Benutzer:Schojoha/Spielwiese

Zu den Schwerpunktsätzen von Leibniz

Die beiden Schwerpunktsätze von GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ sind in der euklidischen Geometrie angesiedelt und geben eine allgemeine Formel an, welche erlaubt, in der Ebene bzw. im Raum für einen gegebenen Punkt und ein gegebenes Vieleck (Dreieck bzw. Tetraeder) die Abstände des Punktes von den Eckpunkten in Beziehung zu setzen zu den Abständen der Eckpunkte vom Schwerpunkt des Vielecks.

Im Einzelnen gilt dabei für einen beliebigen Punkt $X$ in der Ebene bzw. im Raum:

(1) Ist $P$ der geometrische Schwerpunkt eines Dreiecks mit den Eckpunkten $A,B,C$, so ist

$|A-X|^{2}+|B-X|^{2}+|C-X|^{2}=3\cdot |P-X|^{2}+|A-P|^{2}+|B-P|^{2}+|C-P|^{2}$   .

(2) Ist $P$ der geometrische Schwerpunkt eines Tetraeders mit den Eckpunkten $A,B,C,D$, so ist

$|A-X|^{2}+|B-X|^{2}+|C-X|^{2}+|D-X|^{2}=4\cdot |P-X|^{2}+|A-P|^{2}+|B-P|^{2}+|C-P|^{2}+|D-P|^{2}$   .

Die beiden Schwerpunktsätze erlauben eine naheliegende Verallgemeinerung, welche in jedem reellen Skalarproduktraum und insbesondere in jedem reellen Hilbertraum ${\mathcal {H}}$ Gültigkeit hat. Wie sich zeigt, beruht diese Verallgemeinerung wesentlich auf der folgenden binomische Identitätsgleichung:

$|X-Y|^{2}=|X|^{2}-2\cdot \langle X\;,\;Y\rangle +|Y|^{2}\;\;(X,Y\in {\mathcal {H}})$

Formulierung der Verallgemeinerung

Für eine natürliche Zahl $n$ seien in einem reellen Skalarproduktraum ${\mathcal {H}}$   $n+2$ Punkte $A_{1},\ldots ,A_{n},P,X$ gegeben.

Dabei habe der Punkt $P$ in Bezug auf die Punkte $A_{j}\;(j=1,\ldots ,n)$ die affine Darstellung

$P=\sum _{j=1}^{n}{{\alpha }_{j}A_{j}}$

mit

${\alpha }_{j}\in \mathbb {R} \;(j=1,\ldots ,n)$

und

$\sum _{j=1}^{n}{{\alpha }_{j}}=1$   .

Dann gilt die Identität :

(1) $\sum _{j=1}^{n}{{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}-X|^{2}}-|P-X|^{2}=\sum _{j=1}^{n}{{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}-P|^{2}}$

Ist insbesondere $P$ der geometrische Schwerpunkt der Punkte $A_{j}$,

ist also

$P={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}{A_{j}}$   ,

so gilt sogar

(2) $\sum _{j=1}^{n}{|A_{j}-X|^{2}}=n\cdot |P-X|^{2}+\sum _{j=1}^{n}|A_{j}-P|^{2}=\sum _{j=1}^{n}{\bigl (}|P-X|^{2}+|A_{j}-P|^{2}{\bigr )}$   .

Beweis der Verallgemeinerung

Da die Behauptung translationsinvariant ist, kann man annnehmen, dass $X=\mathbf {0}$ ist.

Da aus zudem (2) offenbar unmittelbar als Anwendung von (1) folgt, ist demnach allein zu zeigen:

(1*) $\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}|^{2}-|P|^{2}=\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}-P|^{2}$

Dies tut man, indem man von rechts nach links umformt.

So erhält man:

${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}-P|^{2}&=\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot {\bigl (}|A_{j}|^{2}-2\cdot \langle A_{j}\;,\;P\rangle +|P|^{2}{\bigr )}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}|^{2}-2\cdot \sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot \langle A_{j}\;,\;P\rangle +\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |P|^{2}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}|^{2}-2\cdot \langle \sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot A_{j}\;,\;P\rangle +1\cdot |P|^{2}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}|^{2}-2\cdot \langle P\;,\;P\rangle +1\cdot |P|^{2}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}|^{2}-2\cdot |P|^{2}+1\cdot |P|^{2}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\alpha }_{j}\cdot |A_{j}|^{2}-|P|^{2}\\\end{aligned}}$

Hintergrundliteratur

• Heinrich Dörrie: Mathematische Miniaturen. Zweiter unveränderter Nachdruck der Ausgabe von 1943. Sändig (u.a.), Wiesbaden 1979, ISBN 3-500-21150-X. 
• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie (= Springer-Lehrbuch). 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u.a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Verbesserung zu: Strecke (Geometrie)

Inzidenzgeometrie

Geradenaxiome

Wesentliche Charakteristika des aus der euklidischen Geometrie stammenden Konzept einer Strecke können in einem sehr allgemeinen Rahmen formuliert werden, der es erlaubt, dieses Konzept in abstrakten Inzidenzgeometrien ganz unabhängig von topologischen oder metrischen Erwägungen darzustellen. Dies wurde u. a. von Ernst Kunz in seinem Lehrbuch Ebene Geometrie gezeigt. Dabei wird eine Inzidenzgeometrie $({\mathfrak {E}},G)$ zugrundegelegt, welche aus einer Punktmenge ${\mathfrak {E}}$ sowie einer Geradenmenge $G\subseteq 2^{\mathfrak {E}}$ besteht und welche dabei den folgenden Bedingungen genügt:

(A1) Je zwei Punkte werden durch mindestens eine Gerade verbunden.

(A2) Zu je zwei verschiedenen Punkten gibt es höchstens eine Gerade, welche beide verbindet.

(A3) Auf jeder Geraden liegen mindestens zwei verschiedene Punkte.

(A4) Es gibt mindestens drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen.

Die beiden Bedingungen (A1) und (A2), bedeuten, dass die Inzidenzgeometrie das Verbindungsaxiom erfüllt, während (A3) und (A4) gewährleisten, dass sie gewissen Reichhaltigkeitsanforderungen genügt.

Eine Inzidenzgeometrie $({\mathfrak {E}},G)$, welche diese vier Bedingungen erfüllt, nennt Kunz kurz eine Ebene.

Streckenaxiome

In einer in diesem Sinne verstandenen Ebene $({\mathfrak {E}},G)$ lässt sich das Konzept einer Strecke durch folgende Streckenaxiome erfassen:

(B0) Je zwei (nicht notwendig) verschiedenen Punkten $A,B\in {\mathfrak {E}}$ ist eine Teilmenge $[AB]\subseteq {\mathfrak {E}}$ zugeordnet, welche die Strecke von $A$ nach $B$ genannt wird.

(B1) Es ist $A\in [AB]$ für jede Strecke $[AB]$.

(B2) Ist $g$ eine Gerade und sind $A,B\in g$, so ist $[AB]\subseteq g$ .

(B3) Für alle $A,B\in {\mathfrak {E}}$ ist stets $[AB]=[BA]$.

(B4) Für alle $A,B\in {\mathfrak {E}}$ existiert ein $C\in {\mathfrak {E}}$ mit $C\neq B$ und $B\in [AC]$.

(B5) Ist $C\in [AB]$ und $C\neq B$, so ist $B\notin [AC]$ .

(B6) Sind $A_{1},A_{2},A_{3}\in {\mathfrak {E}}$ drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, und ist $g\in G$ eine Gerade, die keinen der drei Punkte enthält, so folgt aus $g\cap [A_{1}A_{2}]\neq \emptyset$, dass $g\cap [A_{2}A_{3}]\neq \emptyset$ oder $g\cap [A_{1}A_{3}]\neq \emptyset$ ist.

Eine Ebene, welche auch den Bedingungen (B0) bis (B6) genügt, nennt Ernst Kunz eine Ebene mit Strecken. Die Plausibilität dieser Bedingungen macht man sich leicht klar, wenn man als $({\mathfrak {E}},G)$ die euklidische Ebene zugrundelegt. Hier sind all diese Bedingungen erfüllt.

Die Bedingung (B6) wird von Kunz gemäß den Gegebenheiten in der euklidischen Ebene das Axiom von Pasch genannt. Dort besagt es anschaulich, dass eine Gerade, welche in ein Dreieck „eindringt“ , diese auch wieder irgendwo verlassen muss. Der Name der Axioms verweist dabei auf den Mathematiker Moritz Pasch (1843 -1930), welcher als erster erkannt hat, dass sich im Rahmen einer axiomatischen Grundlegung der euklidischen Geometrie der in dem Axiom dargestellte Sachverhalt nicht aus den übrigen Axiomen folgern lässt, sondern eigens gefordert werden muss.

Wie sich zeigen lässt, ist das System der Streckenaxiome mit dem der hilbertschen Anordnungsaxiome - die Inzidenzaxiome vorausgesetzt - gleichwertig. Die Verbindung zur Zwischenrelation ergibt sich dabei durch die folgende Festlegung:

Sind $P,X,Y$ drei paarweise verschiedene Punkte, so liegt der Punkt $P$ zwischen den Punkten $X$ und $Y$, wenn $P\in [XY]$ gilt.

Ist die genannte Bedingung für drei paarweise verschiedene Punkte $P,X,Y$ erfüllt, so sagt man auch:

Der Punkt $P$ ist innerer Punkt der Strecke $[XY]$.

Literatur

• Ernst Kunz: Ebene Geometrie. Axiomatische Begründung der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie (= Mathematik Grundkurs). rororo - Vieweg, Reinbek bei Hamburg 1976, ISBN 3-499-27026-9, S. 7 ff. 

Einzelnachweise

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Verbindungsgerade

Eine Verbindungsgerade ist in der Mathematik eine Gerade, die durch zwei vorgegebene Punkte verläuft. Verbindungsgeraden werden speziell in der euklidischen Geometrie und allgemeiner in Inzidenzgeometrien betrachtet. Die Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden zu zwei verschiedenen gegebenen Punkten wird in der Geometrie axiomatisch als Verbindungsaxiom gefordert.

Euklidische Geometrie

....

Inzidenzgeometrie

Definition

Ist allgemein $({\mathfrak {P}},G,I)$ ein Inzidenzraum und sind $P_{1},\,P_{2}\in {\mathfrak {P}}$ zwei verschiedene Punkte in diesem Raum, dann heißt eine Gerade $g\in G$ Verbindungsgerade dieser beiden Punkte, wenn folgende zwei Bedingungen gelten:

(V1) $P_{1}Ig\land P_{2}Ig$

(V2) $\operatorname {card} (\{h\in G\colon P_{1}Ih\land P_{2}Ih\})\leq 1$

Notation und Sprechweisen

Werden von den beiden Punkten und der Geraden die Bedingungen (V1) und (V2) erfüllt, so schreibt man oft

$g=\langle P_{1},P_{2}\rangle$

oder

$g=P_{1}\vee P_{2}$

oder auch kurz

$g=P_{1}P_{2}$.

In dem hierzu üblichen Sprachgebrauch sagt man dann auch

• $g$ verbindet die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$.
• $g$ gehört mit den Punkten $P_{1}$ und $P_{2}$ zusammen.
• Die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ liegen auf $g$.
• $g$ geht durch die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$.
• Die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ inzidieren mit $g$.
• $g$ inzidiert mit den Punkten $P_{1}$ und $P_{2}$.

oder Ähnliches.

Unter Benutzung dieses Sprachgebrauchs lassen sich die obigen Bedingungen (V1) und (V2) so in Worte fassen:

(V1') Die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ werden durch die Gerade $g$ verbunden.

(V2') Für die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ gibt es höchstens eine Gerade, die sie verbindet.

Verbindungsaxiom

In den für die Geometrie besonders wichtigen Inzidenzräumen, also insbesondere in den euklidischen Räumen, in allen affinen Räumen und in allen projektiven Räumen gilt in Bezug auf Punkte und Verbindungsgeraden durchgängig die folgende grundlegende Bedingung (V):

(V) Zu je zwei verschiedenen Punkten des gegebenen Inzidenzraums existiert stets eine Verbindungsgerade, also eine Gerade derart, dass (V1) und (V2) erfüllt sind.

Man nennt diese Bedingung das Verbindungsaxiom.

In anderer Formulierung lässt sich das Verbindungsaxiom auch wie folgt aussprechen:

(V') Zu je zwei verschiedenen Punkten des gegebenen Inzidenzraums gibt es genau eine Gerade, die diese beiden Punkte verbindet.

Teilräume und Hüllensystem

Den in der Hauptsache in der Geometrie behandelten Inzidenzräumen – wie etwa den affinen und den projektiven Räumen, aber auch vielen anderen linearen Räumen wie z. B. den Blockplänen – ist gemeinsam, dass die Inzidenzrelation von der Elementrelation herrührt und somit die Geraden $g$ Teilmengen der zugehörigen Punktmenge ${\mathfrak {P}}$ sind.

Es ist also dann die Geradenmenge eine Teilmenge der Potenzmenge von ${\mathfrak {P}}$, folglich die Beziehung $G\subseteq 2^{\mathfrak {P}}$ gegeben. In diesem Falle beschreibt man den Inzidenzraum $({\mathfrak {P}},G,I)$ kurz in der Form $({\mathfrak {P}},G)$ anstatt in der Form $({\mathfrak {P}},G,{\in })$.

Unter diesen Gegebenheiten nennt man eine Teilmenge ${\mathfrak {T}}\subseteq {\mathfrak {P}}$ einen Teilraum von $({\mathfrak {P}},G)$, wenn mit je zwei verschiedenen Punkten $P_{1},P_{2}\in {\mathfrak {T}}$ stets ihre Verbindungsgerade $\langle P_{1},P_{2}\rangle$ in ${\mathfrak {T}}$ enthalten ist, also hierfür stets $\langle P_{1},P_{2}\rangle \subseteq {\mathfrak {T}}$ gilt.

Die Menge $\tau$ der Teilräume von $({\mathfrak {P}},G)$ bildet ein Hüllensystem.

Zugehöriger Hüllenoperator

Zum Hüllensystem $\tau$ lässt sich in der üblichen Weise der zugehörige Hüllenoperator bilden. Diesen schreibt man oft als $\langle \;\rangle$. Für ${\mathfrak {P}}_{0}\subseteq {\mathfrak {P}}$ gilt also

$\langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =\bigcap \{{\mathfrak {T}}\in {\mathcal {T}}\colon {\mathfrak {T}}\supseteq {\mathfrak {P}}_{0}\}$.

Das bedeutet:

$\langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle$ ist der kleinste Teilraum von $({\mathfrak {P}},G)$, der ${\mathfrak {P}}_{0}$ umfasst.

Im Falle, dass dabei ${\mathfrak {P}}_{0}$ eine endliche Menge von Punkten ist, etwa ${\mathfrak {P}}_{0}=\{P_{1},\ldots ,P_{m}\}\;(m\in \mathbb {N} )$, schreibt man auch

$\langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =\langle P_{1},\ldots ,P_{m}\rangle$

oder auch

$\langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =P_{1}\vee \ldots \vee P_{m}$.

Ist $m=2$ und sind $P_{1}$ und $P_{2}$ verschieden, so hat man $\langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =\langle P_{1},P_{2}\rangle$, also wiederum die Verbindungsgerade von $P_{1}$ und $P_{2}$.

Beispiel der Koordinatenebene

Die Koordinatenebene $K^{2}$ über einem kommutativen Körper $K$ gibt ein Standardbeispiel für einen Inzidenzraum $({\mathfrak {P}},G)$, in dem das Verbindungsaxiom gilt. Hier ist die Punktmenge

${\mathfrak {P}}=K^{2}$

und die Geradenmenge

$G=\{a+Ku\colon a\in K^{2}\land u\in K^{2}\setminus \{\mathbf {0} \}\}$.

Die Geradenmenge $G$ erhält man also dadurch, dass man alle nur möglichen Nebenklassen zu allen in $K^{2}$ gelegenen Unterräumen der Dimension 1 bildet. Hat man hier zwei unterschiedliche Punkte $P_{1},P_{2}\in K^{2}$, so lässt sich die Verbindungsgerade in folgender Weise darstellen:

$\langle P_{1},P_{2}\rangle =\{\alpha P_{1}+\beta P_{2}\colon \alpha ,\beta \in K\land \alpha +\beta =1\}$

Das Standardbeispiel für dieses Konzept bieten die Geraden, die zwei Punkte der euklidischen Ebene verbinden.

Siehe auch

• Verbindungsvektor
• Verbindungsraum
• Verbindungsstrecke

Quellen

• Gerhard Hessenberg - Justus Diller: Grundlagen der Geometrie. 2. Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1967, S. 20, 220. 
• David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. Mit Supplementen von Dr. Paul Bernays (= Teubner-Studienbücher: Mathematik). 11. Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1972, ISBN 3-519-12020-8, S. 3 ff.  MR1109913
• Helmut Karzel, Kay Sörensen, Dirk Windelberg: Einführung in die Geometrie (= Uni-Taschenbücher. Band 184). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1973, ISBN 3-525-03406-7, S. 11 ff. 
• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie (= Springer-Lehrbuch). 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0, S. 7, 48 ff., 52, 212. 
• Herbert Meschkowski: Denkweisen großer Mathematiker. Ein Weg zur Geschichte der Mathematik (= Dokumente zur Geschichte der Mathematik). 3. Auflage. Vieweg Verlag, Braunschweig 1990, ISBN 3-528-28179-0.  MR1086172
• Eberhard M. Schröder: Vorlesungen über Geometrie. 2. Affine und projektive Geometrie. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, Wien, Zürich 1991, ISBN 3-411-15301-6, S. 2 ff.  MR1166803
• Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller (Bearb.): Vieweg-Mathematik-Lexikon. Begriffe, Definitionen, Sätze, Beispiele für das Grundstudium. Vieweg Verlag, Braunschweig, Wiesbaden 1988, ISBN 3-528-06308-4, S. 311. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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KKKategorie:Geometrie]]

Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen

Formulierung des Analogons

Gegeben seien ein topologischer Raum $X$ und eine endliche Indexmenge $I\neq \emptyset$ und dazu eine endliche Familie $(E_{i})_{i\in I}$ von abgeschlossenen Teilmengen $E_{i}\subseteq X$ mit

$V=\bigcup _{i\in I}{E_{i}}$

als Vereinigungsmenge dieser abgeschlossenen Teilmengen.

Dann gilt:

Ist das Innere $V^{\circ }\neq \emptyset$ , so ist sogar schon für eine der Teilmengen $E_{i}$ das Innere ${E_{i}}^{\circ }\neq \emptyset$.

Beweis

Der Beweis wird mit vollständiger Induktion geführt. Es sei o. B. d. A.

$I=\{1,2,\ldots ,n\}$ vorausgesetzt.

Induktionsanfang

$|I|=n=1$

Hier ist nichts zu zeigen.

Induktionsschritt

Sei $|I|=n>1$ und sei die Aussage schon bewiesen für alle $(n-1)$-elementigen Indexmengen.

Zwischenschritt $|I|=n=2$

Hier gilt also

$V=E_{1}\cup E_{2}$

und dabei

$U:={(E_{1}\cup E_{2})}^{\circ }\neq \emptyset$.

Nehmen wir an, es sei

${E_{1}}^{\circ }=\emptyset$.

Dann gilt für die in $X$ offene (!) Menge $U\setminus E_{2}$, dass

$U\setminus E_{2}\subseteq E_{1}$

und dann sogar

$U\setminus E_{2}\subseteq {E_{1}}^{\circ }=\emptyset$

sein muss.

Folglich ist dann auch

$U\setminus E_{2}=\emptyset$

und damit

$\emptyset \neq U\subseteq E_{2}$.

Daher muss auch

${E_{2}}^{\circ }\neq \emptyset$

gelten.

Eigentlicher Induktionsschritt

Es ist also nun

$V=(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots \cup E_{n-1})\cup E_{n}$.

Dann ist entweder

${E_{n}}^{\circ }\neq \emptyset$

und es ist nichts weiter zu zeigen.

Oder es gilt nach dem Zwischenschritt und aufgrund der Tatsache, dass die Vereinigung von endlich vielen abgeschlossenen $X$-Teilmengen immer abgschlossen ist,

$(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots \cup E_{n-1})^{\circ }\neq \emptyset$.

Doch nun kommt die Induktionsvoraussetzung zum Tragen, wonach für einen Index $k\in \{1,2,\ldots ,n-1\}$ schon

${E_{k}}^{\circ }\neq \emptyset$

sein muss.

Also ist alles gezeigt.

Folgerungen aus dem Analogon

• (F1) Unter den obigen Voraussetzungen gilt stets

${{\bigl (}{\bigcup _{i\in I}{E_{i}}}{\bigr )}}^{\circ }={{\bigl (}{\bigcup _{j\in I \atop {E_{j}}^{\circ }\neq \emptyset }{E_{i}}}{\bigr )}}^{\circ }$

• (F2) Die zuvor genannte Folgerung (F1) hat auch dann noch Bestand, wenn - bei sonst gleichen Voraussetzungen - die Indexmenge als nicht notwendig endlich, die Familie $(E_{i})_{i\in I}$ jedoch als lokalendliche Familie vorausgesetzt wird. Für eine solche lokalendliche Familie abgeschlossener $X$-Teilmengen gilt das Analogon zum baireschen Satz also in gleicher Weise.

Beweis der Folgerung (F1)

Setzt man

$V:=\bigcup _{i\in I}{E_{i}}$

und

$W:=\bigcup _{j\in I \atop {E_{j}}^{\circ }\neq \emptyset }{E_{i}}$

und

$T:=\bigcup _{j\in I \atop {E_{j}}^{\circ }=\emptyset }{E_{i}}$ ,

so gilt offenbar

$V=W\cup T$ .

Wegen

$V^{\circ }\subseteq V$

folgt dann unmittelbar

$V^{\circ }\setminus W\subseteq T$ .

Andererseits ist gemäß dem Analogon

$T^{\circ }=\emptyset$.

Da zudem $W$ abgeschlossen in $X$ ist, muss $V^{\circ }\setminus W$ offen in $X$ sein und so ergibt sich zusammengenommen

$V^{\circ }\setminus W\subseteq T^{\circ }=\emptyset$ .

Folglich hat man

$V^{\circ }\setminus W=\emptyset$.

und damit auch

$V^{\circ }\subseteq W$

und aus Gründen der Idempotenz sogleich

$V^{\circ }=V^{\circ \circ }\subseteq W^{\circ }$.

Da $W$ Teilmenge von $V$ und das Bilden des Inneren eine monotone Operation ist , gilt die umgekehrte Inklusion ohnehin.

Folglich hat man

$V^{\circ }=W^{\circ }$.

Dies war zu zeigen.

Anmerkung zu Folgerung (F2)

Die Folgerung (F2) beruht darauf, dass ganz allgemein folgendes gilt:

• Ist in einem topologischen Raum $X$ zu einer Indexmenge $I\neq \emptyset$ eine lokalendliche Familie $(E_{i})_{i\in I}$ von $X$-Teilmengen $E_{i}\subseteq X$ gegeben, so ist auch $({\overline {E_{i}}})_{i\in I}$ eine lokalendliche Familie und dabei gilt

${\overline {{\bigl (}{\bigcup _{i\in I}{E_{i}}}{\bigr )}}}=\bigcup _{i\in I}{\overline {E_{i}}}$ .

Hintergrundliteratur

• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.  MR0423277

Überlegungen zur Unschärferelation von Heisenberg

1)

Ich bin mir da nicht sicher: Erstens meines eigenen Standpunkts nicht und zweitens in der Frage, ob ich überhaupt weiter Stellung nehmen sollte. Aber ich denke schlussendlich, ich sollte es tun - selbst wenn ich nun ziemlich spekulativ werden muss, was ich ansonsten nur ungern tue.

Also folgendes: In Hinblick auf die Unschärferelation sollten aus grundsätzlichen Erwägungen Zweifel bestehen, ob diese mit der gewöhnlichen Sprache überhaupt erfassbar ist. Zu dieser Schlussfolgerung wird man mE gedrängt, wenn man sich vor Augen hält, dass selbst unter den "Großvätern" der Quantenphysik ganz unterschiedliche Deutungsansätze im Zusammenhang mit der Unschärferelation und der Quantenmechanik vorgetragen wurden. So waren neben Albert Einstein und Erwin Schrödinger - wie ich bei Walter Greiner las - etwa auch Louis de Broglie und Max von Laue Gegner der Kopenhagener Deutung.

Auf der Suche nach einer Erklärung dafür habe ich mir zurecht gelegt, dass das Problem in der Sprache liegt. Die gewöhnliche Sprache ist einfach nicht tauglich , solch komplexe formale Zusammenhänge zu erfassen.

Die gewöhnliche Sprache orientiert sich am und erwächst aus dem Alltag des Menschen. Dagegen beziehen sich die Unschärferelation und die Quantenphysik insgesamt auf das Geschehen im Mikrokosmos. Das Geschehen im Mikrokosmos und das im menschlichen Alltag haben mE aber nichts gemein. Daher kann keine Erwartung bestehen, dass das Geschehen im Mikrokosmos und speziell die Unschärferelation mittels gewöhnlicher Sprache erfassbar seien. Nach Lage der Dinge scheint es eher so zu sein, dass die einzige "Sprache", mit der das Geschehen im Mikrokosmos erfassbar wird, die "Sprache der Mathematik" ist, dass man aber nicht erwarten kann, durch sie umfassend deutungsfähige Ergebnisse zu erzielen.

2)

Da ich diese Gegenrede begonnen habe, erlaube ich mir ein Schlusswort: Dann können wir gern - wie ja einige meiner Vorredner empfehlen - zum Ende der Diskussion kommen.

A) Meiner Spekulation über das Verhältnis der gewöhnlichen Sprache des Alltags zum Mikrokosmos braucht man nicht zu folgen.

B) Wichtig ist mir die obige erste Feststellung, die - auch wegen meiner Spekulation , wie ich eingestehe - zu sehr in den Hintergrund gerückt ist und die ich hier noch einmal verdeutlichen möchte:

Für die gesamte moderne Physik sind die Mathematik und der mathematische Formalismus unverzichtbar.

C) Konkret bezogen auf die Quantenmechanik insgesamt und auf die Heisenbergsche Unschärferelation im Besonderen meine ich sogar:

Sie sind undenkbar ohne die Fortschritte auf dem Gebiet der Analysis und der Funktionalanalysis und inbesondere auf dem Gebiet der Hilbertraum- und der Operatorentheorie.

Mehr noch: Beides ist aufs Engste miteinander verknüpft und tatsächlich muss von einer gegenseitigen Befruchtung gesprochen werden. Denn auch die stürmische Entwicklung der Analysis und der Funktionalanalysis im 20. Jh. fand nicht zuletzt wegen der Problemstellungen seitens der Quantenmechanik statt. Zu dieser Sichweise sieht man schon deswegen sich gedrängt, weil zu bemerken ist, dass sich daran einige der bedeutendsten Mathematiker dieser Zeit wie David Hilbert, Hermann Weyl und John von Neumann beteiligt haben.

Weitergehende Überlegungen

Einleitung

Die heisenbergsche Unschärferelation bringt zwei Messgrößen $A\;,\;B$ eines quantenmechanischen Systems miteinander in Beziehung und wird dahingehend interpretiert, dass es unmöglich sei, beide gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit zu bestimmen:

Je genauer man $A$ bestimmt, desto ungenauer fällt die Bestimmung von $B$ aus und vice versa.

Auf der anderen Seite steht die heisenbergsche Vertauschungsrelation, wonach die zugeordneten selbstadjungierten Operatoren ${\hat {A}}\;,\;{\hat {B}}$ die folgende Gleichung erfüllen:

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\frac {h}{2\pi \mathrm {i} }}\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$

Das heißt:

Es soll für jeden Zustandsvektor $\psi$ stets die Gleichung

$\langle \mathrm {i} \cdot ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})\psi ,\psi \rangle ={\frac {h}{2\pi }}\cdot {\|\psi \|}^{2}$

gelten.

Das bedeutet:

Es wird für zwei Messgrößen, die man zu keinem Zeitpunkt gleichzeitig exakt bestimmen kann, dennoch gesagt, dass als sicher gelten kann, dass die ihnen zugeordneten Operatoren für jeden Zustand des quantenmechanischen Systems die obige Gleichung exakt erfüllen. Darin scheint eine Widersprüchlichkeit zu liegen und es stellt sich die Frage, wie man dieser umgehen kann.

Eine Möglichkeit, dies zu tun, liegt darin, die Herleitung der Unschärferelation, wie sie durch John von Neumann geliefert wurde, dahingehend abzuwandeln, dass die Unschärferelation nicht unter Annahme der Vertauschungsrelation, sondern unter Annahme einer Abschwächung hergeleitet wird, welche die obige Widersprüchlichkeit nicht beinhaltet.

Man kann nämlich anstelle der Vertauschungsrelation voraussetzen, dass der Operator $\mathrm {i} \cdot [{\hat {A}},{\hat {B}}]$ stattdessen der Bedingung

$\mathrm {i} \cdot [{\hat {A}},{\hat {B}}]\geq {\frac {h}{2\pi }}\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$

genügt.

Diese Bedingung kennt man in ähnlicher Form aus der Theorie der linearen Operatoren auf Hilberträumen und auch aus der Analysis und Funktionalanalysis bei den (nach unten) halbbeschränkten Operatoren.

Was diese abgeschwächte Bedingung besagt, lässt sich auch so darstellen:

Es soll für jedes $\psi$ des Definitionsbereichs dieses Operators (bei sonst gleichen Voraussetzungen) durchweg

(1) $\langle \mathrm {i} \cdot [{\hat {A}},{\hat {B}}]\psi ,\psi \rangle \in \mathbb {R}$

(2) $\langle \mathrm {i} \cdot [{\hat {A}},{\hat {B}}]\psi ,\psi \rangle \geq {\frac {h}{2\pi }}\cdot {\|\psi \|}^{2}$

als gegeben angenommen werden.

Der Beweis auf Basis dieser Voraussetzung verläuft analog dem bei v. Neumann. Nämlich wie folgt:

Exakte Herleitung auf Beweis auf Basis der abgeschwächten Bedingung

Als gegeben werden angenommen:

1) Ein Hilbertraum

${\mathcal {H}}$

mit dem Skalarprodukt

$\langle \cdot ,\cdot \rangle$

und der dazugehörigen Norm

$\|\cdot \|={\langle \cdot ,\cdot \rangle }^{\frac {1}{2}}$

und mit

$\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$

als Identitätsoperator auf ${\mathcal {H}}$

sowie

2) Zwei in ${\mathcal {H}}$ definierte selbstadjungierte lineare Operatoren

${\hat {A}}\colon {\mathcal {H}}\supset D({\hat {A}})\to {\mathcal {H}}$

und

${\hat {B}}\colon {\mathcal {H}}\supset D({\hat {B}})\to {\mathcal {H}}$

mit der Eigenschaft

$\mathrm {i} \cdot [{\hat {A}},{\hat {B}}]\geq C\cdot \mathbf {1} _{\mathcal {H}}$ mit $C={\frac {h}{2\pi }}$

3) Ein

$\psi \in {\;{\bigl (}D({\hat {A}})\cap D({\hat {B}})\cap {\hat {A}}^{-1}(D({\hat {B}}))\cap {\hat {B}}^{-1}(D({\hat {A}})){\bigr )}\;}\subseteq {\mathcal {H}}$

der Norm

$\|\psi \|=1$

Davon ausgehend lassen sich die folgenden Rechenschritte durchführen:

Schritt 1

Es ist:

$\operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }={\frac {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle -\langle {\hat {B}}\psi ,{\hat {A}}\psi \rangle }{2\mathrm {i} }}$

Also gilt:

$2\cdot \operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }=-{\mathrm {i} }\cdot (\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi ,\psi \rangle -\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi ,\psi \rangle )=-{\mathrm {i} }\cdot \langle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi -{\hat {A}}{\hat {B}}\psi ,\psi \rangle$

$=\langle (\mathrm {i} \cdot ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}})\psi ),\psi \rangle =\langle (\mathrm {i} \cdot [{\hat {A}},{\hat {B}}])\psi ,\psi \rangle \geq C\cdot {\|\psi \|}^{2}$

Das bedeutet:

${\|\psi \|}^{2}\leq {\frac {2}{C}}\cdot \operatorname {Im} {\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle }\leq {\frac {2}{C}}\cdot |\langle {\hat {A}}\psi ,{\hat {B}}\psi \rangle |$

Also folgt mit der cauchy-schwarzschen Ungleichung:

${\|\psi \|}^{2}\leq {\frac {2}{C}}\cdot \|{\hat {A}}\psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi \|$

Schritt 2

Sind nun $r,s\in \mathbb {C}$ zwei beliebige Skalare, so gilt - wie man leicht nachrechnet - die oben angenommene Halbbeschränktheitsbedingung in gleicher Weise auch für ${\hat {A}}_{r}={\hat {A}}-r\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$ und ${\hat {B}}_{s}={\hat {B}}-s\mathbf {1} _{\mathcal {H}}$.

Folglich hat man stets ganz allgemein:

${\|\psi \|}^{2}\leq {\frac {2}{C}}\cdot \|{\hat {A}}_{r}\psi \|\cdot \|{\hat {B}}_{s}\psi \|={\frac {2}{C}}\cdot \|{\hat {A}}\psi -r\psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -s\psi \|$

Schritt 3

Infolge des Schrittes 2 erhält man für $\|\psi \|=1$, $r=\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle$ und $s=\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle$ stets

$\|{\hat {A}}\psi -\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\geq {\frac {C}{2}}\cdot$

Schritt 4

Wegen $C={\frac {h}{2\pi }}$ gewinnt man nun sofort die heisenbergsche Unschärferelation:

$\|{\hat {A}}\psi -\langle {\hat {A}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\cdot \|{\hat {B}}\psi -\langle {\hat {B}}\psi ,\psi \rangle \psi \|\geq {\frac {h}{4\pi }}\cdot$

Benutzte Quellen

• Johann v. Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1932. Kapitel III „Die quantenmechanische Statistik.“ Abschnitt 4 „Unbestimmheitsrelationen“ (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 38). Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 1968, ISBN 3-540-04133-8, S. 123–124.  MR0223138
• Hans Triebel: Höhere Analysis (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 76). 8., aktualisierte Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1972. 

Fußnoten

K references />

Satz von Olivier

Der Satz von Olivier ist ein mathematischer Lehrsatz der Analysis, welcher auf eine Arbeit des Mathematikers Louis Olivier im zweiten Band des crelleschen Journals aus dem Jahre 1827 zurückgeht. Der Satz gibt eine notwendige Bedingung für die Konvergenz von Reihen, deren Glieder eine monoton fallende Folge positiver reeller Zahlen bilden, und liefert dabei eine Verschärfung des bekannten Nullfolgenkriteriums. Als direkte Anwendung des Satzes ergibt sich unter anderem die Divergenz der harmonischen Reihe.

Formulierung

Der Satz von Olivier lässt sich wie folgt formulieren:

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen und die zugehörige Reihe $a_{1}+a_{2}+\ldots$ sei konvergent, also

$\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}<\infty$.

Dann gilt

$\lim _{n\to \infty }{n\cdot a_{n}}=0$,

das heißt, die Zahlenfolge $(n\cdot a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine Nullfolge.

Beweis nach Konrad Knopp

Der Ansatz zum Beweis des Satzes von Olivier ergibt sich aus dem Cauchy-Kriterium für Reihen.

Ist nämlich ein beliebiges $\varepsilon >0$ vorgegeben, so setzt man zunächst ${\varepsilon }_{0}={\frac {\varepsilon }{2}}$ und findet dazu eine untere Schranke $N=N({\varepsilon }_{0})$ , so dass für beliebige $n\;,\;p\in \mathbb {N}$ mit $n\;,\;p\geq N$ stets die Ungleichung

$a_{p+1}+a_{p+2}+\ldots +a_{p+n}<{\varepsilon }_{0}$

gilt.

Damit ist wegen der vorausgesetzten Monotonieeigenschaft der Zahlenfolge zunächst

$n\cdot a_{p+n}<{\varepsilon }_{0}$

und folglich

$2n\cdot a_{p+n}<\varepsilon$

gegeben.

Das aber bedeutet insbesondere, dass man für $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq N$ stets

$2n\cdot a_{N+n}<\varepsilon$

und damit

$(N+n)\cdot a_{N+n}<\varepsilon$

hat.

Als untere Schranke zu $\varepsilon$ wählt man nun $N(\varepsilon )=2N$   .

Damit ergibt sich nämlich für alle $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq 2N$ wegen $n-N\geq N$ und $n=N+(n-N)$ die Ungleichung

$n\cdot a_{n}=(N+(n-N))\cdot a_{N+(n-N)}<\varepsilon$   .

Folglich ist $(n\cdot a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge.

Anmerkung

• Für

$a_{n}={\frac {1}{n}}\;\;(n\in \mathbb {N} )$

hat man

$\lim _{n\to \infty }{n\cdot a_{n}}=1$   ,

was mit dem Satz von Olivier die Divergenz der harmonischen Reihe impliziert.

• Anhand der abelschen Reihe, welche

$a_{n}={\frac {1}{n\cdot \ln(n)}}\;\;(n\in \mathbb {N} \;,\;n\geq 2)$

als allgemeines Glied hat , sieht man, dass der Satz von Olivier lediglich eine notwendige, jedoch keine hinreichende Bedingung formuliert. Denn der abelschen Reihe liegt zwar eine monoton fallende Gliederfolge zugrunde und dabei ist

$\lim _{n\to \infty }{n\cdot a_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln(n)}}=0$   ,

aber dennoch folgt mit dem Verdichtungskriterium von Cauchy

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln(n)}}=\infty$   .

Literatur

• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin/ Göttingen/ Heidelberg/ New York 1964, ISBN 3-540-03138-3.  MR0183997
• Herbert Meschkowski: Unendliche Reihen. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01613-2.  MR0671586
• Louis Olivier: Remarques sur les séries infinies et leur convergence. In: J. Reine Angew. Math. Band 2, 1827, S. 31–44 ([1]). 

Einzelnachweise und Fußnoten

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π-Formeln der Funktionentheorie

Auch in der Funktionentheorie bzw. komplexen Analysis spielt die Kreiszahl eine wesentliche Roll. Hier ist an erster Stelle

• die Integralformel von Cauchy: $f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta .$

zu nennen.

Die Bedeutung der Kreiszahl wird darüber hinaus augenfällig in den Formeln zur Partialbruchzerlegung der komplexwertigen trigonometrischen Funktionen nach dem Satz von Mittag-Leffler . Hier sind insbesondere zu erwähnen

• die Partialbruchzerlegung des Kotangens:

$\pi \cot(\pi z)=z\cdot \sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}{\frac {1}{z-n}}+{\frac {1}{z+n}}{\bigr )}={\frac {1}{z}}+2z\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}\;\;(z\in {\mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} })$

sowie die daraus - neben weiteren! - zu gewinnenden

• Partialbruchzerlegungen für Sinus und Kosinus:

${\bigl (}{\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}{\bigr )}^{2}=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}\;\;(z\in {\mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} })$

${\bigl (}{\frac {\pi }{\cos(\pi z)}}{\bigr )}^{2}=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{(z-{\tfrac {2n-1}{2}})^{2}}}\;\;(z\in {\mathbb {C} \setminus \{{\frac {2n-1}{2}}\colon n\in \mathbb {Z} \}})$   .

Die genannte Partialbruchzerlegung für den Sinus liefert dann durch Einsetzen von $z={\frac {1}{2}}$ die bekannten Reihendarstellung:

${\frac {{\pi }^{2}}{8}}=1+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{25}}+{\frac {1}{49}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}$   ,

welche ihrerseits direkt zu der eulerschen Reihendarstellung

${\frac {{\pi }^{2}}{6}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

führt.

Quellen

• Heinrich Behnke - Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN. Band 77). Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York 1965. 
• Steven R. Finch: Mathematical Constants (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 94). Cambridge Univity Press, Cambridge (u. a.) 2003, ISBN 0-521-81805-2.  MR2003519.

• Klaus Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1980, ISBN 3-540-10032-6.  MR0636508
• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin - Göttingen - Heidelberg - New York 1964, ISBN 3-540-03138-3.  MR0183997
• Konrad Knopp: Funktionentheorie II. Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie (= Sammlung Göschen. Band 703). 11. Auflage. de Gruyter, Berlin 1965. 

Satz von Hasse-Minkowski

Der Satz von Hasse-Minkowski (oder Satz von Minkowski-Hasse) ist ein fundamentales Theorem aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie, welches aus Arbeiten der beiden Mathematiker Hermann Minkowski und Helmut Hasse hervorgegangen ist und daher mit deren Namen verknüpft wird. Der Satz formuliert die exakten Bedingungen, unter denen einen quadratische Form über den rationalen Zahlen der Eigenschaft der Isotropie genügt, und bildet das Kernstück des sogenannten Lokal-Global-Prinzips (bzw. Hasse-Prinzips) für quadratische Formen. Als Anwendung des Satzes ergeben sich andere wichtige Sätze wie der etwa eine Verallgemeinerung des Vier-Quadrate-Satzes von Lagrange oder der Satz von Bruck-Ryser-Chowla. Zur Herleitung des Satzes von Hasse-Minkowski werden tiefliegende Resultate der Zahlentheorie benötigt, nicht zuletzt der Primzahlsatz von Dirichlet.

Literatur

• Gerhard Frey: Elementare Zahlentheorie (= Vieweg-Studium. Band 56). Vieweg-Verlag, Braunschweig (u. a.) 1984, ISBN 3-528-07256-3. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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KKKategorie:Zahlentheorie]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Kriterium von Clement]]

Zitate über Zitate

„... und doch ist das Zitieren alter und neuer Bücher das Hauptvergnügen eines jungen Autors, und so ein paar grundgelehrte Zitate zieren den ganzen Menschen.“

– Heinrich Heine: Reisebilder. Zweiter Teil. Ideen. Das Buch Le Grand. Kapitel XIII

„Kunstwörter müssen dann der Dummheit Blöße decken, und ein gelehrt Zitat macht Zierden selbst zu Flecken.“

– Gotthold Ephraim Lessing: Fragmente

„Durch viele Zitate vermehrt man seinen Anspruch auf Gelehrsamkeit, vermindert den auf Originalität, und was ist Gelehrsamkeit gegen Originalität? Man soll Zitate also nur gebrauchen, wo man fremder Autorität wirklich bedarf.“

– Arthur Schopenhauer: Neue Paralipomena

„Zitate in meiner Arbeit sind wie Räuber am Weg, die bewaffnet hervorbrechen und dem Müßiggänger die Überzeugung abnehmen.“

– Walter Benjamin

Weblinks

Heine Schopenhauer

Ebola

WHO-Link

Primzahllücken

[2] liefert einen Bestätigung der dazu von Paul Erdös vorgelegten Vermutung !

Fixpunktsatz von Krasnoselski

Literatur: Lexikon der Mathematik, Bd. 3, S. 212

Kennzeichnung der rechtwinkligen Dreiecke der euklidischen Ebene

Bekanntlich liefert der Satz des Pythagoras eine Charakterisierung der rechtwinkligen Dreiecke der euklidischen Ebene. Diese Charakterisierung geschieht in der Weise, dass anstelle der Rechtwinkligkeitsbedingung das Erfülltsein der pythagoreischen Gleichung tritt. In gleicher Weise lassen sich viele andere charakteristische Gleichungen finden, welche anstelle der pythagoreischen Gleichung treten. Eine davon ist die folgende, welche Höhen- und Seitenlängen in Beziehung bringt.

Formulierung

Gegeben sei ein Dreieck   $\triangle ABC$   der euklidischen Ebene mit   $a=|BC|$   ,   $b=|AC|$   sowie   $c=|AB|$   und dabei sei   $\triangle ABC$   ohne stumpfe Winkel.

Für den Höhenfußpunkt   $F\in AB$   gegenüber von   $C$   sei   $h=|CF|$   die Höhenlänge.

Weiter seien   $p=|AF|$   und   $q=|BF|$   , also   $c=p+q$   , sowie   $\gamma$   der Innenwinkel beim Punkte   $C$   (gemessen in Altgrad), welcher zugleich der größte der drei Innenwinkel sei.

Dann gilt:

$\gamma =90^{\circ }$   $\iff$   ${\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}$   .

Beweis

=>

Die zu zeigende Gleichung ist gleichwertig mit

$h^{2}={\frac {1}{{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}}}$   ,

also gleichwertig mit

$h^{2}={\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$

und dann mit

$h^{2}(a^{2}+b^{2})=a^{2}b^{2}$   .

Da   $\gamma =90^{\circ }$   vorausgesetzt wird, ist dies nach Pythagoras gleichbedeutend mit

$h^{2}c^{2}=a^{2}b^{2}$

und damit auch mit

$hc=ab$

und schließlich mit

${\frac {hc}{2}}={\frac {ab}{2}}$   .

Letztere Gleichung aber gilt nach der Dreiecksflächenformel.

q.e.d

<=

Nach Pythagoras gilt (bezogen auf die Teildreiecke) wiederum

$p^{2}=b^{2}-h^{2}$

und

$q^{2}=a^{2}-h^{2}$   .

Also folgt aus ${\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}$

zunächst wie oben

$h^{2}={\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$   .

Damit hat man weiter

$p^{2}={\frac {b^{2}(a^{2}+b^{2})-a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {b^{4}}{a^{2}+b^{2}}}$

und ganz entsprechend

$q^{2}={\frac {a^{4}}{a^{2}+b^{2}}}$   .

Das ergibt

$pq={\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$   .

und damit

${\begin{aligned}c^{2}&=(p+q)^{2}\\&=p^{2}+2pq+q^{2}\\&={\frac {b^{4}}{a^{2}+b^{2}}}+{\frac {2a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}+{\frac {a^{4}}{a^{2}+b^{2}}}\\&={\frac {(a^{2}+b^{2})^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\&=a^{2}+b^{2}\\\end{aligned}}$   .

Nun ist nach dem Kosinussatz

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab{\cos \gamma }$   .

Folglich ist

$\cos \gamma =0$  

und daher unter Berücksichtigung von   $0^{\circ }\leq \gamma \leq 180{^{\circ }}$  

wie gewünscht $\gamma =90^{\circ }$   .

q.e.d

Literatur

• Theophil Lambacher - Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965. 

• H. Fenkner - K. Holzmüller: Mathematisches Unterrichtswerk. Nach den Richtlinien für die Lehrpläne der höheren Schulen Preußens neu bearbeitet von Dr. Karl Holzmüller. Geometrie. Ausgabe A in 2 Teilen. I. Teil. 12. Auflage. Verlag von Otto Salle, Berlin 1926. 
• A. M. Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras (= Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik. Band 29). B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim - Leipzig - Wien - Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1. 

Whitneyzahl_(Kombinatorik) / Ansatz

Graded poset (engl. Wikipedia)

Elemente der Mathematik

Elemente der Mathematik

Einfacher Nicht-Existenzsatz für 2-(v,k,λ)-Blockpläne

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein $2{\text{-}}(v,k,\lambda )$-Blockplan mit $1\leq k\leq v-1$.

Dann gilt:

Teil 1

(A1a)Ist $q:=2\lambda -1$ eine Primzahl und zugleich ein Teiler von $v$ und ist weiter $k\equiv r\;({\bmod {\;}}q)$, so ist $\lambda$ eine ungerade Zahl, also $q\equiv 1\;({\bmod {\;}}4)$. Diese Aussage gilt insbesondere für symmetrische $2{\text{-}}(v,k,\lambda )$-Blockpläne.

(A1b) Ist also $\lambda =2$ und $q=3$, so kann, wenn $k\equiv r\;({\bmod {\;}}q)$ gilt, $v$ nicht durch $3$ teilbar sein. Dies gilt speziell für symmetrische $2{\text{-}}(v,k,2)$-Blockpläne, also (gemäß englischer Terminologie) für die biplanes.

(A1c) Insgesamt gibt es im Falle $\lambda =2$ unter den genannten Bedingungen nur die folgenden beiden Möglichkeiten:

$v\equiv 1\;({\bmod {\;}}3)$ und ($k\equiv 0\;({\bmod {\;}}3)$ oder $k\equiv 1\;({\bmod {\;}}3)$)

oder

$v\equiv 2\;({\bmod {\;}}3)$ und $k\equiv 2\;({\bmod {\;}}3)$

.

Teil 2

(A2a)Ist $\lambda \geq 2$ und zugleich $s:=3\lambda -1$ eine Primzahl und dabei $k\equiv r\;({\bmod {\;}}s)$, so kann $s$ nicht zugleich ein Teiler von $v$ sein.

(A2b) Ist dabei sogar $\lambda =2$, also $s=5$, so kann $v$ unter der Bedingung $k\equiv r\;({\bmod {\;}}s)$ nicht durch $5$ teilbar sein. Diese Aussage ist speziell für biplanes richtig.

Teil 3

(A3a)Ist $p:=4\lambda +1$ eine Primzahl und zugleich ein Teiler von $v$ und dabei $k\equiv r\;({\bmod {\;}}p)$, so ist $\lambda$ eine gerade Zahl, also $p\equiv 1\;({\bmod {\;}}8)$.

(A3b) Ist also $\lambda =1$ und damit $p=5$, so kann $v$ unter der Bedingung $k\equiv r\;({\bmod {\;}}s)$ nicht durch $5$ teilbar sein. Diese Aussage ist speziell für projektive Ebenen richtig.

Beweis

Beweis von Teil 1

A1a ergibt sich fast unmittelbar aus der Grundgleichung für Blockpläne

$(v-1)\lambda =r(k-1)$

und algebraischen Umformungen. Aus der Grundgleichung und den Annahmen folgt nämlich

$(v-1)\lambda \equiv (k-1)k\;({\bmod {\;}}q)$.

und damit

$-\lambda \equiv k^{2}-k\;({\bmod {\;}}q)$

und weiter

$-4\lambda \equiv (2k-1)^{2}-1\;({\bmod {\;}}q)$

und weiter

$-2q-1\equiv (2k-1)^{2}\;({\bmod {\;}}q)$

und schließlich

$-1\equiv (2k-1)^{2}\;({\bmod {\;}}q)$.

Die letzte Gleichung besagt nun, dass $-1$ quadratischer Rest bezüglich des Moduls $q$ ist, was mit Hilfe des Legendre-Symbols auch so geschrieben werden kann:

$\left({\frac {-1}{q}}\right)=1$

Nach dem Euler-Kriterium (oder auch nach dem ersten Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz) ergibt sich damit

$(-1)^{\frac {q-1}{2}}\equiv 1\;({\bmod {\;}}q)$

und schließlich

$(-1)^{\lambda -1}\equiv 1\;({\bmod {\;}}q)$ .

Wegen $q\neq 2$ muss $\lambda -1$ eine gerade Zahl und damit $\lambda$ selbst eine ungerade Zahl sein.

Die Aussagen von A1b und von A1c ergeben sich dann unmittelbar aus der Grundgleichung.

Beweis von Teil 2

Es wird ein Widerspruchsbeweis geführt und dabei ein Wiederspruch abgeleitet daraus, dass $s$ entgegen der Annahme als ein Teiler von $v$ angenommen werde.

Denn dann ergibt sich aus der Grundgleichung

$(v-1)\lambda =r(k-1)$

(mit gleichartigen Rechenschritten wie oben) zunächst

$-4\lambda \equiv (2k-1)^{2}-1\;({\bmod {\;}}s)$

und weiter

$-\lambda \equiv (2k-1)^{2}+3\lambda -1\;({\bmod {\;}}s)$

und weiter

$-\lambda \equiv (2k-1)^{2}\;({\bmod {\;}}s)$

und weiter

$-9\lambda \equiv (6k-2)^{2}\;({\bmod {\;}}s)$

und weiter

$-3s-3\equiv (6k-2)^{2}\;({\bmod {\;}}s)$

und schließlich

$-3\equiv (6k-2)^{2}\;({\bmod {\;}}s)$.

Damit ist (wieder unter Benutzung des Legendre-Symbols)

$\left({\frac {-3}{s}}\right)=1$

und weiter

$\left({\frac {-1}{s}}\right)\left({\frac {3}{s}}\right)=1$

und weiter

$\left({\frac {-1}{s}}\right)\cdot (\left({\frac {3}{s}}\right)\left({\frac {s}{3}}\right))=\left({\frac {s}{3}}\right)$

Daraus folgt mit erstem Ergänzungssatz und quadratischem Reziprozitätsgesetz selbst

$(-1)^{\frac {s-1}{2}}\cdot (-1)^{{\frac {3-1}{2}}\cdot {\frac {s-1}{2}}}=\left({\frac {s}{3}}\right)$

und weiter

$(-1)^{\frac {s-1}{2}}\cdot (-1)^{\frac {s-1}{2}}=\left({\frac {s}{3}}\right)$

und damit

$\left({\frac {s}{3}}\right)=1$

Wegen $s\equiv -1\;({\bmod {\;}}3)$ führt dies zu

$\left({\frac {-1}{3}}\right)=1$

und schließlich zu

$(-1)^{\frac {3-1}{2}}=1$

und damit zum Widerspruch!

Beweis von Teil 3

Wieder ergibt sich aus der Grundgleichung

$(v-1)\lambda =r(k-1)$

(mit gleichartigen Rechenschritten wie oben) zunächst

$-4\lambda \equiv (2k-1)^{2}-1\;({\bmod {\;}}p)$

und weiter

$0\equiv (2k-1)^{2}-2\;({\bmod {\;}}p)$

und schließlich

$2\equiv (2k-1)^{2}\;({\bmod {\;}}p)$

Damit ist (wieder unter Benutzung des Legendre-Symbols)

$\left({\frac {2}{p}}\right)=1$.

Daraus folgt mit zweitem Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz

${\begin{aligned}1&=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}\\&=(-1)^{\frac {(p+1)(p-1)}{8}}\\&=(-1)^{\frac {(4\lambda +2)4\lambda }{8}}\\&=(-1)^{(2\lambda +1)\lambda }\\&=(-1)^{\lambda }\\\end{aligned}}$

Anmerkung

1. Ähnliche Folgerungen lassen sich auch für andere Kongruenzen ableiten.
2. Die Ausssagen A1c und A2b und A3b sind auch leicht direkt nachzurechnen.

Hilfslinks

1. Beweisarchiv
2. Design Resources on the Web

Literatur

• Thomas Beth - Dieter Jungnickel - Hanfried Lenz: Design Theory. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2. 
• Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie II. Projektive Räume. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1983, ISBN 3-411-01648-5.  MR0670590
• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 1992, ISBN 3-540-55178-6.  MR1260931
• P. J. Cameron - J. H. van Lint: Designs, Graphs, Codes and their Links (= London Mathematical Society Student Texts. Band 22). Cambridge University Press, Cambridge (u.a.) 1991, ISBN 0-521-42385-6. 
• Tosiro Tsuzuku: Finite Groups and Finite Geometries (= Cambridge Tracts in Mathematics. Band 78). Cambridge University Press, Cambridge (u. a.) 1982, ISBN 0-521-22242-7. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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KK Kategorie:Endliche Geometrie]] KK Kategorie:Blockplan]]

Formel von Gauß

Die Formel von Gauß ist eine elementare Formel der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, welche nach Carl Friedrich Gauß benannt ist. Die Formel behandelt die Anzahl der möglichen Darstellungen einer natürlichen Zahl als Quadratsumme zweier ganzer Zahlen.

Die Formel

Die Formel lässt sich angeben wie folgt::

Es sei $n$ eine natürliche Zahl mit der Primfaktorzerlegung

$n=2^{h}\cdot p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}\cdot q_{1}^{m_{1}}\cdots q_{s}^{m_{s}}$   ,

wobei $p_{i}\equiv 1{\pmod {4}}$   $(i=1,2,\dots ,r)$   sei und   $q_{j}\equiv 3{\pmod {4}}$   $(j=1,2,\dots ,s)$   .

Sei weiter

$r(n)=\#{\{(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} :x^{2}+y^{2}=n\}}$

Dann gilt:

$r(n)={\begin{cases}4(k_{1}+1)(k_{2}+1)\dots (k_{r}+1)&{\text{falls }}m_{1}\equiv m_{2}\equiv \dots \equiv m_{s}\equiv 0{\pmod {2}}\\0&{\text{falls }}\exists j\in \{1,2,\dots ,s\}:m_{j}\not \equiv 0{\pmod {2}}\end{cases}}$

Literatur

• François Fricker: Einführung in die Gitterpunktlehre (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 73). [Birkhäuser Verlag], Basel 1982, ISBN 3-7643-1236-X. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Satz von Zoretti

Der Satz von Zoretti gehört zu den Lehrsätzen der Topologie, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er geht auf den französischen Mathematiker Ludovic Zoretti zurück und gibt eine topologische Charakterisierung der Zahlengeraden und des reellen Einheitsintervalls.

Formulierung des Satzes

Die beiden Teile des Satzes von Zoretti lassen sich angeben wie folgt:

Teil I

Ein topologischer Raum   $X$   ist genau dann homöomorph zur Zahlengeraden   $\mathbb {R}$   , wenn er den folgenden sechs Bedingungen genügt:

(B₁)   $X$   erfüllt das Trennungsaxiom T₁.

(B₂)   $X$   ist ein zusammenhängender Raum.

(B₃)   $X$   ist ein lokal zusammenhängender Raum.

(B₄)   $X$   ist ein separabler Raum.

(B₅)   Von je drei verschiedenen Punkte  $x,y,z\in X$   lassen sich stets zwei durch den dritten voneinander trennen; d. h.: Ein   $x_{0}\in \{x,y,z\}$   ist stets so gelegen, dass die beiden anderen Punkte   $x_{1},x_{2}\in \{x,y,z\}\setminus \{x_{0}\}$   zu verschiedenen Zusammenhangskomponenten von   $X\setminus \{x_{0}\}$   gehören.

(B₆)   Jeder Punkt   $x\in X$   ist Zerlegungspunkt; d. h.:   $X\setminus \{x\}$   hat stets zwei Zusammenhangskomponenten.

Teil II

Ein topologischer Raum   $X$   ist genau dann homöomorph zum Einheitsintervall   $[0,1]\subset \mathbb {R}$   , wenn er den folgenden sechs Bedingungen genügt:

(B₁)   $X$   erfüllt das Trennungsaxiom T₁ .

(B₂)   $X$   ist ein zusammenhängender Raum.

(B₃)   $X$   ist ein lokal zusammenhängender Raum.

(B₄)   $X$   ist ein separabler Raum.

(B₅)   Es existieren zwei verschiedene Punkte   $a,b\in X$   , zwischen denen   $X$   irreduzibel zusammenhängend ist, welche also so beschaffen sind, dass jeder von   $a,b$   verschiedene Punkt diese beiden voneinander trennt.

Literatur

• Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975. 
• Ludovic Zoretti: La notion de ligne. In: Annales scientifiques de l’ École Normale Supérieure. Band 26, 1909, S. 485–497. [3]

Einzelnachweise und Fußnoten

KK references /LL

XXKategorie:Topologie]]

Schließungssatz

In der Geometrie versteht man unter einem Schließungssatz einen Lehrsatz, welcher aufgrund gewisser Annahmen über Inzidenzen oder Parallelitäten das Sich-Schließen einer geometrischen Figur behauptet.

Bekannte Schließungssätze

1. Satz von Ceva
2. Satz von Desargues
3. Satz von Gauß über das vollständige Vierseit
4. Satz von Menelaos
5. Satz von Pappos-Pascal
6. Schließungssatz von Poncelet
7. Kreiskettensatz von Steiner

Literatur

• Hermann Athen - Jörn Bruhn [Hrsg.]: Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 4 - S bis Z. Aulis Verlag, Köln 1978, ISBN 3-7614-0242-2. 
• Rolf Lingenberg: Grundlagen der Geometrie. 3., durchgesehene Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim [u.a.] 1978, ISBN 3-411-01549-7. 

Siehe auch

....

Fußnoten und Einzelnachweise

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XXKategorie:Geometrie]]

Satz von Kneser

Der Satz von Kneser ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher im Übergangsfeld zwischen den Teilgebieten der Kombinatorik, der Zahlentheorie und der Theorie der abelschen Gruppen liegt. Der Satz geht auf den deutschen Mathematiker Martin Kneser zurück und formuliert eine Ungleichung, mit welcher sich die Mächtigkeit von Summemengen abelscher Gruppen abschätzen lassen.

Formulierung des Satzes

Der Satz lautet in moderner Formulierung wie folgt:

Gegeben seien eine abelsche Gruppe   $G\neq \{0\}$   .

In   $G\neq \{0\}$   seien zwei Teilmengen   $A\neq \emptyset$   und   $B\neq \emptyset$   ; welche der folgenden Zusatzbedingung genügen:

  $|A|+|B|\leq |G|$

Sei ferner   $U=G_{A+B}<G$   die Stabilisatoruntergruppe von   $A+B$   bzgl. der zugrundeliegenden Additionsoperation.

Dann gilt:

  $|A+B|\geq |A+U|+|B+U|-|U|\geq |A|+|B|-|U|$   .

Literatur

• Stasys Jukna: Extremal Combinatorics (= Texts in Theoretical Computer Science). Springer Verlag, Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-3-642-17363-9.  MR2865719
• Martin Kneser: Abschätzung der asymptotischen Dichte von Summenmengen. In: Math. Z. Band 58, 1953, S. 459–484.  MR0056632
• Terence Tao - Van H. Vu: Additive Combinatorics (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 105). Cambridge University Press, Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-0-521-13656-3.  MR2573797

Einzelnachweise und Fußnoten

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Binormaler topologischer Raum

Ein topologischer Raum ist ein binormaler, wenn sein topologisches Produkt mit dem reellen Einheitsintervall $I=[0,1]=\{x\in \mathbb {R} \mid 0\leq x\leq 1\}$ ein normaler Raum ist.

Es gilt: Ein topologischer Raum ist genau dann ein Binormaler topologischer Raum, wenn er die Eigenschaft hat, abzählbar parakompakt zu sein.

Literatur

• Dugundji
• Harzheim
• Naber
• Willard

Hauptsatz der kombinatorischen Topologie

Der Hauptsatz der kombinatorischen Topologie besagt folgendes:

Zwei Triangulationen desselben Polyeders haben stets isomorphe Homologiegruppen

Literatur

• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= DIE MATHEMATIK. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X.  MR0533264
• Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975. 
• Lev S. Pontrjagin: Grundzüge der kombinatorischen Topologie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 29). Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1956. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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KK Kategorie:Topologie]]

Allgemeines Distributivgesetz der Mengenlehre

Unter Voaraussetzung des Auswahlaxioms gilt für Mengen $X,I,J_{i}(i\in I),A_{ij}\subseteq X(i\in I,j\in J_{i})$ und bei Setzung von $\bigcap _{{ij}\in \emptyset }A_{ij}=X$:

$\bigcap _{i\in I}{\bigcup _{j\in J_{i}}A_{ij}}=\bigcup _{f\in \prod _{i\in I}J_{i}}{\bigcap _{i\in I}{A_{if(i)}}}$

$\bigcup _{i\in I}{\bigcap _{j\in J_{i}}A_{ij}}=\bigcap _{f\in \prod _{i\in I}J_{i}}{\bigcup _{i\in I}{A_{if(i)}}}$

$\prod _{i\in I}{\bigcup _{j\in J_{i}}A_{ij}}=\bigcup _{f\in \prod _{i\in I}J_{i}}{\prod _{i\in I}{A_{if(i)}}}$.

Literatur

• Robert L. Vaught: Set Theory. An Introduction. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Boston [u.a.] 1995, ISBN 0-8176-3697-8. 

Zur heronschen Formel

Der Satz des Heron ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, welcher nach dem antiken Mathematiker Heron von Alexandria benannt ist. Der Satz beschreibt eine mathematische Formel, mit deren Hilfe der Flächeninhalt eines Dreiecks aus den drei Seitenlängen berechenbar ist. Man nennt die Formel auch heronsche Formel bzw. heronische Formel oder auch die Formel von Heron (englisch Heron's_formula).

Formulierung des Satzes

Der Flächeninhalt $F_{\Delta }$ eines Dreiecks $\Delta$ der euklidischen Ebene mit den Seitenlängen

$a,b,c$

und halbem Umfang

$s\,=\,{\frac {a+b+c}{2}}$

ist

$F_{\Delta }={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$   .

Umrechnungen

Die heronische Formel lässt sich auch so ausdrücken:

(V1) $F_{\Delta }={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}}$   .

Ausmultipliziert erhält man:

(V2) $F_{\Delta }={\frac {\sqrt {2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{4}}$   .

Als andere Darstellung der heronischen Formel ist auch folgende gängig:

(V3) $F_{\Delta }={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{4}}$   ,

welche man aus der Version (V1) durch Umgruppieren und Anwendung der binomischen Formeln mit den folgenden Gleichungen gewinnt:

${\begin{aligned}16{F_{\Delta }}^{2}&={\bigl (}((a+b)+c)((a+b)-c){\bigr )}{\bigl (}(c+(a-b))(c-(a-b)){\bigr )}\\&={\bigl (}(a+b)^{2}-c^{2}{\bigr )}{\bigl (}c^{2}-(a-b)^{2}{\bigr )}\\&={\bigl (}a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}{\bigr )}{\bigl (}c^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}{\bigr )}\\&={\bigl (}2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}){\bigr )}{\bigl (}2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}){\bigr )}\\&=4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\\end{aligned}}$   .

Aus der Version (V3) schließlich lässt sich die folgende Determinantendarstellung ableiten:

(V4) $F_{\Delta }={\frac {1}{4}}{\sqrt {-\det \left({\begin{matrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{matrix}}\right)}}$   .

Denn man erhält mittels elementarer Matrizenumformungen und unter Anwendung des Entwicklungssatzes von Laplace folgende Gleichungen:

${\begin{aligned}4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}&=4a^{2}b^{2}-(c^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}\\&=\det \left({\begin{matrix}-2a^{2}&c^{2}-a^{2}-b^{2}\\c^{2}-a^{2}-b^{2}&-2b^{2}\end{matrix}}\right)\\&=\det \left({\begin{matrix}1&a^{2}&b^{2}\\0&-2a^{2}&c^{2}-a^{2}-b^{2}\\0&c^{2}-a^{2}-b^{2}&-2b^{2}\end{matrix}}\right)\\&=\det \left({\begin{matrix}1&a^{2}&b^{2}\\1&-a^{2}&c^{2}-a^{2}\\1&c^{2}-b^{2}&-b^{2}\end{matrix}}\right)\\&=-\det \left({\begin{matrix}0&1&0&0\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&-a^{2}&c^{2}-a^{2}\\1&b^{2}&c^{2}-b^{2}&-b^{2}\end{matrix}}\right)\\&=-\det \left({\begin{matrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$   .

Weiterer Zusammenhang

Die heronische Formel kann als Grenzfall aus der Formel für den Flächeninhalt $F_{\Sigma }$ eines Sehnenvierecks $\Sigma$ gewonnen werden, wenn zwei der Eckpunkte ineinander übergehen, so dass eine der Seiten des Sehnenvierecks die Länge Null annimmt. Für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks gilt nämlich nach der Formel von Brahmagupta

$F_{\Sigma }={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$   ,

wobei hier der halbe Umfang

$s\,=\,{\frac {a+b+c+d}{2}}$

ist.

Anmerkungen

1. Für die Herleitung der heronischen Formel gibt es viele Vorgehensweisen. Insbesondere lässt sie sich elementar mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes herleiten.
2. Neben der Zuweisung der Formel an Heron von Alexandria gibt es auch eine Zuweisung, derzufolge sie auf Archimedes zurückgeht.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Satz des Heron. In: MathWorld (englisch).
• Elementarer Beweis
• Beweis mit Hilfe des Kosinussatzes (Deutsch) (PDF-Datei; 88 kB)
• Beweis für den Satz des Heron und seine Folgerungen (PDF-Datei; 82 kB)

Beweis der heronschen Formel mit dem Satz des Pythagoras

Der Beweis geht etwa wie folgt:

In einem gegebenen Dreieck $\triangle ABC$, von dem man oBdA annehmen kann, dass für die Seitenlängen $a=|BC|$, $b=|CB|$ und $c=|AB|$ die Ungleichungen $b\leq a\leq c$ gelten, sei $D$ der Fußpunkt der Höhe vom Eckpunkt $C$ auf die Seite $AB$ . Weiter sei $q=|AD|$ und $p=|DB|$ und damit $p+q=c$.

Nach dem pythagoreischen Lehrsatz gelten dann die beiden folgenden Identitäten:

$h^{2}+p^{2}=a^{2}$

$h^{2}+q^{2}=b^{2}$

Daraus folgt

$b^{2}-a^{2}=q^{2}-p^{2}=(q+p)(q-p)=c(q-p)$

und weiter

${\frac {b^{2}-a^{2}}{c}}=q-p=c-2p$

und daraus

$p={\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2c}}$   .

Dies ergibt

$h^{2}=a^{2}-p^{2}=a^{2}-{\bigl (}{\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2c}}{\bigr )}^{2}$   .

Hinsichtlich der Dreiecksfläche $F$ bedeutet dies

${\begin{aligned}16F^{2}&=4h^{2}c^{2}\\&=4a^{2}c^{2}-{\bigl (}a^{2}-b^{2}+c^{2}{\bigr )}^{2}\\&={\bigl (}2ac+a^{2}-b^{2}+c^{2}{\bigr )}{\bigl (}2ac-a^{2}+b^{2}-c^{2}{\bigr )}\\&={\bigl (}(a+c)^{2}-b^{2}{\bigr )}{\bigl (}b^{2}-(a-c)^{2}{\bigr )}\\&=(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)\\&=2s(2s-2b)(2s-2c)(2s-2a)\\\end{aligned}}$

Also gilt insgesamt

$F={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$   .

Folgerung der heronschen Formel aus dem Schenkeltransversalensatz nach Dörrie

Heinrich Dörrie zeigt, hat der Schenkeltransversalensatz eine Anzahl von interessanten Folgerungen. So impliziert er beispielweise die berühmte Formel von Heron. Diese Herleitung lässt sich wiedergeben wie folgt:

Schritt I

In einem gegebenen Dreieck $\triangle ABC$, von dem man oBdA annehmen kann, dass für die Seitenlängen $a=|BC|$, $b=|CB|$ und $c=|AB|$ die Ungleichungen $b\leq a\leq c$ gelten, spiegelt man den Eckpunkt $B$ an der Höhe von $C$ auf die Seite $AB$ und erhält den Spiegelpunkt $B^{'}$. (Dabei ist für den Fall, dass $\triangle ABC$ gleichschenklig ist, $A=B^{'}$. )

Mit der Setzung:

$x=|AB^{'}|$.

folgt wegen der nach Konstruktion gegebenen Gleichschenkligkeit von $\triangle B^{'}BC$ zunächst :

${\tfrac {c+x}{2}}=|B^{'}B|$

Wegen:

$a=|CB^{'}|$

ergibt sich dann gemäß der 2. Variante des Schenkeltransversalensatzes, angewandt auf $\triangle B^{'}BC$:

$b^{2}=a^{2}-xc$

und daraus sofort:

$xc=a^{2}-b^{2}$

Schritt II

Wiederum gemäß der 2. Variante des Schenkeltransversalensatzes (oder auch nach dem Satz des Pythagoras, welcher ja wie erwähnt als Folge des Schenkeltransversalensatzes betrachtet werden kann) und wenn wie üblich die Länge der Höhe von $C$ auf die Seite $AB$ mit $h$ bezeichnet wird, ergibt sich dann weiter:

$h^{2}=a^{2}-{\tfrac {c+x}{2}}\cdot {\tfrac {c+x}{2}}=a^{2}-{\tfrac {(c+x)^{2}}{4}}$

und dann:

$4h^{2}=4a^{2}-(c+x)^{2}=(2a+(c+x))\cdot (2a-(c+x))=(2a+c+x)\cdot (2a-c-x)$

Für den Flächeninhalt $F_{ABC}={\tfrac {h\cdot c}{2}}$ ergibt sich damit:

$16{F_{ABC}}^{2}=4h^{2}c^{2}=(2ac+c^{2}+xc)\cdot (2ac-c^{2}-xc)$

Schritt III

Schritt I und Schritt II zusammen führen auf die Gleichung:

$16{F_{ABC}}^{2}=(2ac+c^{2}+a^{2}-b^{2})^{(}2ac-c^{2}-a^{2}+b^{2})=((a+c)^{2}-b^{2})\cdot (b^{2}-(a-c)^{2})=(a+c+b)\cdot (a+c-b)\cdot (b+a-c)\cdot (b-a+c)$

Mit der üblichen Setzung:

$s={\tfrac {a+b+c}{2}}$

und nach Vertauschung der Klammern hat man dann:

$16{F_{ABC}}^{2}=2s\cdot (2s-2a)\cdot (2s-2b)\cdot (2s-2c)$

und weiter:

${F_{ABC}}^{2}=s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)$

und schließlich:

${F_{ABC}}={\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}$

Aus der der heronschen Formel folgt der Satz des Pythagoras

Einerseits gilt für den Flächeninhalt

$A={\frac {ab}{2}}$

und anderseits nach Heron

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

mit

$s={\frac {a+b+c}{2}}$   .

Also folgt nacheinander und unter Benutzung der binomischen Formeln

${\frac {a^{2}b^{2}}{4}}=s(s-a)(s-b)(s-c)$

und daraus

${\begin{aligned}4a^{2}b^{2}&=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\\&={\bigl (}-a^{2}+(b+c)^{2}{\bigr )}{\bigl (}a^{2}-(b-c)^{2}{\bigr )}\\&=-a^{4}+a^{2}{\bigl (}(b+c)^{2}+(b-c)^{2}{\bigr )}-{\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}^{2}\\&=-a^{4}+a^{2}{\bigl (}2b^{2}+2c^{2}{\bigr )}-{\bigl (}b^{4}-2b^{2}c^{2}+c^{4}{\bigr )}\\&=-a^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}-b^{4}+2b^{2}c^{2}-c^{4}\\\end{aligned}}$

und daraus

$a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}-2a^{2}c^{2}-2b^{2}c^{2}=0$

und schließlich

${\bigl (}a^{2}+b^{2}-c^{2}{\bigr )}^{2}=0$

Folglich ist

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$  .

Literatur

• Heinrich Dörrie: Der Schenkel-Transversalensatz, Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht 53, 1922, S. 8–14 (Jahrbuch-Rezension)
• A. M. Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras (= Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik. Band 29). B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim - Leipzig - Wien - Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1. 
• Theophil Lambacher - Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965. 

Literatur

• Hermann Athen - Jörn Bruhn [Hrsg.]: Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 2. F - K. Aulis Verlag Deubner & CO KG, Köln 1977, ISBN 3-7614-0242-2. 
• A. M. Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras (= Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik. Band 29). B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim - Leipzig - Wien - Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1. 
• György Hajós: Einführung in die Geometrie. (BEVEZETÉS A GEOMETRIÁBA. Deutsche Übersetzung und Redaktion: DR. G. EISENREICH (Leipzig)). B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1970. 
• Max Koecher - Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2007, ISBN 978-3-540-49327-3. 
• Theophil Lambacher - Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965. 

Satz von Kurosch-Ore / in Arbeit

.... In modularen Verbänden Eindeutigkeit der Darstellung der 1 (=MAXIMUM) als Vereinigung vereinigungsirreduzibler Elemente inkl. Austauscheigenschaft)....

.... nach Kurosch und Oystein Ore

Verwandt: Duales Theorem vom Emmy Noether.

Literatur

Originalarbeiten

...

Monographien

• Paul Moritz Cohn: Universal Algebra (= Mathematics and Its Applications. Band 6). Überarbeitete Auflage. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland [u.a.] 1982, ISBN 90-277-1213-1. 

Satz von Stanley

Formulierung des Satzes

Sind (P, ≤) und (Q, ≤) lokal-endliche Halbordnungen und sind die zugehörigen Inzidenzalgebren über einem Körper K isomorphe Algebren , so sind (P, ≤) und (Q, ≤) als Halbordnungen isomorph.

• [4]

Satz von Schmidt über algebraische Hüllensysteme (Ursprüngliche Version von mir)

Formulierung des Satzes

Der Satz von Schmidt über algebraische Hüllensysteme ist ein Lehrsatz aus dem Gebiet der Universelle Algebra, welcher auf den deutschen Mathematiker Jürgen Schmidt (1918 - 1980) zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Umständen ein Hüllensystem algebraisch ist, und formuliert unter Voraussetzung des Auswahlaxioms eine gleichwertige Bedingung.

Klärung der Begriffe

Zusammenhang Hüllensystem - Hüllenoperator

Für ein Hüllensystem   ${\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)$   über einer Grundmenge   $S$   ist der zugehörige Hüllenoperator   $C_{\mathcal {H}}$   auf   ${\mathcal {P}}(S)$   gegeben durch :

$C_{\mathcal {H}}(A)=\bigcap \{H\in {\mathcal {H}}|H\supseteq A\}$   ($A\subseteq S$).

Algebraizität

Das Hüllensystem   ${\mathcal {H}}$   und der Hüllenoperator   $C_{\mathcal {H}}$   werden algebraisch genannt, wenn folgende Endlichkeitsbedingung erfüllt ist:

Ist   $A\subseteq S$   und   $x\in C_{\mathcal {H}}(A)$  , so existiert schon eine endliche Teilmenge   $F\subseteq A$   derart, dass   $x\in C_{\mathcal {H}}(F)$   .

Das bedeutet:

Es ist stets

$C_{\mathcal {H}}(A)=\bigcup \{C_{\mathcal {H}}(F):F\subseteq A\land |F|<\infty \}$   ($A\subseteq S$).

Alternative Charakterisierung über gerichtete Systeme

Die Algebraizität eines Hüllensystems lässt sich gleichwertig auch wie folgt charakerisieren:

Das Hüllensystems   ${\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)$   ist algebraisch dann und nur dann, wenn für jedes nichtleere, bzgl. der die Inklusionsrelation $\subseteq$ nach oben gerichtete Teilsystem   ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {H}}$   die Vereinigungsmenge   $\bigcup {G}$   stets zu   ${\mathcal {H}}$   gehört.

Induktivität

Ein nichtleeres Teilsystem   ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)$  der Potenzmenge   ${\mathcal {P}}(S)$  wird induktiv genannt, wenn folgendes erfüllt ist:

Für jedes durch die Inklusionsrelation $\subseteq$ linear geordnete Teilsystem   ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {T}}$   gehört die Vereinigungsmenge   $\bigcup {K}$   zu   ${\mathcal {T}}$  .

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

(1) Ein algebraisches Hüllensystem   ${\mathcal {H}}$   ist stets induktiv.

(2) Unter Voraussetzung des Auswahlaxioms gilt sogar, dass ein Hüllensystem   ${\mathcal {H}}$   dann und nur dann algebraisch ist , wenn es induktiv ist.

Beweisskize nach Schmidt

Der Teil 1 des Satzes ist wegen alternativen Charakterisierung der Algebraizität unmittelbar einsichtig, da jedes durch die Inklusionsrelation linear geordnete Mengensystem stets auch nach oben gerichtet ist.

Zum Beweis von Teil 2 des Satzes ist zu zeigen, dass bei Voraussetzung des Auswahlaxioms auch die Umkehrung von Teil 1 Bestand hat. Dazu geht Jürgen Schmidt von dem folgende Hilfssatz 1 aus (zu dessen Beweis man das Auswahlaxiom benötigt):

Jede unendliche Menge $A$ ist darstellbar als Vereinigungsmenge eines durch die Inklusionsrelation $\subseteq$ linear geordneten Mengensystems von Teilmengen $A^{*}\subseteq A$ derart , dass deren Mächtigkeiten $|A^{*}|$ stets echt kleiner sind als die Mächtigkeit $|A|$ .

Nun ist für ein Teilsystem   ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)$  stets folgende Identität richtig:

$C_{\mathcal {H}}(\bigcup _{T\in {\mathcal {T}}}C_{\mathcal {H}}(T))=C_{\mathcal {H}}(\bigcup _{T\in {\mathcal {T}}}T)$  

Wird nun Induktivität vorausgesetzt und ist   ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)$  ein durch die Inklusionsrelation $\subseteq$ linear geordnete Teilsystem   von  ${\mathcal {P}}(S)$  , so gilt sogar:

$\bigcup _{K\in {\mathcal {K}}}C_{\mathcal {H}}(K)=C_{\mathcal {H}}(\bigcup _{K\in {\mathcal {K}}}K)$  

Ist nun also ein unendliches $A\subseteq S$ und ein   $x\in C_{\mathcal {H}}(A)$ gegeben, so ergibt sich in Verbindung mit Hilffsatz 1 dann sogleich der folgende Hilfssatz 2:

Für unendliches $A\subseteq S$ und   $x\in C_{\mathcal {H}}(A)$   existiert stets eine Teilmenge $A^{*}\subseteq A$ so, dass deren Mächtigkeit   $|A^{*}|$   echt kleiner als   $|A|$   und   $x\in C_{\mathcal {H}}(A^{*})$   ist.

Indem man Hilfssatz 2 iteriert anwendet - in der Durchführung kommt wieder das Auswahlaxiom zum Einsatz - und beachtet, dass jede echt fallende Folge von Mächtigkeiten nach endlich vielen Schritten abbricht, erhält man:

Ist   $A\subseteq S$   und   $x\in C_{\mathcal {H}}(A)$  , so existiert schon eine endliche Teilmenge   $F\subseteq A$   derart, dass   $x\in C_{\mathcal {H}}(F)$   .

Also impliziert die Induktivität die Algebraizität, sofern dass Auswahlaxiom als gegeben vorausgesetzt werden kann.

Literatur

Originalarbeiten

• Jürgen Schmidt: Über die Rolle der transfiniten Schlussweisen in einer allgemeinen Idealtheorie. In: Math. Nachr. Band 7, 1952, S. 165–182.  MR0047628
• Jürgen Schmidt: Einige grundlegende Begriffe und Sätze aus der Theorie der Hüllenoperatoren. In: Bericht über die Mathematiker-Tagung in Berlin, Januar 1953. Band 75. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, S. 21–48. 

Monographien

• Paul Moritz Cohn: Universal Algebra (= Mathematics and Its Applications. Band 6). Überarbeitete Auflage. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland [u.a.] 1982, ISBN 90-277-1213-1. 
• Th. Ihringer: Allgemeine Algebra (= Teubner Studienbuch). Teubner Verlag, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-02083-1. 

Ungleichung von Erdös-Mordell-Barrow

....

Literatur

....

Satz von Blaschke über konvexe Figuren der Ebene / in Arbeit

Der Satz von Blaschke über konvexe Figuren der Ebene ist ein mathematischer Satz der Konvexgeometrie, welcher auf den Geometer Wilhelm Blaschke zurückgeht. (Er wurde von dem in dessen Schrift Kreis und Kugel im Jahre 1916 vorgestellt ???)

Formulierung des Satzes

Breite <= 3 x Inkreisradius

Verwandte Resultate

Satz von Jung

Literatur

• P. S. Alexandroff et al.: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band V. Geometrie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1971. 

• Wilhelm Blaschke: Kreis und Kugel [Nachdruck der Ausgabe Leipzig, 1916]. Chelsea Publishing Company, New York 1949. 

• Peter M. Gruber: Convex and Discrete Geometrie. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 2007, ISBN 978-3-540-71132-2. 

• Hugo Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 1957, ISBN 3-540-02151-5. 

Schenkeltransversalensatz (Ursprüngliche Version von mir)

Der Schenkeltransversalensatz ist ein Satz der Elementargeometrie der Dreiecke, welcher mit dem Satz des Pythagoras gleichwertig ist.

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck $\Delta =ABC$ mit Basiswinkeln bei den Eckpunkten $A$ und $B$ und der Spitze im Eckpunkt $C$. Die durch die Basis von $\Delta$ verlaufende Gerade sei $g=AB$.

Weiter sei gegeben eine Transversale durch die Spitze $C$ von $\Delta$, welche $g$ in einem Punkt $P$ schneidet.

Dann gilt:

(*) ${\overline {CP}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+\epsilon \cdot {\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}$

mit:

$\epsilon =-1$, falls $P$ zwischen $A$ und $B$ liegt

$\epsilon =+1$ sonst

Beweis des Satzes

Man darf ohne oBdA annehmen, dass das Dreieck $\Delta =ABC$ eine geometrische Figur der komplexen Zahlenebene darstellt. Dabei lassen sich sogar folgende Gegebenheiten annehmen:

1. Die Gerade $g$ fällt mit der reellen Achse $\mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ zusammen.
2. Die Spitze $C$ liegt auf der imaginären Achse.
3. Der Höhenfußpunkt der von $C$ auf $g$ gefällten Höhe fällt mit $0$ zusammen.
4. Es ist $A<0<B$

Denn folgt der Satz für diesen speziellen Fall, so folgt er allgemein, da die Geometrie der komplexen Zahlenebene mit der ebenen euklidischen Geometrie übereinstimmt und da zu einem gegebenen rechtwinkligen Dreieck durch Anwendung geeignet gewählter ebene Kongruenzabbildungen stets ein spezielles Dreieck der genannten Art, welches zu jenem kongruent ist, gefunden werden kann.

Erste Folgerungen

Es ist $[A,B]\subset \mathbb {R}$ mit $A=-B$.

Weiter ist $P\in \mathbb {R}$ und $C\in {\mathrm {i} }\mathbb {R}$.

Fallunterscheidung

Drei Fälle sind zu betrachten:

(I) : $P<A$

Dann gilt:

$\epsilon =+1$

und weiter:

$\epsilon \cdot {\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}=|P-A|\cdot |P-B|=(A-P)\cdot (B-P)=(A-P)\cdot (-A-P)=-(A-P)\cdot (A+P)=P^{2}-A^{2}$

(II) : $A\leq P\leq B$

Dann gilt:

$\epsilon =-1$

und weiter:

$\epsilon \cdot {\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}=-(P-A)\cdot (B-P)=(P-A)\cdot (-B+P)=(P-A)\cdot (A+P)=P^{2}-A^{2}$

(III) : $B<P$

Dann gilt:

$\epsilon =+1$

und weiter:

$\epsilon \cdot {\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}=(P-A)\cdot (P-B)=(P-A)\cdot (P+A)=P^{2}-A^{2}$

Schlussfolgerung

In jedem der drei obigen Fälle gewinnt man unter Anwendung des Pythagoreischen Lehrsatzes bzgl. der beiden rechtwinkligen Dreiecke $ADC$ und $PDC$ die folgenden Gleichungen:

${\overline {CP}}^{2}=|C|^{2}+P^{2}=(|C|^{2}+A^{2})+(P^{2}-A^{2})={\overline {AC}}^{2}+\epsilon \cdot {\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}$

und damit (*).

Gleichwertigkeit mit dem Pythagoreischen Lehrsatz

Der Schenkeltransversalensatz ergibt sich wie gesehen unter Anwendung des Pythagoreischen Lehrsatzes.

Andererseits impliziert der Schenkeltransversalensatz seinerseits den Pythagoreischen Lehrsatz. Diesen erhält man, indem man zu einem vorgegebenen rechtwinkligen Dreieck $ADC$ mit rechtem Winkel bei $D$ den Punkt $B$ als Spiegelpunkt von $A$ auf der Geraden $g=AD$ durch Punktspiegelung am Punkte $D$ konstruiert und zugleich $P=D$ setzt.

Dann ergibt sich gemäß Fall (II) oben:

${\overline {CD}}^{2}={\overline {CP}}^{2}={\overline {AC}}^{2}-{\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {AC}}^{2}-{\overline {PA}}^{2}={\overline {AC}}^{2}-{\overline {AD}}^{2}$

und dann:

${\overline {CD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}={\overline {AC}}^{2}$.

Literatur

• Theophil Lambacher und Wilhelm Schweizer [Hrsg.]: Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965. 
• Helmut Karzel / Hans-Joachim Kroll: Geschichte der Geometrie seit Hilbert. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1988, ISBN 3-534-08524-8. 

Hahnscher Einschiebungssatz / in Arbeit

Inhalt: Auf metrischen Räumen lässt zwischen eine oberhalb-stetige Funktion g und eine unterhalb-stetige Funktion h stets eine stetige Funktion f einschieben, also so dass g ≤ f ≤ h ist. (Satz 32-2-6 bei Hahn). Folgerung aus dem Baireschen Satz, wonach auf metrischen Räumen jede halbstetige Funktion als Grenzfunktion eine monotonen Folge von stetigen Funktionen darstellbar ist.

Literatur

Bücher

• Hans Hahn: Reelle Funktionen. Chelsea Publishing Company, New York, N. Y. 1948. 
• Felix Hausdorff: FELIX HAUSDORFF. Gesammelte Werke. Band III. Mengenlehre (1927, 1935); Deskriptive Mengenlehre und Topologie. Herausgegeben von U. Felgner, H. Herrlich, M. Hušek, V. Kanovei, P. Koepke, G. Preuß, W. Purkert und E. Scholz. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76806-7. 
• Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts [u. a.] 1970. 

Satz von Hausdorff zur Totalbeschränktheit

Der Satz von Hausdorff ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er wurde 1927 von Felix Hausdorff in seiner Grundzüge der Mengenlehre vorgestellt. Der Satz formuliert ein Kriterium für die Kompaktheit metrischer Räume.

Formulierung des Satzes

In metrischen Räumen ist die Existenz von Cauchy-Teilfolgen in Folgen gleichbedeutend mit der Totalbeschränktheit des zugrundeliegenden Raums.

Literatur

• Felix Hausdorff: Felix Hausdorff. Gesammelte Werke. Band III. Mengenlehre (1927, 1935); Deskriptive Mengenlehre und Topologie. Herausgegeben von U. Felgner, H. Herrlich, M. Hušek, V. Kanovei, P. Koepke, G. Preuß, W. Purkert und E. Scholz. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76806-7. 

• Mark A. Najmark: Normierte Algebren. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt / Main 1990, ISBN 3-8171-1001-4. 

• Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts [u. a.] 1970. 

• Klaus Floret - Joseph Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume (= Lecture Notes in Mathematics. Band 56). Springer Verlag, Berlin [u. a.] 1968, ISBN 3-540-04226-1. 

Satz von Kuratowski (Maßtheorie) / in Arbeit

Der Satz von Kuratowski der Maßtheorie ist ein bedeutendes Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie, welches auf den polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage der maßtheoretischen Isomorphie von Borelmengen polnischer Räume.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:

Seien $X_{1}$ und $X_{2}$ polnische Räume und sei $B_{1}\subseteq X_{1}$ eine Borelmenge von $X_{1}$.

Sei weiter $\phi \colon \,B_{1}\to X_{2}$ eine injektive Borel-messbare Abbildung.

Dann ist $B_{2}:={\phi }(B_{1})\subseteq X_{2}$ eine Borelmenge von $X_{2}$ und ${\phi }^{-1}\colon \,B_{2}\to B_{1}$ ist ebenfalls Borel-messbar.

D. h.: $\phi \colon \,B_{1}\to B_{2}$ ist in diesem Sinne ein Isomorphismus.

Literatur

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. überarb. Auflage. de Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0. 

• Kalyanapuram R. Parthasarathy: Probability Measures on Metric Spaces. Academic Press, New York London 1967. 

Satz von Hanner über ANR (=Absolute Umgebungsretrakte)

Formulierung

Ist der topologische Raum X vereinigt aus endlich vielen offenen Mengen, welche (in der Unterraumtopologie) absolute Umgebungsretrakte sind, so ist auch X ein absoluter Umgebungsretrakt.

Literatur

Monographien

• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6. 

WEITERES ZUR LYM-UNGLEICHUNG

Spätestens seit Lubells einfacher Herleitung des Satzes von Sperner mit Hilfe der LYM-Ungleichung nimmt diese in der Spernertheorie einen zentralen Platz ein. Nach Lubells Artikel wurde eine Fülle von Ergebnissen über den Zusammenhang zwischen der LYM-Ungleichung bzw. LYM-artigen Ungleichungen und der Spernertheorie vorgelegt.

Die Ahlswede-Zhang-Identität

Diese Identität (auch AZ-Identität genannt, in der englischsprachigen Literatur als AZ identity bezeichnet ) geht auf die beiden Mathematiker Rudolf Ahlswede und Zhen Zhang zurück. Sie stellt eine Verschärfung der LYM-Ungleichung dar und lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben sei eine endliche Menge   $M$   mit   $n$   Elementen (   $n\in \mathbb {N}$   ) und dazu ein nicht-leeres Mengensystem   ${\mathcal {A}}\neq \emptyset$   von nicht-leeren Teilmengen von $M$, also eine nicht-leere Teilmenge der reduzierten Potenzmenge ${\mathcal {P}}(M)\setminus \{\emptyset \}$   .

Weiter sei für   $X\subseteq M$   :

$D_{\mathcal {A}}(X)={\begin{cases}\ \;\,\bigcap \{A\mid A\in {\mathcal {A}}\land A\subseteq X\}&\exists A\in {\mathcal {A}}:A\subseteq X\\\ \;\,\emptyset &\mathrm {sonst} \end{cases}}$

Dann gilt:

$\sum _{\emptyset \neq X\subseteq M}{\frac {|D_{\mathcal {A}}(X)|}{|X|\cdot {\binom {n}{|X|}}}}=1$

Ist   ${\mathcal {A}}$   eine Antikette von ${\mathcal {P}}(X)$ und   $A\in {\mathcal {A}}$   , so ist   $D_{\mathcal {A}}(A)=A$ . Also ist   $\sum _{A\in {\mathcal {A}}}{\frac {1}{\binom {n}{|A|}}}=\sum _{A\in {\mathcal {A}}}{\frac {|A|}{|A|\cdot {\binom {n}{|A|}}}}$   in der obigen Summe enthalten, was was zeigt, dass die AZ-Identität die LYM-Ungleichung unmittelbar impliziert.

Zusammenhang mit Gruppenoperationen

In der Kombinatorik besteht einer der klassischen Ansätze, den berühmten Satz von Sperner (1928) zu beweisen darin, zunächst die Lubell-Yamamoto-Meshalkin-Ungleichung - kurz LYM-Ungleichung genannt - zu zeigen und daraus dann den spernerschen Satz zu folgern.

Hierbei gelangt man zu der einfachen, jedoch wichtigen Beobachtung, dass bei einer endlichen Potenzmenge   $2^{M}$   über einer endlichen Grundmenge   $M$   die Automorphismengruppe   $\operatorname {Aut} (2^{M})$   mit der symmetrischen Gruppe   $S_{M}$ über $M$   identifiziert werden kann:

Denn jeder solcher Automorphismus zeichnet sich dadurch aus, dass er die Inklusionsordnung der Potenzmenge strikt erhält, weswegen er stets mit einer Permutation der Atome des booleschen Verbandes   $2^{M}$   - also der einelementigen Teilmengen von   $M$   ! - zusammengehört, welche ihn wegen der Verbandseigenschaften von   $2^{M}$   völlig bestimmt.

Daher ist jeder der zugehörigen Orbits

$\operatorname {Aut} (2^{M})\cdot X=S_{M}\cdot X=\{g(X):g\in S_{M}\}\;(X\subseteq M)$

nichts weiter sind als eine der Mächtigkeitsklassen

${M \choose i}\subseteq 2^{M}\;(i=0,\ldots ,|M|)$  ,

da nämlich für   $X\subseteq M$   die Menge   $g(X)$   nichts anderes ist als die Menge der   $g$-Bilder von   $X$   unter der Permutation $g$.

Geht man nun von   $\operatorname {Aut} (2^{M})$   zu beliebigen endlichen Gruppen und allgemeinen Gruppenoperationen über, so erhält man eine Verallgemeinerung der LYM-Ungleichung, welche sogar ganz unabhängig von den Ordnungsbetrachtungen innerhalb der endlichen Potenzmengen Gültigkeit hat.

Formulierung der Verallgemeinerung

Gegeben sei eine endliche (multiplikativ geschriebene) Gruppe $(G,\cdot )$ mit neutralem Element $e$.

$S$ sei eine endliche Menge und hierauf operiere $(G,\cdot )$ vermöge der Gruppenoperation

$G\times S\to S$

$(g,s)\mapsto g\cdot s$.

Weiter seien eine Teilmenge $A\subseteq S$ gegeben und eine endliche Familie $(c_{i})_{i\in I}$ von Elementen von $S$, wobei $I$ eine endliche nichtleere Indexmenge sein möge.

Dabei sei für $g\in G$

$I_{g}=\{i\in I:{g\cdot c_{i}}\in A\}$   .

Dann gilt  :

$\sum _{i\in I}{\frac {|{G\cdot c_{i}}\cap {A}|}{|{G\cdot c_{i}}|}}\cdot w_{i}\leq \max _{g\in G}{\sum _{i\in I_{g}}{w_{i}}}$.

Beweis

Schritt 1

Wir setzen

$G^{i}=\{g\in G:{g\cdot c_{i}}\in A\}$   $(\forall i\in I)$   .

Damit gilt:

(1) $\bigcup _{i\in I}{G^{i}\times \{i\}}=\bigcup _{g\in G}{\{g\}\times I_{g}}$

Wenden wir, ausgehend von einer gegebenen Zahlenfamilie $(w_{i})_{i\in I}$, die reellwertige Funktion

$v\colon G\times I\to \mathbb {R} \;,\;v(g,i)=w_{i}$

auf (1) an, so erhalten wir aus Disjunktheitsgründen zunächst

(2) $\sum _{i\in I}{v(G^{i}\times \{i\})}=\sum _{g\in G}{v(\{g\}\times I_{g})}$

und daraus unmittelbar die Ungleichung

(3) $\sum _{i\in I}{v(G^{i}\times \{i\})}\leq |G|\max _{g\in G}{\;v(\{g\}\times I_{g})}$   .

Aus (3) gelangt man sogleich zu der Ungleichung

(4) $\sum _{i\in I}{|G^{i}|\cdot w_{i}}\leq |G|\max _{g\in G}{\;\sum _{i\in I_{g}}{w_{i}}}$   .

Mit (4) jedoch ergibt sich sofort die Behauptung, wenn noch für jeden Index $i\in I$ die folgende Identität (5) gezeigt wird:

(5) $|G^{i}|={\frac {|G|\cdot |{G\cdot c_{i}}\cap {A}|}{|{G\cdot c_{i}}|}}$   .

Schritt 2

Zum Beweis von (5) sei $j$ irgendeiner der Indizes. Der Vereinfachung halber sei $c:=c_{j}$ gesetzt.

Es ist dann

(6) $|G^{j}|=\sum _{a\in A}{|\{g\in G\colon g\cdot c=a\}|}=\sum _{a\in (G\cdot c\;\cap \;A)}{|\{g\in G\colon g\cdot c=a\}|}$   .

Nun lässt sich zu jedem $a\in (G\cdot c\;\cap \;A)$ ein Gruppenelement $h\in G$ als fest vorgegeben annehmen, welches die Gleichung $h\cdot c=a$ erfüllt .

Damit lässt sich beweisen - siehe Schritt 3 unten! - dass die Gleichung

(7) $hG_{c}=\{g\in G\colon g\cdot c=a\}$

besteht.

Und dies reicht aus zum Beweis von (5):

Denn man berücksichtigt erst einmal die Tatsache, dass jede Translation eine Bijektion ist, weswegen man mit (7) zunächst

(8) $|G^{j}|=|G_{c}||G\cdot c\;\cap \;A|$

hat. Dann wird weiter berücksichtigt, dass in die bisherigen Überlegungen keine speziellen Eigenschaften der Teilmenge $A\subseteq S$ eingeflossen sind, dass also (8) für jedes $A\subseteq S$ und dann inbesondere auch für $A=S$ richtig ist. Also folgt sogleich

(9) $|G|=|G_{c}||G\cdot c|$   .

Verknüpft man nun (8) und (9), so hat man (5).

Schritt 3

Zum Nachweis von (7) sind die Inklusion von links nach rechts und umgekehrt die Inklusion von rechts nach links zu zeigen.

Zunächst wird erstere gezeigt. Dazu sei $g^{'}\in G_{c}$.

Es gilt dann

(10) $(hg^{'})\cdot c=h\cdot (g^{'}\cdot c)=h\cdot c=a$

und folglich

(11) $hG_{c}\subseteq \{g\in G\colon g\cdot c=a\}$   .

Zum Nachweis der umgekehrten Inklusion sei $g\in G$ und dafür die Gleichung $g\cdot c=a$ erfüllt.

Dann ist wie stets

(12) $g=h(h^{-1}g)$

und hierbei gilt

(13) $(h^{-1}g)\cdot c=h^{-1}\cdot (g\cdot c)=h^{-1}\cdot a=h^{-1}\cdot (h\cdot c)=(h^{-1}h)\cdot c=e\cdot c=c$ .

Also haben wir

(14) $\{g\in G\colon g\cdot c=a\}\subseteq hG_{c}$   .

(11) und (14) zusammen ergeben (7) .

Korollar

Ist unter den oben beschriebenen Gegebenheiten die Sitution derart, dass jede der Indexmengen   $I_{g}\;(g\in G)$   aus höchstens einem einzigen Index besteht, so gilt insbesondere:

$\sum _{i\in I}{\frac {|{G\cdot c_{i}}\cap {A}|}{|{G\cdot c_{i}}|}}\cdot w_{i}\leq \max _{i\in I}\;{w_{i}}$.

Herleitung der LYM-Ungleichung

Diese verallgemeinerte LYM-Ungleichung umfasst die ursprüngliche Lubell-Yamamoto-Meshalkin-Ungleichung und andere verwandte Ungleichungen.

Um dies im Falle der LYM-Ungleichung einzusehen, betrachte man die oben schon erwähnte endliche Menge   $M$   und es sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen, dass   $M=\{1,\ldots ,n\}$   für   $n\in \mathbb {N}$   gelte.

Man wendet die verallgemeinerte LYM-Ungleichung an für den Fall, dass

$S=2^{M}$

und

$G=\operatorname {Aut} (2^{M})=S_{M}$

und dann noch

$I=\{0,1,\ldots ,n\}$

ist .

Hierbei wird, wie oben dargelegt, die Automorphismengruppe $\operatorname {Aut} (2^{M})$ mit der symmetrischen Gruppe $S_{M}$ identifiziert.

Wie oben erwähnt, hat man als Operation

$S_{M}\times 2^{M}\to 2^{M}$

dabei

$(g,X)\mapsto {g\cdot X}=g(X)\;(g\in S_{M}\;,\;x\subseteq M)$

vorliegen.

Man legt nun für das obige   $A$   eine Antikette der Potenzmenge   $2^{M}$   zugrunde, also ein Mengensystem   ${\mathcal {A}}$   von Teilmengen von $M$, welches so beschaffen ist, dass von diesen Teilmengen keine zwei verschiedene einander umfassen.

Bedeutsam ist nun, dass man stets folgende Kette von Teilmengen innerhalb   $S=2^{M}$   hat:

$C_{0}=\emptyset$

sowie für   $i=1,\ldots ,n$

$C_{i}=\{1,\ldots ,i\}$   .

Damit hat man für   $i=0,\ldots ,n$:

$|S_{M}\cdot C_{i}|=|{M \choose i}|={n \choose i}$

und zudem

$S_{M}\cdot C_{i}\cap {\mathcal {A}}={M \choose i}\cap {\mathcal {A}}=\{X\in {\mathcal {A}}\colon |X|=i\}$   .

Weiter von Bedeutung ist die Klärung der Frage, wie groß für eine Permutation   $g$   das ihr zugehörige   $I_{g}$   sein kann. Dies ist jedoch unmittelbar einsichtig:

Denn da   ${\mathcal {A}}$   Antikette ist, kann es niemals vorkommen, dass für zwei unterschiedliche   $i,j$   - etwa   $i<j$   -   $g(C_{i}),g(C_{j})\in {\mathcal {A}}$   gilt, weil nämlich die Inklusion   $C_{i}\subset C_{j}$   stets die Inklusion   $g(C_{i})\subset g(C_{j})$   nach sich zieht (und umgekehrt).

Das heißt jedoch, dass für   $g\in S_{M}$   durchgängig

$|I_{g}|\leq 1$

gilt!

Bezeichnet man nun noch für   $i=0,\ldots ,n$   mit   ${a_{i}}$   die Anzahl der in   ${\mathcal {A}}$   vorkommenden Mengen, welche aus exakt   $i$   Elementen bestehen, so hat man:

$a_{i}=|S_{M}\cdot C_{i}\cap {\mathcal {A}}|$   .

Legt man dann noch die konstante Zahlenfamilie

$w_{0}=w_{1}=\ldots =w_{n}=1$  

zugrunde, so folgt aus dem Korollar unmittelbar die LYM-Ungleichung.

Quellen und Hintergrundliteratur

• Ian Anderson: Combinatorics of Finite Sets. Clarendon Press, Oxford 1987, ISBN 0-19-853367-5.  MR0892525
• Konrad Engel: Sperner Theory (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 65). Cambridge University Press, Cambridge (u. a.) 1997, ISBN 0-521-45206-6.  MR1429390
• D. Lubell: A short proof of Sperner's lemma. Journal of Combinatorial Theory, Vol. 1, 2 (1966): 299. doi:10.1016/S0021-9800(66)80035-2, MR0194348
• L.D. Meshalkin: Generalization of Sperner's theorem on the number of subsets of a finite set. Theory of Probability and its Applications, Vol. 8, 2 (1963): 203–204. doi:10.1137/1108023, MR0150049
• Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1 (= Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure). Carl Hanser Verlag, München, Wien 1975, ISBN 3-446-11965-5.  [5]
• Hans-Josef Scholz: Über die Kombinatorik der endlichen Potenzmengen im Zusammenhang mit dem Satz von Sperner. Dissertation, Universität Düsseldorf (1987).
• Emanuel Sperner: Ein Satz über Untermengen einer endlichen Menge. Math. Z. 27 (1928): 544–548. MR1544925
• Koichi Yamamoto: Logarithmic order of free distributive lattice. Journal of the Mathematical Society of Japan, Vol. 6 (1954): 343–353. MR0067086.

Einzelnachweise und Fußnoten

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Allgemeiner Charakterisierungssatz zur LYM-Eigenschaft

Einleitung

Die oben dargestellte Verallgemeinerung der LYM-Ungleichung kann verstanden werden als ein Teilschritt hin zu einer allgemeinen Charakterisierung zur LYM-Eigenschaft (engl. LYM property), welche diese in Zusammenhang bringt mit dem Konzept der Operation von Gruppen auf Mengen..

Hierbei betrachtet man eine endliche teilweise geordnete Menge

$P\neq \emptyset$

mit der Ordnungsrelation

$\leq$ .

Dabei sei

${\mathcal {O}}=\{O_{1},\dots ,O_{t}\}\subseteq 2^{P}\;(|{\mathcal {O}}|=t\in \mathbb {N} )$

die Menge der verschiedenen Orbits

$\operatorname {Aut} (P)\cdot x=\{g(x):g\in \operatorname {Aut} (P)\}\;(x\in P)$,

welche durch die Operation

$\operatorname {Aut} (P)\times P\to P\;,\;(g,x)\mapsto g\cdot x=g(x)$

der Automorphismengruppe $\operatorname {Aut} (P)$ auf $P$ entstehen.

Weiter sei

${\mathcal {C}}\subseteq 2^{P}$

die Menge der Ketten innerhalb $P$, also die Menge aller Teilmengen von $P$ mit der Eigenschaft, dass für je zwei darin enthaltene Elemente $x,y$ stets die Relation $x\leq y$ oder die Relation $y\leq x$ erfüllt ist.

Schließlich sei

${\mathcal {A}}\subseteq 2^{P}$

die Menge der Antiketten innerhalb $P$, also die Menge aller Teilmengen von $P$ mit der Eigenschaft, dass für je zwei darin enthaltene Elemente $x,y$ niemals die Relation $x<y$ erfüllt ist.

Formulierung des Charakterisierungssatzes

Unter den oben genannten Voraussetzungen gilt:

(A) Jeder der Orbits $O_{k}\;(k=1,\dots ,t)$ ist eine Antikette von $P$:

${\mathcal {O}}\subseteq {\mathcal {A}}$ .

(B) Die folgenden vier Bedingungen sind gleichwertig:

(B1)

Für $A\in {\mathcal {A}}$ gilt stets

$\sum _{k=1}^{t}{\frac {|A\cap O_{k}|}{|O_{k}|}}\leq 1$.

(B2)

Jeder der Orbits $O_{k}\;(k=1,\dots ,t)$ ist eine maximale Antikette, wird also von keiner anderen Antikette von $P$ echt umfasst.

(B3)

Zu der durch die Orbitmenge ${\mathcal {O}}$ gegebenen Partition

$P=O_{1}{\dot {\cup }}O_{2}{\dot {\cup }}\,\dots {\dot {\cup }}O_{t}$

gibt es ein Repräsentantensystem, welches zugleich eine Kette von $P$ darstellt.

(B4)

Für jede Funktion $w\colon P\rightarrow \mathbb {R} ^{\geq 0}$, bei der sämtliche Restriktionen $w{\upharpoonright }O$ konstante Funktionen sind, gilt

$\max _{A\in {\mathcal {A}}}\;{w[A]}=\max _{i=1,\dots ,t}\;{w[O_{i}]}$.

Beweis des Charakterisierungssatzes

Ad (A)

Die Annahme, es würde für $x\in P$ und $g\in \operatorname {Aut} (P)$

(1) $x<g(x)$

gelten, führt mittels Iteration zu der Ungleichungskette

(2) $x<g(x)<g^{2}(x)<g^{3}(x)<\ldots <g^{n}(x)<g^{n+1}(x)<\ldots \ (\forall n\in \mathbb {N} )$ .

Da $P$ endlich ist, jede solche Kette jedoch unendlich, kann (2) nicht gelten und damit ebenso wenig (1).

Folglich ist jeder $\operatorname {Aut} (P)$-Orbit eine Antikette von $P$ .

Ad (B)

Der Beweis wird in einem Ringschluss geführt.

(B1) → (B2)

Wenn eine Teilmenge $X\subseteq P$ ein $O_{i}$ echt umfasst, so gilt

(3) $X\supseteq {O_{i}\;{\dot {\cup }}\;\{y\}}$

für mindestens ein $y\in O_{j}$ zu einem Index $j\neq i$ .

Also folgt

(4) $\sum _{k=1}^{t}{\frac {|X\cap O_{k}|}{|O_{k}|}}\geq {\frac {|O_{i}|}{|O_{i}|}}+{\frac {1}{|O_{j}|}}\geq 1+{\frac {1}{|O_{j}|}}>1$.

Durch (4) ist die Ungleichung von (B1) verletzt, weswegen im Falle der Gültigkeit von (B1) keine solches $X\subseteq P$ noch Antikette von $P$ sein kann.

(B2) → (B3)

Schritt 1

Man definiert zunächst eine Hilfsfunktion $\Gamma$, die sich infolge der Tatsache ergibt, dass beliebiges $x\in P$ stets mindestens ein $C\in {\mathcal {C}}$ - nämlich $C=\{x\}$ - existiert, so dass

(4) $x\in C\;,\;\max(C)=x$

erfüllt ist.

Also ist vermöge

(5) $\Gamma \colon P\to \mathbb {N} \;;\;x\mapsto \Gamma (x):=\max {\bigl (}\{|C|\colon C\in {\mathcal {C}}\;,\;x\in C\;,\;\max(C)=x\}{\bigr )}\;(x\in P)$

eine sinnvoll erklärte Funktion gegeben.

Nun ist die Bildmenge $\Gamma (P)$ eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen und daher kann man ihre Mächtigkeit abschätzen wie folgt:

(6) $|\Gamma (P)|\leq \max(\Gamma (P))$.

Gemäß (5) ergibt sich aus (6) sofort

(7) $|\Gamma (P)|\leq \max(\{|C|\colon C\in {\mathcal {C}}\})$ .

An dieser Stelle wird einbezogen, dass eine Kette und eine Antikette von $P$ stets allerhöchstens ein einziges gemeinsames Element haben, weswegen vermöge (A) für $C\in {\mathcal {C}}$ stets die Abschätzung

(8) Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („/media/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination“): {\displaystyle |C\cap O_{k}|\leq 1\;(k=1,\dots ,t)}

gilt.

Da andererseits die Orbits eine Partition von $P$ bilden, zieht (8) durchgängig die wichtige Beziehung

(9) $|C|=\sum _{k=1}^{t}{|C\cap O_{k}|}\leq t\;(C\in {\mathcal {C}})$

nach sich.

Verbindet man (7) und (9), so hat man die Ungleichungskette

(10) $|\Gamma (P)|\leq \max(\{|C|\colon C\in {\mathcal {C}}\})\leq t$ .

Schritt 2

Es genügt zum Schluss auf (B3) zu zeigen, dass bei Voraussetzung von (B2) stets die Identität

(11) $|\Gamma (P)|=t$

besteht.

Denn aus (11) ergibt sich dann in Verbindung mit (10) sofort

(12) $\max _{C\in {\mathcal {C}}}{|C|}=t$.

Da nun $P$ endlich, zieht (12) in Verbindung mit (9) nach sich, dass ein $C\in {\mathcal {C}}$ existiert, für das in (8) stets das Gleichheitszeichen gilt.

Das aber heißt:

Es gibt in $P$ eine Kette, welche zugleich ein Repräsentantensystem für die Orbitmenge ${\mathcal {O}}$ darstellt.

Schritt 3

Es bleibt also der Nachweis von (11):

Dazu sei

(13) $n\in \Gamma (P)$ und $P_{n}=\{x\in P\colon \Gamma (x)=n\}$ .

$P_{n}$ ist offenbar eine Antikette von $P$ und zudem nicht die leere Menge. Man wählt nun irgendein Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle x_0 \in P_n} .

Jetzt wird bedeutsam, dass jedes $g\in \operatorname {Aut} (P)$ und ebenso die zugehörige Inverse $g^{-1}$ die Ordnungsstruktur von $P$ streng erhalten. Also entsprechen unter $g$ diejenigen Ketten, in denen $x_{0}$ das Maximum ist, exakt denjenigen Ketten, in denen $g(x_{0})$ das Maximum ist.

Daher gilt:

(14) $\Gamma (g(x_{0}))=\Gamma (x_{0})=n\;(g\in \operatorname {Aut} (P))$ .

Aus (14) folgt jedoch unmittelbar, dass der Orbit, dem $x_{0}$ angehört, etwa $O_{k_{0}}$, ganz in $P_{n}$ enthalten ist:

(15) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle O_{k_0} \subseteq P_n} .

Da jedoch die Bedingung (B2) vorausgesetzt ist, kann in (15) nur das Gleichheitszeichen gelten und man hat

(16) $O_{k_{0}}=P_{n}$ .

Völlig gleichartige Überlegungen lassen sich aber für jedes $n\in \Gamma (P)$ anstellen und deswegen gilt insgesamt

(17) $\{P_{n}\colon n\in \Gamma (P)\}\subseteq {\mathcal {O}}$ .

Nun ist auch $\{P_{n}\colon n\in \Gamma (P)\}$ eine Partition von $P$ . Da nun zwei Partitionen einer Menge einander niemals echt umfassen, verschärft sich (17) zu der Identität

(18) $\{P_{n}\colon n\in \Gamma (P)\}={\mathcal {O}}$

und mit (18) gilt dann auch die Identität

(19) $|\{P_{n}\colon n\in \Gamma (P)\}|=|{\mathcal {O}}|$ .

Die Identität (19) ist jedoch gleichwertig mit der Identität (11) und diese war zu zeigen.

(B3) → (B4)

Es sei $w\colon P\rightarrow \mathbb {R} ^{\geq 0}$ eine Funktion, bei der sämtliche Restriktionen $w{\upharpoonright }O$ konstante Funktionen sind. Für diese ist zum Nachweis der Identität (B4) zu zeigen ist, dass dort sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links die entsprechende Ungleichung mit $\leq$ besteht.

Nun ist gemäß (A) die Ungleichung von rechts nach links ohnehin selbstverständlich. Folglich bleibt zum Nachweis von (B4) allein die Ungleichung von links nach rechts zu zeigen.

Dies geschieht unter Anwendung des Korollars zur verallgemeinerten LYM-Ungleichung.

Dazu seien $A$ irgendeine Antikette von $P$, also $A\in {\mathcal {A}}$ , und weiter $I=\{1,\dots ,t\}$ .

Es ist dann

(20) $\max _{k=1,\dots ,t}\;{w[O_{k}]}=\max _{i\in I}\;{w[O_{i}]}$

und folglich ist die Ungleichung

(21) $w[A]\leq \max _{i\in I}\;{w[O_{i}]}$

herzuleiten.

Dazu wird zunächst einbezogen, dass gemäß Voraussetzung in $P$ eine Kette

(22) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle C = \{ c_1, \dots, c_t \} \; \text{mit} \{ c_i \} = C \cap O_i \; (i \in I)}

enthalten ist.

Es ist damit für $i\in I$ stets

(23) $O_{i}=\operatorname {Aut} (P)\cdot c_{i}$

gültig und daher für jedes $x\in O_{i}$ aufgrund der Beschaffenheit von $w$ wegen (22) durchgängig

(24) $w(x)=w(c_{i})={\frac {w[O_{i}]}{|\operatorname {Aut} (P)\cdot c_{i}|}}$.

Wegen der Partitionseigenschaften von ${\mathcal {O}}$ folgt nun aus (24) sogleich

(25) ${\begin{aligned}w[A]&=w[O_{1}\cap A]+\cdots +w[O_{t}\cap A]\\&=\sum _{i\in I}\;{|{\operatorname {Aut} (P)\cdot c_{i}}\cap A|\cdot w(c_{i})}\\&=\sum _{i\in I}\;{{\frac {|{\operatorname {Aut} (P)\cdot c_{i}}\cap A|}{|\operatorname {Aut} (P)\cdot c_{i}|}}\cdot w[O_{i}]}\\\end{aligned}}$ .

Da jedoch für jeden Automorphismus $g\in \operatorname {Aut} (P)$ mit $C$ auch stets $g(C)$ eine Kette von $P$ ist, gilt infolge der Antiketteneigenschaft von $A$ stets

(26) $|g(C)\cap A|\leq 1$

und damit kann es immer nur höchstens einen Index $i\in I$ geben mit $g(c_{i})\in A$.

Somit folgt schließlich aus (25) und (26) durch Anwendung des Korollars zur verallgemeinerten LYM-Ungleichung die Ungleichung (21) und damit (B4).

Normale geordnete Mengen

Der Ausgangspunkt sind hier die beiden Spernerschen Ungleichungen, welche Emanuel Sperner selbst in seinem 1928-er Artikel als wesentliche Argumentationshilfe benutzt. Von ihnen lässt sich zeigen, dass sie logisch äquivalent zur LYM-Ungleichung sind.

Setzt man dies in den weiteren Rahmen der Ordnungstheorie, so gelangt man zu den normalen geordneten Mengen (engl. normal posets). Charakteristische Eigenschaft der normalen geordneten Mengen ist die (in der englischsprachigen Literatur) sogenannte normalized matching property , welche als Übertragung der beiden Spernerschen Ungleichungen in den Rahmen der endlichen geordneten Mengen mit Rangfunktion (englisch rank function) zu betrachten ist. Es lässt sich zeigen, dass beide Ungleichungen in diesem Rahmen mit der LYM-Ungleichung gleichwertig ist. In der englischsprachigen Literatur spricht man hier - in einem etwas anderen Sinne als oben! - dann auch von der LYM-Eigenschaft (engl. LYM property). Einen umfassenden Überblick über diesen Zweig der Spernertheorie geben die beiden Monographien von Anderson und von Engel sowie die beiden Übersichtsartikel von Greene / Kleitman und von West .

Quellen

Artikel und Originalarbeiten

• R. Ahlswede ; Z. Zhang: An identity in combinatorial extremal theory. In: Advances in Mathematics. Band 80, 1990, S. 137–151. MR1046687

• R. Ahlswede ; N. Cai: A generalization of the AZ identity. In: Combinatorica. Band 13, 1993, S. 241–247.  MR1238819

• Douglas B. West: Extremal problems in partially ordered sets in : Ivan Rival (ed.): Ordered Sets. Proceedings of the NATO advanced study institute held at Banff, Canada, August 28 to September 12, 1981. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht [u.a.] 1982, ISBN 90-277-1396-0, S. 473–521.  MR0661304

• Béla Bollobás: On generalized graphs. Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, Vol. 16, 3–4, (1965): 447–452. doi:10.1007/BF01904851, MR0183653

• Curtis Greene and Daniel J. Kleitman: Proof techniques in the theory of finite sets in : G. C. Rota (ed.): Studies in Combinatorics. Mathematical Association of America, Washington, DC 1978, ISBN 0-88385-117-2, S. 23–79.  MR0513002

• D. J. Kleitman: On an extremal property of antichains in partial orders. The LYM property and some of its implications and applications in : M. Hall and J. H. van Lint (eds.): Combinatorics (Math. Centre Tracts 55). Amsterdam 1974, S. 77–90.  MR0360379

• D. Lubell: A short proof of Sperner's lemma. Journal of Combinatorial Theory, Vol. 1, 2 (1966): 299. doi:10.1016/S0021-9800(66)80035-2, MR0194348

• L.D. Meshalkin: Generalization of Sperner's theorem on the number of subsets of a finite set. Theory of Probability and its Applications, Vol. 8, 2 (1963): 203–204. doi:10.1137/1108023, MR0150049

• Hans-Josef Scholz: Über die Kombinatorik der endlichen Potenzmengen im Zusammenhang mit dem Satz von Sperner. Dissertation, Universität Düsseldorf (1987).

• Emanuel Sperner: Ein Satz über Untermengen einer endlichen Menge. Math. Z. 27 (1928): 544–548. MR1544925

• Koichi Yamamoto: Logarithmic order of free distributive lattice. Journal of the Mathematical Society of Japan, Vol. 6 (1954): 343–353. MR0067086.

Monographien

• Martin Aigner: Kombinatorik II: Matroide und Transversaltheorie (= Hochschultext). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1976, ISBN 3-540-07949-1.  MR0460127

• Martin Aigner: Combinatorial Theory (= Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 234). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1979, ISBN 3-540-90376-3.  MR0542445

• Martin Aigner: Diskrete Mathematik (= Dokumente zur Geschichte der Mathematik. Band 6). 6. Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0084-8.  MR1085963

• Ian Anderson: Combinatorics of Finite Sets. Clarendon Press, Oxford 1987, ISBN 0-19-853367-5.  MR0892525

• Konrad Engel: Sperner Theory (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 65). Cambridge University Press, Cambridge (u. a.) 1997, ISBN 0-521-45206-6.  MR1429390

• Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York, NY 2005, ISBN 0-387-24219-8.  MR2127991

• Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan: Combinatorics: The Rota Way. Cambridge University Press, Cambridge (u. a) 2009, ISBN 978-0-521-73794-4.  MR2483561

• Stasys Jukna: Extremal Combinatorics (= Texts in Theoretical Computer Science). Springer Verlag, Heidelberg (u. a.) 2011, ISBN 978-3-642-17363-9.  MR2865719

Weblinks

• Lectures on extremal set systems and two-colorings of hypergraphs (PDF; 237 kB) von Gy. Károlyi.
• Kombinatorische Methoden in der Informatik. (PDF; 1,4 MB) Skript einer Vorlesung von Prof. Dr. Peter Hauck, Uni Tübingen, SS 2008.
• Artikel von Rudolf Ahlswede und Ning Cai zur AZ-Identität
• Artikel von T. D. Thu zur AZ-Identität

Außenwinkelsatz (Ursprüngliche Version von mir)

Der Außenwinkelsatz (englisch Exterior Angle Theorem) ist ein Lehrsatz der Geometrie. Sein Beweis beruht nicht auf dem Parallelenaxiom und er gehört damit zu den Sätzen der absoluten Elementargeometrie. Er wird in der modernen mathematischen Literatur auch als schwacher Außenwinkelsatz oder als der erste Satz vom Außenwinkel genannt, um ihn von seinen Verschärfungen zu unterscheiden, die sich innerhalb der euklidischen Geometrie und nichteuklidischen Geometrie ergeben.

In David Hilberts Grundlagen der Geometrie tritt der Satz als Satz vom Außenwinkel auf. Laut Hilbert ist er ein „fundamentaler Satz, der schon bei Euklid eine wichtige Rolle spielt und aus dem eine Reihe wichtiger Tatsachen folgt“.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:

Jeder Außenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist stets strikt größer als jeder der beiden nichtanliegenden Innenwinkel und jeder Innenwinkel stets strikt kleiner als jeder der beiden nichtanliegenden Außenwinkel.

Erläuterungen

Innenwinkel (α,β,γ) und Außenwinkel (δ,ε,ζ) eines Dreiecks in der euklidischen Ebene

1. Sowohl Innenwinkel als auch Außenwinkel eines Dreiecks sind umkehrbar eindeutig den Eckpunkten des Dreiecks zugeordnet. Hierbei ist ein Außenwinkel eines Dreiecks dadurch charakterisiert, dass sein Scheitelpunkt gerade der zugehörige Eckpunkt ist und dass er mit dem zugehörigen Innenwinkel ein Paar von Nebenwinkeln bildet. Diesen zugehörigen Innenwinkel nennt man den anliegenden Innenwinkel, während man die beiden anderen Innenwinkel als nichtanliegende Innenwinkel bezeichnet. Dementsprechend bezeichnet man für einen Innenwinkel jeden der beiden Außenwinkel, die den beiden nicht zugehörigen Eckpunkten zugeordnet sind, als nichtanliegende Außenwinkel.
2. Die Außenwinkeleigenschaft bedeutet, dass der Außenwinkel zusammen mit dem anliegenden Innenwinkel einen gestreckten Winkel bildet. Dabei haben der Außenwinkel und der anliegende Innenwinkel genau einen Schenkel gemeinsam, während die beiden nicht gemeinsamen Schenkel auf einer Geraden liegen.
3. Beim Außenwinkelsatz spielt der Größenvergleich zweier Winkel eine wesentliche Rolle. Gemäß Hilbert gilt grundsätzlich, dass je zwei Winkel entweder gleich, also kongruent, sind oder ungleich, wobei letzterenfalls von beiden einer strikt kleiner ist als der andere, welcher dann der strikt größere ist, oder umgekehrt. Dabei wird von gestreckten Winkeln und überstumpfen Winkeln abgesehen. Man erreicht unter diesen Rahmenbedingungen den Größenvergleich zweier Winkel mittels Antragen, wobei der eine Winkel an einen Schenkel des anderen im Scheitelpunkt angetragen wird in der Weise, dass sich das Innere des angetragenen Winkels mit dem Inneren des anderen in dem gemeinsamen Schenkel und noch weiteren Punkte überschneidet. Die Entscheidung hinsichtlich der Größenfrage richtet sich dann danach, ob der freie Schenkel des angetragenen Winkels ganz im Inneren des anderen Winkels liegt oder nicht. Der angetragene Winkel ist im ersten Falle der kleinere, im gegenteiligen Falle der größere. Lassen sich auf diesem Wege die Inneren beider Winkel sogar zur Deckung bringen, sind beide Winkel gleich; anderenfalls sind sie ungleich.

Folgerungen

Der Außenwinkelsatz – selbst in seiner schwachen Form – zieht eine Reihe von Folgerungen nach sich, von denen die Folgenden oft genannt werden:

1. In jedem Dreieck liegt der größeren Seite stets der größere Winkel gegenüber und umgekehrt dem größeren Winkel stets die größere Seite.
2. In jedem Dreieck ist die Summe der Längen zweier Seiten strikt größer als die Länge der dritten Seite. (Dreiecksungleichung)
3. Mindestens zwei der drei Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks sind spitze Winkel.
4. Die Winkelsumme zweier Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist stets kleiner als ein gestreckter Winkel.

Verschärfungen des Außenwinkelsatzes

Bei Zugrundelegung eines Parallelenaxioms lassen sich über die Größenbeziehungen zwischen Außen- und Innenwinkeln erheblich schärfere Aussagen machen.

Verschärfter Außenwinkelsatz in der euklidischen Geometrie

Jeder Außenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist so groß wie die Winkelsumme der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

Dieser Satz der euklidischen Geometrie wird auch als starker Außenwinkelsatz oder als der zweite Satz vom Außenwinkel oder auch allein als der Außenwinkelsatz bezeichnet.

Aus ihm ergibt sich, wenn man die übliche Winkelmessung in Grad zugrundelegt und zugleich für jeden Eckpunkt als Außenwinkel immer nur einen der beiden Nebenwinkel des zugehörigen Innenwinkels berücksichtigt, unmittelbar eine weitere Folgerung:

Die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks beträgt $360^{\circ }$.

Diese Folgerung lässt sich noch verallgemeinern. Denn in der euklidischen Ebene hat die entsprechende Aussage darüber hinaus sogar Gültigkeit für alle konvexen Vielecke - unabhängig von der Anzahl der Eckpunkte:

In der euklidischen Ebene beträgt die Summe der Außenwinkel eines konvexen Vielecks beliebiger Eckenzahl stets $360^{\circ }$.

Letzteres Resultat wird manchmal ebenfalls als Außenwinkelsatz bezeichnet.

Verschärfter Außenwinkelsatz in der hyperbolischen Geometrie

Jeder Außenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist strikt größer als die Winkelsumme der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

Dieser verschärfte Außenwinkelsatz wird auch Außenwinkelsatz der Lobatschewski-Geometrie genannt, da er auf dem Lobatschewskischen Parallelenaxiom beruht, welches der hyperbolischen Geometrie zugrundeliegt.

Anmerkung zur Abgrenzung

In der elliptischen Geometrie gibt es keinen dem Außenwinkelsatz entsprechenden Satz. Allerdings lassen sich in der Kugelgeometrie für eulersche Kugeldreiecke manche der oben dargestellten Folgerungen ziehen wie etwa die oben angegebene Dreiecksungleichung.

Siehe auch

• Außenwinkel
• Innenwinkel
• Winkel
• Dreieck
• Geometrien
• Elementargeometrie
• Absolute Geometrie
• Euklidische Geometrie
• Nichteuklidische Geometrie
• Schulmathematik

Weblink

1. Webpublikation „Euklidische und nichteuklidische Geometrie“ von Prof. Dr. Andreas Filler, HU Berlin
2. Auszug aus einem Skript von Dr. Michael Gieding, PH Heidelberg

Literatur

• Faber, Richard L.: Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry. (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Band 73). Marcel Dekker, New York - Basel 1983, ISBN 0-8247-1748-1.  MR0690242
• Andreas Filler: Euklidische und nichteuklidische Geometrie (= Mathematische Texte. Band 7). BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1993, ISBN 3-411-16371-2.  MR1270445
• Gerhard Hessenberg - Justus Diller: Grundlagen der Geometrie. 2. Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1967. 
• David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. Mit Supplementen von Dr. Paul Bernays (= Teubner-Studienbücher: Mathematik). 11. Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1972, ISBN 3-519-12020-8.  MR0474006
• Marvin Jay Greenberg: Euclidean and Non-Euclidean Geometries. Development and History. 3. Auflage. W. H. Freeman and Company, San Francisco, California 1993, ISBN 0-7167-2446-4.  MR1261866
• Hanfried Lenz: Nichteuklidische Geometrie (= BI-Hochschultaschenbücher. 123/123a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1967.  MR0213978
• Arno Mitschka: Axiomatik in der Geometrie (= Studienbücher Mathematik. Band 7). Herder Verlag, Freiburg (u. a.) 1977, ISBN 3-451-16898-7.  MR1270445
• Fritz Reinhardt - Heinrich Soeder (Hrsg.): dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte. Band I: Grundlagen, Algebra und Geometrie. 8. Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1990, ISBN 3-423-03007-0. 
• Hermann Athen - Jörn Bruhn [Hrsg.]: Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 1 - A bis E. Aulis Verlag, Köln 1976, ISBN 3-7614-0242-2. 

Zum Vollständigkeitsaxiom bzw. zum Supremumsaxiom bzw. zum Intervallschachtelungsaxiom gleichwertige Axiome (wurde mal unter Reelle Zahl gelöscht)

Anstelle der drei genannten Axiome kann man auch verschiedene andere Axiome setzen und Olmsted: S. 194–195. </ref>:

• das Intervallschachtelungsaxiom (zweite Version):

  Jede Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$ besitzt einen Kern.

• das Infimumsaxiom:

  Jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge von $\mathbb {R}$ besitzt ein Infimum.

• das Heine-Borel-Axiom:

  Wird ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall von $\mathbb {R}$ durch beliebige viele offene Mengen von $\mathbb {R}$ überdeckt, so gibt es unter diesen offenen Mengen stets endlich viele, welche das Intervall überdecken.

• das Bolzano-Weierstraß-Axiom:

  Jede unendliche, beschränkte Teilmenge von $\mathbb {R}$ besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

• das Monotonieaxiom:

  Jede monotone, beschränkte Folge in $\mathbb {R}$ konvergiert.

• das Zusammenhangsaxiom:

  Die reellen Zahlen bilden in der üblichen Topologie einen zusammenhängenden topologischen Raum.

• das Zwischenwertaxiom:

  Eine auf einem Intervall von $\mathbb {R}$ definierte stetige reelle Funktion nimmt in ihrem Wertebereich stets jeden Zwischenwert an.

• das Beschränktheitsaxiom:

  Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall von $\mathbb {R}$ definierte stetige reelle Funktion hat stets einen nach oben beschränkten Wertebereich.

• das Maximumsaxiom:

  Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall von $\mathbb {R}$ definierte stetige reelle Funktion besitzt stets eine Maximumsstelle.

Durch die so gewonnenen äquivalenten Axiomensysteme ist der Körper der reellen Zahlen jeweils (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt, denn je zwei vollständige angeordnete Körper sind isomorph .

Quellen

• John M. H. Olmsted: The Real Number System. Appleton-Century-Crofts, New York 1962. 
• Der kleine Duden "Mathematik". 2. Auflage. Dudenverlag, Mannheim [u. a.] 1996, ISBN 3-411-05352-6. 

Einzelnachweise und Fußnoten

K references />

KK Kategorie:Geometrie]] KK Kategorie:Satz (Mathematik)|Außenwinkelsatz]]

Hilfen

1. 
   (Leerzeile)
2. $x$
3. → Hauptartikel: XXXX
4. englisch illuminance
5. \begin{align} X & = ...\\ & = ... \end{align}

Einzelnachweise

<references>