Satz des Pythagoras

Rechtwinkliges Dreieck

Der Satz des Pythagoras ist ein mathematischer Satz der Geometrie. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Fläche des Quadrats über seiner Hypotenuse (in der Grafik als c bezeichnet) gleich der Summe der Flächen der Quadrate über seinen Katheten (a und b) ist.

Mathematisch wird dies folgendermaßen ausgedrückt:

Sind a, b, c die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit c als Hypothenuse, so gilt

a^{2}+b^{2}=c^{2}

Die Umkehrung gilt ebenso:

Gilt die Gleichung a² + b² = c² in einem Dreieck, so ist dieses Dreieck rechtwinklig.

Die Fläche des unteren Quadrats (rot) entspricht der Summe der Flächen der beiden anderen Quadrate (blau und grün)

Eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras sind der Höhensatz und der Kathetensatz. Er ist ein Sonderfall des Kosinussatzes. Die Sätze zusammen bilden die sogenannte Satzgruppe des Pythagoras.

Anwendungen

Aus dem Satz des Pythagoras folgt: Die Länge der Hypotenuse ist gleich der Quadratwurzel aus der Summe von a² und b², es gilt also:

c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

Die gewöhnliche Anwendung ist es, aus zwei bekannten Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die Dritte zu berechnen. Dies ist durch Umformung der Gleichung für alle Seiten möglich:

a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}

b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}

Man kann den Satz des Pythagoras auch in seiner Umkehrung verwenden. Hierbei wird überprüft, ob der Satz des Pythagoras bei einem beliebigen Dreieck zutrifft. Es reicht hier allein die Kenntnis der Seitenlängen eines gegebenen Dreiecks, um daraus zu schließen, ob es rechtwinklig ist:

Seitenlängen 3, 4, 5 => 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² => Das Dreieck ist rechtwinklig.

Seitenlängen 4, 5, 6 => 4² + 5² = 16 + 25 = 41 ≠ 6² => Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

Beweise

Der Beweis des Satzes ist auf viele Arten möglich, z. B.

Geometrischer Beweis durch Ergänzung

In ein Quadrat mit der Seitenlänge a+b werden vier gleiche (kongruente) rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten a,b und c (Hypothenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist:

Diagramm zum Ergänzungsbeweis

Die Flächen des linken und des rechten Quadrates sind gleich (Seitenlänge a+b). Das linke besteht aus den vier Dreiecken (gelb) und einem Quadrat mit Seitenlänge c, das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge a (blau) und einem mit Seitenlänge b (grün). Die rote Fläche (c²) entspricht also der Summe der blauen Fläche (a²) und grünen Fläche (b²), also c²=a²+b². Dies ist der Satz des Pythagoras.

Scherungsbeweis

Eine weitere Möglichkeit ist die Scherung der Kathetenquadrate in das Hypothenusenquadrat. Bei der Scherung ist das sich ergebende Parallelogramm zu dem Ausgangsrechteck flächengleich. Über eine zweifache Scherung und eine Drehung können die kleineren Quadrate dann in das große Quadrat eingepasst werden:

Veranschaulichung des Scherungsbeweises

Beim exakten Beweis muss dann über die Kongruenzsätze im Dreieck noch nachgewiesen werden, dass die kleinere Seite der sich ergebenden Rechtecke jeweils den Hypothenusenabschnitten entspricht.

Pythagoräische Tripel

Ein pythagoräisches Tripel ist eine Gruppe von drei ganzen Zahlen, für die die Gleichung : $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ gilt. Es gibt unendlich viele Tripel mit dieser Eigenschaft.

Das einfachste solche Tripel bilden die Zahlen 3,4 und 5 (wegen 3²+4²=5², also 9+16=25). Es wird in der "Gärtnerkonstruktion" von rechtwinkligen Parzellen oder Beeten verwendet:

Man bringe an einem Stück Schnur in regelmäßigen Abständen (etwa alle 50 cm) einen Knoten an und knote sie dann so zusammen, dass eine Schleife mit im Ganzen 12 Knoten entsteht. Nehmen jetzt drei Personen je einen Knoten in die Hand, so dass sich die Strecken zwischen ihnen wie 3:4:5 verhalten, so ist der Winkel zwischen den beiden kürzeren Seiten (Katheten) genau 90°.

Man kann sich auch die Frage stellen, ob Gleichungen der Art

$a^{n}+b^{n}=c^{n}$

ganzzahlige Lösungen besitzen. Dies wird vom berühmten großen Satz von Fermat negativ beantwortet.

Verallgemeinerungen

Abstrahiert man vom gewöhnlichen euklidischen Raum, so erhält der Mathematiker Innenprodukträume, also Vektorräume mit einem Skalarprodukt. Hier gilt der Satz von Pythagoras ebenfalls, und zwar in folgender Form: Gegeben seien zwei Vektoren v und w. Sind die beiden orthogonal, stehen also senkrecht aufeinander, so gilt:

$\|{\mathbf {v} }+{\mathbf {w} }\|^{2}=\|{\mathbf {v} }\|^{2}+\|{\mathbf {w} }\|^{2}.$

Die Umkehrung gilt ebenfalls. Trifft die obige Gleichung zu, so stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander. Weitere Verallgemeinerung führt zur Parsevalschen Gleichung.

Geschichte

Die ältesten bekannten mathematischen Aufzeichnungen mit dem Satz des Pythagoras finden sich auf babylonischen Tontafeln die in die Zeit der Hammurabi Dynastie datiert sind (1829 bis 1530 v.Chr). Pythagoräische Zahlentripel waren vielen Kulturen des Altertums bekannt. Es ist unbekannt, ob der Satz tatsächlich von dem griechischen Mathematiker und Philosopen Pythagoras gefunden wurde, die Benennung nach ihm stammt von Euklid.

Weblinks