Verbindungsgerade

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In der Mathematik ist der Begriff der Verbindungsgeraden der Geometrie zuzuordnen. Von einer solchen spricht man, wenn innerhalb eines Inzidenzraums $(P,G,I)$ zu zwei gegebenen nicht identischen Punkten eine eindeutig bestimmte Gerade existiert, welche mit beiden in der betreffenden Inzidenzrelation steht.

Es gelten also in dieser Situation für diese zwei unterschiedlichen Punkte $p_{1},p_{2}\in P$ und diese Gerade $g\in G$ die folgenden beiden Bedingungen:

• (V1) $p_{1}Ig\land p_{2}Ig$
• (V2) $|\{h\in G\colon p_{1}Ih\land p_{2}Ih\}|=1$

Werden von den beiden Punkten und der Geraden die Bedingungen (V1) und (V2) erfüllt, so schreibt man oft $g={p_{1}\vee p_{2}}$ oder auch $g={p_{1}p_{2}}$.

In dem hierzu üblichen Sprachgebrauch sagt man dann auch:

1. $g$ verbindet die Punkte $p_{1}$ und $p_{2}$.
2. Die Punkte $p_{1}$ und $p_{2}$ liegen auf $g$.
3. $g$ geht durch die Punkte $p_{1}$ und $p_{2}$.
4. Die Punkte $p_{1}$ und $p_{2}$ inzidieren mit $g$.
5. $g$ inzidiert mit den Punkten $p_{1}$ und $p_{2}$.
6. o. ä.

In den für die Geometrie besonders wichtigen Inzidenzräumen, also insbesondere in den euklidischen Räumen und genauso in allen affinen Räumen und ebenso in allen projektiven Räumen gilt in Bezug auf Punkte und Verbindungsgeraden durchgängig das grundlegende Verbindungsaxiom (V):

• (V) Zu je zwei verschiedenen Punkten existiert stets die Verbindungsgerade, also eine Gerade derart, dass (V1) und (V2) erfüllt sind.

Quellen

• David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. Mit Supplementen von Dr. Paul Bernays (= Teubner-Studienbücher : Mathematik). 11. Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1972, ISBN 3-519-12020-8, S. 3 ff.  MR1109913
• Helmut Karzel, Kay Sörensen, Dirk Windelberg: Einführung in die Geometrie (= Uni-Taschenbücher. Band 184). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1973, ISBN 3-525-03406-7, S. 11 ff. 
• Eberhard M. Schröder: Vorlesungen über Geometrie. 2. Affine und projektive Geometrie. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, Wien, Zürich 1991, ISBN 3-411-15301-6, S. 2 ff.  MR1166803