Final-σ-Algebra

Die Final-σ-Algebra ist ein spezielles Mengensystem, genauer eine σ-Algebra, in der Maßtheorie. Die Final-σ-Algebra ist das größte Mengensystem auf der Zielmenge einer vorgegebenen Familie von Funktionen, so dass diese alle messbar sind. Somit bildet sie den Konterpart zur Initial-σ-Algebra, der kleinsten σ-Algebra auf der, so dass die vorgegebenen Funktionen messbar sind. Ein analoges Prinzip findet sich in der Topologie, hier sind die Initialtopologie und die Finaltopologie die feinste bzw. gröbste Topologie, so dass eine gegebene Menge von Funktionen stetig ist.

Definition

Für eine beliebige Indexmenge seien Messräume $(X_{i},{\mathcal {A}}_{i})$ gegeben sowie Abbildungen $f_{i}\colon X_{i}\to X$ für eine beliebige Menge $X$. Dann heißt die σ-Algebra

${\mathcal {F}}(f_{i},\,i\in I):=\bigcap _{i\in I}\{A\subset X\,|\,f_{i}^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}_{i}\}$

die Final-σ-Algebra der Abbildungen $f_{i}$ auf $X$.

Eigenschaften

• Ist ein weiterer Messraum $(Y,{\mathcal {A}}^{*})$ gegeben und eine Funktion $g:X\to Y$, so ist $g$ genau dann ${\mathcal {F}}(f_{i},\,i\in I)$ - ${\mathcal {A}}^{*}$-messbar, wenn die Kompositionen $g\circ f_{i}$ alle ${\mathcal {A}}_{i}$ - ${\mathcal {A}}^{*}$-messbar sind.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.