Pythagoreisches Tripel
Ein pythagoräisches Tripel ist eine Gruppe von drei ganzen Zahlen, für die die Gleichung des Pythagoras gilt:
Das einfachste pythagoräische Zahlentripel ist (3,4,5), aber auch alle Vielfachen davon (6,8,10), (9,12,15), ... sind pythagoräische Tripel.
Mit pythagoräischen Tripeln befasst sich die Zahlentheorie. Schon der griechische Mathematiker Diophant hat sie untersucht.
Primitive pythagoräische Tripel
Ein primitives pythagoräisches Tripel ist ein pythagoräisches Tripel, bei dem die drei Zahlen teilerfremd sind. Primitive pythagoräische Tripel enthalten immer zwei ungerade Zahlen und eine gerade. Mit den drei binomischen Formeln lässt sich leicht zeigen, dass man beliebig viele primitive pythagoräische Tripel erzeugen kann, wenn man irgendein Paar von teilerfremden Zahlen m und n wählt und daraus a = m² - n², b = 2·m·n und c = m² + n² bestimmt:
Beispiele:
| m="2"; n="1" | => | a=3 | b=4 | c=5 | |
| m="3"; n="1" | => | a=8 | b=6 | c=10 | Vielfaches von oben |
| m="3"; n="2" | => | a=5 | b=12 | c=13 | |
| m="4"; n="1" | => | a=15 | b=8 | c=17 | |
| m="4"; n="3" | => | a=7 | b=24 | c=25 | |
| m="5"; n="2" | => | a=21 | b=20 | c=29 | |
| m="6"; n="1" | => | a=35 | b=12 | c=37 |
Sind m und n beide ungerade, kann sich kein primitives pythagoräisches Tripel ergeben, da dann a, b und c gerade sind.
Fermat'sche Tripel
Die pythagoräischen Tripel sind eine Besonderheit der Quadratzahlen: Der Große Fermatsche Satz besagt, dass es keinen anderen ganzzahligen Exponenten n gibt, für den mit den ganzen Zahlen a, b und c gilt:
Solche Zahlen nennt man auch Fermat'sche Tripel. Nach dem Theorem existieren also für ganzzahlige n>2 keine solchen Tripel.
Links
- Unter http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/pythtripel.html findet sich Vertiefendes und auch einige Beweise.
- Pythagoräische Tripel