Festigkeitslehre

Die Festigkeitslehre, früher auch Elastostatik, ist ein Teilgebiet der technischen Mechanik und behandelt den Zusammenhang zwischen von außen auf einen Körper einwirkenden Kräften und den daraus resultierenden inneren Beanspruchungen. Mithilfe der Festigkeitslehre lassen sich Aussagen über die Stabilität sowie Art und Umfang von Deformationen von Bauwerken oder Bauteilen treffen.

Geschichte

Im Altertum und im Mittelalter wurde die nötige Festigkeit von Bauwerken und Maschinen (weder zu schwach noch überdimensioniert) von der Erfahrung, der Intuition und der Tradition der Baumeister bestimmt. Erste konkrete Versuche, wie sich unterschiedliche Materialien unter Einwirkung von Last verhalten, wurden von Galileo Galilei zu Beginn des 17. Jahrhunderts durchgeführt. Systematische und verlässliche Ergebnisse wurden ab etwa 1800 insbesondere von Claude Louis Marie Henri Navier, Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, Gabriel Lamé,Siméon Denis Poisson und Christian Otto Mohr erzielt. Die Namen dieser Wissenschaftler finden sich noch heute in nach ihnen benannten Begriffen der Festigkeitslehre wieder. Das Fachgebiet der Festigkeitslehre vergrößerte sich zunehmend und umfasst heute auch Teile der Elastizitätstheorie und der Plastizitätstheorie. Die Festigkeitslehre findet heute in der Baustatik sowie im Maschinenbau Anwendung; zur Berechnung werden computergestützte Verfahren wie die Finite-Elemente-Methode, die Randelementmethode und die Distinct-Element-Methode eingesetzt.

Grundlagen

Spannung

→ Hauptartikel: Spannung (Mechanik)

Quader mit mechanischen Spannungen

Hauptspannungen im ebenen Spannungszustand

Spannung und Verzerrung sind die beiden grundlegenden Größen der Festigkeitslehre. Die Belastung eines Körpers von außen kann durch Kräfte und Momente erfolgen. So unterscheidet man für die Belastung einer festgelegten Fläche des Körpers zwischen Normalkraft $N$, Querkraft $Q$, Biegemoment $M$ und Torsionsmoment $T$. Die Verteilung dieser Belastungen im Inneren des Körpers wird durch die Spannung wiedergegeben. Der elementare Spannungsbegriff, Spannung gleich Kraft pro Fläche, wurde von Augustin-Louis Cauchy im Jahr 1822 geprägt.

Durch Normalkräfte oder Kraftkomponenten orthogonal zur betrachteten Fläche wird die Normalspannung $\sigma ={\frac {N}{A}}$ eingeleitet.

Durch Querkräfte oder Kraftkomponenten tangential zur betrachteten Fläche wird die Schubspannung $\tau ={\frac {Q}{A}}$ eingeleitet.

Durch Auflösung der obenstehenden Gleichungen nach A kann für eine gegebene Lastannahme und die Kenntnis der durch den Werkstoff vorgegebenen, maximal zulässigen Spannung die nötige Querschnittsfläche eines Bauteils dimensioniert werden.

Die Spannung kann als tensorielle Größe mit dem Spannungstensor ${\mathbf {S}}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}$ aufgefasst werden.

Auf der Hauptdiagonalen finden sich die drei voneinander unabhängigen Normalspannungen, die übrigen Elemente repräsentieren die Schubspannungen. Aufgrund der Symmetrie des Spannungstensors gibt es nur drei voneinander unabhängige Schubspannungen. Durch Hauptachsentransformation lässt sich jeder Spannungszustand in ein Koordinatensystem umrechnen, in dem alle Schubspannungen verschwinden.

Verzerrung

Definition der Verzerrung anhand eines infinitesimalen Linienelements. Links der unbelastete Referenzzustand, rechts der belastete Momentanzustand

In der Realität geht mit jeder Kraft auf einen Körper eine Verformung dieses Körpers einher. In der Festigkeitslehre werden Verformungen durch den Begriff der Verzerrung behandelt. Der elementare Verzerrungsbegriff definiert die Verzerrung als den Quotienten von Längenänderung zu Ursprungslänge: $\varepsilon ={\frac {\Delta l}{l}}$

Die Verzerrung kann ebenso wie die Spannung auch als tensorielle Größe aufgefasst werden:

Da die in der technischen Mechanik betrachteten Verzerrungen klein sind, wird in der Festigkeitslehre der linearisierte Verzerrungstensor ${\mathbf {E}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{x}&\gamma _{xy}&\gamma _{xz}\\\gamma _{yx}&\varepsilon _{y}&\gamma _{yz}\\\gamma _{zx}&\gamma _{zy}&\varepsilon _{z}\end{bmatrix}}$ verwendet.

Die Hauptdiagonalelemente des linearen Verzerrungstensors beschreiben die Dehnung $\varepsilon$, definiert als die Längenänderung eines Linienelements. Die übrigen Elemente des Verzerrungstensors beschreiben die Scherung $\gamma$, definiert als die Winkeländerung zweier benachbarter Linienelemente.

Spannungs-Dehnungs-Diagramm

Beispiel für ein Spannungs-Dehnungs-Diagramm

→ Hauptartikel: Spannungs-Dehnungs-Diagramm

Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm resultiert aus den Messdaten des Zugversuchs und stellt einen Zusammenhang zwischen Spannung und Verzerrung her, indem auf der Abszisse die Dehnung und auf der Ordinate die Normalspannung abgetragen wird. Für duktile Materialien lassen sich der linear-elastische Bereich, der nichtlinear-elastische Bereich und der plastische Bereich unterscheiden. Für die Festigkeitslehre ist besonders der linear-elastische Bereich von Bedeutung, da die Verformung des Werkstoffs hier reversibel ist und somit bei der Auslegung von Bauwerken und Bauteilen der linear-elastische Bereich nicht verlassen werden sollte.

Im linear-elastischen Bereich beschreibt der Graph eine Gerade; es gilt das Hookesche Gesetz $\sigma =E\varepsilon$. Hierbei ist die Proportionalitätskonstante $E$ der Elastizitätsmodul. Der Elastizitätsmodul wird durch Zugversuche empirisch bestimmt und stellt eine wichtige Größe für die Auslegung von Körpern in der Festigkeitslehre dar.

Die Erkenntnisse zur Zug- und Druckfestigkeit, die aus dem Spannungs-Dehnungs-Diagramm gewonnen werden, finden Anwendung bei der Wahl des Werkstoffs für gegebene Anwendungen. So wird im Bauwesen häufig Stahlbeton eingesetzt, der eine Kombination aus dem duktilen Material Stahl und dem spröden, aber druckfesten Material Beton darstellt.

Schubspannungs-Scherungs-Diagramm

Das Schubspannungs-Scherungs-Diagramm resultiert aus den Messdaten der Beanspruchung einer Probe auf Torsion. Analog zum Spannungs-Dehnungs-Diagramm werden im Schubspannungs-Scherungs-Diagramm auf der Abszisse die Scherung und auf der Ordinate die Schubspannung abgetragen. Im linear-elastischen Bereich verläuft auch der Graph des Schubspannungs-Scherungs-Diagramms linear. In der Festigkeitslehre gilt, da die Scherungen als klein angenommen werden: $\tau =G\gamma$. Die Proportionalitätskonstante ist der Schubmodul $G$.

Thermisch begründete Spannungen

Bei steigender Temperatur dehnt sich ein Werkstoff meist aus, bei sinkender Temperatur verkürzt er sich. Dieser Zusammenhang ist ebenfalls linear und lässt sich durch die folgende Gleichung modellieren: $\Delta l=l\cdot \Delta T\cdot \alpha$. Hierbei ist $l$ die Ursprungslänge eines Körpers, $\Delta l$ seine Längenänderung, $\Delta T$ die Änderung der Temperatur in Grad Celsius oder Kelvin und $\alpha$ der Wärmeausdehnungskoeffizient.

Flächenträgheitsmoment

→ Hauptartikel: Flächenträgheitsmoment

Tabelle von Flächenträgheitsmomenten aus dem Lexikon der gesamten Technik von 1904

Nicht nur die Eigenschaften des Werkstoffs, auch die Geometrie eines Körpers nimmt Einfluss auf dessen Verhalten bei Belastung. Das Flächenträgheitsmoment ist ein rein geometrisches Maß für die Widerstandsfähigkeit eines Querschnitts durch einen Körper gegen Verformung durch Biegung und Torsion. Unterschieden werden das polare Flächenträgheitsmoment $I_{p}$, die axialen Flächenträgheitsmomente $I_{x}$ und $I_{y}$ sowie die Deviationsmomente $I_{x}y=I_{y}x$.

Das Flächenträgheitsmoment lässt sich darüber hinaus tensoriell auffassen; es ist ${\mathbf {J}}={\begin{bmatrix}J_{p}&0&0\\0&J_{yy}&J_{yz}\\0&J_{zy}&J_{zz}\end{bmatrix}}$. Der Flächenträgheitstensor wird dabei mit ${\mathbf {J}}$ bezeichnet, da ${\mathbf {I}}$ bereits für die Identität verwendet wird.

Die Eigenwerte des Flächenträgheitstensors sind die Maxima des axialen Flächenträgheitsmomente in einem Schwerpunktsystem und werden Hauptträgheitsmomente genannt. Zur Bestimmung der Hauptträgheitsmomente können Transformationsbeziehungen verwendet werden.

Um die Flächenträgheitsmomente aufwändiger Querschnittsflächen einfacher berechnen zu können, kann eine Zerlegung in Teilflächen und die Berechnung der Flächenträgheitsmomente dieser Teilflächen erfolgen. Stimmt der Schwerpunkt einer Teilfläche dabei nicht mit dem Gesamtschwerpunkt überein, ist nach dem Steinerschen Satz zu den axialen Flächenträgheitsmomente und den Deviationsmomenten der Steiner-Anteil hinzuzufügen.

Das Flächenträgheitsmoment hat eine große praktische Bedeutung; denn bei seiner Kenntnis lassen sich Bauteile bei gegebener Hauptlastrichtung und gegebenem Materialeinsatz möglichst widerstandsfähig gestalten. Dies ist der Grund für den häufigen Einsatz von Profilstählen wie dem Doppel-T-Träger anstelle von Vollmaterial.

Biegung

→ Hauptartikel: Biegung (Mechanik)

Ein elementarer Bestandteil der Festigkeitslehre sind Aussagen über Spannungen und Deformationen an Körpern durch Biegung. Hierbei werden in der Regel das Modell des Balkens und die Grundlagen der Balkentheorie verwendet, da sich eine Vielzahl an Bauteilen, insbesondere Tragwerkskomponenten und Wellen, als Balken modellieren lassen.

Allgemein wird zwischen der geraden Biegung und der schiefen Biegung unterschieden. Die gerade Biegung erfolgt durch Belastung entlang der Hauptträgheitsachsen eines Balkens; bei achsensymmetrischen Querschnitten sind dies die Symmetrieachsen.

Biegenormalspannung

Die Biegenormalspannung ändert sich linear entlang des Querschnitts

Bei der Biegung eines horizontalen Balkens durch eine Moment oder eine Last, die ein Biegemoment erzeugt, tritt in dem Balken eine Normalspannung auf. Da die untersuchten Balken meistens lang im Verhältnis zur Dicke (schlanker Balken) und die Durchbiegungen relativ gering sind, wird angenommen, dass die Biegenormalspannung sich über den Querschnitt linear ändert (siehe Bild rechts). Bei gerader Biegung ist die Biegenormalspannung nur von der Höhe, nicht von der Breite eines Balkens abhängig. Die betragsmäßig größten Biegenormalspannungen treten an der Ober- und Unterseite des Balkens auf, ihre Vorzeichen sind entgegengesetzt gerichtet. Der Nulldurchgang der Spannung wird als Nulllinie oder neutrale Faster bezeichnet. Bei reiner Biegebeanspruchung fällt sie mit dem Schwerpunkt des Querschnitts zusammen.

Die Biegespannung bei gerader Biegung kann durch die Biegespannungsformel bestimmt werden:

• $\textstyle \sigma _{B}(z)={\frac {M}{I}}z.$

Dabei sind $\sigma _{B}(z)$ die Biegespannung (Normalspannung) in Abhängigkeit von $z$, $z$ der Abstand zur Nulllinie, $M$ das belastende Biegemoment und $I$ das axiale Flächenträgheitsmoment. Steht ein Balken zusätzlich zur Belastung durch ein Biegemoment unter einer durch Temperaturänderung verursachten Normalspannung, kann die resultierende Biegenormalspannung nach dem Superpositionsprinzip durch Addition der durch Biegemoment verursachten Normalspannung zur thermisch bedingten Normalspannung bestimmt werden. Die Lage der Nullline ändert sich dabei. Für die Dimensionierung realer Balken sind die Randspannungen ausschlaggebend, da die Spannung im übrigen Teil des Balkens stets geringer ist als die Spannung an den Rändern. Aus diesem Grund werden zum Beispiel Balken mit Doppel-T-Querschnitt so angeordnet, dass deren Gurte (vergrößerte Querschnitte) und bei Stahlbetonträgern die Bewehrung (vergrößerte Materialfestigkeit) bevorzugt oben und unten liegen. Setzt man die Ränder des Balkens in die Biegespannungsformel ein, ergibt sich:

• $\textstyle \sigma _{B}(z_{Rand})={\frac {M}{I}}z_{Rand}$

Da sowohl $I$ als auch $z_{Rand}$ geometrische Größen sind, die für einen gegebenen Balken eindeutig bestimmbar sind, können sie zum Widerstandsmoment $W$ zusammengefasst werden.

Es gilt $\textstyle W={\frac {I}{z_{Rand}}}$ und somit $\textstyle \sigma _{B}(z_{Rand})={\frac {M}{W}}$.

Das Widerstandsmoment ist ebenfalls eine rein geometrische Größe und wird oft bei der Dimensionierung von Balken verwendet, da hierbei durch die Wahl des Werkstoffs gegebene Maximalspannungen nicht überschritten werden dürfen und das Widerstandsmoment einen einfachen Zusammenhang zwischen Biegenormalspannung und der Beanspruchung durch ein Biegemoment herstellt.

Dehnung

Verhalten eines Balkens bei nach unten gerichteter Last

Bei der Biegung eines horizontalen, an den Enden momentenfrei gelagerten Balkens (siehe Bild rechts) durch eine positive, also nach unten gerichtete Last oder ein entsprechend gerichtetes Moment wird der Balken an seiner Oberseite gestaucht und an seiner Unterseite gestreckt. Lediglich die Nulllinie, die durch den Schwerpunkt des Balkenquerschnitts entlang der Achse des Balkens verläuft, behält ihre Länge bei. Da für Balken die Bernoullischen Annahmen gelten, bleibt jede Querschnittsfläche entlang des Balkens eben und orthogonal zur Balkenachse.

Die Durchbiegung eines Balkens an einem beliebigen Ort wird durch die elastische Biegelinie, oft auch kurz als Biegelinie bezeichnet, modelliert. Die Biegelinie kann über Differenzialbeziehungen durch Integration aus Biegemomentverlauf, Querkraftverlauf oder Linienlast gewonnen werden. Es gilt bei konstanter Temperatur und über die Länge des Balkens konstantem Elastizitätsmodul und konstantem Flächenträgheitsmoment:

• $\textstyle EIw''''=q(x)$
• $\textstyle EIw'''=-Q(x)$
• $\textstyle EIw''=-M(x)$.

Dabei ist $E$ der Elastizitätsmodul, $I$ das axiale Flächenträgheitsmoment und $w$ die Durchbiegung. Die Integrationskonstanten können über die Lagerung des Balkens bestimmt werden. Die Biegelinie lässt sich auf diese Weise ebenfalls für statisch überbestimmt gelagerte Balken bestimmen.

Widerstandsfähigkeit des Körpers

Die Widerstandsfähigkeit eines Körpers wird in vielen Fällen ermittelt, indem man die Materialkennwerte einer genormten Probe auf die Kennwerte des Körpers umrechnet.

Dabei bedient man sich im Allgemeinen der Elastizitätstheorie bzw. auch der Plastizitätstheorie. Für einfach geformte (z. B. stabförmige Körper) können daraus Formeln theoretisch abgeleitet werden. Für kompliziertere Körper verwendet man vorwiegend Computerprogramme, u. a. Anwendungen der Finite-Elemente-Methode. Weitere Einflüsse (außer Form, Belastungsart und Materialkennwerte) sind:

• der Größeneinfluss (bedingt durch den unterschiedlichen Einfluss von Materialfehlern)
• der Oberflächeneinfluss, bedingt z. B. durch Rauheit oder Verfestigung der Oberfläche
• Einfluss sonstiger Randbedingungen, z. B. Temperatur (soweit nicht schon im Berechnungsmodell berücksichtigt), trockene Reibung oder aggressive Medien.

Diese Einflüsse werden z. T. durch empirisch gewonnene Faktoren berücksichtigt.

In manchen Fällen wird die Widerstandsfähigkeit der Körper rein empirisch entwickelt, d. h. durch Experimente an gleichartigen Körpern oder Modellen. Bei der Verwendung von Modellen müssen die Gesetze der Ähnlichkeitstheorie berücksichtigt werden.

In einigen Bereichen z. B. Maschinenbau oder Bauwesen existieren einheitliche Berechnungsverfahren, die größtenteils genormt sind.

Sicherheit bei Festigkeitsberechnungen

Bei der Auslegung von Bauteilen müssen Sicherheiten beispielsweise gegen Bruch durch Materialermüdung vorgesehen werden.

Bei Bauteilen von Maschinen oder Elementen eines Gebäudes können Ungenauigkeiten auftreten. Zum einen können Fertigungsfehler die Last reduzieren, die ein Bauteil aufnehmen kann, des Weiteren können Lastannahmen falsch getroffen werden und die tatsächliche Belastung eines Teils über der angenommenen Belastung liegen. Der Natur entnommene Werkstoffe wie Holz können Schwankungen in ihrer Festigkeit aufweisen, die mit einzurechnen sind. Der Sicherheitsfaktor $S$ bietet eine Möglichkeit, die zulässige Belastung $P_{zul}$ im Verhältnis zur Versagensbelastung $P_{vers}$ auszudrücken:

• $\textstyle S={\frac {P_{vers}}{P_{zul}}}$

Für $P_{zul}$ und $P_{vers}$ können dabei unterschiedliche Größen, wie Normalspannung, Schubspannung oder Verzerrung eingesetzt werden. Die Versagensbelastung wird empirisch durch Versuche ermittelt.

Der Sicherheitsfaktor ist dimensionslos, sein Wert ist abhängig von der Sicherheitsrelevanz des zu dimensionierenden Bauteils und der Streuung im Werkstoffverhalten zu wählen. Beispielsweise kann der Sicherheitsfaktor bei Komponenten in Kernkraftwerken im Bereich von 3 liegen. Oft sind Sicherheitsfaktoren in Normenwerken zu finden.

Neben den grundlegenden Größen wie Spannung und Verformung müssen auch Sicherheiten gegen Langzeitwirkungen wie Kriechen und Ermüdung vorgesehen werden. Kriechen tritt auf, wenn ein Werkstoff über eine lange Zeit, oft unter hohen Temperaturen, eine gleichförmige Belastung erfährt. Ermüdung tritt bei häufigen Belastungswechseln, beispielsweise bei Antriebswellen von Fahrzeugen, auf.

Berechnungsverfahren

Es werden insbesondere die Berechnungsverfahren der Technischen Mechanik und der Baustatik benutzt; dazu gehörten bis ins 20. Jahrhundert hinein vor allem graphische Verfahren, wie

• der Mohrsche Spannungskreis zur Bestimmung der Komponenten des Spannungstensors,
• das Seileckverfahren zur Bestimmung der Lage und Größe der Resultierenden bei mehreren Kräften,
• der Cremonaplan zur Bestimmung der Stabkräfte in Fachwerken.

Hinzu kamen analytische Verfahren der Kraftgrößenmethode, wie

• das Rittersche Schnittverfahren zur Berechnung einzelner Stabkräfte in Fachwerken oder
• die Anwendung der Sätze von Castigliano zur Berechnung der Auflagerkräfte und Schnittreaktionen in statisch unbestimmten Tragwerken.

Literatur

• Russel C. Hibbeler: Technische Mechanik 2 Festigkeitslehre, 8. Auflage, Pearson Deutschland, München 2013, ISBN 978-3-86894-126-5.
• Walther Mann: Vorlesungen über Statik und Festigkeitslehre, überarbeitete und erweiterte Aufl. Aardt KG, Darmstadt