Tschebyscheff-Filter

Tschebyschefffilter sind Frequenzfilter, die auf ein möglichst scharfes Abknicken des Frequenzganges bei der Grenzfrequenz ausgelegt sind. Dafür verläuft die Verstärkung im Durchlassbereich nicht monoton, sondern besitzt zur Grenzfrequenz hin eine festlegbare Welligkeit. Innerhalb einer Ordnung ist der Abfall umso größer, je größer die zugelassene Welligkeit ist.

Übertragungsfunktion

Für den Bereich $0\leq x\leq 1$ besitzen die Tschebyscheff-Polynome $T_{n}$ die gewünschten Eigenschaften. Für $x\geq 1$ wachsen die Tschebyscheff-Polynome monoton.

Um mit Hilfe der Tschebyscheff-Polynome einen Tiefpass herzustellen, setzt man

$\left|{\underline {A}}\right|^{2}={\frac {kA_{0}^{2}}{1+\epsilon ^{2}T_{n}^{2}(P)}}$

mit

k so gewählt, dass für x=0 $\left|{\underline {A}}\right|^{2}=A_{0}^{2}$ wird

$\epsilon$ Maß der Welligkeit

Koeffizienten

Bringt man die Übertragungsfunktion in die Form

$A[P]={\frac {A_{0}}{\prod _{i}(1+a_{i}P+b_{i}P^{2})}}$

ergeben sich für die Koeffizienten $a_{i}$ und $b_{i}$ folgende Beziehungen:

Ordnung n des Filters gerade:

$a_{i}^{\prime }=2b_{i}^{\prime }\sinh \gamma \cos {\frac {(2i-1)pi}{2n}}$

$b_{i}^{\prime }={\frac {1}{\cosh ^{2}\gamma -\cos ^{2}{\frac {(2i-1)pi}{2n}}}}$

Ordnung n des Filters ungerade:

$a_{1}^{\prime }={\frac {1}{\sinh \gamma }}$

$b_{1}^{\prime }=0$

$a_{i}^{\prime }=2b_{i}^{\prime }\sinh \gamma \cos {\frac {(i-1)pi}{n}}$

$b_{i}^{\prime }={\frac {1}{\cosh ^{2}\gamma -\cos ^{2}{\frac {(i-1)pi}{n}}}}$

Diese Koeffizienten sind so gewählt, dass die Grenzfrequenz $\omega _{g}$ auf die letzte Frequenz normiert ist, an der die gewählte Verstärkung das letzte Mal angenommen wird.

Eigenschaften

Das Tschebyschefffilter besitzt folgende Eigenschaften:

• welliger Frequenzverlauf im Durchlassbereich, besonders gegen Grenzfrequenz
• sehr schnelles Abknicken bei der Grenzfrequenz, verbessert sich mit der Ordnung und der Welligkeit
• beträchtliches Überschwingen bei der Sprungantwort, verschlechtert sich mit der Ordnung und Welligkeit
• lässt man die Welligkeit gegen 0 gehen, geht das Tschebyschefffilter in ein Butterworthfilter über
• keine konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich