Diskussion:Fünfzehneck

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Berechnung der Seitenlänge

Die in obiger Tabelle angegebene Formel für die Seitenlänge leitet sich wie folgt her:

($\angle ABC$ bezeichnet den von ${\overline {AB}}$ und ${\overline {BC}}$ eingeschlossenen Winkel.)

Berechnungsskizze für Seitenlänge a

${\mathsf {(1)}}$ Gleichseitiges Dreieck $AME_{1}$

${\mathsf {(1.1}})\;{\overline {ME_{1}}}=R$ (Umkreisradius)

${\mathsf {(1.2)}}\;{\overline {AM}}={\overline {ME_{1}}}={\overline {AE_{1}}}=R$ nach Konstruktion, Schritt 3

${\mathsf {(1.3)}}\;{\overline {FM}}={\frac {1}{2}}\cdot R$

${\mathsf {(2)}}$ Rechtwinkliges Dreieck $\;FME_{1}$

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {ME_{1}}}^{2}={\overline {FM}}^{2}+{\overline {FE_{1}}}^{2}$

${\begin{aligned}{\overline {FE_{1}}}&={\sqrt {{\overline {ME_{1}}}^{2}-{\overline {FM}}^{2}}}={\sqrt {R^{2}-\left({\frac {1}{2}}\cdot R\right)^{2}}}={\sqrt {R^{2}-{\frac {1}{4}}\cdot R^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {3}{4}}\cdot R^{2}}}=R\cdot {\sqrt {\frac {3}{4}}}=R\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}$

${\mathsf {(3)}}$ Rechtwinkliges Dreieck $FMC$

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {FC}}^{2}={\overline {FM}}^{2}+{\overline {MC}}^{2}$

${\mathsf {(3.1)}}\;{\overline {FC}}={\sqrt {{{\overline {FM}}^{2}}+{{\overline {MC}}^{2}}}}={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}\cdot R\right)^{2}+R^{2}}}={\sqrt {{\frac {5}{4}}\cdot R^{2}}}=R\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}$

${\mathsf {(3.2)}}\;{\overline {FG}}={\overline {FC}}=R\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}\;$ nach Konstruktion, Schritt 5

${\mathsf {(4)}}$ Rechtwinkliges Dreieck $ABE_{2}$

${\mathsf {(4.1)}}\;{\overline {MG}}={\overline {FG}}-{\overline {FM}}=R\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot R=R\cdot {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$

${\mathsf {(4.2)}}\;{\overline {AE_{2}}}={\overline {AH}}={\overline {MG}}=R\cdot {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\;$ (Der Punkt $H$ ist ein Nebenprodukt der Konstruktion von $E_{2}$ und $E_{5}{\text{.}}$)

Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck $ABE_{2}$ rechtwinklig, wieder gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {AB}}^{2}={\overline {AE_{2}}}^{2}+{\overline {BE_{2}}}^{2}$

${\begin{aligned}{\mathsf {(4.3)}}\;{\overline {BE_{2}}}&={\sqrt {{\overline {AB}}^{2}-{\overline {AE_{2}}}^{2}}}={\sqrt {{(2\cdot R)}^{2}-\left({R\cdot {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}\right)^{2}}}={\sqrt {4\cdot R^{2}-{R^{2}}\cdot {\frac {\left({\sqrt {5}}-1\right)^{2}}{4}}}}\\&=R\cdot {\sqrt {4-{\frac {\left({\sqrt {5}}-1\right)^{2}}{4}}}}=R\cdot {\sqrt {{\frac {16}{4}}-{\frac {\left(5-2{\sqrt {5}}+1\right)}{4}}}}=R\cdot {\sqrt {\frac {10+2{\sqrt {5}}}{4}}}\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(10+2{\sqrt {5}}\right)}}=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\mathsf {(4.4)}}\;\sin \left(\beta \right)&={\frac {\overline {AE_{2}}}{\overline {AB}}}={\frac {R\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}{2R}}={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\;=\sin \left(18^{\circ }\right)\\&\Rightarrow \angle \;E_{2}BA=\beta =18^{\circ }\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\mathsf {(4.5)}}\;\cos \left(\beta \right)&={\frac {\overline {BE_{2}}}{\overline {AB}}}={\frac {R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}{2R}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\;=\cos \left(18^{\circ }\right)\end{aligned}}$

${\mathsf {(5)}}$ Gleichschenkliges Dreieck $MBE_{2}$

(Die Summe aller Innenwinkel eines Dreiecks beträgt $180^{\circ }$ und in einem Gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel, die den gleich langen Schenkeln gegenüberliegen (hier $\alpha$ und $\beta$), gleich groß.)

${\mathsf {(5.1)}}\;\angle E_{2}BM=\angle E_{2}BA=\beta =18^{\circ }$ (aus 4.4)

${\begin{aligned}{\mathsf {(5.2)}}\;\gamma &=180^{\circ }-2\cdot 18^{\circ }=144^{\circ }\\\delta &=\angle E_{2}MA=180^{\circ }-144^{\circ }=36^{\circ }\end{aligned}}$

${\mathsf {(6)}}$ Rechtwinkliges Dreieck $IBE_{2}$

Mit $\angle E_{2}BI=18^{\circ }$ gilt ${\frac {\overline {IE_{2}}}{BE_{2}}}=\sin \left(18^{\circ }\right)$ sowie ${\frac {\overline {BI}}{BE_{2}}}=\cos \left(18^{\circ }\right).$

${\begin{aligned}{\mathsf {(6.1)}}\;{\overline {IE_{2}}}&={\overline {BE_{2}}}\cdot \sin \left(18^{\circ }\right)=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\cdot {\frac {1}{4}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot 2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)\cdot {\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)^{2}}}=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{32}}\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)\cdot \left(5-2\cdot {\sqrt {5}}+1\right)}}\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{32}}\cdot \left(25-10\cdot {\sqrt {5}}+5+5\cdot {\sqrt {5}}-10+{\sqrt {5}}\right)}}=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{32}}\cdot \left(20-4\cdot {\sqrt {5}}\right)}}\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{32}}\cdot 4\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{8}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\\{\text{(6.2)}}\;{\overline {FJ}}&={\overline {IE_{2}}}=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{8}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\\{\text{(6.3)}}\;{\overline {BI}}&={\overline {BE_{2}}}\cdot \cos \left(18^{\circ }\right)=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\cdot {\frac {1}{4}}{\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\\&=R\cdot {\frac {1}{8}}\cdot {\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}^{2}=R\cdot {\frac {1}{8}}\cdot 2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)=R\cdot {\frac {1}{4}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)\end{aligned}}$

${\mathsf {(7)}}$ Rechtwinkliges Dreieck $E_{2}JE_{1}$

${\mathsf {(7.1}})\;{\overline {BF}}={\overline {BM}}+{\overline {FM}}=R+{\frac {1}{2}}\cdot R={\frac {3}{2}}\cdot R$

${\begin{aligned}{\mathsf {(7.2)}}\;{\overline {JE_{2}}}&={\overline {BI}}-{\overline {BF}}=R\cdot {\frac {1}{4}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)-R\cdot {\frac {3}{2}}=R\cdot \left({\frac {1}{4}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)-{\frac {3}{2}}\right)\\&=R\cdot \left({\frac {5}{4}}+{\frac {\sqrt {5}}{4}}-{\frac {6}{4}}\right)=R\cdot {\frac {1}{4}}\left(5+{\sqrt {5}}-6\right)=R\cdot {\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\\{\mathsf {(7.3)}}\;{\overline {JE_{1}}}&={\overline {FE_{1}}}-{\overline {FJ}}=R\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}=R\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\sqrt {{\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)\end{aligned}}$

${\mathsf {(7.4)}}$ Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {E_{1}E_{2}}}^{2}={\overline {JE_{2}}}^{2}+{\overline {JE_{1}}}^{2}$

${\color {white}{\mathsf {(9.3)}}}{\begin{aligned}\;{\overline {E_{1}E_{2}}}&={\sqrt {{\overline {JE_{2}}}^{2}+{\overline {JE_{1}}}^{2}}}\\&={\sqrt {\left\lbrack R\cdot {\frac {1}{4}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\right\rbrack ^{2}+\left\lbrack R\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\sqrt {{\frac {1}{8}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)\right\rbrack ^{2}}}\\&={\sqrt {\left\lbrack R^{2}\cdot {\frac {1}{16}}\cdot \left(5-2\cdot {\sqrt {5}}+1\right)\right\rbrack +\left\lbrack R^{2}\cdot \left({\frac {3}{4}}-2\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{8}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}+{\frac {1}{8}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)\right)\right\rbrack }}\\&=R\cdot {\sqrt {\left\lbrack {\frac {1}{16}}\cdot \left(5-2{\sqrt {5}}+1\right)\right\rbrack +\left\lbrack {\frac {3}{4}}-{\sqrt {3\cdot {\frac {1}{8}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}+{\frac {10}{16}}-{\frac {2\cdot {\sqrt {5}}}{16}}\right\rbrack }}\\&=R\cdot {\sqrt {\left\lbrack {\frac {5}{16}}-{\frac {2\cdot {\sqrt {5}}}{16}}+{\frac {1}{16}}\right\rbrack +\left\lbrack {\frac {12}{16}}-{\sqrt {{\frac {6}{16}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}+{\frac {10}{16}}-{\frac {2\cdot {\sqrt {5}}}{16}}\right\rbrack }}\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {28-4\cdot {\sqrt {5}}}{16}}-{\sqrt {{\frac {6}{16}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}=R\cdot {\sqrt {{\frac {7}{4}}-{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {5}}-{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {6\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot \left(7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)}}=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}\end{aligned}}$

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \mathsf{(8)} \; a = \overline{E_1E_2} = R \cdot \frac{1}{2}\sqrt{7-\sqrt{5}-\sqrt{6\left(5-\sqrt{5} \right)}} \approx 0{,}416\cdot R }

• Der Faktor entspricht genau dem in der obigen Formel für die Seitenlänge.
  

Der Satz wurde ersetzt durch: "Die in obiger Tabelle angegebene Formel für die Seitenlänge leitet sich wie folgt her:"
--Petrus3743 (Diskussion) 18:15, 15. Jun. 2015 (CEST)

Auch in der "abgespeckten Version" mehrzeilige Formeln eingearbeitet

--Petrus3743 (Diskussion) 14:59, 16. Jun. 2015 (CEST)

die Zeilen 7 - 12 überarbeitet Petrus3743 (Diskussion) 18:45, 22. Jun. 2015 (CEST)

• Woher kommen die $4\cdot {\frac {1}{4}}$ in

$\;=R\cdot {\sqrt {\left({\frac {1}{16}}\left(5-2{\sqrt {5}}+1\right)+{\frac {3}{4}}-{\sqrt {{\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)\cdot 4\cdot 3\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\frac {2}{2}}}}+{\frac {10}{16}}-{\frac {2}{16}}\cdot {\sqrt {5}}\right)}}$?

Sind das die unter die Wurzel gezogenen Terme $2\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}$? Falls ja: meinst du nicht, es ist einfacher, die sich einfach (vor der Wurzel) wegkürzen zu lassen?
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 11:51, 10. Aug. 2015 (CEST)

Bin wieder zurück! Der 4. und 5. Wurzelausdruck ist jetzt hoffentlich verständlich korrigiert. 4 1/4 war eine Gedankenstütze für erforderliche Erweiterungen der betreffenden Brüche, die nicht hierhin gehört.

Petrus3743 (Diskussion) 19:12, 19. Aug. 2015 (CEST)

Kommentare

Eine alternative Vereinfachung von Zeile 9. (Ich bin überzeugt du weißt eine mit weniger Schritten)

${\overline {IE_{2}}}={\overline {FJ}}={\overline {BE_{2}}}\cdot \sin \left(18^{\circ }\right)=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(5+{\sqrt {5}}\right)2}}\cdot {\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right);$ nach Vereinfachung $\Rightarrow R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\approx 0{,}588\cdot R$

Vereinfachung: ${\overline {IE_{2}}}{^{2}}=R^{2}\cdot {\frac {1}{4}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)2\cdot {\frac {1}{16}}\left(5-2{\sqrt {5}}+1\right)=R^{2}\cdot {\frac {1}{4}}\cdot 2\cdot {\frac {1}{16}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)\cdot \left(5-2{\sqrt {5}}+1\right)=R^{2}\cdot {\frac {2}{4}}\cdot {\frac {1}{16}}\cdot \left(25+5-10-10{\sqrt {5}}+5{\sqrt {5}}+{\sqrt {5}}\right)=$

$=R^{2}\cdot {\frac {1}{32}}\left(20-4{\sqrt {5}}\right)=R^{2}\cdot \left({\frac {20}{32}}-{\frac {4}{32}}{\sqrt {5}}\right)=R^{2}\cdot \left({\frac {5}{8}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {5}}\right)=R^{2}\cdot {\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)\cdot {\frac {4}{4}}=R^{2}\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\frac {4}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)\Rightarrow {\sqrt {{\overline {IE_{2}}}{^{2}}}}={\overline {IE_{2}}}=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {4}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}$

--Petrus3743 (Diskussion) 16:08, 1. Jun. 2015 (CEST)

Hier mein Versuch. Ein paar Zwischenschritte kann man wohl weglassen.

${\begin{aligned}R\cdot {\sqrt {\left(5+{\sqrt {5}}\right)\cdot 2}}\cdot {\frac {1}{4}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\\{\overset {\text{alles unter die Wurzel}}{=}}R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)\cdot 2\cdot {\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)^{2}}}\\{\overset {\text{Brüche zusammenfassen}}{\underset {\text{2. Binomische Formel}}{=}}}R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{32}}\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)\cdot \left(5-2\cdot {\sqrt {5}}+1\right)}}\\{\overset {\text{ausrechnen}}{=}}R\cdot {\sqrt {\left(5+{\sqrt {5}}\right)\cdot \left(6-2\cdot {\sqrt {5}}\right)}}\\{\overset {\text{ausmultiplizieren}}{=}}R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{32}}\cdot \left(30-10\cdot {\sqrt {5}}+6\cdot {\sqrt {5}}-2\cdot {\sqrt {5}}\cdot {\sqrt {5}}\right)}}\\{\overset {\text{zusammenfassen}}{=}}R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{32}}\cdot \left(20-4\cdot {\sqrt {5}}\right)}}\\{\overset {\text{4 ausklammern}}{=}}R\cdot {\sqrt {{\frac {4}{32}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\\{\overset {\text{kürzen}}{=}}R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\end{aligned}}$
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 12:28, 7. Jun. 2015 (CEST)

Bravo, das sieht sehr gut aus! Nach dem Weglassen der Hinweise (${\text{alles unter die Wurzel}}$ etc.) sollte es so verwendet werden.

Ähnlich gelingt es dir bestimmt auch für Zeie 13....--Petrus3743 (Diskussion) 12:53, 7. Jun. 2015 (CEST)

Eine alternative Vereinfachung von Zeile 13. (Auch hier bin ich überzeugt, du weißt eine mit weniger Schritten)

Rechtwinkeliges $\mathbf {\triangle {E_{2}JE_{1}},}$ es gilt nach dem Satz des Pythagoras:

${\overline {E_{1}E_{2}}}=R\cdot {\sqrt {{\overline {JE_{2}}}{^{2}}+{\overline {JE_{1}}}{^{2}}}}=R\cdot {\sqrt {\left({\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\right)^{2}+\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)^{2}}};$ nach Vereinfachung $\Rightarrow R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}$

Vereinfachung:

${\overline {E_{1}E_{2}}}{^{2}}=R^{2}\cdot \left({\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\right)^{2}+\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)^{2}=R^{2}\cdot \left({\frac {1}{16}}\left(5-2{\sqrt {5}}+1\right)+{\frac {3}{4}}-{\sqrt {3}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)\cdot {\frac {6}{6}}}}+{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)\right)=$

$=R^{2}\cdot \left({\frac {5}{16}}-{\frac {2}{16}}{\sqrt {5}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {3}{4}}-{\sqrt {3}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {12}}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}+{\frac {5}{8}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {5}}\right)=R^{2}\cdot \left({\frac {5}{16}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {12}{16}}+{\frac {10}{16}}-{\frac {2}{16}}{\sqrt {5}}-{\frac {2}{16}}{\sqrt {5}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)=$

$=R^{2}\cdot \left({\frac {28}{16}}-{\frac {4}{16}}{\sqrt {5}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)=R^{2}\cdot \left({\frac {7}{4}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)=R^{2}\cdot {\frac {1}{4}}\left(7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)\Rightarrow {\sqrt {{\overline {E_{1}E_{2}}}{^{2}}}}={\overline {E_{1}E_{2}}}=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}$

--Petrus3743 (Diskussion) 14:50, 2. Jun. 2015 (CEST)

Ich „vereinfache” den Term zu $R\cdot {\frac {1}{4}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(47-5{\sqrt {5}}-24{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)}}$. Ich glaube nicht, dass das besser ist als deine Umformungen.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:32, 7. Jun. 2015 (CEST)

Größen

• Vorschlag: Aufnahme der Seitenlänge. M. E. fehlt diese Größe in der Tabelle. Der Vorschlag ist in der "Probeansicht vom werdenden Artikel / Regelmäßiges Fünfzehneck" zur Entscheidung eingearbeitet. Im aktuellen Punkt 1 "Berechnung der Seitenlänge" ist vorab der Hinweis "Die in obiger Tabelle angegebene Formel für die Seitenlänge leitet sich wie folgt her:" eingearbeitet. Was ggfs. noch fehlt ist eine Erklärung deinersets zu "Seitenlänge" und der Formel mit den Winkelfunktionen. Was hälst du davon?
  

Petrus3743 (Diskussion) 02:21, 24. Aug. 2015 (CEST)

Was hältst du von folgender Änderung? (Der Abschnitt ersetzt den Abschnitt „Umkreisradius”)

Umkreisradius und Seitenlänge

Wieder wird das Fünfzehneck in 15 kongruente Dreiecke zerlegt. Mit den aus der letzten Herleitung bekannten Winkeln liefert der Sinussatz die Länge einer Seite des Fünfzehnecks in Abhängigkeit von der Länge der Strecke zwischen dem Mittelpunkt und einem Eckpunkt und umgekehrt. Letzteres ist der Radius des Umkreises.

${\begin{aligned}{\frac {\sin \left(24^{\circ }\right)}{\sin \left(78^{\circ }\right)}}={\frac {a}{R}}&\Leftrightarrow a={\frac {R\cdot \sin \left(24^{\circ }\right)}{\sin \left(78^{\circ }\right)}}\approx 0{,}416\cdot R\\&\Leftrightarrow R={\frac {a\cdot \sin \left(78^{\circ }\right)}{\sin \left(24^{\circ }\right)}}\approx 2{,}405\cdot a\end{aligned}}$

())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 18:27, 24. Aug. 2015 (CEST)

Prima, genauso machen wir es. erledigtErledigt

Nachtrag: Optimal wäre die Reihenfolge zuerst die Seitenlänge ...$\Leftrightarrow a$ und anschließend der Umkreisradius ...$\Leftrightarrow R$ (gleiche Reihenfolge wie deren Berechnungen)

Petrus3743 (Diskussion) 19:51, 24. Aug. 2015 (CEST)

geändert.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 11:39, 25. Aug. 2015 (CEST)

• Hat es einen Grund, dass in der Größentabelle zweimal „$\alpha =$” steht statt wie in allen anderen Zeilen einfach das zweite Gleichheitzseichen eingerückt? [Nach belieben Wörter hinzufügen, biss der Satz Sinn ergibt.]
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 11:42, 25. Aug. 2015 (CEST)

Hatte keinen Grund, bereits geändert

Petrus3743 (Diskussion) 12:44, 25. Aug. 2015 (CEST)

Danke.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:23, 25. Aug. 2015 (CEST)

Berechnung der Seitenlänge

Vorschlag zur Verbesserung? (Beispiel: $\angle ABC$ bezeichnet den Winkel, der von ${\overline {AB}}$ und ${\overline {BC}}$ eingeschlossen wird.) Der Winkel ist im Folgenden nicht vorhanden. Vielleicht fällt dir ein verständlicherer Hinweis ein.

Petrus3743 (Diskussion) 12:28, 7. Aug. 2015 (CEST)

Ich dachte, ABC wäre als Platzhalter verständlich. Das Problem, wenn man einen tatsächlich vorhandenen Winkel zur Erklärung benutzt, ist, dass man nicht davon ausgehen kann, dass das Zeichen für andere Winkel dieselbe Aussage hat.

Wir haben auch das Dreieckszeichen ($\triangle$) nicht erklärt. Wie wäre es hiermit (Das Dreieck ABC existiert, auch wenn es für die Herleitung unerheblich ist.)

($\triangle ABC$ bezeichnet das Dreieck mit den Eckpunkten $A$, $B$ und $C$. $\angle ABC$ bezeichnet den von ${\overline {AB}}$ und ${\overline {BC}}$ eingeschlossenen Winkel.)

Zwei Fliegen mit einer Klappe.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:31, 7. Aug. 2015 (CEST)

Diese Fliegenklappe funktioniert :-), ist schon eingearbeitet Petrus3743 (Diskussion) 14:45, 7. Aug. 2015 (CEST)

Pardon, ich muss zukünftig besser aufpassen und nicht deine guten Vorschläge als Petrus3743 einarbeiten, sondern die Einarbeitung dir überlasen!

Petrus3743 (Diskussion) 15:09, 7. Aug. 2015 (CEST)

Es ist mir ehrlich gesagt ziemlich egal, ob die Bearbeitungen nun auf dein Konto oder auf meines gehen. Besonders bei solch keinen Änderungen.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 11:31, 8. Aug. 2015 (CEST)

Zeile 1

• In Zeile 4 benutzt du den Wert ${\overline {MC}}$. Es macht zwar natürlich keinen Unterschied, aber der Einheitlichkeit (und der dadurch geringfügig besseren Lesbarkeit) wegen solltest du hier auch ${\overline {MC}}$ schreiben.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 21:15, 21. Jun. 2015 (CEST)

geändert Petrus3743 (Diskussion) 01:06, 22. Jun. 2015 (CEST)

• „Mit $R$ als Seite und ${\overline {FM}}$ als Höhe ergibt sich ${\overline {FM}}={\frac {1}{2}}\cdot R$.“ Aus welchem Satz/Formel/Herleitung folgt das? Ich meine, es ist offensichtlich, dass die Höhe das Dreieck halbiert, aber wenn du die Größen nennst, die zu der errechneten Größe führen, dann solltest du auch die Formel nennen, in die sie eingesetzt werden.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 12:59, 6. Aug. 2015 (CEST)

Überflüssige Erklärung gelöscht.

Petrus3743 (Diskussion) 00:00, 7. Aug. 2015 (CEST)

Zeile 2

• Woraus ergibt sich (mathematisch), dass ${\overline {FM}}={\frac {1}{2}}R$?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 21:15, 21. Jun. 2015 (CEST)

eingearbeitet als Zeile 2.1 Petrus3743 (Diskussion) 02:36, 22. Jun. 2015 (CEST)

• Woraus ergibt sich, dass das Dreieck $AME_{1}$ gleichseitig ist, genauer: woraus ergibt sich, dass ${\overline {AE_{1}}}=R$?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:57, 28. Jun. 2015 (CEST)

Im Punkt 1 und 1.1 erklärt

Petrus3743 (Diskussion) 16:21, 28. Jun. 2015 (CEST)

Nur weil einWinkel $60^{\circ }$ hat, muss das Dreieck nicht gleichseitig sein, oder?
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:00, 28. Jun. 2015 (CEST)

Jetzt hat es auch der Letzte verstanden. Danke.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 18:50, 28. Jun. 2015 (CEST)

• Bei 2.2 braucht der Bruch in $R\cdot {\sqrt {\frac {3}{4}}}$ nicht in Klammern eingeschlossen werden. In der Wurzel davor auch nicht.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:57, 28. Jun. 2015 (CEST)

Klammern entfernt

Petrus3743 (Diskussion) 16:21, 28. Jun. 2015 (CEST)

• Sehe ich es richtig, dass du bei 2.2 vergessen hast, das $R^{2}$ unter der Wurzel zu streichen, als du es nach vorne gezogen hast?

$\;{\overline {FE_{1}}}={\sqrt {{\overline {ME_{1}}}{^{2}}-{\overline {FM}}{^{2}}}}={\sqrt {R^{2}-R^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}$

$\;=R{\sqrt {R^{2}\cdot \left(1-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=R\cdot {\sqrt {1-{\frac {1}{4}}}}=R\cdot {\sqrt {\frac {3}{4}}}=R\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}$
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 12:18, 7. Aug. 2015 (CEST)

Danke du siehst es richtig! Leider ist darin noch ein Fehler. Die Fortsetzung muss richtig heissen: $=R\cdot {\sqrt {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}$

Petrus3743 (Diskussion) 14:04, 7. Aug. 2015 (CEST)

• Ich würde bei 2.2 statt ${\sqrt {R^{2}-R^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}$ eher ${\sqrt {R^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\cdot R^{2}}}$ schreiben, da du weiter oben ${\overline {FM}}={\frac {1}{2}}\cdot R$ gesetzt hast.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 12:23, 7. Aug. 2015 (CEST)

Änderung durchgeführt.Petrus3743 (Diskussion) 14:04, 7. Aug. 2015 (CEST)

Frage: Warum sind die Unterpunkte jetzt in Klammern und der Text groß? Der Hauptpunkt z. B. 2. passt dann nicht mehr dazu..

Petrus3743 (Diskussion) 14:04, 7. Aug. 2015 (CEST)

Frage selbst beantwortet :-) : In "Einstellungen" das "Aussehen" auf "MathML mit ..." geändert und schon sieht die Form sehr gut aus...

Petrus3743 (Diskussion) 15:37, 7. Aug. 2015 (CEST)

Ich will es trotzdem beantworten, denn nicht jeder (gerade IPs) haben diese Einstellung aktiviert (ich selbst auch erst seit ein paar Monaten.) Die andere Nummerierung wurde notwendig, da diese math-Umgebung standardmäßig (vertikal) mittig in die Zeile gesetzt wird. Ist diese Umgebung nun drei Zeilen lang, dann steht die Nummerierung, die nicht in math gesetzt ist, praktisch vor der zweiten Zeile der Formel. Um das zu verhindern, setzte ich sie in die Formel. Hätte ich dann das Format einfach übernommen, hätte es schlecht kopiert ausgesehen, deshalb dachte ich mir: Wenn schon anders, dann richtig. So entstand die eingeklammerte Nummerierung.

Soll ich die restlichen Formeln auch noch bearbeiten oder lieber die Änderungen rückgängig machen? Hättest du die Nummerierung vielleicht trotzdem gerne anders? Oder gibt es sonstige Änderungswünsche?
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 11:37, 8. Aug. 2015 (CEST)

Ja, bearbeite bitte auch noch die restlichen Formeln. Vielleicht ist es dir möglich, um den Unterschied der Schriftgrößen zu vermeiden, auch die jeweiligen Hauptpunkte in dieser Form zu gestalten.

Petrus3743 (Diskussion) 07:10, 9. Aug. 2015 (CEST)

Wenn ich die Hauptpunkte auch in Tex setze, entsteht das Problem, dass die Einzüge (der Abstand des Textes vom linken Rand) nicht mehr automatisch so angepasst werden, dass Text, der zu einer Nummerierung gehört, der aber durch einen Absatz davon getrennt ist (z. B. bei Formeln), trotzdem den gleichen Einzug hat wie der Text, der tatsächlich nummeriert ist. Ich habe Punkte 1 und 2 mal in meinem Sandkasten gesetzt, damit du dir ein Bild machen kannst. So wie ich das sehe, haben wir jetzt drei Möglichkeiten:

1. den Status Quo wiederherstellen (Formeln nicht exakt ausgerichtet, dafür aber der Text als Ganzes)
2. meine erste Lösung weiterverfolgen (Formeln und Text ausgerichtet, dafür aber unterschiedliche Nummerierungen)
3. meine zweite Lösung zu Ende bringen (Formeln ausgerichtet, Text dafür nicht, aber die Nummerierung ist einheitlich).

Was ist dir lieber?
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 11:53, 9. Aug. 2015 (CEST)

Deine zweite Lösung sieht mMn am besten aus, auch wenn man die Klammern von den Hauptpunkt nicht webringt.

Petrus3743 (Diskussion) 13:00, 9. Aug. 2015 (CEST)

• Müsste es hier $\triangle E_{1}MA$ und $\triangle E_{1}MF$ heißen?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 10:53, 23. Aug. 2015 (CEST)

Siehe bitte Antwort zu Zeile (3)

Petrus3743 (Diskussion) 12:01, 23. Aug. 2015 (CEST)

Zeile 3

• „Rechtwinkliges FMC“ – Mein Wunsch war, entweder das Wort Dreieck oder das Symbol wegzulassen, nicht beides :)

korrigiert Petrus3743 (Diskussion) 10:36, 22. Jun. 2015 (CEST)

• Ich würde es ein wenig auskommentieren: „Nach Konstruktion ist ${\overline {FC}}={\overline {FG}}$ und nach dem Satz des Pythagoras:
• ${\overline {FC}}$ sehe ich im weiteren Verlauf der Formel nicht mehr. Wenn ich nicht eine neue Brille brauche, könnte man diesen Punkt also weglassen und direkt weitermachen mit:
• Wegen des Satzes des Pythagoras gilt im rechtwinkligen Dreieck $FMC$ ${\overline {FC}}={\sqrt {{\overline {FM}}^{2}+{\overline {MC}}^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}\cdot R\right)^{2}+R^{2}}}$
  • Das Einsetzen der „Rohwerte” für die beiden Streckenlängen würde ich nicht überspringen. So kann man die Umformungen direkt nachvollziehen statt zuerst die Werte nachzusehen (und im Kopf zu behalten) und dann nachzuvollziehen, wie du umgeformt hast. Stattdessen würde ich (deine erste Umformung (da, wo zum ersten Mal Zahlen drinstehen) überspringend) mit $={\sqrt {{\frac {5}{4}}\cdot R^{2}}}$ weitermachen. Ich finde diese „Umformung” für Laien einleuchtender, da hier nur „ausgerechnet” wird. Ich würde dann erst im nächsten Schritt ausklammern. (Ich denke, „simples” Ausrechnen ist den meisten intuitiver als Ausklammern. Wenn der Term kürzer wird, ist es vielleicht nachvollziehbarer): $=R\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}$
    ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 21:15, 21. Jun. 2015 (CEST)

ist eingearbeitet Petrus3743 (Diskussion) 11:25, 22. Jun. 2015 (CEST)

• Wegen mir könnte man den Zwischenschritt „${}=R\cdot {\sqrt {\frac {5}{4}}}$“ weglassen, um deinem Wunsch nach Kürze zu entsprechen. Er stört aber auch nicht.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:05, 28. Jun. 2015 (CEST)

Term entfernt

Petrus3743 (Diskussion) 16:29, 28. Jun. 2015 (CEST)

• Da Zeile 3.2 schon so kurz ist, könnte man ja einen Hinweis wie „nach Konstruktion” oder „nach Konstruktion, Schritt 5” einfügen.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:05, 28. Jun. 2015 (CEST)

Guter Hinweis, ist eingearbeitet

Petrus3743 (Diskussion) 16:35, 28. Jun. 2015 (CEST)

• 3.2: Ich würde die Zeile zu ${\overline {FG}}={\overline {FC}}$ umstellen, damit der (neue) gesuchte Wert ${\overline {FG}}$ vorne steht. ${\overline {FC}}$ ist ja durch Zeile 3.1 schon gegeben. Das gleiche gilt für 4.1, wo ich ${\overline {AE_{2}}}={\overline {AH}}={\overline {MG}}$ schreiben würde.

Außerdem würde ich den tatsächlichen Wert wiederholen. Das ist aber nur persönlicher Geschmack, weil ich Weiterleitungen nach dem Schema Seite 9: „Wert B steht auf Seite 7.“, Seite 7: „Wert B steht auf Seite 19.” nicht mag.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 12:28, 8. Aug. 2015 (CEST)

3.2 und 4.1 nach Vorschlag geändert

Petrus3743 (Diskussion) 07:44, 9. Aug. 2015 (CEST)

• Müsste es hier $\triangle CMF$ heißen?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 10:53, 23. Aug. 2015 (CEST)

Nun, die Reihenfolge der Bezeichnungen im Dreieck sind immer gegen den Uhrzeigersinn. Ich bin einfach von der Grundlinie ausgegangen.

Petrus3743 (Diskussion) 11:39, 23. Aug. 2015 (CEST)

Ich habe meinen Denkfehler gefunden. Ich ging von diesem mathematisch-positiver-Drehsinn-Zeugs aus, aber da ging es ja um Winkel und nicht um Dreiecke.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 12:45, 23. Aug. 2015 (CEST)

Zeile 4

• Auch ${\overline {AH}}$ finde ich im Rest der Herleitung nicht.

MMn ist der Hinweis ${\overline {MG}}={\overline {AH}}$ hilfreich, denn ${\overline {AH}}$ wird später im Goldenen Schnitt verwendet. $\Phi ={\frac {\overline {A_{u}H_{u}}}{\overline {H_{u}M_{u}}}}={\frac {\overline {A_{u}M_{u}}}{\overline {A_{u}H_{u}}}}$

Ich möchte es so belassen Petrus3743 (Diskussion) 11:32, 22. Jun. 2015 (CEST)

• Wieder zuerst eingesetzt und erst dann vereinfacht: ${\overline {MG}}={\overline {FG}}-{\overline {FM}}{\overset {\text{(2., 3.)}}{=}}{\frac {1}{2}}\cdot R-R\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}=R\cdot {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 21:15, 21. Jun. 2015 (CEST)

Nur das Prinzip übernommen, denn ${\frac {1}{2}}\cdot R<R\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}$ :) Petrus3743 (Diskussion) 12:18, 22. Jun. 2015 (CEST)

Ups.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:04, 28. Jun. 2015 (CEST)

• In Zeile 2.1 hast du ${\overline {FM}}={\frac {1}{2}}\cdot R$ gesetzt. Diese Reihenfolge solltest du bei ${\overline {MG}}={\overline {FG}}-{\overline {FM}}=)\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}-R\cdot {\frac {1}{2}}$ beibehalten.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 12:23, 8. Aug. 2015 (CEST)

Term nach Vorschlag korigiert

Petrus3743 (Diskussion) 08:00, 9. Aug. 2015 (CEST)

Zeile 5

• Woher kommt die Gleichheit von ${\overline {FE_{1}}}$ und $R\cdot \sin(60^{\circ })$?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 21:15, 21. Jun. 2015 (CEST)

anders formuliert u. eingearbeitet als Zeile 2.2; dadurch entfällt die entsprechende Zeile 5 Petrus3743 (Diskussion) 02:43, 22. Jun. 2015 (CEST)

• Müsste es hier in der „Überschrift” $\triangle AE_{2}B$ heißen?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 10:53, 23. Aug. 2015 (CEST)

Siehe bitte Antwort zu Zeile (3)

Petrus3743 (Diskussion) 11:42, 23. Aug. 2015 (CEST)

Zeile 6

• Etwas auskommentiert, denn der rechte Winkel ist nicht gerade offensichtlich: „Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck $AE_{2}B$ rechtwinklig, wieder gilt nach dem Satz des Pythagoras ${\overline {AB}}^{2}={\overline {AE_{2}}}^{2}+{\overline {BE_{2}}}^{2}\Leftrightarrow {\overline {BE_{2}}}={\sqrt {{\overline {AB}}-{\overline {AE_{2}}}}}$.
• Ich glaube nicht, dass du schon hinter dem ersten Gleichheitsszeichen den Radius ausklammern kannst. Denn der steckt ja trotzdem noch in ${\overline {AB}}^{2}$ und ${\overline {AE_{2}}}^{2}$.
• Ich würde auch hier wieder zuerst die Werte für ${\overline {AB}}^{2}$ und ${\overline {AE_{2}}}^{2}$ einsetzen: [hinter der ersten Umformung einfügen] ${\overset {\text{4.}}{=}}{\sqrt {{(2\cdot R)}^{2}-\left({R\cdot {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}\right)^{2}}}={\sqrt {4\cdot R^{2}-{R^{2}}\cdot {\frac {\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{2}}{4}}}}=R\cdot {\sqrt {4-{\frac {1-{\sqrt {5}}+{\sqrt {5}}^{2}}{4}}}}=R\cdot {\sqrt {\frac {10-{\sqrt {5}}}{4}}}=R\cdot {\frac {\sqrt {10-{\sqrt {5}}}}{2}}$

Ich finde das Ergebnis dieser Umformung auch ein wenig kürzer. Du wirst wahrscheinlich ein paar Zwischenschritte entfernen wollen. $R\cdot {\sqrt {\frac {10-{\sqrt {5}}}{4}}}$ kann man wohl weglassen.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 21:15, 21. Jun. 2015 (CEST)

Nur Prinzip übernommen, denn Folgefehler aus Zeile 4. Dadurch ist das Ergebnis $R\cdot {\frac {\sqrt {10-{\sqrt {5}}}}{2}}\neq 1{,}902\cdot R$

[Kommentare zum Rest der Herleitung folgen, aber nicht mehr heute.]
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 21:15, 21. Jun. 2015 (CEST)

Zeile 6 bis 11 überarbeitet Petrus3743 (Diskussion) 20:20, 22. Jun. 2015 (CEST)

• 6.1: Ich glaube, den Zwischenschritt $R\cdot {\sqrt {\frac {16-5-1+2{\sqrt {5}}}{4}}}$, das Auf-einen-Bruch-Schreiben, kann man weglassen. Zwei gleichnamige Brüche zu subtrahieren und die drei ganzzahlige Werte auszurechnen, kann man wohl auch OMA zutrauen.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:04, 28. Jun. 2015 (CEST)

Term entfernt

Petrus3743 (Diskussion) 17:20, 28. Jun. 2015 (CEST)

• 6.1: Ich würde bei $R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(5+{\sqrt {5}}\right)\cdot 2}}$ den Koeffizienten (2) nach vorne ziehen. Das ist aber nur persönlicher Geschmack.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:04, 28. Jun. 2015 (CEST)

Faktor 2 verschoben

Petrus3743 (Diskussion) 17:20, 28. Jun. 2015 (CEST)

• 6.1: Was hältst du denn von der Umformung $R\cdot {\sqrt {\frac {10+2{\sqrt {5}}}{4}}}=R\cdot {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}$ und eventuell noch (ich weiß nicht, ob das den Bruch einfacher oder besser macht) $R\cdot {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{\sqrt {2}}}$? So würde der Doppelbruch im nächsten Schritt entfallen; und ich meine auch, es wäre so etwas kürzer. Hoffentlich habe ich mich nicht wieder vertan. [Ich habe noch nicht weitergelesen, ob deine Darstellung vielleicht aus anderen Gründen mehr Sinn ergibt.]
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:04, 28. Jun. 2015 (CEST)

In 6.3 mit dem vorhandenen Term von 6.1 bedarf es nur einer Kopfrechnung (Division durch 2). Irgendwie sehe ich auch eine "Verwandtschaft" mancher Terme ab 7.3 bis 10...

Ich würde es gerne so belassen.

Petrus3743 (Diskussion) 17:20, 28. Jun. 2015 (CEST)

Naja, würde man $BE_{2}=R\cdot {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{\sqrt {2}}}$ benutzen, ergäbe sich für 6.3 [wo übrigens bei ${\overline {AB}}$ der Überstrich fehlt]:

$\cos(\beta )={\frac {\overline {BE_{2}}}{\overline {AB}}}={\frac {R\cdot {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{\sqrt {2}}}}{2R}}=R\cdot {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\cdot {\sqrt {2}}}}$. Man würde nur $R$ kürzen und die $2$ unter den Bruch schreiben. Aber wenn du deine Variante bevorzugst, akzeptiere ich das.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 20:28, 4. Jul. 2015 (CEST)

Danke, Überstrich bei ${\overline {AB}}$ eingearbeitet.

--Petrus3743 (Diskussion) 23:15, 4. Jul. 2015 (CEST)

• 6.2: Du solltest $\beta$ in der Skizze markieren.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:04, 28. Jun. 2015 (CEST)

Winkel $\beta$ in Skizze eingetragen

--Petrus3743 (Diskussion) 12:34, 29. Jun. 2015 (CEST)

• 6.2: Wenn du in der ersten Zeile </math>\sin (\beta)</math>, solltest du in der Schlussfolgerung auch dabei bleiben – oder zumindest ergänzen, dass es sich bei $\angle E_{2}BA$ um </math>\beta</math> handelt.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:04, 28. Jun. 2015 (CEST)

Winkel $\beta$ eingetragen

--Petrus3743 (Diskussion) 12:34, 29. Jun. 2015 (CEST)

• 6.2: Wieder die Frage: Sind die gerundeten Werte (insbesondere eines Winkels) wirklich wichtig? Und selbst wenn nicht, würde ich die Ergebnisse in der Form ${\widehat {=}}\sin left(18^{\circ }right)\approx 0{,}309$ angeben, d.h. mit einem „ungefähr-gleich“-Zeichen statt der Auslassungspunkte. In jedem Falle sollte das Komma statt eines Punktes als Dezimaltrennzeichen verwandt werdent.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:04, 28. Jun. 2015 (CEST)

geändert

Petrus3743 (Diskussion) 12:34, 29. Jun. 2015 (CEST)

• 6.2: Woraus folgt, dass Der Winkel $E_{2}MA$ doppelt so groß ist wie $E_{2}BA$?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:04, 28. Jun. 2015 (CEST)

Im neuen Punkt 7 eingearbeitet

Petrus3743 (Diskussion) 12:34, 29. Jun. 2015 (CEST)

• 6.3: Ist der Sinus bekannt, lässt sich der Kosinus nach dem Trigonometrischen Pythagoras berechnen: $\sin ^{2}(\beta )+\cos ^{2}(\beta )=1\Leftrightarrow \cos(\beta )={\sqrt {1-\sin ^{2}(\alpha )}}$. Ich weiß nicht, welche Methode besser ist. Meine ist zwar kürzer, setzt aber mehr Wissen voraus, während deine nur mit den Methoden auskommt, die schon zuvor verwandt wurden.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:04, 28. Jun. 2015 (CEST)

Ich würde in diesem Fall, aus dem gleichen Grund wie du ihn erwähnst, ein Additionstheorem nicht verwenden. Siehe hierzu auch meinen Eintrag zu 6.1

Petrus3743 (Diskussion) 14:51, 29. Jun. 2015 (CEST)

OK
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 20:28, 4. Jul. 2015 (CEST)

• Woraus ergibt sich, dass ${\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right){\widehat {=}}\sin(18^{\circ })$? Falls sich das nur daraus ergibt, dass $18^{\circ }$ der Arcussinus von $0{,}309$ ist, sollte $\sin(18^{\circ })$ und $0{,}309$ getauscht werden, sonst erklärt, woraus sich das ergibt. Außerdem ist $\sin(18^{\circ })={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$ und entspricht diesem nicht nur. (6.3 Genauso.)
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 21:54, 29. Jun. 2015 (CEST)

Gleichheitszeichen gesetzt

Petrus3743 (Diskussion) 09:26, 30. Jun. 2015 (CEST)

• Könntest du vielleicht im Bild zu Zeile 6 den Winkel $\beta$ am Eckpunkt $E_{2}$ eintragen, damit klar ist, dass der Winkel so groß wie das andere $\beta$ ist?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 12:44, 20. Aug. 2015 (CEST)

Es sollten im Dreick zwei oder ggf. drei gleiche Winkel nicht gleich bezeichnet sein, siehe auch Gleichschenkliges Dreieck. M. E. hat sich eine zusätzliche Winkelangabe durch deine gute Auskommentierung erledigt.

Petrus3743 (Diskussion) 17:40, 20. Aug. 2015 (CEST)

Ich kenne es durchaus, dass gleiche Dinge auch gleich benannt werden. Wenn du wüsstest, wieviele Alphas in einer physikalischen Skizze Platz haben… Allerdings wird die Mathematik da auch nur angewandt, da geht vielleicht einige Genauigkeit verloren. Wäre der andere Winkel markiert gewesen, hätte ich in die Erklärung noch „(hier $\beta$)“ eingefügt und es wäre mMn etwas klarer geworden; aber so wichtig ist es nun auch nicht.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:57, 22. Aug. 2015 (CEST)

Vorschlag zur Verbesserung: Ich nehme in das Bild den Winkel $\alpha$ und du könntest „(hier $\beta$ und $\alpha$“ in die Erklärung aufnehmen?

Petrus3743 (Diskussion) 18:08, 22. Aug. 2015 (CEST)

Das ist eine gute Idee.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 10:24, 23. Aug. 2015 (CEST)

• Hinweis: In deinem Sandkasten ist nach deinem Vorschlag der Hauptpunkt mit gleicher Schriftgröße wie die Unterpunkte. Sieht m. E. am besten aus (meine Antwort vom 9. Aug.)
  

Petrus3743 (Diskussion) 17:40, 20. Aug. 2015 (CEST)

Ich hatte dich falsch verstanden und dachte, „deine zweite Lösung” beziehe sich auf meinen unter „2.” beschriebenen Punkt (die erste Lösung).

Ich werde es ändern habe es geändert. Hoffentlich habe ich nichts kaputt gemacht.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 16:59, 22. Aug. 2015 (CEST)

Danke, mir gefällt so.

Petrus3743 (Diskussion) 19:03, 22. Aug. 2015 (CEST)

• Müsste es hier in der „Überschrift” $E_{2}BM$ heißen?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 10:53, 23. Aug. 2015 (CEST)

Siehe bitte Antwort zu Zeile (3)

Petrus3743 (Diskussion) 11:54, 23. Aug. 2015 (CEST)

Zeile 7

• 7.1 Bei der letzten Umformung würde ich statt des Pfeiles ein Gleichheitszeichen setzen, da es ja immer noch um den Wert ${\overline {IE_{2}}}$ geht.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:11, 28. Jun. 2015 (CEST)

Gleichheitszeichen eingetragen

Petrus3743 (Diskussion) 14:51, 29. Jun. 2015 (CEST)

• 7.3 genauso.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:11, 28. Jun. 2015 (CEST)

Gleichheitszeichen eingetragen

Petrus3743 (Diskussion) 14:51, 29. Jun. 2015 (CEST)

• 7.3 Ich würde die beiden Brüche ${\frac {1}{2}}$ und ${\frac {1}{4}}$ schon hinter dem Zeilenumbruch zusammenfassen, statt sie nochmal eine Umformung weiter durchzuschleppen. Ich nehme an, du wolltest das Multiplizieren der beiden mit 2 in einem Schritt machen, aber welchen Vorteil hat das?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:11, 28. Jun. 2015 (CEST)

Brüche zusammengefasst

Petrus3743 (Diskussion) 14:51, 29. Jun. 2015 (CEST)

• Hältst du es für notwendig, Sinus und Kosinus zu verlinken? Ich denke, wer die Herleitung so weit gelesen hat, kann auch etwas mit diesen Begriffen anfangen. Zumal sie ja schon vorher auftauchen. Wenn überhaupt, sollten die ersten Vorkommen der Begriffe in den Zeilen 5.2 und 5.3 verlinkt werden (was ich aber auch unnötig finde).
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 12:36, 8. Aug. 2015 (CEST)

Die Links sind entfernt.

Petrus3743 (Diskussion) 08:10, 9. Aug. 2015 (CEST)

• Im Wikipedia-Artikel Winkel steht: „[… Man kann] die drei Punkte angeben, die den Winkel definieren […], z.B. $\angle ABC$ […] Dies bezeichnet den Winkel zwischen ${\overline {BA}}$ und ${\overline {BC}}$, wobei ${\overline {BA}}$ im mathematisch positiven Drehsinn auf ${\overline {BC}}$ gedreht wird.“

„Mathematisch positiver Drehsinn” ist nach dem Artikel Drehrichtung „diejenige [Drehrichtung], durch welche die positive x-Achse auf kürzestem Wege auf die positive y-Achse überführt wird.”

Nehme ich das in der Geometrie übliche Koordinatensystem an, in dem die x-Achse horizontal von links (negativ) nach rechts (positiv) und die y-Achse orthogonal dazu von unten (negativ) nach oben (positiv) läuft, wäre der mathematisch positive Drehsin also entgegen dem Uhrzeigersinn.

Damit wäre $\beta =\angle E_{2}BI$ und nicht $IBE_{2}$, wie du geschrieben hast.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 12:48, 8. Aug. 2015 (CEST)

Danke für den gut beschriebenen Hinweis! Ich habe die Lage des Winkels (im 2. Quadranten) nicht bedacht.

Petrus3743 (Diskussion) 10:18, 9. Aug. 2015 (CEST)

• Ich würde bei 7.1 noch ein paar Zwischenschritte einfügen. Der Schritt vom vorletzten Term zum Ergebnis ist nicht gerade offensichtlich.

${\begin{aligned}&=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot 2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)\cdot {\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)^{2}}}\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{32}}\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)\cdot \left(5-2\cdot {\sqrt {5}}+1\right)}}\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{32}}\cdot \left(25-10\cdot {\sqrt {5}}+5+5\cdot {\sqrt {5}}-10+{\sqrt {5}}\right)}}\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{32}}\left(20-4\cdot {\sqrt {5}}\right)}}=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{32}}\cdot 4\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\\&=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{8}}\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\end{aligned}}$

Um es etwas weniger länglich zu machen, könnte man immer zwei Wurzeln in eine Zeile packen.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:11, 8. Aug. 2015 (CEST)

• Unabhängig davon fehlt beim Endergebnis ein Multiplikationspunkt.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:11, 8. Aug. 2015 (CEST)
• 7.2 Auch hier würde ich die beiden Werte tauschen und den Wert dazuschreiben.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:12, 8. Aug. 2015 (CEST)

Zeile 7.1 und 7.2 nach Vorschlag geändert

Petrus3743 (Diskussion) 10:18, 9. Aug. 2015 (CEST)

• Müsste es hier in der „Überschrift” $BIE_{2}$ heißen?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 10:53, 23. Aug. 2015 (CEST)

Siehe bitte Antwort zu Zeile (3)

Petrus3743 (Diskussion) 11:54, 23. Aug. 2015 (CEST)

Zeile 8

• In Zeile 2.1 steht ${\overline {FM}}={\frac {1}{2}}\cdot R$. Die Reihenfolge sollte hier beibehalten werden. Außerdem würde ich im Endergebnis ${\frac {3}{2}}\cdot R$ schreiben (persönlicher Geschmack).
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:23, 8. Aug. 2015 (CEST)

Terme nach Vorschlag geändert.

Petrus3743 (Diskussion) 10:34, 9. Aug. 2015 (CEST)

Zeile 9

• Zeilen 8 und 9 könnte man zusammenfassen, wenn du das wolltest; in der Form ${\overline {JE_{2}}}={\overline {BI}}-{\overline {BF}}={\overline {BI}}-\left({\overline {BM}}+{\overline {FM}}\right)=R\cdot {\frac {1}{4}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)-R-R\cdot {\frac {1}{2}}=\dotso$.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:11, 28. Jun. 2015 (CEST)

${\overline {JE_{2}}}={\overline {BI}}-{\overline {BF}}={\overline {BI}}-\left({\overline {BM}}+{\overline {FM}}\right)$

$=R\cdot {\frac {1}{4}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)-R-R\cdot {\frac {1}{2}}=R\cdot \left({\frac {1}{4}}\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)-\left(1+{\frac {1}{2}}\right)\right)$

$=R\cdot \left({\frac {5}{4}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}-{\frac {6}{4}}\right)=R\cdot \left({\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}-{\frac {1}{4}}\right)=R\cdot {\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\approx 0{,}309\cdot R$

So könnte es aussehen, da die Zeilenanzahl, wegen Länge der Terms, gleich beleiben würde, möchte ich Punkt 8 und 9 belassen.

Petrus3743 (Diskussion) 14:47, 29. Jun. 2015 (CEST)

OK.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 21:58, 29. Jun. 2015 (CEST)

• Ich würde im letzten Term der ersten Zeile die 5 direkt auf den Bruch mit ${\frac {1}{4}}$ schreiben; der Konsistenz wegen. Bei ${\sqrt {5}}$ hast du’s auch so gemacht.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:11, 28. Jun. 2015 (CEST)

Die 5 auf dem Bruch geschrieben

Petrus3743 (Diskussion) 16:12, 29. Jun. 2015 (CEST)

• Müsste es hier in der „Überschrift” $E_{1}JE_{2}$ heißen?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 10:53, 23. Aug. 2015 (CEST)

Siehe bitte Antwort zu Zeile (3)

Petrus3743 (Diskussion) 11:54, 23. Aug. 2015 (CEST)

Zeile 11

• Auch hier würde ich erst die Werte für ${\overline {JE_{2}}}{\text{und}}{\overline {JE_{1}}}$ einsetzen.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:11, 28. Jun. 2015 (CEST)

Vorschlag angenommen

Petrus3743 (Diskussion) 09:41, 30. Jun. 2015 (CEST)

• Ich würde in der Mitte der Wurzel statt ${\sqrt {3}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\text{(Wurzel)}}$ $2\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\text{(Wurzel)}}$ schreiben. Das ergibt sich intuitiver aus der Binomischen Formel, da so tatsächlich „2 mal a mal b” da steht.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:11, 28. Jun. 2015 (CEST)

Vorschlag angenommen

Petrus3743 (Diskussion) 09:41, 30. Jun. 2015 (CEST)

• Im Allgemeinen wäre da ein (vielleicht auch zwei) weiterer Zwischenschritt hilfreich. Woher kommen z.B. die ${\frac {6}{6}}$?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:11, 28. Jun. 2015 (CEST)

Es sind ein paar Zeilen mehr geworden, sonst wäre es wesentlich schwerer nachzuvollziehen. Nun der Faktor ${\frac {6}{6}}$ (alt) ${\frac {2}{2}}$ (neu) hilft den Bruch ${\frac {6}{16}}$ zu erhalten.

Petrus3743 (Diskussion) 09:41, 30. Jun. 2015 (CEST)

• Ich verstehe immer noch nicht, woher ${\frac {2}{2}}$ in der dritten Zeile kommt. Welchen Bruch ${\frac {6}{16}}$ soll er erhalten? Wo steht der?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:23, 8. Aug. 2015 (CEST)

• Ich würde die vierte Zeile zu ${\sqrt {{\frac {5}{16}}-{\frac {2}{16}}\cdot {\sqrt {5}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {12}{16}}+{\frac {10}{16}}-{\frac {2}{16}}\cdot {5}}}$ umstellen, um die Reihenfolge des Terms darüber zu wahren. So wird es einfacher, die Umformung/-stellung nachzuvollziehen.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:23, 8. Aug. 2015 (CEST)

• Die Klammern, die den gesamten Term unter der Wurzel einschließen, sind unnötig, oder?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:23, 8. Aug. 2015 (CEST)

• Dafür müsste in der ersten Zeile ein Klammerpaar ergänzt werden: Statt ${\sqrt {\left(R\cdot {\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\right)^{2}+\left(R\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\sqrt {{\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)^{2}}}$ müsste es ${\sqrt {\left(R\cdot {\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\right)^{2}+\left(R\left(\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\sqrt {{\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)\right)^{2}}}$ . Dadurch würde die Klammerung, die hinter dem Plus beginnt und vor dem Quadrat endet, unnötig.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:23, 8. Aug. 2015 (CEST)

• Ich würde den Term vor dem Plus und den hinter dem Plus (trotzdem) ein, zwei Umformungen lang in Klammern setzen, damit man besser nachvollziehen kann, welche Umformungen zu welchem Teil gehören. Ich würde eckige Klammern empfehlen, um die Abgrenzung der beiden Teile zu verdeutlichen. Wenn die Faktoren/Summanden über die Klammergrenzen hinaus umgestellt werden o.ä. müssen die Klammern natürlich wieder weg.

Ich stelle es mir so vor: ${\begin{aligned}{\overline {E_{1}E_{2}}}&={\sqrt {{\overline {JE_{2}}}^{2}+{\overline {JE_{1}}}^{2}}}={\sqrt {\left\lbrack R\cdot {\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\right\rbrack ^{2}+\left\lbrack R\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\sqrt {{\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right\rbrack ^{2}}}\\&=R\cdot {\sqrt {\left\lbrack {\frac {1}{16}}\left(5-2{\sqrt {5}}+1\right)\right\rbrack +\left\lbrack {\frac {3}{4}}-2\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}+{\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)\right\rbrack }}\\&=R\cdot {\sqrt {\left\lbrack {\frac {1}{16}}\left(5-2{\sqrt {5}}+1\right)\right\rbrack +\left\lbrack {\frac {3}{4}}-{\sqrt {{\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)\cdot 4\cdot 3\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\frac {2}{2}}}}+{\frac {10}{16}}-{\frac {2}{16}}\cdot {\sqrt {5}}\right\rbrack }}\end{aligned}}$
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:23, 8. Aug. 2015 (CEST)

Ja, in der 11. Zeile ist meinerseits ein Fehler bezüglich Klammern! Hier gehört das Ergebnis von Zeile 10 quadriert. MMn muss aber eine Klammer vor und nach R sein und eine direkt nach dem Wurzelausdruck...

Die Idee mit den eckigen Klammern finde ich gut. Meine Bitte, könntest du sie generell in allen Formeln innerhalb der von dir vorgesehenen Formänderung einbringen?

Leider muss ich jezt abbrechen, da ich morgen für zei Wochen nach Österreich fahre und noch ein paar Dinge zu erledigen habe.

Grüße --Petrus3743 (Diskussion) 13:00, 9. Aug. 2015 (CEST)

Mache ich gerne. Und du hast Recht, meine Klammern waren auch falsch^^

Viel Spaß in Österreich.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:41, 9. Aug. 2015 (CEST)

[Nachtrag:] So, ich habe die Formel jetzt überarbeitet. Da ich nicht nur die Klammern verändert habe, sondern u.a. auch Faktoren wie ${\sqrt {5}}$, die du immer einfach an Brüche ranmultipliziert hast, in den Zähler der Brüche geschrieben habe (ich finde es so leichter nachvollziehbar – bei ${\frac {1}{16}}\cdot 2\cdot {\sqrt {5}}$ ist das Ergebnis ${\frac {2\cdot {\sqrt {5}}}{16}}$ mMn leichter einsichtig als ${\frac {2}{16}}\cdot {\sqrt {5}}$), habe ich das Ergebnis vorerst nur wieder in meinem Sandkasten gespeichert. Wenn du mit dem Ergebnis einverstanden bist, kann es hierher überspielt werden. Ich sehe weiterhin keinen Nutzen im Term ${\frac {2}{2}}$ und würde ihn gerne streichen.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:41, 9. Aug. 2015 (CEST)

Ein paar Minute für die wichtigsten Anworten, soviel Zeit muss noch sein:

Bei dem Erweiterungsfaktor ${\frac {2}{2}}$ war ich der Meinung es hilft den Folgeterm besser nachvollziehen zu können. Dem ist nicht so, du kannst ihn entfernen.

Petrus3743 (Diskussion) 16:54, 9. Aug. 2015 (CEST)

Zeile 11, bitte nach deinem Vorschlag (Klammern entfernen, Term Korrekturen etc.) ändern.

Petrus3743 (Diskussion) 16:54, 9. Aug. 2015 (CEST)

Huch, gar nicht mit einer Antwort gerechnet.

OK, mach ich.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 11:21, 10. Aug. 2015 (CEST)

Allgemein

Ich habe noch vor, die Herleitung zu verstehen und, falls nötig, etwas zu den Schritten anzumerken, im Moment komme ich aber nicht dazu (vielleicht am Donnerstag). Deshalb hier nur ein paar erste Gedanken [Schreibe Antworten am besten unter den jeweiligen Abschnitt]:

Warum nummerierst du die Umformungen? Wenn du nicht irgendwo etwas wie „Einsetzen von Zeile 10” schreibst, macht das keinen Sinn. Und selbst dann würde ich nur die Ergebnisse wichtiger Umformungen (a= hastenichgesehn), auf die du auch tatsächlich später verweist, mit einer Nummer versehen.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:55, 14. Jun. 2015 (CEST)

Da bin ich leider anderer Meinung: Die Nummerung strukturiert u.a. die "gesuchten" Werte. Sie zeigt m. E. übersichtlich, auch bei mehrzeiligen Formeln, wo die Berechnung des nächsten Wertes beginnt. Bevor wir nicht eine Gesamtansicht des Artikels haben (ich hoffe die haben wir bald, so langsam wird es für mich unübersichtlich), würde ich die Nummerierung so lassen... Nachtrag Beispiel: Näherungskonstruktionen, Berechnung

--Petrus3743 (Diskussion) 21:48, 14. Jun. 2015 (CEST)

Mit den Unternummerierungen macht es nun durchaus Sinn!
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:19, 28. Jun. 2015 (CEST)erledigtErledigt

Am Ende zählst du einen Satz auf. Welchen Zweck hat das?
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:55, 14. Jun. 2015 (CEST)

Ist dies mit der Beantwortung deines Vorschlages im nächsten Punkt erledigt?

--Petrus3743 (Diskussion) 21:48, 14. Jun. 2015 (CEST)

Ja.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:19, 28. Jun. 2015 (CEST)

Ich finde den Satz dort im Allgemeinen unpassend. Wäre es nicht sinnvoller, am Anfang der Herleitung zu sagen, was du tust? („Die in obiger Tabelle angegebene Formel für die Seitenlänge leitet sich wie folgt her:“)
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:55, 14. Jun. 2015 (CEST)

O.K. Dein Vorschlag wird eingearbeitet.

--Petrus3743 (Diskussion) 21:48, 14. Jun. 2015 (CEST)

erledigtErledigt
--Petrus3743 (Diskussion) 18:15, 15. Jun. 2015 (CEST)

Du solltest die Skizze zur Konstruktion und die Skizze zur Berechnung trennen. Das hätte zwei Vorteile:

1. Wer das Fünfzehneck nur zeichnen will, braucht die Hilfslinien zur Berechnung nicht.
2. Die Skizze zur Berechnung könnte von den Konstruktionsschritten bereinigt werden (Übersicht) und neben der Herleitung eingebunden werden, damit das Scrollen entfällt. So würden die Berechnungen auch klarer.
   

())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:55, 14. Jun. 2015 (CEST)

O. K. Guter Vorschlag! Wird eingearbeitet.

--Petrus3743 (Diskussion) 21:48, 14. Jun. 2015 (CEST)

Ist eingearbeitet --Petrus3743 (Diskussion) 18:15, 15. Jun. 2015 (CEST)

Die Berechnungen ragen teilweise deutlich über den rechten Seitenrand hinaus. Überlege mal, was das für die mobile Ansicht bedeutet. Da solltest du mehr Zeilenumbrüche einfügen. Für Hilfe schau mal hier: Hilfe:TeX#Mehrzeilige Formeln, insbesondere der Abschnitt über die align-Umgebung.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:55, 14. Jun. 2015 (CEST)

O.K. Guter Vorschlag! Wird eingearbeitet.

Für die Bearbeitung ist noch deine Stellungnahme bezüglich der beiden Berechnungen zu "zum Vergleich eine Variante der Berechnung mit eingesetzten Folgepfeilen." offen.

--Petrus3743 (Diskussion) 21:48, 14. Jun. 2015 (CEST)

Die "ungekürzten" Variante mit einem Versuch es damit darzustellen. Zwei nicht mehr relevante Einträge von mir gelöscht! --Petrus3743 (Diskussion) 12:18, 17. Jun. 2015 (CEST)

„Rechtwinkeliges Dreieck $\mathbf {\triangle {E_{2}JE_{1}},}$“ – da schreibst du zweimal „Dreieck”, einmal explizit, einmal durch das $\triangle$. Ich würde das Symbol weglassen.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:55, 14. Jun. 2015 (CEST)

O.K. das Symbol wird weggelassen.

--Petrus3743 (Diskussion) 21:48, 14. Jun. 2015 (CEST)

Ist eingearbeitet --Petrus3743 (Diskussion) 18:15, 15. Jun. 2015 (CEST)

Ich habe die Herleitung noch nicht vollständig durchdrungen, daher mag es sein, dass ich etwas übersehen habe, aber welchen Zweck haben Formeln wie ${\overline {MG}}={\overline {AH}}={\overline {AE_{2}}}={\overline {FG}}-{\overline {FM}}$? ${\overline {AH}}$ beispielsweise, benutzt du doch nie wieder, wenn ich das richtig sehe.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:57, 14. Jun. 2015 (CEST)

Dein Hinweis war gut: Die Strecke ${\overline {AH}}$ ist in "Streckenverhältnisse des Goldenen Schnitts" enthalten! $\Phi ={\frac {\overline {A_{u}H_{u}}}{\overline {H_{u}M_{u}}}}={\frac {\overline {A_{u}M_{u}}}{\overline {A_{u}H_{u}}}}$

Der Punkt "H" sollte deshalb noch zusätzlich in die Konstruktionsbeschreibung aufgenommen werden!

--Petrus3743 (Diskussion) 21:48, 14. Jun. 2015 (CEST)

Das birgt die Gefahr, dass sich Leser fragen, warum in der Konstruktion ein Punkt aufgeführt wird, der (dort) nie wieder gebraucht wird. Man könnte in der Herleitung der Seitenlänge kurz darauf eingehen, wo der Punkt herkommt. Vielleicht hinter der Formel so etwas wie „($H$ ist ein Nebenprodukt der Konstruktion von $E_{1}$.)“ Ich würde auch ${\overline {AH}}$ nach hinten stellen; erst das Bekannte (${\overline {MG}}$ und ${\overline {AE_{2}}}$, dann das Neue.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:16, 28. Jun. 2015 (CEST)

Beides ist eingearbeitet

Petrus3743 (Diskussion) 19:22, 28. Jun. 2015 (CEST)

Das Zeichen für den Winkel („Winkel” ABC = 18°) solltest du ganz am Anfang erklären, für OMA.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:57, 14. Jun. 2015 (CEST)

Eine Erklärung innerhalb der Berechnung würde m. E. zuviel Platz benötigen. Eine Möglichkeit wäre: $\Rightarrow$ Winkel ($\angle$) $E_{2}BA=18^{\circ }\Rightarrow \angle E_{2}MA=36^{\circ }$

--Petrus3743 (Diskussion) 19:56, 14. Jun. 2015 (CEST)

Diese Möglichkeit in der "ungekürzten" Berechnungsvarianten in der 7. Formel eingearbeitet. --Petrus3743 (Diskussion) 12:18, 17. Jun. 2015 (CEST)

• Ich würde die Rundungsergebnisse weglassen. MMn sind solche Zwischenergebnisse irrelevant. Im weiteren Verlauf der Umformungen rechnest du ja auch nicht mit den Werten, sondern mit den Formelausdrücken.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 21:15, 21. Jun. 2015 (CEST)

Vorschlag ist in den Probeansichten eingearbeitet

--Petrus3743 (Diskussion) 08:54, 3. Jul. 2015 (CEST)

• Ich würde die Skizze zur Berechnung nicht wie ein normales Bild rechts ausrichten, sondern ohne Textumfluss an den Anfang der Berechnungen stellen; vielleicht unter den einleitenden Satz („Die in obiger Tabelle […]”). Dadurch kommt es nicht zu diesen unschönen Umbrüchen, die dadurch verursacht werden, dass Formeln nicht „fließen” können.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:14, 28. Jun. 2015 (CEST)

Prima Vorschlag, Vorschaubild links angeordnet

Petrus3743 (Diskussion) 23:16, 28. Jun. 2015 (CEST)

• Bei Formeln wie in 2.2 (${\overline {ME_{1}}}{^{2}}$, \overline{ME_1}{^2}) solltest du darauf achten, dass die Exponenten an der richtigen Stelle angezeigt werden. Da sich das „Hoch 2“ auf die gesamte Strecke, also die gesamte overline-Umgebung bezieht, sollten um sie herum noch geschweifte Klammern gesetzt und dafür die um den Exponenten herum weggelassen werden: {\overline{ME_1}}{^2}: ${\overline {ME_{1}}}^{2}$. (Ich glaube, sonst hast du es überall richtig gemacht)
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:14, 28. Jun. 2015 (CEST)

Danke für deinen Hinweis, ich habe jetzt hoffentlich alle Exponenten über die Überlinie gesetzt.

Mein Hinweis: {\overline{ME_1}}{^2} funktioniert nicht unter dem Wurzelzeichen. Beispiel ${\sqrt {{\overline {ME_{1}}}{^{2}}}}$! Aber was ich in der Regel verwende \overline{ME_1}^{2} funktioniert bei ${\sqrt {{\overline {ME_{1}}}^{2}}}$ und bei ${\overline {ME_{1}}}^{2}$.

Petrus3743 (Diskussion) 23:51, 28. Jun. 2015 (CEST)

• Ich weiß nicht, ob der Aufwand für das „Problem” gerechtfertigt ist… Die Herleitung ist so lang, dass die Skizze bei den unteren Schritten schon aus dem Bild verschwunden ist. Das erfordert ständiges hoch- und runterscrollen. Vielleicht wäre eine Lösung, immer ein, zwei, vielleicht auch drei Schritte (je nach Umfang) mit einem eigenen Bild zu würdigen, in dem dan idealerweise auch nur die Hilfslinien und der Bildausschnitt gezeigt werden, die auch tatsächlich für die Schritte notwendig sind.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:14, 28. Jun. 2015 (CEST)

• Die Notation mit Unternummerierungen finde ich richtig gut. So dienen die „Haupt-”nummern als Überschriften.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:14, 28. Jun. 2015 (CEST)

• Wusstest du, dass man Einzelnachweise…
  • 1) an jeder beliebigen Stelle im Artikel einbauen kann, auch getrennt nach Kategorien
  • 2) man so Anmerkungen, die den Fließtext/Tabelle etc. sprengen würden, am Ende des Abschnittes als Fußnote einfügen kann?
• So könnte man das Winkelzeichen erklären, wenn diese Methode auch umstritten zu sein scheint. In der Zeile, in der es das erste Mal auftritt (oder bei jedem Auftreten, denn das erfordert ja nicht einen neuen „Einzelnachweis” bei jeder Referenz) könnte man einen „Einzelnachweis” einfügen und am Ende der Herleitung direkt einfügen und das Zeichen erklären. Eine Alternative wäre die Vorlage:FN. Was hältst du davon?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:17, 28. Jun. 2015 (CEST)

Zu 1) und 2): Kenne ich noch nicht.

Meine Bitte könntest du dies in der neuen Probeansicht ...Seitenlänge a mit ergänzten Vorschaubildern für "bei jedem Auftreten" darstellen?

Petrus3743 (Diskussion) 12:30, 30. Jun. 2015 (CEST)

Hmm… Ich sehe gerade keine Möglichkeit, das sinnvoll einzubauen. Direkt hinter dem Zeichen geht es nicht, weil da die math-Umgebung im Weg ist. Und selbst wenn man sie auftrennen würde, würde es wahrscheinlich eher den Lesefluss stören, als als Hinweis wahrgenommen zu werden. Schreibt man die Fußnote hinter die gesamte Formel, geht der Bezug zum Zeichen verloren. Wie wäre es stattdessen mit einer kurzen Erklärung am Anfang beider Herleitungen? „Die in obiger Tabelle angegebene Formel für die Seitenlänge leitet sich wie folgt her: (Das Zeichen $\angle ABC$ bezeichnet den Winkel, der von ${\overline {AB}}$ und ${\overline {BC}}$ eingeschlossen wird.)“ – Was hältst du davon?
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 19:43, 4. Jul. 2015 (CEST)

Deinen Vorschlag in "Berechnung zur Konstruktion, Seitenlänge a" und in "Probeansicht vom werdenden Artikel" eingearbeitet. Die "Berechnung zur Konstruktion, Umkreisradius R" enthält keine Winkelangaben

--Petrus3743 (Diskussion) 23:04, 4. Jul. 2015 (CEST)

Ich würde „Das Zeichen” weglassen (ja, ich weiß, dass es von mir stammt), denn es ist ja eine Zeichenkette. („Das Zeichen” stammt aus einer Fassung, in der es ABC noch nicht gab.)
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:42, 5. Jul. 2015 (CEST)

Kein Problem, Änderung eingearbeitet

--Petrus3743 (Diskussion) 15:28, 5. Jul. 2015 (CEST)

Wo ist der Unterschied zwischen der oberen und der unteren Herleitung? Kann die obere (unnummerierte) weg? [Nachtrag: Und was ist mit der Vorschau des gesamten Artikels ganz unten? Ersetzt das das To Do? Oder nur die vielen Vorschauen in den Diskussionen (hier oben)?]
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 16:33, 13. Jul. 2015 (CEST

• Die obere Herleitung ohne Nummerierung kann weg.
• Die "Probeansicht" des werdenden Artikels war nur (für mich) um einen Gesamtüberblick zu erhalten. Zum Überspielen ist dies nicht gedacht.
• Überspielen solltest du die einzelnen Abschnitte aus den entsprechenden Diskussionen, dann glaube ich werden auch deine Beiträge gut dokumentiert.
  

--Petrus3743 (Diskussion) 22:21, 13. Jul. 2015 (CEST)

• OK, ich habe einen Archiv-Baustein gesetzt.
• Also zum Überspielen alles wie gehabt: To Do und dann einpflegen, wenn kein Diskussionsbedarf mehr besteht.
• Was hältst du davon, die Abschnitte „Berechnung zur Konstruktion, Seitenlänge a” und „Berechnung zur Konstruktion, Umkreisradius R” umzubenennen in „Berechnung der Seitenlänge” und „Berechnung des Umkreisradius”? Das hätte den Vorteil, dass die Überschriften kürzer sind, da die Information, dass es sich auf die Konstruktionen bezieht, wegfällt. Die ist mMn nämlich unnötig, da die Berechnungen Unterabschnitte der Konstruktionen sind. Ich finde außerdem die Erwähnung der Formelzeichen in einer Überschrift unnötig.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 11:46, 6. Aug. 2015 (CEST)

Guter Vorschlag. Ist schon geändert.

Petrus3743 (Diskussion) 00:00, 7. Aug. 2015 (CEST)

• Hast du etwas dagegen, den Archivierungsabstand kürzer einzustellen (ca. 3 Tage)? Die 7 Tage hatte ich eingestellt, damit nicht Dinge archiviert werden, ohne dass ich etwas davon mitbekomme, wenn ich nur jedes Wochenende mal reinschauen konnte.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 11:44, 8. Aug. 2015 (CEST)

Den Archivierungsabstand kürzer einzustellen (ca. 3 Tage) ist i.O.

Petrus3743 (Diskussion) 16:58, 9. Aug. 2015 (CEST)

• Ich habe in deiner Abwesenheit die Nummerierung geändert. Was hältst du davon?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:30, 22. Aug. 2015 (CEST)

Gute Idee! Nachtrag: Meinen Vorschlag wieder gelöscht, da nicht sinnvoll.

Petrus3743 (Diskussion) 18:08, 22. Aug. 2015 (CEST)

• Laut den Richtlinien zu Schriftauszeichnungen sollte in einem Artikel nur das erste Auftreten eines Lemmas fett gesetzt werden. Findest du die Fettschrift in den Hauptpunkten der Herleitungen nötig? Im Moment finde ich die Punkte auch zu uneinheitlich: Mal haben sie einen „Titel” (der auch fett gesetzt ist), mal steht dort nur eine Rechnung, mal hat dafür ein Unterpunkt einen „Titel”, der aber nicht fett ist. Kann man das irgendwie vereinheitlichen?
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:36, 25. Aug. 2015 (CEST)

Wenn es eine diesbezügliche Richtlinie gibt, da gebe ich dir recht, sollten wir uns daran halten.

Durch entfernen der derzeitigen „Titel” und der Fettschrift innerhalb der Herleitung wäre mMn. schon einiges vereinheitlicht. Der Ersatz für den derzeitigen „Titel” könnte eine vereinfachte Ausführung mit einem nachstehender Hinweis sein. Z. B.:

${\mathsf {(1)}}\;{\overline {ME_{1}}}=R$ (Umkreisradius)

${\mathsf {(1.1)}}\;{\overline {AM}}={\overline {ME_{1}}}={\overline {AE_{1}}}=R$ nach Konstruktion, Schritt 3

${\mathsf {(2)}}\;\triangle {AME_{1}}$ (gleichseitig)

${\mathsf {(2.1)}}\;{\overline {FM}}={\frac {1}{2}}\cdot R$

${\mathsf {(2.2)}}\;\triangle {FME_{1}}$ (rechtwinklig)

Eine Lösung ohne Titel fällt mir im Moment nicht ein. Siehst du eine Möglichkeit?

Petrus3743 (Diskussion) 16:00, 25. Aug. 2015 (CEST)

Ich finde die Titel durchaus sinnvoll, da sie auf einen Blick klarmachen, um welche Teile des Fünfzehnecks es jetzt geht. Durch geschicktes Umsortieren könnte man die Herleitung auch so aufbauen, dass jeder Hauptpunkt eine Überschrift trägt:

• (1) und (1.1) als Unterpunkte von (2), denn dort wird nur begründet, dass das Dreieck $AME_{1}$ tatsächlich gleichseitig ist. Die Punkte passen also unter (2), wo es um eben dieses Dreieck geht.
• (4) und (4.1) könnten Unterpunkte von (5) werden. In (5) wird die Strecke ${\overline {BE_{2}}}$ durch ${\overline {AE_{2}}}$ ausgedrückt. Die Berechnung von ${\overline {AE_{2}}}$, die im Moment unter (4) und (4.1) steht, könnte also genauso gut hier stattfinden.
• (8) als Unterpunkt von (9). In (8) wird nur die Strecke ${\overline {BF}}$ berechnet, die in (9) zur Berechnung von ${\overline {JE_{2}}}={\overline {BI}}-{\overline {BF}}$ benötigt wird.

So wären alle Hauptpunkte „betitelt” und wir müssten nur noch die Fettschrift entfernen.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:23, 25. Aug. 2015 (CEST)

• In (2.2) wird als einziges das Dreieckszeichen statt des Wortes „Dreieck” benutzt. Das sollten wir auch vereinheitlichen. Dadurch würde auch der Erklärungsbedarf des Dreiecksymbols entfallen.
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:23, 25. Aug. 2015 (CEST)

Sehr gute Vorschläge, damit hat jetzt u. a. jeder Hauptpunkt sein eigenes Bild! Ich ändere dementsprechen das Bild über Hauptpunkt 5. Würdest du die Einarbeitung deiner Vorschläge übernehmen?

Petrus3743 (Diskussion) 18:19, 25. Aug. 2015 (CEST)

Erledigt. Zwischen dem zweiten und dritten Bild ist jetzt ziemlich viel Text (Punkte 3 und 4). Vielleicht wären (4.4) und (4.5) als Unterpunkte von (5) besser aufgehoben? Sie haben zwar noch mit dem Rechtwinkligen Dreieck $ABE_{2}$ zu tun, aber nutzen die Rechtwinkligkeit nicht.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 00:37, 26. Aug. 2015 (CEST)

Ich habe das Bild mit $\beta$ ergänzt und über Punkt (4) eingefügt. Der Zusammenhang mit $\beta$ wäre damit vorhanden. Die zwei Zeilen mehr Text würden mich nicht stören. Im Punkt (5) habe ich einen Link zum Gleichschenkligen Dreieck gesetzt.Was hälst du davon?

Petrus3743 (Diskussion) 09:42, 26. Aug. 2015 (CEST)

Sieht gut aus. Mich störte der viele Text, weil dann die Erklärungsskizze so weit von den (unteren) Formeln weg ist, was es durch die Einzelbilder ja zu verhindern galt. Durch das Bild ist es aber entschärft. Ist der Radius \overline{MC} (wobei C nicht dargestellt ist) nötig? Die Verlinkung macht Sinn.

Ich habe deine div-styles durch die Vorlage:Absatz ersetzt. Ich finde das sinnvoller für diejenigen, die kein HTML können, denn zu dieser Vorlage gibt es eine Dokumentation, die beschreibt, was sie tut. div-styles muss man googlen.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 11:27, 26. Aug. 2015 (CEST)

Die Senkrechte zusammen mit dem Kreisbogen erklärt die Herkunft vom Punkt G. Punkt C habe ich entfernt, da er nicht in den Formeln verwendet wird. Danke für die Entfernung meiner div-styles (habe diesbezüglich noch wenig Kenntnisse).

Petrus3743 (Diskussion) 15:22, 26. Aug. 2015 (CEST)

Bilder

Mir fällt gerade auf, dass in den Bildern oft Information vorhanden ist, die im aktuellen Schritt gar nicht gebraucht wird. Beim ersten Bild beispielsweise der Radius ${\overline {ME_{2}}}$, der Kreisbogen zwischen M und G, der Punkt H, der Kreisbogen zwischen H und $E_{2}$, der Radius ${\overline {MC}}$. Meinst du, es mach Sinn, das alles drin zu lassen?
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 12:49, 20. Aug. 2015 (CEST)

In allen Bildern die Einträge reduziert.

Petrus3743 (Diskussion) 20:12, 20. Aug. 2015 (CEST)

Das sieht doch schon aufgeräumter aus, findest du nicht?

In den Bildern zu den Formeln 5, 7 und 9 (gemeint sind jeweils die Bilder über den Formeln) können mMn noch der Radius und der Kreisbogen zwischen $M$ und $E_{2}$ weg.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:29, 22. Aug. 2015 (CEST)

Derzeitiges Bild 5 wird geändert: R belassen da er in der Fomel einen Bezug hat, Bogen und $E_{1}$ entfernen.

Derzeitige Bilder 7 u. 9 so belassen. Punkt F ergibt sich aus dem Kreisbogen und $E_{1}$, R belassen da er in der Fomel einen Bezug hat.

Petrus3743 (Diskussion) 18:32, 22. Aug. 2015 (CEST)

Nun sind auch in den beiden Bildern zu "Berechnung des Umkreisradius" die Punktebezeichnungen reduziert. Ich glaube mit deiner Hilfe dauert es jetzt nicht mehr lange bis zur Veröffentlichung unserer Fünfzehneck -Seite. :-)

Petrus3743 (Diskussion) 10:28, 23. Aug. 2015 (CEST)

Ich habe auch schon ein paar mal gedacht, jetzt wären wir (zumindest hiermit) fertig, aber irgendwie ist dann doch immer noch irgendwas.

Die Bilder sehen gut aus.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 10:36, 23. Aug. 2015 (CEST)

• Eine kleine Schönheitskorrektur: Im Bild zu Zeile 3 ist der rechte Winkel deutlich kleiner eingetragen als in den anderen Bildern. Vielleicht erachtest du das ja als einen neuen Upload wert.

Wie hast du die rechten Winkel eigentlich eingetragen? Ist das einfach ein Kreisbogen mit einem Punkt drin oder gibt es dafür eine Funktion in GeoGebra?
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:33, 23. Aug. 2015 (CEST)

Danke für deinen richtigen Hinweis, die 90° Bezeichnungen in den betreffenden Bildern für die "Berechnung der Seitenlänge" sind jetzt gleich groß, die für die "Berechnung des Umkreisradius" sind wegen der kleineren Dreiecke kleiner aber jetzt auch gleich groß. In GeoGebra gibt es eine Skala für die Anpassung der 90° Bezeichnungen, war also kein Problem!

Petrus3743 (Diskussion) 16:25, 23. Aug. 2015 (CEST)

To Do: Größen des Fünfzehnecks

Überschrift, Reihenfolge...

• ersetzen des Abschnittes Umkreisradius durch

====Seitenlänge und Umkreisradius==== ...

Petrus3743 (Diskussion) 16:17, 25. Aug. 2015 (CEST)

Berechnung des Umkreisradius

Die in obiger Tabelle angegebene Formel für den Umkreisradius leitet sich wie folgt her:

${\mathsf {(1)}}\;{\overline {E_{1}E_{2}}}={\overline {E_{1}A}}=a$ (Seitenlänge)

${\mathsf {(2)}}\;{\overline {DE_{1}}}={\overline {DE_{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot a$

${\mathsf {(3)}}\;$ Rechtwinkliges Dreieck $AE_{1}D$

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {DA}}^{2}={\overline {E_{1}A}}^{2}+{\overline {DE_{1}}}^{2}$

${\mathsf {(3.1)}}\;{\overline {DA}}={\sqrt {{{\overline {E_{1}A}}^{2}}+{{\overline {DE_{1}}}^{2}}}}={\sqrt {a^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\cdot a^{2}}}=a\cdot {\sqrt {\left(1+{\frac {1}{4}}\right)}}=a\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}$

${\mathsf {(3.2)}}\;{\overline {DF}}={\overline {DA}}=a\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}$ nach Konstruktion, Schritt 7

${\mathsf {(4)}}\;{\overline {E_{1}F}}={\overline {DF}}-{\overline {DE_{1}}}=a\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}-a\cdot {\frac {1}{2}}=a\cdot \left({\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)=a\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$

${\begin{aligned}{\mathsf {(5)}}\;{\overline {E_{2}F}}&=a+{\overline {E_{1}F}}=a+a\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)=a\cdot \left(1+{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\right)\\&=a\cdot \left(1+{\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)=a\cdot \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)=a\cdot {\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\end{aligned}}$

${\mathsf {(5.1)}}\;{\overline {E_{2}F}}={\overline {E_{2}G}}$ nach Konstruktion, Schritt 8

${\mathsf {(6)}}$ Rechtwinkliges Dreieck $DE_{2}G$

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {E_{2}G}}^{2}={\overline {DE_{2}}}^{2}+{\overline {DG}}^{2}$

${\begin{aligned}{\overline {DG}}\;&={\sqrt {{{\overline {E_{2}G}}^{2}}-{{\overline {DE_{2}}}^{2}}}}={\sqrt {a^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)^{2}-a^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=a\cdot {\sqrt {\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\\&=a\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {5}{4}}-{\frac {1}{4}}}}=a\cdot {\sqrt {{\frac {5}{4}}+{\frac {2{\sqrt {5}}}{4}}}}=a\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}=a\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\end{aligned}}$

${\mathsf {(7)}}$ Rechtwinkliges Dreieck ${DCE_{2}}$

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {CE_{2}}}^{2}={\overline {DE_{2}}}^{2}+{\overline {DC}}^{2}$

${\overline {DC}}={\sqrt {{\overline {CE_{2}}}^{2}-{\overline {DE_{2}}}^{2}}}={\sqrt {a^{2}-a^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=a\cdot {\sqrt {\left(1-{\frac {1}{4}}\right)}}=a\cdot {\sqrt {\frac {3}{4}}}=a\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}$

${\mathsf {(8)}}\;R={\overline {CG}}={\overline {E_{2}M}}={\overline {DG}}+{\overline {DC}}=a\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)\approx 2{,}405\cdot a$

• Der Faktor entspricht genau dem in der obigen Formel (Tabelle) für den Umkreisradius.

--Petrus3743 (Diskussion) 19:30, 31. Mai 2015 (CEST)
Der Satz wurde ersetzt durch:"Die in obiger Tabelle angegebene Formel für den Umkreisradius leitet sich wie folgt her:"
--Petrus3743 (Diskussion) 18:15, 15. Jun. 2015 (CEST)

Ich habe die obige Berechnung mit mehrzeiligen Formeln mit dem für mich einfacheren Weg dargestellt.

--Petrus3743 (Diskussion) 01:59, 16. Jun. 2015 (CEST)

Kommentare

Zeile 3

• Zeile (3.2) die Textform von "nach Konstruktion, Schritt 7" sollte gleich sein wie in Zeile (5.1) "nach Konstruktion, Schritt 8"
  

Petrus3743 (Diskussion) 17:07, 23. Aug. 2015 (CEST)

geändert.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 18:03, 23. Aug. 2015 (CEST)

Pardon, ich hatte es leider andersrum gemeint, so ausgeführt wie schon in "Berechnung der Seitenlänge"...

Petrus3743 (Diskussion) 18:24, 23. Aug. 2015 (CEST)

geändert. Ich dachte, ich müsse die Kommentare in die math-Umgebung schreiben, damit es nicht zu eigenartigem Layout kommt, aber es funktioniert auch so.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 11:03, 24. Aug. 2015 (CEST)

To Do: „Pentadekagramm“

• ersetzen von „Pentadekagramm“ in der Galerieüberschrift durch „Regelmäßige überschlagene Fünfzehnecke“
  ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 16:02, 22. Aug. 2015 (CEST)

To Do: Größen des Fünfzehnecks

• ersetzen der Größentabelle durch

{| class="wikitable" |+ Größen eines regelmäßigen Fünfzehnecks |- | '''[[Innenwinkel]]''' |<math> \begin{align} \alpha &= \frac {n-2}{n} \cdot 180 ^ \circ = \frac {13}{15} \cdot 180 ^ \circ \\ &= 156 ^ \circ \end{align}</math> | rowspan="6" | </br> [[File:01-Fünfzehneck-Größen.svg|rahmenlos|328px|Größen des Fünfzehnecks]] |- | '''[[Seitenlänge]]''' |<math> \begin{align} a & = R \cdot \frac{1}{2}\sqrt{7-\sqrt{5}-\sqrt{6\left(5-\sqrt{5} \right)}} \\ & = \frac {\sin (24^\circ)}{ \sin (78^\circ)} \cdot R \approx 0{,}416\cdot R \end{align}</math> |- | '''[[Umkreisradius]]''' |<math> \begin{align} R & = a \cdot \frac{1}{2}\left(\sqrt{5+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}\right) \\ & = \frac {\sin (78^\circ)}{ \sin (24^\circ)} \cdot a \approx 2{,}405\cdot a \end{align} </math> |- | '''[[Inkreis]]radius''' |<math> \begin{align} r & = a \cdot \frac{1}{2}\sqrt{7+2\sqrt{5}+2\sqrt{3\left( 5+2\sqrt{5}\right)}}\\ & = \frac {\sin ^2 (78^\circ)}{\sin (24^\circ)} \cdot a\approx 2{,}352\cdot a \end{align}</math> |- | '''[[Flächeninhalt]]''' |<math> \begin{align} A & = a^2 \cdot \frac{15}{4}\sqrt{7+2\sqrt{5}+2\sqrt{3\left( 5+2\sqrt{5}\right)}} \\ & = 15 \cdot \frac {1}{2} \cdot \frac {\sin ^2 (78^\circ)}{\sin (24^\circ)}\cdot a^2 \approx 17{,}642\cdot a^2 \end{align}</math> |- | '''[[Höhe (Geometrie)|Höhe]]''' |<math> \begin{align} h & = r + R \approx 4{,}757\cdot a \end{align}</math> |}

• ersetzen des Abschnittes Umkreisradius durch

====Seitenlänge und Umkreisradius==== Wieder wird das Fünfzehneck in 15 kongruente Dreiecke zerlegt. Mit den aus der letzten Herleitung bekannten Winkeln liefert der Sinussatz die Länge einer Seite des Fünfzehnecks in Abhängigkeit von der Länge der Strecke zwischen dem Mittelpunkt und einem Eckpunkt und umgekehrt. Letzteres ist der Radius des Umkreises. :<math> \begin{align} \frac{\sin \left (24^\circ \right )}{\sin \left (78 ^\circ \right )} = \frac{a}{R} &\Leftrightarrow a = \frac{R \cdot \sin \left (24^\circ \right )}{\sin \left ( 78^\circ \right )} \approx 0{,}416 \cdot R \\ &\Leftrightarrow R = \frac{a \cdot \sin \left (78 ^\circ \right )}{\sin \left ( 24 ^\circ \right )} \approx 2{,}405 \cdot a \end{align}</math>

Probeansicht vom werdenden Artikel (wird ab 23.08.2015 nicht mehr aktualisiert!)

• Der Versuch einer Probeansicht, denn langsam habe ich den Überblick verloren. Ich hoffe es wurde von jedem Abschnitt das Aktuelle übernommen. Fehlt uns zu den "Größen eines regelmäßigen Fünfzehnecks mit Seitenlänge a" noch eine kurze Beschreibung zur Seitenlänge a. Nachtrag: Könntest du den wieder übernehmen?. Das dazugehörige Vorschaubild ist jetzt transparent ausgeführt.

• Um den Aufwand vorerst zu minimieren mit unveränderten Vorschaubildern!
• Das Hauptkriterium ist die Höhe und die Schriftgröße in den Bildern, nicht deren Länge. Vielleicht ist es, wegen des Überblicks, besser die Vorschaubilder nicht zu individualisieren.
• Bitte variiere selbst auch die Anzahl, Lage und die Größe der Bilder. Soll das erste Bild mit oder ohne Rahmen bzw. größer oder gleich groß sein?
• Ich habe zusätzlich Minibilder (als Alternaive?) ohne Beschreibung eingefügt. Vielleicht kann man sie "direkt" im Taplet zoomen?
• Zu beachten ist hierzu noch wie das Ganze auf einem "normal" großen Laptop oder Monitor aussehen bzw.wirken würde...
  

--Petrus3743 (Diskussion) 09:17, 4. Jul. 2015 (CEST)

Die Minibilder erfüllen ihren Sinn nicht. Es ging ja darum, die Skizze und die Herleitung auf einen Blick zu sehen, damit das Scrollen entfällt. Die Minibilder sind aber so klein, dass man sie anklicken muss, um etwas zu erkennen. Dabei wird man aber auf eine andere Seite weitergeleitet; die Herleitung ist also wieder weg. Zoomt man andererseits so extrem, dass man die Bilder erkennt, ohne die Seite zu wechseln, ist die Herleitung zu groß, um gelesen werden zu können.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 19:48, 4. Jul. 2015 (CEST)

Minibilder entfernt, übrige Bilder i.O.?

--Petrus3743 (Diskussion) 22:51, 4. Jul. 2015 (CEST)

Vom Layout schon. Möchtest du die Bilder noch individualisieren oder bleiben sie so?
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:46, 5. Jul. 2015 (CEST)

Die individuellen Skizzen sind eingearbeitet.

--Petrus3743 (Diskussion) 21:48, 5. Jul. 2015 (CEST)

und sehen gut aus.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 12:49, 6. Aug. 2015 (CEST)

Fünfzehneck

Das Fünfzehneck ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch fünfzehn Punkte und deren fünfzehn Verbindungen namens Seiten, Strecken oder Kanten.

Variationen

Das Fünfzehneck ist darstellbar als:

• konkaves Fünfzehneck, in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist. Ein Fünzehneck kann höchstens sieben solche Winkel haben.
• konvexes Fünfzehneck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Fünfzehneck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
• Sehnenfünfzehneck, in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen ungleich sind.
• regelmäßiges Fünfzehneck: Es ist bestimmt durch fünfzehn Punkte auf einem virtuellen Kreis. Sie haben auf diesem zueinander den gleichem Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken, auch Seiten oder Kanten genannt, verbunden.
• regelmäßiges überschlagenes Fünfzehneck: Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünfzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleichlang sind. Notiert werden solche regelmäßige Sterne mit Schläfli-Symbolen $\left\{n/k\right\}$, wobei $n$ die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder $k$-te Punkt verbunden wird. Es gibt nur drei regelmäßige Fünfzehnstrahlsterne. Die Sterne mit den Symbolen {15/3} und {15/12} sind regelmäßige Fünfecke, {15/5} und {15/10} gleichschenklige Dreiecke und {15/6} und {15/9} regelmäßige Pentagramme.

Pentadekagramme Bezeichnung ändern?

--Petrus3743 (Diskussion) 08:17, 5. Jul. 2015 (CEST)

Es wäre nur konsequent, die Bezeichnung hier auch wegzulassen.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:51, 5. Jul. 2015 (CEST)

Ja, so sehe ich das auch.

--Petrus3743 (Diskussion) 21:50, 5. Jul. 2015 (CEST)

„Regelmäßige überschlagene Fünfzehnecke” gut?
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 11:44, 6. Aug. 2015 (CEST)

Ist genau richtig!erledigtErledigt

Petrus3743 (Diskussion) 00:00, 7. Aug. 2015 (CEST)

„Regelmäßige überschlagene Fünfzehnecke” auch in den Artikelentwurf übernehmen.

Petrus3743 (Diskussion) 11:08, 21. Aug. 2015 (CEST)

• Regelmäßige überschlagene Fünfzehnecke
• 
  $\left\{15/2\right\}{,}\ \left\{15/13\right\}$
• 
  $\left\{15/4\right\}{,}\ \left\{15/11\right\}$
• 
  $\left\{15/7\right\}{,}\ \left\{15/8\right\}$

Regelmäßiges Fünfzehneck

Das regelmäßige Fünfzehneck ist nach Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz und voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen $\left(15=2^{0}\cdot 3\cdot 5\right)$ darstellbar ist. Wie beim regelmäßigen Fünfeck ist der Goldene Schnitt der maßgebende Baustein für eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal.

Größen

Größen eines regelmäßigen Fünfzehnecks

Innenwinkel	${\begin{aligned}\alpha &={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {13}{15}}\cdot 180^{\circ }\\&=156^{\circ }\end{aligned}}$
Seitenlänge	${\begin{aligned}a&=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}\\&={\frac {\sin(24^{\circ })}{\sin(78^{\circ })}}\cdot R\approx 0{,}416\cdot R\end{aligned}}$
Umkreisradius	${\begin{aligned}R&=a\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)\\&={\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a\approx 2{,}405\cdot a\end{aligned}}$
Inkreisradius	${\begin{aligned}r&=a\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {3\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}}}\\&={\frac {\sin ^{2}(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a\approx 2{,}352\cdot a\end{aligned}}$
Flächeninhalt	${\begin{aligned}A&=a^{2}\cdot {\frac {15}{4}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {3\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}}}\\&=15\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sin ^{2}(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a^{2}\approx 17{,}642\cdot a^{2}\end{aligned}}$
Höhe	${\begin{aligned}h&=r+R\approx 4{,}757\cdot a\end{aligned}}$

Innenwinkel

Die allgemeine Formel für Polygone liefert

$\alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {15-2}{15}}\cdot 180^{\circ }={\frac {13}{15}}\cdot 180^{\circ }=156^{\circ }$.

Dieser Wert lässt sich auch durch folgende Überlegungen herleiten:

Das Fünfzehneck lässt sich in fünfzehn Dreiecke teilen, deren Seiten jeweils eine Seite des Fünfzehnecks $a$ und die Verbindungsstrecken seines Mittelpunktes mit den zwei Endpunkten der Seite sind. Da die Winkelsumme in einem Dreieck immer $180^{\circ }$ beträgt und das Dreieck gleichschenklig und damit symmetrisch zur Winkelhalbierenden ist, schließen die beiden unbekannten Winkel jeweils ${\frac {180^{\circ }-24^{\circ }}{2}}={\frac {156^{\circ }}{2}}=78^{\circ }$ ein. Da das für alle fünfzehn Dreiecke gilt, addieren sich die beiden Winkel an einem Eckpunkt zu $156^{\circ }$.

Umkreisradius

Wieder wird das Fünfzehneck in 15 kongruente Dreiecke zerlegt. Mit den aus der letzten Herleitung bekannten Winkeln liefert der Sinussatz die Länge einer Verbindungsstrecke zwischen dem Mittelpunkt und einem Eckpunkt, die auch der Radius des Umkreises ist.

${\frac {\sin(24^{\circ })}{\sin(78^{\circ })}}={\frac {a}{R}}\Leftrightarrow R={\frac {a\cdot \sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\approx 2{,}405\cdot a$

Inkreisradius

Der Inkreisradius ist die Höhe auf der Außenseite eines Teildreiecks $r=h_{a}$ und berechnet sich allgemein als das Produkt einer anderen Seite und des Sinus des Winkels, der keiner der beiden Seiten gegenüberliegt: $h_{a}=b\cdot \sin(\gamma )$. Für ein Dreieck des Fünfzehnecks gilt $r=h_{a}=R\cdot sin(78^{\circ })$. Aus $R={\frac {a\cdot \sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}$ folgt für den Inkreisradius:

$r={\frac {a\cdot \sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot sin(78^{\circ })=a\cdot {\frac {\sin ^{2}(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\approx 2{,}3523a$.

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich zu $A_{\Delta }={\frac {1}{2}}a\cdot h_{a}$. Weiter gilt für die Höhe auf einer Seite $h_{a}=b\cdot \sin(\gamma )$; für ein Dreieck des Fünfzehnecks also $h_{a}=r\cdot \sin(78^{\circ })$. In die erste Formel eingesetzt ergibt sich $A_{\Delta }={\frac {1}{2}}a\cdot r\cdot \sin(78^{\circ })$.

Aus $r={\frac {a\cdot \sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}$ folgt für die Fläche eines Teildreiecks

$A_{\Delta }={\frac {1}{2}}a\cdot {\frac {a\cdot \sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot \sin(78^{\circ })={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sin ^{2}(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a^{2}\approx 1{,}176\cdot a^{2}$

und für die Fläche des gesamten Fünfzehnecks

$A=15\cdot A_{\Delta }=15\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sin ^{2}(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a^{2}\approx 17{,}642\cdot a^{2}$

Höhe

Die Höhe h eines regelmäßigen Fünfzehneckes ist die Summe aus In- und Umkreisradius, da die Verlängerung der Höhe eines Teilstückes über den Mittelpunkt des Fünfzehnecks hinaus auf einen Eckpunkt trifft.

$h=R+r={\frac {a\cdot \sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot \sin(78^{\circ })+{\frac {a\cdot \sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}={\frac {a\cdot \sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot (1+\sin(78^{\circ }))\approx 4{,}757\cdot a$

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis

• $|E_{2}E_{5}|{\widehat {=}}$ Seite von einem virtuellen regelmäßigen Fünfeck $E_{2}E_{5}E_{8}E_{11}E_{14}$

${\overline {E_{1}E_{6}}}{\widehat {=}}$ Seite von einem virtuellen gleichseitigen Dreieck $E_{1}E_{6}E_{11}$

Konstruktionsskizze, Umkreisradius gegeben

Animation der Skizze

Ist ein Kreis k₁ (der Umkreis um das entstehende Fünfzehneck) um den Mittelpunkt M gegeben, lässt sich ein regelmäßiges Fünfzehneck konstruieren durch:

1. Zeichnen eines Durchmessers; Schnittpunkte mit k₁ sind A und B
2. Konstruktion eines Radius, der orthogonal zu AB steht; Schnittpunkt mit k₁ ist C
3. Konstruktion eines Kreisbogens um A mit dem Radius AM; Schnittpunkte mit k₁ sind E₁ und E₆
4. Zeichnen von E₁E₆; Schnittpunkt mit AB ist F
5. Zeichnen eines Kreisbogens um F mit dem Radius FC; Schnittpunkt mit AB ist G
6. Zeichnen eines Kreisbogens um A mit dem Radius MG; Schnittpunkte mit k₁ sind E₂ und E₅
7. dreizehnmaliges Abtragen der Sehne E₁E₂ von k₁ auf k₁; Schnittpunkte mit k₁ sind die Eckpunkte E_3–15 des Fünfzehnecks
8. Verbinden der so gefundenen Punkte.

Berechnung der Seitenlänge

Berechnungsskizze für Seitenlänge a

$\;{\overline {ME_{1}}}=$ Umkreisradius $R;$

1.1 $\;{\overline {AM}}={\overline {ME_{1}}}={\overline {AE_{1}}}=R$ nach Konstruktion, Schritt 3

Gleichseitiges Dreieck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \mathbf{{AME_1}}}

2.1 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \;\overline{FM} = \frac{1}{2}\cdot R}

2.2 Rechtwinkliges Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \triangle{FME_1}}

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {ME_{1}}}^{2}={\overline {FM}}^{2}+{\overline {FE_{1}}}^{2}$

$\;{\overline {FE_{1}}}={\sqrt {{\overline {ME_{1}}}{^{2}}-{\overline {FM}}{^{2}}}}={\sqrt {R^{2}-R^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}$

$\;=R{\sqrt {R^{2}\cdot \left(1-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=R\cdot {\sqrt {1-{\frac {1}{4}}}}=R\cdot {\sqrt {\frac {3}{4}}}=R\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}$

Rechtwinkliges Dreieck $\mathbf {FMC}$

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {FC}}^{2}={\overline {FM}}^{2}+{\overline {MC}}^{2}$

3.1 $\;{\overline {FC}}={\sqrt {{{\overline {FM}}^{2}}+{{\overline {MC}}^{2}}}}={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}\cdot R\right)^{2}+R^{2}}}={\sqrt {{\frac {5}{4}}\cdot R^{2}}}=R\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}$

3.2 $\;{\overline {FC}}={\overline {FG}}$ nach Konstruktion, Schritt 5

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \overline{MG} = \overline{FG} - \overline{FM} = R \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} - R \cdot \frac{1}{2} = R \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{2} }

4.1 $\;{\overline {MG}}={\overline {AE_{2}}}={\overline {AH}}$ (Der Punkt $H$ ist ein Nebenprodukt der Konstruktion von $E_{2}$ und $E_{5}$.)

Rechtwinkliges Dreieck $\mathbf {ABE_{2}}$

Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle A E_2 B} rechtwinklig, wieder gilt nach dem Satz des Pythagoras: $\;{\overline {AB}}^{2}={\overline {AE_{2}}}^{2}+{\overline {BE_{2}}}^{2}$

5.1 Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („/media/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination“): {\displaystyle {\overline {BE_{2}}}={\sqrt {{\overline {AB}}^{2}-{\overline {AE_{2}}}^{2}}}={\sqrt {{(2\cdot R)}^{2}-\left({R\cdot {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}\right)^{2}}}={\sqrt {4\cdot R^{2}-{R^{2}}\cdot {\frac {\left({\sqrt {5}}-1\right)^{2}}{4}}}}}

$=R\cdot {\sqrt {4-{\frac {\left({\sqrt {5}}-1\right)^{2}}{4}}}}=R\cdot {\sqrt {{\frac {16}{4}}-{\frac {\left(5-2{\sqrt {5}}+1\right)}{4}}}}=R\cdot {\sqrt {\frac {10+2{\sqrt {5}}}{4}}}$

$=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(10+2{\sqrt {5}}\right)}}=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$

5.2 $\;\sin \left(\beta \right)={\frac {\overline {AE_{2}}}{\overline {AB}}}={\frac {R\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}{2R}}={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\;=\sin \left(18^{\circ }\right)$

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow \angle \; E_2BA = \beta = 18^\circ}

5.3 $\;\cos \left(\beta \right)={\frac {\overline {BE_{2}}}{\overline {AB}}}={\frac {R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}}{2R}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\;=\cos \left(18^{\circ }\right)$

Gleichschenkliges Dreieck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \mathbf{{MBE_2}}}

6.1 $\;\angle E_{2}BM=\angle E_{2}BA=\beta =18^{\circ }$ aus 5.2

$\;$Wegen Winkelsumme im Dreieck = 180° gilt:

6.2 $\;\gamma =180^{\circ }-2\cdot 18^{\circ }=144^{\circ }\;$

$\;$Supplement- oder Ergänzungswinkel $\delta =AME_{2}$

6.3 $\;\delta =180^{\circ }-144^{\circ }=36^{\circ }$

Rechtwinkliges Dreieck $\mathbf {IBE_{2}}$

mit $\angle IBE_{2}=18^{\circ }$ gilt: ${\frac {\overline {IE_{2}}}{BE_{2}}}=$ sin(18°) sowie $\;{\frac {\overline {BI}}{BE_{2}}}=$ cos(18°)

7.1 $\;{\overline {IE_{2}}}={\overline {BE_{2}}}\cdot \sin \left(18^{\circ }\right)=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\cdot {\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle = R \cdot \sqrt{\frac{1}{4}\cdot 2\cdot \left( 5+ \sqrt{5} \right)\cdot\frac{1}{16} \cdot \left( \sqrt{5}-1 \right) ^2} = R \cdot \sqrt{\frac{1}{8} \left( 5 - \sqrt{5} \right) } }

7.2 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \; \overline{IE_2} = \overline{FJ}}

7.3 $\;{\overline {BI}}={\overline {BE_{2}}}\cdot \cos \left(18^{\circ }\right)=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\cdot {\frac {1}{4}}{\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$

$=R\cdot {\frac {1}{8}}\left({\sqrt {2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)^{2}=R\cdot {\frac {1}{8}}\cdot 2\cdot \left(5+{\sqrt {5}}\right)=R\cdot {\frac {1}{4}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)$

${\overline {BF}}={\overline {BM}}+{\overline {FM}}=R+R\cdot {\frac {1}{2}}=R\cdot {\frac {3}{2}}$

${\overline {JE_{2}}}={\overline {BI}}-{\overline {BF}}=R\cdot {\frac {1}{4}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)-R\cdot {\frac {3}{2}}=R\cdot \left({\frac {1}{4}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)-{\frac {3}{2}}\right)$

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle = R \cdot \left( \frac{5}{4}\cdot \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{6}{4}\right) = R \cdot \frac{1}{4} \left(5+\sqrt{5}-6 \right) = R \cdot \frac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right) }

${\overline {JE_{1}}}={\overline {FE_{1}}}-{\overline {FJ}}=R\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}=R\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\sqrt {{\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)$

Rechtwinkliges Dreieck $\mathbf {E_{2}JE_{1}}$

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle {\overline{E_1E_2}}^2 = {\overline {JE_2}}^2 + {\overline{JE_1}}^2}

${\overline {E_{1}E_{2}}}={\sqrt {{\overline {JE_{2}}}^{2}+{\overline {JE_{1}}}^{2}}}={\sqrt {\left(R\cdot {\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\right)^{2}+\left(R\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\sqrt {{\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)^{2}}}$

$\;=R\cdot {\sqrt {\left({\frac {1}{16}}\left(5-2{\sqrt {5}}+1\right)+{\frac {3}{4}}-2\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}+{\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)\right)}}$

$\;=R\cdot {\sqrt {\left({\frac {1}{16}}\left(5-2{\sqrt {5}}+1\right)+{\frac {3}{4}}-{\sqrt {{\frac {1}{8}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)\cdot 4\cdot 3\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\frac {2}{2}}}}+{\frac {10}{16}}-{\frac {2}{16}}\cdot {\sqrt {5}}\right)}}$

$\;=R\cdot {\sqrt {\left({\frac {5}{16}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {12}{16}}+{\frac {10}{16}}-{\frac {2}{16}}\cdot {\sqrt {5}}-{\frac {2}{16}}\cdot {\sqrt {5}}-{\sqrt {{\frac {24}{64}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)}}$

$\;=R\cdot {\sqrt {\left({\frac {28}{16}}-{\frac {4}{16}}\cdot {\sqrt {5}}-{\sqrt {{\frac {6}{16}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)}}=R\cdot {\sqrt {\left({\frac {7}{4}}-{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {5}}-{\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {6\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)}}$

$\;=R\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\cdot \left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)}}=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}$

$\mathbf {a={\overline {E_{1}E_{2}}}=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}\approx 0{,}416\cdot R}$

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seitenlänge

Die Konstruktion ist nahezu gleich mit der des Fünfecks bei gegebener Seite.

Konstruktionsskizze, Länge der Seite gegeben

Animation der Skizze

Ist die Seitenlänge (Strecke) eines Fünfzehnecks gegeben, lässt sich ein regelmäßiges Fünfzehneck konstruieren durch:

1. Bezeichnen der Streckenenden mit E₁ und E₂; beide sind Eckpunkte des enstehenden Fünfzehnecks
2. Verlängern der Strecke E₁E₂ ab E₁ um ca. einer Länge dieser Strecke
3. Zeichnen eines Kreisbogens um E₁ mit dem Radius E₁E₂
4. Konstruktion einer Senkrechten zur Strecke E₁E₂ ab E₁; Schnittpunkt mit dem Kreisbogen um E₁ ist A
5. Zeichnen eines Kreisbogens um E₂ mit dem Radius E₁E₂; Schnittpunkte mit Kreisbogen um E₁ sind B und C
6. Zeichnen einer geraden Linie ab C durch B mit der Länge etwas länger als dreimal die Strecke BC; Schnittpunkt mit E₁E₂ ist D
7. Zeichnen eines Kreisbogens um D mit dem Radius DA; Schnittpunkt mit Verlängerung der Strecke E₁E₂ ist F
8. Zeichnen eines Kreisbogens um E₂ mit dem Radius E₂F; Schnittpunkt mit der geraden Linie (ab C durch B) ist G
9. Zeichnen eines kurzen Kreisbogens um E₂ mit dem Radius CG; Schnittpunkt mit Verlängerung der Strecke CB ist M, der Mittelpunkt des Umkreises des entstehenden Fünfzehnecks
10. Zeichnen des Umkreises k₁ um M mit dem Radius ME₂; Schnittpunkt mit dem Kreisbogen um E₂ ist Eckpunkt E₃
11. elfmaliges Abtragen der Sehne E₁E₂ von k₁ auf k₁; Schnittpunkte mit k₁ sind die Eckpunkte E_3–15 des Fünfzehnecks
12. Verbinden der so gefundenen Eckpunkte.

Berechnung des Umkreisradius

Die in obiger Tabelle angegebene Formel für den Umkreisradius leitet sich wie folgt her:

${\overline {E_{1}E_{2}}}={\overline {E_{1}A}}=$ Seitenlänge a
${\overline {DE_{1}}}={\overline {DE_{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot a$

Rechtwinkliges Dreieck Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \mathbf{{AE_1D}}}

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {DA}}^{2}={\overline {E_{1}A}}^{2}+{\overline {DE_{1}}}^{2}$

3.1 Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \; \overline{DA} = \sqrt{{{\overline{E_1A}}^{2}} + {{\overline{DE_1}}^{2}}} = \sqrt{a^2 + a^2 \cdot\left( \frac{1}{2}\right)^2} = a \cdot \sqrt{\left( 1+ \frac{1}{4}\right)} = a \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} }

3.2 $\;{\overline {DA}}={\overline {DF}}$ nach Konstruktion, Schritt 7

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („/media/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination“): {\displaystyle {\overline {E_{1}F}}={\overline {DF}}-{\overline {DE_{1}}}=a\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}-a\cdot {\frac {1}{2}}=a\cdot \left({\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)=a\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}

${\overline {E_{2}F}}=a+{\overline {E_{1}F}}=a+a\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)=a\cdot \left(1+{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\right)$

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \; = a \cdot \left( 1 + \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right) = a \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right) = a\cdot \frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right) }

5.1 $\;{\overline {E_{2}F}}={\overline {E_{2}G}}$ nach Konstruktion, Schritt 8

Rechtwinkliges Dreieck $\mathbf {DE_{2}G}$

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {E_{2}G}}^{2}={\overline {DE_{2}}}^{2}+{\overline {DG}}^{2}$

${\overline {DG}}\;={\sqrt {{{\overline {E_{2}G}}^{2}}-{{\overline {DE_{2}}}^{2}}}}={\sqrt {a^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)^{2}-a^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=a\cdot {\sqrt {\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}$

$=a\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {5}{4}}-{\frac {1}{4}}}}=a\cdot {\sqrt {{\frac {5}{4}}+{\frac {2{\sqrt {5}}}{4}}}}=a\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}=a\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$

Rechtwinkliges Dreieck $\mathbf {DE_{2}C}$

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: ${\overline {CE_{2}}}^{2}={\overline {DE_{2}}}^{2}+{\overline {DC}}^{2}$

${\overline {DC}}={\sqrt {{\overline {CE_{2}}}^{2}-{\overline {DE_{2}}}^{2}}}={\sqrt {a^{2}-a^{2}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=a\cdot {\sqrt {\left(1-{\frac {1}{4}}\right)}}=a\cdot {\sqrt {\frac {3}{4}}}=a\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$\mathbf {R={\overline {CG}}={\overline {E_{2}M}}={\overline {DG}}+{\overline {DC}}=a\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)\approx 2{,}405\cdot a}$

Der Goldene Schnitt im Fünfzehneck

Sowohl in der Konstruktion bei gegebenem Umkreis als auch in der bei gegebener Seitenlänge (Kantenlänge), ist der Goldene Schnitt als bestimmendes Konstruktionselement enthalten.

Für den Vergleich der Konstruktionsvarianten sind die Punktebezeichnungen mit Indizes ergänzt: u für die Konstruktion bei gegebenem Umkreis, s für die bei gegebener Seitenlänge.

1. Seite des Fünfzehnecks:

${\overline {E_{1u}E_{2u}}}\;{\widehat {=}}\;{\overline {E_{1s}E_{2s}}}$

Radius für den Goldenen Schnitt:

${\overline {F_{u}C_{u}}}\;{\widehat {=}}\;{\overline {D_{s}A_{s}}}$

Streckenverhältnisse des Goldenen Schnitts:

$\Phi ={\frac {\overline {A_{u}H_{u}}}{\overline {H_{u}M_{u}}}}={\frac {\overline {A_{u}M_{u}}}{\overline {A_{u}H_{u}}}}\;\;\;=\;\;\;{\frac {\overline {E_{1s}E_{2s}}}{\overline {E_{1s}F_{s}}}}={\frac {\overline {E_{2s}F_{s}}}{\overline {E_{1s}E_{2s}}}}\;\;\;=\;\;\;{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}618$

Weblinks

• Mathworld Pentadecagon (engl.)
• Eric W. Weisstein

Einzelnachweise

[[Kategorie:Polygon]]