von 2-Tupel, 3-Tupel und (n-1)-Tupel gesprochen und nicht von 2-n-Tupel, 3-n-Tupel und (n-1)-n-Tupel. Willst Du das ändern? --NeoUrfahraner 05:05, 19. Mär 2005 (CET)

Nein, ich stimme Dir völlig zu, das n steht für irgendeine Zahl, die genausogut k oder l oder 2 oder 3 heißen kann. Analog ist beispielsweise p-adische Zahl, da spricht auch niemand von "adischen Zahlen", sondern von p-adischen, l-adischen, 5-adischen usw. Zahlen. (Und ich schlage auch nicht vor, einen Redirect n-Tupel anzulegen, ich habe gerade erst die Redirects A-Algebra, K-Algebra und R-Algebra aufgeräumt.)--Gunther 10:51, 19. Mär 2005 (CET)

Ups, nach dem Speichern habe ich erst gesehen, dass n-Tupel nicht rot ist. MMn bedingt sinnvoll.--Gunther 10:52, 19. Mär 2005 (CET)

Wo ist jetzt das Problem? "Tupel" fügt sich wunderbar in die grammatikalische Struktur der deutschen Sprache ein, lässt sich problemlos deklinieren und aussprechen und wer es zum ersten Mal hört, kommt gar nicht auf die Idee, es "Entupel" zu schreiben. Die Deklination von "Logarithmus" macht da schon viel mehr Probleme. Oder, um Kants kategorischen Imperativ heranzuziehen: nach welchem allgemeinen Gesetz ist "Tupel" abzulehnen? --NeoUrfahraner 11:44, 19. Mär 2005 (CET)

"n-Tupel" wurde gebildet, indem man bei Quintupel & co. die variablen Zahlensilben durch die jeweilige Zahl ersetzte. Ich würde also schlicht die Tradition als "Gesetz" anführen. (Natürlich gibt es immer die, die nach dem Motto schreiben: "Wenn der Leser errät, was ich meine, muss es deutsch gewesen sein.")

Logarithmus verändert seine Form beim Deklinieren nicht und besitzt keinen Plural.--Gunther 12:36, 19. Mär 2005 (CET)

In der Mathematik gilt ein anderes Motto, nämlich "Solange Du es sauber definierst, kannst Du es nennen wie Du willst, egal ob n-Tupel, Multippel, Polytett, Mehrling oder was auch immer" Natürlich erleichtern gute Definitionen die Lesbarkeit, aber wie Tupel "die deutsche Sprache quält" sehe ich bis jetzt nicht. Tradition ist jedenfalls eine schwache Aussage; aber wenn Du ein wenig Information über die ältesten Verwendungen von "n-Tupel" im Vergleich zu "Tupel" beisteuern kannst, würde das den Artikel durchaus bereichern. --NeoUrfahraner 19:16, 19. Mär 2005 (CET)

Ich stimme Dir da nicht zu. Ein mathematischer Text ist nicht automatisch gut, wenn er formal korrekt ist, Überkorrektheit kann die Lesbarkeit sogar beeinträchtigen. Eine (mMn durchaus lesenswerte) Referenz habe ich ja schon genannt, umfangreiche historische Studien habe ich keine angestellt, aber ich würde vermuten, dass es heute eine Minderheit der Autoren ist, die "Tupel" ohne n verwenden, und dass der Anteil früher noch kleiner war. Nenne mir ein mathematisches Buch von vor 1970, das "Tupel" ohne n verwendet, und ich versuche, die Historie zu klären :-)--Gunther 19:40, 19. Mär 2005 (CET)

Die Beweislast liegt bei Dir, nicht bei mir - ich habe nichts behauptet, sondern nur nachgefragt, wie Tupel "die deutsche Sprache quält". Zur heutigen Verwendung brauchst Du aber nur googlen: "Tupel": 61.000 Treffer; "n-Tupel": 7.490 Treffer. "Tuple": 756.000 Treffer, "n-Tuple": 149.000 Treffer. Das Ergebnis ist eindeutig, damit können wir es wohl belassen. Die Formulierung im Text ("Beutelspacher rät ab") ist jedenfalls ausreichend neutral; auch wenn ich nicht voll zustimme, sehe ich keine Notwendigkeit zur Änderung. --NeoUrfahraner 20:04, 19. Mär 2005 (CET)

Laut en:tuple hat "Tupel-ohne-n" auch eine eigene Bedeutung in der Informatik, und die ersten fünf Seiten des Google-Ergebnisses zu "tupel -n-tupel -k-tupel -wikipedia" enthalten denn auch keine mathematischen Treffer (außer einer alten Wikipedia-Kopie, die wieso auch immer nicht rausgefiltert wurde), weiter habe ich dann nicht mehr nachgesehen. Aber wenn Du nichts gegen den derzeitigen Inhalt des Artikels einzuwenden hast, spricht auch aus meiner Sicht nichts gegen ein Ende der Diskussion.--Gunther 20:21, 19. Mär 2005 (CET)

Tupel versus Vektor

Wieso wurde der Unterschied zwischen Tupel und Vektor (Vektor braucht eine algebraische Struktur) gestrichen? --NeoUrfahraner 04:58, 19. Mär 2005 (CET)

Weil "Vektoren" an sich kein Spezialfall von n-Tupeln sind. "Zeilen-" oder "Spaltenvektoren" mögen das sein, aber das ist eher eine Schreibweise für ein n-Tupel denn ein mathematischer Begriff. (Was ist der Unterschied zwischen einem Zeilen- und einem Spaltenvektor?)--Gunther 10:44, 19. Mär 2005 (CET)

Diesen Unterschied sollte man dann aber auch im Text erklären. Zeilen- und Spaltenvektoren sind Vektoren als Matrizen betrachtet. Das Produkt eines Zeilen- und eines Spaltenvektors ist ja auch nicht das Skalarprodukt der Vektoren, sondern das Matrizenprodukt, und daher auch nicht mehr kommutativ. --NeoUrfahraner 11:19, 19. Mär 2005 (CET)

Die Koordinatendarstellung eines Vektors ist eine Funktion B → K, wobei B die entsprechende Basis und K der Skalarkörper ist. Man kann natürlich eine Ordnung der Basis wählen usw., aber das wird zu kompliziert. Dass R³ aus Tripeln reeller Zahlen besteht, habe ich schon hingeschrieben, und alles andere finde ich nur verwirrend.--Gunther 19:25, 19. Mär 2005 (CET)

Oder umgekehrt: Man braucht nicht mit dem Vektorraum starten, sondern kann aus n-Tupeln ein Beispiel eines Vektorraums konstruieren: Mit den naheliegenden Verknüpfungen ist für fixes n die Menge der n-Tupel eines Körpers ein Vektorraum. --NeoUrfahraner 01:07, 20. Mär 2005 (CET)

Warum gerade der Begriff "Vektorraum"? Warum nicht "Darstellung der symmetrischen Gruppe S_n" oder "differenzierbare Mannigfaltigkeit"? Trifft alles auch auf den Rⁿ zu. Hat aber auch mit n-Tupeln nichts zu tun.--Gunther 01:41, 21. Mär 2005 (CET)

Weil die von Dir zitierten "meisten Lesern, die noch nicht wissen, was n-Tupel sind" die n-Tupel IMHO sehr leicht mit Vektoren vermischen könnten, insbesondere, da in Computersprachen die Trennung dieser Begriffe nicht sauber durchgezogen wird. --NeoUrfahraner 02:41, 21. Mär 2005 (CET)

In der naiven Bedeutung von Vektor als "Spaltenvektor" oder so etwas ist der Unterschied schwammig. Wenn man auf den Begriff "Vektorraum" eingehen will, sollte man klare Beispiele geben wie den 2-dimensionalen Vektorraum $\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\}$, der aus 3-Tupeln besteht, oder den zweidimensionalen Vektorraum der Folgen $a_{n}$, die $a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$ erfüllen. Die von mir gelöschte Formulierung war m.E. nicht dazu geeignet, diesen Unterschied zu klären.--Gunther 11:02, 21. Mär 2005 (CET)

Die Informatiker benutzen die Bezeichnungen Vektor und Tupel durchaus als Synonyme. In Java gibt es z.B. den Vektor-Datentyp.--MKI 21:17, 19. Mär 2005 (CET)

Kann es sein, dass Vektor eher bei gleichen und Tupel bei verschiedenen Typen der Einträge benutzt wird?--Gunther 23:08, 19. Mär 2005 (CET)

Ja. In Programmiersprachen wird ein Tupel gleicher Typen häufig als Vektor bezeichnet (z.B. ein Vektor von Zeichenketten oder integern). Im C++ Standard beispielsweise kann man nachlesen, welche Voraussetzungen ein Typ T erfüllen muss, dass man einen Standard-"vector<T>" bilden kann. Von Körperaxiomen ist da jedenfalls nichts zu lesen. In der Mathematik hingegen wird etwas erst zum Vektor, wenn die algebraische Struktur eines Körpers vorhanden ist. Für jedes fixe n bilden die n-Tupel von Körperelementen dann mit den naheliegenden Verknüpfungen einen Vektorraum. Welche Verknüpfungen von Zeichenketten oder von ganzen Zahlen bilden aber einen Körper? Das, was in der Informatik salopp als Vektor von Zeichenketten bezeichnet wird, ist in der Mathematik zunächst lediglich ein n-Tupel von Zeichenketten. Genau dieser Unterschied gehört IMHO im Artikel aufgezeigt. --NeoUrfahraner 01:07, 20. Mär 2005 (CET)

Der Unterschied zwischen "Vektor" und "Tupel" in der Informatik ist aber für die mathematischen Begriffe irrelevant, denn in der Mathematik gibt es den Begriff des Typs nicht: man kann zu jedem (mathematischen) n-Tupel einen Körper K angeben, so dass es Element von Kⁿ wird.--Gunther 01:45, 20. Mär 2005 (CET)

Tupel ist eine geordnete Zusammenstellung von "Objekten", "Objekt" haben wir zwar in der Mathematik nicht defniert, es muss aber wohl ein Elemente irgendeiner vorher bestimmten Grundmenge sein; und diese Grundmenge ist dann genau der "Typ" des Objekts. "Tupel" läuft ja letzlich genau auf Element des kartesischen Produkts bestimmter Mengen hinaus. So groß ist der Unterschied zwischen Mathematik und Informatik auch wieder nicht; und wenn Du Aussagen so formulieren willst, dass sie auch ein dummer Computer versteht, musst Du eben Dinge wie den Typ dazusagen, die der Mathematiker aus dem Zusammenhang (Grundmenge) als gegeben ansieht. Wie Du nun aber beispielsweise die n-Tupel von ganzen Zahlen Modulo $2^{32}$, die einen Modul bilden, trotz der Nullteiler in einen Vektorraum einbetten willst, würde mich wirklich interessieren. --NeoUrfahraner 03:20, 20. Mär 2005 (CET)

Objekte sind Mengen, die Grundmenge ist die Klasse aller Mengen. Eine genauere Typisierung gibt es nicht.

Wie man aus Z/2³²Z Elemente eines Körpers macht: wähle einen Körper mit mehr als 2³² Elementen (z.B. R), wähle 2³² davon aus und ersetze sie durch die Elemente von Z/2³²Z. Hat natürlich rein gar nichts mit der Struktur von Z/2³²Z zu tun, ist aber ein Körper. Also ganz formal: es seien a₀,...,a_4294967295 Elemente von R. Dann sei

$K:=(\mathbf {R} \setminus \{a_{1},\ldots \})\cup \mathbf {Z} /2^{32}\mathbf {Z}$

Dabei sind die Körperoperationen auf K so erklärt: mit reellen Zahlen wird gerechnet wie immer, und mit $n\in \mathbf {Z} /2^{32}\mathbf {Z}$ wird gerechnet wie mit a_n. (Ich habe noch benutzt, dass R und Z/2³²Z disjunkt sind, aber das scheint mir glaubhaft und ist nicht allzu relevant.)

Praktisch relevant ist dieses Verfahren, wenn man die reellen Zahlen von den natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen aus aufbaut, aber trotzdem Inklusionen

$\mathbf {N} \subset \mathbf {Z} \subset \mathbf {Q} \subset \mathbf {R}$

haben will.--Gunther 03:41, 20. Mär 2005 (CET)

Jetzt einmal abgesehen davon, dass Du also doch eine algebraische Struktur einführen hast müssen, um aus dem Tupel einen Körper zu machen (genau diesen Satz hast Du ja aus dem Artikel gestrichen): Wie zeigst Du, dass es Körper mit bliebig vielen Elementen gibt? Welcher Körper hat z.B. mindestens so viele Elemente wie die Potenzmenge der reellen Zahlen? --NeoUrfahraner 09:36, 20. Mär 2005 (CET)

Der Satz von Löwenheim, Skolem und Tarski besagt, dass zu jeder Kardinalzahl größergleich der Mächtigkeit einer Menge von Ausdrücken $\Phi$ einer Logik erster Stufe Modelle dieser Kardinalität existieren, die $\Phi$ erfüllen, sofern ein unendliches Modell existiert. Die Körperaxiome lassen sich durch eine edliche Menge von Ausdrücken erster Stufe beschreiben, und unendliche Körper existieren auch.--MKI 10:28, 20. Mär 2005 (CET)

OK. Zurück zur Ausgangsfrage. Ist also jetzt ein Tupel ein Vektor? --NeoUrfahraner 10:36, 20. Mär 2005 (CET)

Nein, jedenfalls nicht mehr als jedes andere mathematische Objekt.--Gunther 11:04, 20. Mär 2005 (CET)

Und warum darf das nicht im Artikel stehen? --NeoUrfahraner 11:39, 20. Mär 2005 (CET)

Es stand da vor meiner Löschung: "Ein Spezialfall von N-Tupeln sind Vektoren (eindimensionale Matrizen) in einem N-dimensionalen Vektorraum", und aber nicht jeder Vektor ist ein n-Tupel, "eindimensionale Matrizen" sind i.d.R. nur Koordinatendarstellungen von Vektoren. Elemente von Rⁿ sind per definitionem n-Tupel, aber das hat mit der Vektorraumstruktur nichts zu tun. Was also willst Du zu Vektoren und n-Tupeln schreiben?--Gunther 11:54, 20. Mär 2005 (CET)

N-Tupeln von Elementen eines Körpers (mit den naheliegenden Verknüpfungen) genügen den Axiomen eines Vektorraums und sind daher Vektoren. Brauchst Du genauere Information oder siehst Du es auch so? Wenn Dir nicht mehr zu dem Thema einfällt, dann zerstöre zumindest nicht die bereits vorhandene Information. --NeoUrfahraner 14:33, 20. Mär 2005 (CET)

1. Der oben zitierte Satz ("Ein Spezialfall von N-Tupeln...") ist in dieser Form falsch.

2. Ich hoffte, dass das Prinzip anhand des Beispiels des R³ auch ohne die Begriffe Vektorraum und Körper klar wird. Ich denke, dass den meisten Lesern, die noch nicht wissen, was n-Tupel sind, auch der Begriff des Vektorraums unbekannt ist.--Gunther 14:51, 20. Mär 2005 (CET)

Ad 1: So falsch ist die Aussage auch wieder nicht. N-Tupel von Körperelementen sind ein Spezialfall von N-Tupeln und mit den naheliegenden Verknüpfungen Vektoren. Ad 2: Google fragen: Tupel: 60.500 Treffer. Vektor: 587.000 Treffer. Tuple 757.000 Treffer. Vector: 15.200.00 Treffer. Was ist also bekannter? --NeoUrfahraner 15:06, 20. Mär 2005 (CET)

Der alte Satz war Unfug, er ist zurecht rausgeflogen. Man könnte einen Abschnitt Anwendung einfügen und dort was in dem Stil reinsetzen, dass eine Basisdarstellung eines Vektors aus einem n-dimensionalen Vektorraums häufig als n-Tupel von Körperelementen geschrieben wird. Und man könnte eine Bemerkung dazu machen, wie der Begriff Vektor in der Informatik verwendet wird.--MKI 15:14, 20. Mär 2005 (CET)

Was genau ist am alten Satz Unfug gewesen? Deinem Vorschlag stimme ich aber zu. --NeoUrfahraner 00:51, 21. Mär 2005 (CET)

PS: Was war am Satz "Während für Vektoren aber zusätzlich eine algebraische Struktur, nämlich der Vektorraum definiert sein muss, ist Tupel ein rein mengentheoretischer Begriff." Unfug? --NeoUrfahraner 01:41, 21. Mär 2005 (CET)

Der Unterschied "Vektor im Sinne der linearen Algebra" und "n-Tupel" besteht nicht in der Vektorraumstruktur.--Gunther 01:52, 21. Mär 2005 (CET)

Sondern? Auf Vektor steht "In allgemeinster Form ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums" und auf Vektorraum steht "Ein Tripel (V,+,*) heißt Vektorraum über einem Körper K, wenn ...". "Vektor" hat also erst einen Sinn, wenn neben V auch +,* und K gegeben sind, Tupel hingegen braucht weder +,*, noch K. --NeoUrfahraner 02:41, 21. Mär 2005 (CET)

Dadurch, dass man auf den n-Tupeln eine Vektorraumstruktur hat, wird nicht jeder Vektor zu einem n-Tupel.--Gunther 11:02, 21. Mär 2005 (CET)

Wovon sprichst Du? Ich spreche vom Satz "Während für Vektoren aber zusätzlich eine algebraische Struktur, nämlich der Vektorraum definiert sein muss, ist Tupel ein rein mengentheoretischer Begriff." --NeoUrfahraner 12:15, 21. Mär 2005 (CET)

Ich auch. Dieser Satz suggeriert eine Ähnlichkeit zwischen dem Begriff "Vektor als Element eines Vektorraums" und dem Begriff "n-Tupel", die es nicht gibt. Dadurch, dass... s.o.--Gunther 13:30, 21. Mär 2005 (CET)

Ist der Satz also inhaltich richtig, suggeriert aber etwas Falsches? --NeoUrfahraner 00:13, 22. Mär 2005 (CET)

Ja.--Gunther 00:23, 22. Mär 2005 (CET)

Gefällt Dir "Tupel ist ein rein mengentheoretischer Begriff; für Vektoren muss aber zusätzlich eine algebraische Struktur definiert sein, nämlich der sogennante Vektorraum" besser? --NeoUrfahraner 02:07, 22. Mär 2005 (CET)

Um die Einrückung mal wieder zu reduzieren, antworte ich unten nach der Trennlinie.--Gunther 09:40, 22. Mär 2005 (CET)

Ad 1: Der Satz behauptete, dass Elemente eines N-dimensionalen Vektorraums N-Tupel seien, und das ist i.a. falsch.

So stimmt das tatsächlich nicht. Aber die N-dimensionalen Vektorräume über einem gegebenen Körper sind alle zueinander isomorph, und die N-Tupel bilden einen Repräsentanten dieser Äquivalenzklasse. So falsch ist der Satz also auch wieder nicht. --NeoUrfahraner 00:51, 21. Mär 2005 (CET)

Ad 2: Google: Vektorraum: 44.700 Treffer, vector space 631.000 Treffer.

Die Ausgangsfrage war aber nicht das Verhältnis Tupel zu Vektorraum, sondern das Verhältnis Tupel zu Vektor. --NeoUrfahraner 00:51, 21. Mär 2005 (CET)

Lies nochmal "2." oben durch.--Gunther 01:39, 21. Mär 2005 (CET)

Um 14:51, 20. Mär 2005 war auch der Begriff "Vektor", um den es ja geht, nicht im Beispiel zu finden." --NeoUrfahraner 02:41, 21. Mär 2005 (CET)

In "2." ging es um die Gründe, weshalb ich die alte Formulierung gelöscht hatte, und einer war die Verwendung des Wortes "Vektorraum", das ich für zu kompliziert im Kontext dieses Artikels hielt.--Gunther 11:02, 21. Mär 2005 (CET)

Habe das Beispiel abgeändert. Sind damit alle zufrieden?--Gunther 15:17, 20. Mär 2005 (CET)

Ich verstehe das Verhältnis Tupel zu Vektor damit nicht. Was ist ein Vektor im engeren Sinne? Was Du genau mit "wesentlich allgemeiner" (vielleicht unendlichdimensional?) meinst, ist mir auch nicht klar. --NeoUrfahraner 00:51, 21. Mär 2005 (CET)

Mit "Vektor im engeren Sinne" meine ich so etwas wie Zeilen- oder Spaltenvektoren, also Vektoren, wie man sie aus der Schule kennt, insbesondere Elemente von R³ o.ä. Der "weitere Sinn" wird ja durch den Verweis auf die lineare Algebra erklärt.

Mit "wesentlich allgemeiner" meine ich: ein Vektor in der linearen Algebra ist irgendetwas, Hauptsache, es liegt in einem Vektorraum. Und das hat mit n-Tupeln primär nichts zu tun, auch wenn jeder endlichdimensionale Vektorraum isomorph zu usw. ist.--Gunther 01:39, 21. Mär 2005 (CET)

Ok, der "engere Sinn" ist draußen.--Gunther 01:58, 21. Mär 2005 (CET)

---

Es geht hier in der Diskussion um drei Begriffe:

• n-Tupel
• Vektoren im Sinne von "n-Tupel von Zahlen", z.B. Elemente des $\mathbb {R} ^{n}$
• Vektoren im Sinne der linearen Algebra

Der erste und der zweite Begriff sind formal kaum zu trennen, da es keinen präzisen Zahlbegriff gibt (es gibt nur Mengen). Der zweite und der dritte Begriff haben nicht viel miteinander zu tun, ausser dass der $K^{n}$ einen $K$-Vektorraum bildet. Ein einzelner Vektor der linearen Algebra entspricht nicht einem n-Tupel, sondern unterschiedlichen, je nach Basiswahl. Diese Differenzierung gehört meiner Meinung nach aber nicht hierher, sondern in Vektor oder Vektorraum.

Dein Vorschlag "Tupel ist ein rein mengentheoretischer Begriff; für Vektoren muss aber zusätzlich eine algebraische Struktur definiert sein, nämlich der sogennante Vektorraum" stellt für mich immer noch eine Verknüpfung von zwei wahren Aussagen dar, die fälschlicherweise suggeriert, dass die beiden Begriffe in einer engen Beziehung zueinander stehen.--Gunther 09:40, 22. Mär 2005 (CET)

Bezüglich ersten und dritten Begriff stimme ich Dir zu, beim zweiten habe ich eine andere Vorstellung, nämlich dass ich es tolerieren würde, n-Tupel von Köperelementen als Vektor zu bezeichen; n-Tupel ganzer Zahlen also nicht, dafür n-Tupel irgendwelche abstrakter Körper schon. Darum gefält mir auch die derzeitige Formulierung des Artikels nicht. Darum geht es aber nicht. Egal was man zulässt und was nicht, der zweite Begriff ist mathematisch nicht sauber. Es geht mir vielmehr um den umgangssprachlichen Begriff "Vektor", der oft ganz einfach als Synonym für n-Tupel verwendet wird, beispielsweise in Programmiersprachen wie Java oder C++ (vgl. den Beitrag von MKI 21:17, 19. Mär 2005). Leser, die von der Informatikseite kommen, sollen nach dem Lesen des Artikels nicht zum Eindruck kommen, dass auch in der Mathematik Tupel also nur ein anderes Wort für Vektor ist. Eine enge Beziehung zwischen Tupel und Vektor braucht nicht suggeriert zu werden, sondern existiert bereits (zumindest im Sprachgebrauch der Informatik). --NeoUrfahraner 16:45, 22. Mär 2005 (CET)

Es ist sogar üblich "Vektoren" (im n-Tupel-Sinn) von Differentialoperatoren hinzuschreiben, und das sind definitiv keine Zahlen. Die Einschränkung auf Zahlen erfolgt nur, um an den aus der Schule bekannten Begriff zu erinnern. Da der Begriff Vektor (in dieser Bedeutung) ohnehin nicht klar definiert ist, scheint mir das zulässig.

Zu den Begriffen der Informatik sollte man einen eigenen Abschnitt schreiben und sie nicht mit den mathematischen vermischen. Ich fürchte, dass gerade die Erwähnung von "Vektor im Sinne der linearen Algebra" und "n-Tupel" in einem Satz suggerieren könnte, dass die mathematischen Begriffe etwas miteinander zu tun haben, und das ist falsch. Dass die Begriffe der Informatik eng verwandt sind, macht die Gefahr dieses Missverständnisses noch größer.

Laut en:tuple, en:vector, en:array und en:list sind die Begriffe auch in der Informatik unterschiedlich insofern, als ein Tupel im Unterschied zu Vektoren, Listen und Arrays keine inhärente Ordnung besitzt. Eine Vermischung mit den Begriffen der Informatik wäre also schon deshalb extrem irreführend.--Gunther 17:47, 22. Mär 2005 (CET)

1) Welches Problem hast Du mit Vektoren von Differentialoperatoren?

2) Zeigt die Aussage, "dass eine Basisdarstellung eines Vektors aus einem n-dimensionalen Vektorraums häufig als n-Tupel von Körperelementen geschrieben wird." (Zitat MKI) nicht, "dass die mathematischen Begriffe etwas miteinander zu tun haben"?

3) Ist die unterschiedliche Verwendung in der Informatik nicht erst recht ein Grund, im Artikel Klärung zu schaffen? --NeoUrfahraner 06:24, 23. Mär 2005 (CET)

1) Keines. Du wolltest diesen Vektorbegriff gerade auf Körperelemente beschränken.

2) Nein. Basisdarstellungen von Vektoren in n-dimensionalen Vektorräumen haben etwas mit n-Tupeln zu tun, Vektoren nicht, vgl. den bereits genannten 2-dimensionalen Vektorraum $\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\}$, dessen Vektoren 3-Tupel sind. Selbst Basisdarstellungen werden erst zu n-Tupeln, wenn man eine Ordnung der Basis wählt.

3) Habe mich daran versucht.

--Gunther 11:51, 23. Mär 2005 (CET)

Ad 1: Warum hast Du dann "das sind definitiv keine Zahlen" geschrieben? Wie dem auch sei; mein Punkt ist, dass ich die Bezeichnung "Vektor" statt "n-Tupel" dann toleriere, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, über welchem Körper und mit welchen Verknüpfungen die Menge deser n-Tupel einen Vektorraum bilden. Speziell bei n-Tupeln von Körperelementen sind der Körper und die Verknüpfung normalerweise aus dem Zusammenhang klar; bei anderen n-Tupeln kann das auch der Fall sein. Bei n-Tupel natürlicher Zahlen sehe ich den Körper aber nicht. Der Unkehrschluss, dass damit jeder Vektor ein n-Tupel sein muss, gilt natürlich nicht, schon gar nicht im Unendlichdimensionalen.

Ad 2: Was Du angegeben hast, ist nur eine Menge, kein Vektorraum. Aus dem Zusammenhang kann ich zwar erraten, welchen Körper und welche Verknüpfungen Du meinst; aber die von Dir gegebene Menge kann auch als Vektorraum über den rationalen Zahlen betrachtet werden und hat dann ganz andere Eigenschaften. Genau das meine ich damit, dass Tupel ein rein mengentheoretischer Begriff ist, für Vektoren aber zusätzlich eine algebraische Struktur definiert sein muss.

Ad 3: OK --NeoUrfahraner 03:07, 24. Mär 2005 (CET)

Ad 1: Ich meinte "Vektoren" wie ${\begin{pmatrix}\partial /\partial x_{1}\\\partial /\partial x_{2}\\\partial /\partial x_{3}\end{pmatrix}}$, die 3-Tupel von Nichtkörperelementen sind.

Ad 2: Hm, natürlich kann man das missverstehen, wenn man will, da stimme ich Dir zu. Aber selbst mit der algebraischen Struktur (als reeller Unterraum des $\mathbb {R} ^{3}$) werden diese 3-Tupel kein dreidimensionaler Vektorraum.--Gunther 10:20, 24. Mär 2005 (CET)

Ad 1: Ich weiß, was Du mit Vektoren von Differentialoperatoren meinst, und dass Differentialoperatoren weder Körperelemente noch Zahlen sind. Da ich aber einen dazugehörigen Vektorraum erkennen kann, habe ich kein Problem damit, Vektor in diesem Zusammenhang ohne Anführungszeichen zu schreiben.

Ad 2: Die konkrete Dimension ist in diesem Zusammenhang nebensächlich. Der Punkt ist, dass die Menge erst dann zum Vektorraum wird (und die Elemente der Menge damit zu Vektoren), wenn die algebraische Struktur dazukommt - egal, ob die algebraische Struktur nun implizit aus dem Zusammenhang erkennbar wird, oder ob explizit dazugesagt wird, dass die Menge beispielsweise als Vektorraum über den rationalen Zahlen betrachtet wird. --NeoUrfahraner 12:25, 24. Mär 2005 (CET)

ad 1: Ich denke schon, dass es nicht unüblich ist, Elemente von $\mathbb {Z} ^{n}$ auch als Vektoren zu bezeichnen (google nach "ganzzahliger Vektor" liefert nicht nur spezielle Elemente von $\mathbb {R} ^{n}$). Der Begriff ist nicht exakt definiert, aber das ist auch nicht die Aufgabe hier, sondern wenn dann unter Vektor.

ad 2: Ich bezog mich auf den von Dir unter "2)" zitierten Satz, der "n-dimensional" und "n-Tupel" zusammenbringt, und ich wollte zeigen, dass das ohne das Wort "Basisdarstellung", das wir hoffentlich beide nicht in diesem Artikel erwähnen wollen, nicht sinnvoll ist.--Gunther 13:04, 24. Mär 2005 (CET)

Ich denke, wir sind uns weitgehend einig; natürlich können wir auch ewig so weitermachen. Gibt es konkrete Punkte in der derzeitigen Fassung, die Dir Unbehagen bereiten?--Gunther 13:04, 24. Mär 2005 (CET)

Da Du anscheinend nicht bereit bist, auf den eigentlichen Punkt einzugehen, ist es vermutlich wirklich besser, die Diskussion abzubrechen. Mit der derzeitgen Fassung kann ich mehr oder weniger gut leben, und eine Formulierung, die uns beiden besser gefällt, werden wir wohl nicht mehr finden, daher auch aus meiner Sicht Ende der Debatte. --NeoUrfahraner 15:08, 24. Mär 2005 (CET)

Es beruhigt mich zu hören, dass ich nicht der einzige bin, der den Eindruck hat, dass wir aneinander vorbeireden. Mir dabei mangelnden Willen zu unterstellen finde ich allerdings nicht ausgesprochen freundlich. (Ach ja, zur Sache: beim Durchlesen kam mir noch ein Gedanke: wenn Du wirklich meinst, dass ein 3-Tupel von Differentialoperatoren dadurch zum Vektor wird, dass man es mit reellen Zahlen multiplizieren kann, sind wir uns in diesem Punkt nicht einig. Ich hatte es ehrlich gesagt nicht so richtig für möglich gehalten, dass Du das meinst.)--Gunther 16:22, 24. Mär 2005 (CET)

Du lenkst schon wieder vom eigentlichen Punkt ab. --NeoUrfahraner 00:35, 25. Mär 2005 (CET)

Dann verrate mir doch bitte, welcher Dein "eigentlicher Punkt" ist. Ich weiß es nämlich wirklich nicht.--Gunther 00:42, 25. Mär 2005 (CET)

"Der Punkt ist, dass die Menge erst dann zum Vektorraum wird (und die Elemente der Menge damit zu Vektoren), wenn die algebraische Struktur dazukommt" (mein Beitrag von 12:25, 24. Mär 2005) Oder auch die ursprüngliche Frage "Wieso wurde der Unterschied zwischen Tupel und Vektor (Vektor braucht eine algebraische Struktur) gestrichen?" (04:58, 19. Mär 2005) Wir waren uns ja schon einig, dass im streng mathematischen Sinne ein Tupel nicht mehr Vektor ist als jedes andere mathematische Objekt (Dein Beitrag von 11:04, 20. Mär 2005). Du hast allerdings die Ansicht vertreten, dass es nicht notwendig wäre, diesen Unterschied hier zu beschreiben, und als Antwort darauf habe ich die oberflächlichen Gemeinsamkeiten von Vektor und Tupel betont. Im nachinein betrachtet habe ich die Gemeinsamkeiten wohl zu sehr betont. Mir geht es ja gar nicht um die Gemeinsamkeiten, sondern um den Unterschied; die Gemeinsamkeiten habe ich nur herausgestrichen, um klar zu machen, warum der Unterschied im Artikel deutlich gemacht werden soll. Die jetzige Formulierung (Vektor ist "allgemeiner") macht den Unterschied aber meines Erachtens nicht klarer, sondern verwischt ihn eher. Vektor ist weder allgemeiner noch spezieller, sondern ganz einfach etwas anderes. Tupel existieren für sich alleine; Vektoren nur im Kontext von algebraischen Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften. --NeoUrfahraner 02:36, 25. Mär 2005 (CET)

Danke für die Erklärung, das hatte ich wirklich nicht verstanden. Ich glaube aber immer noch, dass es zwei Vektorbegriffe gibt: einerseits alles, "das wie ein Vektor aussieht", also i.w. n-Tupel, und andererseits Vektoren der linearen Algebra. Habe den Artikeltext mal wieder ein wenig angepasst, zumindest der zweite Teil sollte Dir jetzt besser gefallen. Kann vielleicht noch geglättet werden.--Gunther 06:49, 25. Mär 2005 (CET)

Ach ja, hoffentlich überzeugende Begründung für die Zwei-Vektoren-Theorie: wenn ich eine Matrix mit Einträgen in einem Ring nach den üblichen Regeln auf ein n-Tupel von Ringelementen anwende, wäre es unnatürlich, es nicht Vektor nennen zu dürfen.--Gunther 07:07, 25. Mär 2005 (CET)

OK, haben wir es doch noch geschafft, einen gemeinsamen Standpunkt zu finden. Was Du im Artikel geschrieben hast, entspricht im Wesentlichen dem, was ich meine. Wenn Du im zweiten Teil noch irgendetwas wie algebraische Struktur, Verknüpfung oder dass man Vektoren beispielsweise addieren kann, unterbringst (mein Vorschlag: "Gesamtheit" durch "Menge mit bestimmten darauf definierten Verknüpfungen" ersetzen), wäre ich vollauf zufrieden, aber daran soll es jetzt jedenfalls nicht mehr scheitern. Danke, --NeoUrfahraner 10:22, 25. Mär 2005 (CET)

Es tut mir leid, dass ich Dich so lange missverstanden habe, und ich wünsche Dir frohe Ostern.--Gunther 00:08, 26. Mär 2005 (CET)

Auch ich wünsche Dir frohe Ostern. --NeoUrfahraner 01:14, 26. Mär 2005 (CET)

Runde 2

So ich bin ein bisschen angefuchst, dass Gunther einfach nen revert hingeklatscht hat ... aber ok, hier mal folgendes zur Erklärung: Ein Tupel kann als Matrix mit einer Zeile und m Spalten aufgefasst werden, das ist äquivalent mit einer Matrix mit n Zeilen und m Spalten, von der ab Zeile 2 nur 0en gesetzt werden. Transponiert man die Matrix (n x m) wird die erste Zeile zur ersten Spalte, also die Matrix zu einer m x n Matrix. Da nun aber alle Spalten Null sind, kann man sie auch weglassen. Rein analytisch betrachtet schlägt man da die Hände über den Kopf. Ich studiere aber Physik und habe als Nebenfach angewandte Mathematik(bzw. Höhere Mathematik), die nicht so genau, dafür aber praktisch veranlagt ist. Ich sehe es aber nicht ein, nur eine analytische Betrachtung vorzuziehen, es ging um Beispiele und ich habe ein praktisches Beispiel genannt, sowie einen Zusammenhang zwischen Tupel und Vektor. (Muss aber auch sagen, dass ich erst im ersten Semester bin und das meiste was ihr da erzählt noch nicht ganz verstehe ^^) --Tossek 23:32, 28. Mär 2005 (CET)

Das tut mir leid, aber wie Du bemerkt haben wirst, gab es ja schon ausführliche Diskussionen zu diesem Thema... Also: Es gibt kanonische Bijektionen $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{1\times n}$ und $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n\times 1}$, also die Identifikation von $n$-Tupeln mit Zeilen- bzw. Spaltenvektoren. Es ist aber nicht sinnvoll, eine dieser Identifikationen zu bevorzugen; $n$-Tupel sind per se weder Zeilen- noch Spaltenvektoren (auch wenn sie optisch nur schwer von Zeilenvektoren zu unterscheiden sind). Transposition stellt eine Bijektion zwischen Zeilen- und Spaltenvektoren her, hat also mit $n$-Tupeln direkt nichts zu tun. Genügt das?--Gunther 00:08, 29. Dez 2005 (CET)

Das bestreite ich auch nicht, aber: Dass nicht alle Tupel Vektoren sind, impliziert nicht, dass best. Vektoren Tupel sein können. --Tossek 22:42, 30. Mär 2005 (CET)

Ja, keine Frage. Elemente des $\mathbb {R} ^{n}$ sind $n$-Tupel und Vektoren. Aber sie sind per se weder Zeilen- noch Spaltenvektoren (im Sinne von $1\times n$- bzw. $n\times 1$-Matrizen).--Gunther 22:46, 30. Dez 2005 (CET)

wenn ich das mal weiterspinne heißt, dass doch, dass dann eine transponierte geordnete Menge (Tupel) in einer Mengendimension, ein Vektor in einem $\mathbb {R} ^{n}$ darstellt. Weil: Ich hatte hier von der Uni aus eine Aufgabe, in dem 2 Tupel transponiert wurden und ich wusste nicht, dass die dann zu Spaltenvektoren werden, deshalb behark ich so ein bisschen auf so einen Eintrag für diesen Spezialfall --Tossek 23:06, 30. Mär 2005 (CET)

Das war dann wohl eher ein transponierter Zeilenvektor, der dann ein Spaltenvektor wurde. Du scheinst $n$-Tupel mit Zeilenvektoren und Elemente von $\mathbb {R} ^{n}$ mit Spaltenvektoren gleichzusetzen; das sieht für mich eher nach einer Verwechslung aus.--Gunther 23:30, 30. Dez 2005 (CET)

Siehe auch: Relation

Was hat der Verweis auf Relation bei "Siehe auch" bedeuten? --NeoUrfahraner 02:40, 20. Mär 2005 (CET)

Nichts, rausgenommen. (Die Elemente einer mehrstelligen Relation sind n-Tupel, aber das rechtfertigt keinen Verweis.)--Gunther 03:07, 20. Mär 2005 (CET)

Geordnetes Paar

Sollte dieser Artikel nicht besser die gleiche Definition für "geordnetes Paar" verwenden wie der Artikel geordnetes Paar? --NeoUrfahraner 13:26, 29. Mär 2005 (CEST)

Radikalerer Vorschlag: Artikel vereinigen. Geordnete Paare sind nicht einfacher als n-Tupel, und inhaltlich ist geordnetes Paar ohnehin fast schon eine Teilmenge von Tupel.--Gunther 14:07, 29. Mär 2005 (CEST)

Ach ja, was hier noch rein sollte: es gibt eine Möglichkeit, geordnete Paare so zu definieren, dass man geordnete Paare echter Klassen bilden kann. Wenn ich mich nicht irre, ist

$(a,b):=\{(0,x)_{*}\mid x\in a\}\cup \{(1,y)_{*}\mid y\in b\}$ mit $(x,y)_{*}:=\{x,\{x,y\}\}$

eine solche Konstruktion.--Gunther 14:16, 29. Mär 2005 (CEST)

Artikel vereinigen halte ich nicht für sinnvoll, den erstens ist das in den anderssprachigen Versionen (zumindest en und fr) auch nicht der Fall und zweitens gibt es (wie auch Deine zweite Anmerkung zeigt) zum Thema "geordnetes Paar" anscheinend mehr zu sagen, als es auf den ersten Blick scheint (z.B. die Geschichte der verschiedenen Definitionen; in en und fr finden sich die Namen Wiener und Kuratowski). --NeoUrfahraner 19:12, 29. Mär 2005 (CEST)

Die anderssprachlichen Seiten habe ich gesehen, und die o.g. Definition funktioniert natürlich entsprechend für n-Tupel. Aber solange der mengentheoretische Ballast nicht dupliziert wird, sind mir zwei Artikel auch recht. (Wer zum erstenmal n-Tupel nachschlägt, will keine Konstruktion, dem reicht völlig, dass zwei n-Tupel genau dann gleich sind, wenn usw.)--Gunther 19:40, 29. Mär 2005 (CEST)

(Neuer Diskussionsbeitrag)

Ich bin nicht wenig irretiert über die in der Wikipedia stehende Definition des Tupel-Begriffs sowie auch über die Diskussionen zu diesem Begriff. Gerne gebe ich zu diesem Thema einen Begriffsklärenden Beitrag, den ich hier aber leider aus technischen Gründen nicht einbringen kann. Sollte jemand Interesse haben, so kann er sich bei mir melden. --Georg Roch

Leider ist diese Kritik so wenig konkret, dass ich nicht weiß, was ich darauf entgegnen könnte.--Gunther 20:42, 7. Mär 2006 (CET)

Sie können, falls Sie Interesse haben, Kontakt mit mir aufnehmen. --Georg Roch

Dazu sehe ich derzeit keinen Anlass. Wenn es irgendetwas zum Artikel zu sagen gibt, ist hier der richtige Ort (und Sie sind ja offenbar dazu in der Lage, sich hier zu äußern, die Form muss ja nicht druckreif sein).--Gunther 21:00, 7. Mär 2006 (CET)

Die nachstehenden Ausführungen sind lediglich Überlegungen zum mathematischen Hintergrund des Tupel-Kapitels.

Wenn das Wort "Tupel" denselben Begriff wie "endliche Folge", bei manchen Autoren allerdings mit dem Zusatz: "mit einer Länge größer als Eins", bezeichnet, dann muss auch die Tupel-Definition Folgen liefern. Die Definition einer Folge der Länge n, wobei n eine nichtnegative ganze Zahl ist, lautet so: Ist n gleich Null, dann ist die Folge die leere Menge, andernfalls ist sie das geordnete Paar (x,F), wobei x ein Objekt und F eine Folge der Länge n minus Eins ist. Diese Definition wird "nach vorn orientiert" bezeichnet, im Gegensatz zu der "nach hinten orientierten", wo anstelle des Paares (x,F) das Paar (F,x) zu setzen ist. Erstere hat den Vorteil, dass eine Folge ihre "Glieder" in "natürlicher Reihe" enthält, bei letztere dagegen in "umgekehrter Reihe": Sind m und n positive ganze Zahlen, m kleiner oder gleich n, und F eine Folge der Länge n, dann ist bei nach vorn orientierter Definition das "Glied in der Position" m die linke Komponente von F, wenn m=1, andernfalls das Glied in der Position m-1 der rechten Komponente von F. Bei nach hinten orientierter Definition ist das Glied in der Position m die rechte Komponente von F wenn m=n, andernfalls das Glied in der Position n-m der linken Komponente von F. Nach diesen Bemerkungen liegt es nahen den Tupel-Begriff, wenn man ihn mit dem Folge-Begriff gleichsetzen will, eventuell mit der oben erwähnten Einschränkung auf Längen größer als Eins, auf die nach vorne orientierte Definition zu gründen.

Wenn man den Tupel-Begriff nicht auf den Begriff der endlichen Folgen sondern, wie auch im Tupel-Kapitel geschehen, vom geordneten Paar als kürzestes Tupel ausgehend, aufbaut, ist es erforderlich, um Eindeutigkeit bezüglich der Länge eines Tupels und der Position seiner Glieder innerhalb eines Tupels zu wahren, wie schon im genannten Kapitel erwähnt, auf Hilfskonstruktionen zurückzugreifen, die auf den Betrachter "unnatürlich" wirken und die mathematische Behandlung der Tupel sehr kompliziert.

Eine weitere Möglichkeit, den Tupel-Begriff zu definieren, ist, wie schon im genannten Kapitel ebenfalls erwähnt, seine Rückführung auf den Abbildungs-, oder, was dasselbe ist, Funktions-Begriff: Eine Menge geordneter Paare heißt "Abbildung" oder "Funktion", wenn sie keine zwei Elemente mit gleicher vorderer Komponente enthält. Die Menge der vorderen Komponenten der Elemente einer Abbildung heißt ihr "Urbildbereich" und die der hinteren Komponenten ihr "Bildbereich". Die Definition des Tupel-Begriffs lautet dann so: Sei n eine positive ganze Zahl. Eine Abbildung, deren Urbildbereich aus den Zahlen von 1 bis n besteht, heißt "Tupel der Länge" n. Sind die Elemente im Bildbereich Mengen, so heißt die Abbildung auch "kartesisches Produkt der Länge" n. In einem Kapitel über Tupel ist es aber nicht erforderlich explizit den Abbildungs-Begriff anzusprechen, es würde genügen, so zu definieren: Sei n eine positive ganze Zahl. Eine n-elementige Menge von geordneten Paaren, deren vordere Komponenten die Zahlen von 1 bis n sind, heißt "Tupel der Länge" n. Sind die hinteren Komponenten Mengen, so heißt sie auch "kartesisches Produkt der Länge" n.

Der Rückgriff auf den Folgen-Begriff zur Definition des Tupel-Begriffs scheint mir inadäquat, es hat so etwas, wenn ich mir zu sagen erlauben darf, wie "schießen mit Kanonen nach Spatzen" an sich. Der Folgen-Begriff verdiente wegen seines Umfangs und seiner nicht unerheblichen Bedeutung in der Wikipedia ein eigenes Kapitel.

Abschließend noch eine Bemerkung zum Umgang mit dem Wort "n-Tupel". Wenn man z.B. schreibt "Sei n eine ganze Zahl und T ein n-Tupel", so dient das Gebilde "n-Tupel" als eine Abkürzung von "Tupel der Länge n". Allgemein steht "X-Tupel", wobei X ein Ausdruck ist, der in einem mathematischen Text an der Stelle, wo "X-Tupel" steht, einen Zahlwert hat, für "Tupel der Länge X". Demnach hat z.B. in dem Satz "Seien k und n positive ganze Zahlen und T ein (2*k+m-1)-Tupel" das Gebilde "(2*k+m-1)-Tupel" eine Bedeutung. Das Wort "n-Tupel" hat also an "n-freien" Stellen, d.h. an Textstelle, wo über "n" nichts "vereinbart" ist, keinen Sinn. Ich würde es begrüßen, wenn sich Mathematiker durchringen könnten, dies zu beherzigen, d.h. an n-freien Stellen nicht mehr "n-Tupel" sondern nur noch "Tupel" zu schreiben. --Georg Roch

"Endliche Folge" wird auch häufig definiert als Abbildung mit Definitionsbereich $\{1,\ldots ,n\}$, z.B. [1] S. 90. Vgl. auch Folge (Mathematik).

Ihre Definition von "kartesisches Produkt" ist extrem ungewöhnlich, üblicherweise versteht man darunter die Menge aller n-Tupel mit Einträgen aus den jeweiligen Mengen, oder falls n-Tupel nicht ohnehin als Abbildungen definiert werden, auch die Menge der Abbildungen mit Definitionsbereich $\{1,\ldots ,n\}$ und passenden Werten. Es sollte jedenfalls $|X\times Y|=|X|\cdot |Y|$ gelten und nicht generell $|X\times Y|=2$.

Der Umgang mit dem Problem "Tupel" vs. "n-Tupel" folgt Beutelspacher (vgl. Artikel). Es gibt keine Objekte, die Tupel (schlechthin) heißen, sondern nur 1-, 2- oder n-Tupel für irgendeine Variable n (oder wie sie auch immer heißen mag). Es steht schon im Text: n bezeichnet hierbei die Anzahl der Elemente des n-Tupels. Allerdings sollte das früher gesagt werden, da muss ich Ihnen zustimmen. (Allerdings wäre es mir aufgrund der Verwechslungsgefahr mit der $\in$-Relation sympathischer, von "Einträgen" statt "Elementen" zu sprechen.)

Generell sehe ich den Artikel eher unter dem Aspekt des working mathematician, d.h. es genügt mir vollkommen, dass es eine formale Umsetzung der Aussage "X ist das 5-Tupel mit den Einträgen $X_{1},\ldots ,X_{5}$" als eine logische Formel mit den freien Variablen $X,X_{1},\ldots ,X_{5}$ gibt. Für 99% der Mathematik ist es vollkommen egal, wie diese Formel genau aussieht, ob sie geordnete Paare verwendet, ob sie dabei das Prinzip (x,F) oder (F,x) verwendet, oder ob sie auf dem Abbildungsbegriff aufbaut. Deshalb würde ich derartigen Detailfragen auch nur begrenzten Raum zugestehen wollen.--Gunther 19:04, 8. Mär 2006 (CET)

Die Kritik an der Bezeichnung "$n$-Tupel" lässt sich direkt auf den Begriff "$p$-adische Zahlen" übertragen. Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass jemand ernsthaft fordern würde, diese künfig als "adische Zahlen" zu bezeichnen. Persönlich empfinde ich es eher so: Wenn die Variable $n$ frei ist, dann wird sie durch die Formulierung "$n$-Tupel" gebunden, d.h. ab diesem Punkt weiß ich, dass $n$ eine nichtnegative ganze Zahl ist, die mit der Länge des $n$-Tupels übereinstimmt.--MKI 19:58, 8. Mär 2006 (CET)

Ansonsten muss ich Gunther zustimmen: Für die Verwendung des Tupel-Begriffs ist es in den allermeisten Fällen unerheblich, wie die "mengentheoretischen Innereien" aussehen. Ein klares Indiz dafür ist auch die Tatsache, dass es, wie oben beschrieben, mehrere Wege gibt, ein $n$-Tupel mengentheoretisch zu definieren. Deshalb finde ich den Aufbau des Artikels so wie er jetzt ist genau richtig: Das für die allermeisten Leser Wesentliche, nämlich die Intuition, die hinter dem Begriff des $n$-Tupels steckt, kommt in der Einleitung, und das "Expertenwissen" im letzten Abschnitt.--MKI 20:07, 8. Mär 2006 (CET)

Ich antworte hiermit nicht auf Ihre Antwort auf meinen letzten Diskussions-Beitrag sondern fasse den informalen Teil Ihres Tupel-Kapitels noch einmal ins Auge und beginne mit Bemerkungen.

1. "… eine geordnete Zusammenstellung von Objekten, …" Diese Formulierung ist problematisch: Jedes Objekt ist ein Unikat, es kann sich beispielsweise nicht mehrmals in einer Reihe befinden.

2. "Die Objekte werden als Elemente …" Das Wort "Element" sollte hier nicht verwendet werden: Vorher wurde ausdrücklich darauf hingewiesen, dass ein n-Tupel hier nicht als Menge anzusehen ist. "Element" wird in der Mathematik nur im Sinne "Element einer Menge" gebraucht.

3 . "… mehrfach dasselbe Element enthalten …" Siehe Bemerkung zu Punkt 1.

4. "Diese Anzahl muss endlich sein." Diese Aussage ist überflüssig: Es wird hier von einem n-Tupel gesprochen, wobei n eine ganze Zahl ist. "unendlich" ist aber keine Zahl.

5. "Im Fall eines 2-Tupels spricht man auch von einem geordneten Paar" Diese Bemerkung trifft nicht zu. Ein 2-Tupel ist kein geordnetes Paar

6. "Albrecht Beutelspacher rät in seinem mathematischen Stilratgeber ..." Privatmeinungen gehören nicht in ein wissenschaftliches Kapitel, insbesondere dann nicht, wenn sie gegen logische Prinzipien verstoßen, hier gegen die wissenschaftliche Nomenklatur-Ordnung.

7. "Notationskonflikt: …" Diese Bemerkung ist schon wegen des Passus: "… ist aus dem Kontext zu ersehen …" überflüssig.

Nachstehend eine korrekte Version des informalen Teils vom Tupel-Kapitels.

• • Ein n-Tupel (n ist eine ganze Zahl größer als Eins) ist eine aus n Eintragungen bestehende Liste. Eingetragen sind mathematische Objekte (Zahlen oder anderes), wobei ein Objekt auch mehrmals eingetragen sein kann. Z.B. ist (3,2,3,3,8) ein 5-Tupel. Das an der i-ten Stelle eines n-Tupels eingetragene Objekt wird seine "i-te Komponente" genannt. Bei 3-Tupeln spricht man auch von "Tripeln", bei 4-Tupeln von "Quadrupeln", bei 5-Tupeln von "Quintupeln" usw. Daher der Name "Tupel".

Unter Berücksichtigung der Bemerkung 6. und der unmotivierten Einschränkung auf n>1, lautet obiger Text:

• • Eine Liste, in der mathematische Objekte (Zahlen oder anderes) eingetragen sind, wobei ein Objekt auch mehrmals eingetragen sein kann, heißt "Tupel". Ist n die Länge der Liste und größer als 1, so spricht man von einem "n-Tupel". Z.B. ist (3,2,3,3,8) ein 5-Tupel. Das an der i-ten Stelle eines Tupels eingetragene Objekt wird seine "i-te Komponente" genannt. Bei 3-Tupeln spricht man auch von "Tripeln", bei 4-Tupeln von "Quadrupeln", bei 5-Tupeln von "Quintupeln" usw. Daher der Name "Tupel".

Gegen diese Formulierung werden auch Mathematiker keine Einwendungen erheben können. Abhängig von Ihrer Reaktion werde ich auch einen Vorschlag zum formalen Teil des Kapitels machen. --Georg Roch

Jetzt stellt sich "nur" die Frage, wie ein Mathematiker "Liste" definiert. --NeoUrfahraner 09:21, 13. Mär 2006 (CET)

So: (Leider weiß ich nicht, wie man mathematischen Text schreibt, insbesondere Indizes setzt, aber Sie werden schon herausfinden, was ich meine.)

• Die Mathematik kennt im Wesentlichen zwei Möglichkeiten, Listen zu definieren, die eine als Abbildung, die andere als Folge. Um Verwechslungen zu vermeiden, werden nachstehend geordnete Paare nicht mit runden sondern mit eckigen Klammern geschrieben.

• • Liste der Länge n als Abbildung:
  • n=0, Definition: {}, Notation: ()
  • n>0, Definition: {[1,a1],...[n,an]}, Notation: (a1,...an)

• • Liste der Länge n als Folge:
  • n=0, Definition: {}, Notation: ()
  • n=1, Definition: [(),a1], Notation: (a1)
  • n>1, Definition: [(a1,...an-1),an], Notation: (a1,...an) --Georg Roch

Damit wird die Definition aber zirkulär. Eine endliche Folge ist eine Abbildung/Funktion mit einer endlichen Teilmenge der natürlichen Zahlen als Definitionsmenge, eine Funktion ist eine linkstotale, rechtseindeutige Relation, und eine Relation ist ein Tripel/3-Tupel (A,B,R) mit zwei Mengen A, B und R als Teilmenge von AxB, womit wir wieder beim n-Tupel gelandet wären. "Liste" hilft also nicht weiter. --NeoUrfahraner 17:23, 13. Mär 2006 (CET)

Ich habe mit meinen letzten beiden Beiträgen den Inhalt des bestehenden Tupel-Artikels, der mir logisch fundiert erscheint, präzisiert. Mein nächster Beitrag wird ein Entwurf für einen Tupel-Artikel sein.--Georg Roch

Ich schlage vor, das gegenwärtige Tupel-Kapitel durch Nachstehendes zu ersetzen.

Tupel, n-Tupel

Ein Tupel der Länge n , kurz n-Tupel genannt, ist eine Liste, in der hintereinander n Eintragungen von Objekten stehen, wobei Objekte mehrmals eingetragen sein können. Die eingetragenen Objekte heißen Komponenten des Tupels. 3-, 4- und 5-Tupel werden auch Tripel, Quadrupel bzw. Quintupel genannt (daher der Name Tupel.)

Tupel werden in vielen mathematischen Disziplinen gebraucht. Jede hat ihre Eigenart, Tupel zu notieren: Oftmals werden die Komponenten in der Reihenfolge ihres Vorkommens hintereinander, in einigen Disziplinen, z.B. der analytische Geometrie, untereinandert aufgelistet und das Ganze in Klammern eingeschlossen:

$(a,b,c)\quad [a,b,c]\quad {\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}$

Formale Definition

Die Mathematik kennt im Wesentlichen zwei Möglichkeiten, den Tupel-Begriff zu definieren: Die eine hebt die Nummerierung der Komponenten hervor, die andere deren Hintereinanderstehen.

Nachstehend wird zur Notation der Tupel die in runde Klammern gesetzte Nebeneinander-Schreibung der Komponenten verwendet. Um Verwechslungen vorzubeugen, werden geordnete Paare in spitze Klammern gesetzt.

• Definition mit Hervorhebung der Nummerierung:

$(a_{1},\;\dots \;a_{n}):=\lbrace \langle 1,a_{1}\rangle ,\;\dots \;\langle n,a_{n}\rangle \rbrace$ ( Abbildung mit der Urbildmenge {1, ... n} )

• Definition mit Hervorhebung des Hintereinanderstehens:

$n=1:\quad (a):=\langle \lbrace \rbrace ,a\rangle$

$n>1:\quad (a_{1},\;\dots \;a_{n}):=\langle (a_{1},\;\dots \;a_{n-1}),a_{n}\rangle$ ( Folge der Länge n )

Diese Definitionen zeigen, dass ein geordnetes Paar kein 2-Tupel ist! --Georg Roch

Diskussion des Neuformulierungsvorschlags

Den gesamten Artikel auf die vorgeschlagene Version zu kürzten halte ich nicht für sinnvoll. Die formale Definition, insbesondere die Variante "Definition mit Hervorhebung des Hintereinanderstehens" kann man aber von mir aus gerne im Artikel unterbringen. Vermeidet diese Definition eigentlich das Problem, "dass die bei der Bildung des n-Tupels intendierte Stellenzahl nicht als Information im Tupel enthalten ist"? Die Definition zeigt natürlich nicht, dass ein geordnetes Paar kein 2-Tupel ist (eine Definiton zeigt gar nichts), aber es stimmt, dass ein geordnetes Paar kein 2-Tupel im Sinne dieser Definition ist.

Frage: ist die vorgeschlagene "Definition mit Hervorhebung des Hintereinanderstehens" irgendwo publiziert? Ich werde schauen, ob ich zu anderen Definitionen von n-Tupel Literaturverweise finde; im Sinne von NPOV sollte der Artikel die verbreiteten Definitionen anführen und deren Zweckmäßigkeit diskutieren. --NeoUrfahraner 12:27, 16. Mär 2006 (CET)

Die Stellenzahl, gemeint ist wohl damit die Anzahl der Stellen eines Tupels in der Definitionsversion "Hervorhebung des Hintereinanderstehens" ist bei der Definition mitgegeben, denn sie geht von einer gegebenen Tupellänge aus und bringt so viele Objekte als rechte Paar-Komponenten ein wie die gegebene Länge ausweist. Bei der im Tupel-Artikel gegebenen entsprechenden Definition ist die Anzahl nicht eindeutig definiert; vor allem weil sie nicht bei der leeren Menge startet.

Ein 2-Tupel ist nach der ersten Definition eine Menge der Form {<1,a>,<2,b>} und nach der zweiten Definition das geordnete Paar <<{},a>,b>. Beide sind verschieden von <a,b>, womit, so denke ich, die Definition zeigt, dass ein 2-Tupel kein geordnetes Paar (ich hätte zusetzen sollen: "mit denselben Komponenten") ist.

Der Folgen-Begriff ist ein zentraler Begriff in der Mathematik und wird so definiert wie ich es angegeben habe, allerdings stets bei der leeren Menge startend, was ich implizit durch den Ausgang von <{},a> statt von {} getan habe, denn mir schien es nicht angebracht, den Leser eventuell mit dem 0-Tupel-Begriff zu irritieren.

Eine weitere Definition geht auf eine andere Folgen-Definition zurück. Die von mir angegebene benutzt die Paare <F,x>, wobei F eine Folge ist, die andere die Paare <x,F>. Man kann zeigen, dass beide Definitionen untereinander und auch mit der Definition "Hervorhebung der Nummerierung" äquivalent sind.

Ich kann mir nicht vorstellen, dass der Tupel-Begriff anders als auf die angegebenen Arten definiert werden kann.

Um auf Ihre Frage zurück zukommen: Mir fällt keine Publikation ein.--Georg Roch

Sie haben den Tupel-Artikel so eingeleitet:

Das n-Tupel ist ein Begriff der Mathematik. Er bezeichnet eine geordnete Zusammenstellung von Objekten, im Gegensatz zu Mengen, deren Elemente keine festgelegte Reihenfolge haben.

Die Aussage des ersten Satzes ist bereits in der Artikel-Überschrift enthalten, bringt also keinen Beitrag zum Verstehen des Artikels. Die Aussage des zweiten Satzes ist problematisch: "Zusammenstellung von Objekten". Diese Formulierung impliziert beim nachdenklichen Leser die Verschiedenheit der Objekte, denn Objekte sind Unikate, in der Mathematik wie überall.

Etwas später formulieren Sie

Dadurch, dass bei einem n-Tupel jedem seiner Elemente ein eindeutiger Platz zugeordnet ist, kann es auch mehrfach dasselbe Element enthalten.

Hiermit vervollständigen Sie Ihre erste Aussage in Richtung des Tupel-Begriffs, beschwören jedoch die erwähnten Unikat-Probleme. Ich meine, die Formulierung:

Ein Tupel der Länge n , kurz n-Tupel genannt, ist eine Liste, in der hintereinander n Eintragungen von Objekten stehen, wobei Objekte mehrmals eingetragen sein können. Die eingetragenen Objekte werden meist Komponenten des Tupels genannt.

vermeidet das Unikat-Problem und trifft das Wesen des Tupels genau : In eine Liste kann man sich mehrfach eintragen, denn man steht ja nicht anstelle des Eintrags. Mithilfe des Komponenten-Begriffs, den ich im zweiten Satz erwähne, kommen die Objekte wieder ins Spiel.Bei meiner Formulierung wäre es auch deplaziert, auf den Gegensatz zu Mengen aufmerksam zu machen, denn die Vorstellung einer Liste hat keinen Bezug zu Mengen.

Etwas später schreiben Sie:

n bezeichnet hierbei die Anzahl der Elemente des n-Tupels. Diese Anzahl muss endlich sein. Im Fall eines 2-Tupels spricht man auch von einem geordneten Paar.

n ist eine Zahl-Variable. Da es eine Zahl "Unendlich" nicht gibt, kann auf die entsprechende Bemerkung verzichtet werden. Mathematische Begriffe sind ausschließlich durch mathematische Methoden definiert. Eine informale Begriffsbeschreibung kann nicht gegen die Mathematik verstoßen. Weil Sie ebenso gut wie ich wissen, dass es nicht möglich ist, den Tupel-Begriff so zu definieren, dass geordnete Paare 2-Tupel sind, hat der entsprechende Satz oben in der informalen Beschreibung keinen Platz.

Weiter schreiben Sie:

Oft werden die Elemente eines n-Tupels mit Hilfe der natürlichen Zahlen indiziert.

Auch würde ich diesen Satz vermeiden, er ist nicht Bestandteil des Tupelbegriffs. Ich werde Ihnen in ein paar Tagen einen überarbeiteten Vorschlag für beide Teile, Informal- und Formal-Teil, unterbreiten.--Georg Roch

Ich habe ein wenig in der Literatur nachgelesen. Die meisten Bücher (z.B. Hlawka/Binder/Schmitt, Grundbegriffe der Mathematik) definieren das n-Tupel genau wie im Artikel und weisen darauf hin, dass ein 2-Tupel mit einem geordneten Paar identisch ist. Eine etwas andere Definition habe ich in der Encyclopedia of Mathematics, Vol 9, Kluwer Verlag gefunden. Dort ist

$(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})=\left\{{\begin{matrix}\left\{\right\}&{\mbox{falls }}n=0\\\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{n-1}),\{a_{n}\}\right\}&{\mbox{falls }}n>0\end{matrix}}\right.$

Oben vorgeschlagene Definition habe ich aber nicht gefunden. Es ist jedenfalls nicht im Sinn der Wikipedia, eine neue von der Literatur abweichende Definition zu erfinden. --NeoUrfahraner 21:20, 17. Mär 2006 (CET)