Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung, auch Differenzialgleichung, oft abgekürzt als DGL, ist eine Gleichung, die eine Funktion F(x) und eine oder mehrere Ableitungen dieser Funktion enthält. Um eine Differenzialgleichung zu lösen, muss eine Funktion gefunden werden, die der Differentialgleichung genügt.

Anwendungen

Differenzialgleichungen werden oft benötigt, um Vorgänge zu beschreiben, bei denen die Veränderung einer Größe durch sie selbst bestimmt wird.

Das Zerfallsgesetz in der Physik etwa besagt, dass die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Atome einer Menge instabiler Atome von der gesamten Anzahl N der vorhandenen Atome abhängt. Insofern ist die Abnahme der Anzahl der Atome proportional zur Anzahl aller Atome:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N(t)=c\;N(t).$

Durch Berechnen der Funktion N(t) aus dieser Differentialgleichung kann die Anzahl der Atome zu jedem Zeitpunkt bestimmt werden.

Ein anderes einfaches Beispiel ist der ungedämpfte harmonische Oszillator mit der Differenzialgleichung

$m\;a=m\;{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}x(t)=-k\;x(t).$

Die gesuchte Funktion ist hier die Funktion x(t), deren zweite zeitliche Ableitung als Beschleunigung aus den Bewegungsgesetzen stammt.

Theorie

Differentialgleichungen werden nach unterschiedlichen Kriterien klassifiziert. Dabei schließen sich die folgenden Klassifikationen nicht gegenseitig aus.

Weiterhin ist es in der Theorie der Differentialgleichungen üblich, auch Systeme von Differentialgleichungen als "Differentialgleichung" aufzufassen. Solche Systeme liegen vor, wenn mehrere Gleichungen vorliegen, in denen gleichzeitig mehrere Funktionen und deren Ableitungen zusammenwirken.

Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen

Die in der Differenzialgleichung gesuchte Funktion f kann von einer Variablen x oder mehreren (x = (x₁, x₂, ..., x_n) in Vektorschreibweise) abhängen. Im ersten Falle spricht man von einer gewöhnlichen, im letzteren Falle von einer partiellen Differentialgleichung. Hierbei ist implizit angenommen, dass Ableitungen nach allen vorkommenden Variablen auftreten; andernfalls spricht man von Parametern. Aus dem Englischen kommend werden die Abkürzungen ODE (ordinary differential equation) und PDE (partial differential equation) für gewöhnliche und partielle Differenzialgleichungen benutzt. Bei partiellen Differentialgleichungen unterscheidet man zwischen hyperbolischen (z.B. die Wellengleichung), parabolischen (z.B. die Wärmeleitungsgleichung) und elliptischen (z.B. die Poisson-Gleichung) Differentialgleichungen. Anschaulich betrachtet unterscheiden sich die Typen durch die Art der Ausbreitung von Störungen in der Lösung.

Ordnung einer Differentialgleichung und Ordnungsreduktion

Die Ordnung einer Differentialgleichung ist durch die Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung gegeben. Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung lassen sich immer in gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung umwandeln:

Sei
$y^{(n)}(t)=f(t,y(t),y'(t),y''(t),\dots ,y^{(n-1)}(t))$
eine gewöhnliche Differentialgleichung n^ter Ordnung. Dann werden folgende Hilfsfunktionen eingeführt:
$u_{k}(t)=y^{(k)}(t)\quad k\in {0\dots n-1}$

Wir erhalten dadurch ein System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen 1.Ordnung:
$u'_{0}(t)=u_{1}(t)$
$u'_{1}(t)=u''_{0}(t)=u_{2}(t)$
$\dots$
$u'_{n-1}=u''_{n-2}=\dots =u_{0}^{(n)}=y^{(n)}=f(x,y,u_{0},u_{1},\dots \,u_{n-1}).$

Lineare Differentialgleichungen

Die Theorie der linearen Differentialgleichungen ist ein wichtiger Teilbereich der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Lineare Differentialgleichungen lassen sich oft mit Standardmethoden lösen.

Eine lineare Differentialgleichung ist ein lineares System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Man unterscheidet lineare Differentialgleichungen mit variablen oder konstanten Koeffizienten und hat in jedem dieser beiden Fälle homogene und inhomogene Problemstellungen.

Das Lösen von Differentialgleichungen

Die Lösung einer Differentialgleichung ist immer eine Funktion (oder im Falle eines Systems von Differentialgleichungen mehrere Funktionen). Es ist jedoch nicht jede Differentialgleichung lösbar, es gibt allerdings einige Kriterien, anhand derer man Lösbarkeit erkennen kann. Ferner reicht die Differentialgleichung allein im Allgemeinen nicht aus, um die Funktion eindeutig zu bestimmen.

Beispielsweise werden alle schwingenden Pendel durch eine Differentialgleichung beschrieben, und der generelle Bewegungsablauf folgt immer dem gleichen Prinzip. Der konkrete Bewegungsablauf ist jedoch durch die Rand- oder Anfangsbedingung(en) (wann wurde das Pendel angestoßen, und wie weit) bestimmt.

Nur wenige Typen von Differentialgleichungen lassen sich analytisch lösen. Insbesondere partielle Differentialgleichungen können oft nur mit numerischen Methoden approximiert werden.

Die Menge aller Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung bildet ein dynamisches System, auch Fluss der Differentialgleichung genannt.

Spezielle Lösungsmethoden

Neben linearen Systemen lassen sich Differentialgleichungen, die separierbar sind, durch direkte Integration lösen.

Manche Typen von Differentialgleichungen lassen sich durch Potenzreihen lösen.

Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen

Die Laplace-Transformation eignet sich aufgrund ihres Differentiationssatzes u.a. dazu Differentialgleichungen zu lösen. Dazu transformiert man die Differentialgleichung in den Frequenzraum, löst die so erhaltene algebraische Gleichung und transformiert die Lösung in den Zeitraum zurück.

Spezielle Differentialgleichungen

Riccati-Gleichung

Bernoulli-Gleichung

Navier Stokes Gleichungen

Numerische Verfahren

Numerische Verfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen

Da sich gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung immer auf Systeme erster Ordnung reduzieren lassen, geht man bei der Konstruktion von numerischen Lösungsverfahren im Normalfall von einem System erster Ordnung aus:

${\dot {x}}(t)=f(t,x(t)),\;f,x:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ^{n}$

Zum Beispiel ist das Runge-Kutta-Verfahren ein weitverbreitetes numerisches Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Numerische Verfahren für partielle Differentialgleichungen

Die meist benutzten Verfahren sind die Methode der finiten Differenzen, der finiten Elemente und der finiten Volumen.

Siehe auch: Integralgleichung