Gewöhnliche Differentialgleichung

Eine gewöhnliche Differentialgleichung (oft abgekürzt mit ODE, englisch ordinary differential equation) ist eine Differentialgleichung (DGL), die Ableitungen nach genau einer reellen Variablen enthält und somit durch Funktionen gelöst werden kann, die ebenfalls von genau einer Variablen abhängen.

Geschichte und Motivation

Differentialgleichungen werden oft benötigt, um Vorgänge in der Natur zu beschreiben, bei denen sich Größen in Abhängigkeit von sich selbst verändern.

Die historisch ersten Differentialgleichungen waren die der gleichmäßigen und ungleichmäßig beschleunigten Bewegung. Im Jahr 1590 erkannte Galileo Galilei den Zusammenhang zwischen der Fallzeit eines Körpers und ihrer Fallgeschwindigkeit, sowie dem Fallweg, und formulierte mit noch geometrischen Mitteln das Gesetz des freien Falles.

Als Isaac Newton auch Bewegungen unter zum Betrag oder Quadrat der Geschwindigkeit proportionaler Reibung betrachtete, war er genötigt, den Differentialkalkül und den heute geläufigen Formalismus der Differentialgleichungen einzuführen.

Durch die exakte Formulierung des Grenzwertbegriffes, der Ableitung und des Integrals stellte schließlich Augustin Louis Cauchy im 19. Jahrhundert die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen auf ein festes Fundament und machte sie somit vielen Wissenschaften zugänglich.

Viele durch Differentialgleichungen beschriebene Modelle beruhen auf Beobachtungen und Experimenten:

Das Zerfallsgesetz der Physik etwa besagt, dass die Anzahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Atome einer Menge instabiler Atome von der gesamten Anzahl N der vorhandenen Atome abhängt. Insofern ist die Abnahme der Anzahl der Atome proportional zur Anzahl aller Atome:

${\dot {N}}\sim N\!$

Ein weiteres Beispiel ist die Räuber-Beute-Beziehung der Ökologie. Diese beschreibt nach dem Volterra-Gesetz die zeitliche Veränderung der Räuberpopulation $r$ und der Beutepopulation $b$ bei konstanten natürlichen Geburtenraten $Z$ und Sterberaten $M$:

${\dot {r}}=Z_{r}rb-M_{r}b\!$, und ${\dot {b}}=Z_{b}b-M_{b}rb\!$

Allgemeine Definition

Eine algebraische Gleichung, welche Ableitungen nach einer einzelnen reellen Variablen enthält, wird als gewöhnliche Differentialgleichung (DGL) bezeichnet. Ihre Ordnung n ist durch die Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung gegeben.

Es seien $\Omega \subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {C} ^{n+1}$ mit $n\in \mathbb {N}$ und $f:\Omega \rightarrow \mathbb {C}$, dann heißt:

$f(x,\,y(x),\,y'(x),\,y''(x),\dots ,\,y^{(n)}(x))=0\!$ bzw. $f(x,\,y,\,y',\,y'',\dots ,\,y^{(n)})=0\!$

eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung.

Ihre Lösungen sind n-mal differenzierbare Funktionen, die von einer Variablen abhängen und die DGL auf einem zu bestimmenden Intervall I erfüllen.

Kann die Differentialgleichung nach der höchsten vorkommenden Ableitung aufgelöst werden und hat somit die Form:

$y^{(n)}=f(x,\,y,\,y',\,y'',\dots ,\,y^{(n-1)})\!$

so heißt sie explizit, andernfalls implizit

siehe: Satz von der impliziten Funktion

Klassifikation und Lösung

Die Lösung einer Differentialgleichung ist immer eine Funktion (oder im Falle eines Systems von Differentialgleichungen mehrere Funktionen). Es ist jedoch nicht jede Differentialgleichung lösbar, es gibt allerdings einige Kriterien, anhand derer man Lösbarkeit erkennen kann. Ferner reicht die Differentialgleichung allein im Allgemeinen nicht aus, um die Funktion eindeutig zu bestimmen. Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung hat im Allgemeinen n freie Parameter. Die allgemeine Lösung einer partiellen Differentialgleichung von n Unbekannten enthält im Allgemeinen eine frei wählbare (aber hinreichend oft differenzierbare) Funktion von n-1 Variablen, die selbst Funktionen der n Unbekannten sind (diese Funktionen sind aber natürlich nicht frei wählbar sondern werden durch die Lösung bestimmt).

Beispielsweise werden alle schwingenden Pendel durch eine Differentialgleichung beschrieben, und der generelle Bewegungsablauf folgt immer dem gleichen Prinzip. Der konkrete Bewegungsablauf ist jedoch durch die Rand- oder Anfangsbedingung(en) (wann wurde das Pendel angestoßen, und wie weit) bestimmt. Die Lösbarkeit von Anfangswertproblemen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung wird durch den Satz von Picard-Lindelöf beschrieben. Nur wenige Typen von Differentialgleichungen lassen sich analytisch lösen. Insbesondere partielle Differentialgleichungen können oft nur mit numerischen Methoden approximiert werden.

Die Menge aller Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung bildet ein dynamisches System, auch Fluss der Differentialgleichung genannt.

Ordnungsreduktion

Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung lassen sich immer auf ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen:

Sei eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung gegeben. Dann werden folgende Hilfsfunktionen eingeführt:

$y'_{1}\!$	$=y_{2}\!$
$y'_{2}\!$	$=y_{3}\!$
$\dots$
$y'_{n-1}\!$	$=y_{n}\!$
$y'_{n}\!$	$=f(x,y_{1},y_{2},\dots \,y_{n})\!$

Wir erhalten dadurch ein System von n gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung. Umgekehrt kann man auch aus manchen (aber nicht allen) Differentialgleichungssystemen eine einzige Differentialgleichung höherer Ordnung ableiten.

Lineare Differentialgleichungen

Die Theorie der linearen Differentialgleichungen ist ein wichtiger Teilbereich der gewöhnlichen Differentialgleichungen und umfasst viele Standardmethoden zur Lösung solcher.

Eine lineare Differentialgleichung ist linear in der unbekannten Funktion und ihren Ableitungen. Die allgemeine Form für eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung ist:

$\sum _{i=0}^{n}p_{i}(x)y^{(i)}(x)=q(x)\!$

Hierbei sind $p_{i}(x)$ und $q(x)$ bekannte Funktionen, $y(x)$ wird gesucht, $y^{(i)}(x)$ ist die i-te Ableitung von y nach x. Man unterscheidet lineare Differentialgleichungen mit variablen oder konstanten (von x unabhängigen) Koeffizienten $p_{i}(x)$ bzw. $c_{i}$ und hat in jedem dieser beiden Fälle homogene (mit $q=0$) und inhomogene (mit $q\neq 0$) Problemstellungen.

Bemerkung (Matrixschreibweise):

Aufgrund ihrer Linearität bietet sich mittels der Ordnungreduktion eine Matrixschreibweise $y'=Fy+f$ bzw. im homogenen Fall $y'=Fy$ an.

Dabei ist:

$F=-{1 \over p_{n}}{\begin{pmatrix}0&-p_{n}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&-p_{n}\\p_{0}&\cdots &\cdots &p_{n-1}\end{pmatrix}}$, $y={\begin{pmatrix}y\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{pmatrix}}$ und $f={1 \over p_{n}}{\begin{pmatrix}0\\\vdots \\q\end{pmatrix}}$

Lineare homogene Differentialgleichungen

Für Lösungen y homogener linearer Differentialgleichungen gilt das Superpositionsprinzip, was heißt, dass eine Linearkombination mehrerer Lösungen wieder eine Lösung ist. Die allgemeine Lösung einer linearen homogenen DGL n-ter Ordnung besitzt auf einem Intervall I genau n linear unabhängige Lösungen. Diese Lösungen bilden ein Fundamentalsystem der Differentialgleichunge.

$y=c_{1}y_{1}+...+c_{n}y_{n}\!$ mit c₁, ..., c_n ∈ R

Grundsätzlich gibt es kein allgemeines Verfahren zur Bestimmung des Fundamentalsystems. Zum Auffinden der Lösungen ist es notwendig, spezielle Lösungsverfahren zu verwenden. Diese können die Differentialgleichunge durch das Reduktionsverfahren von d'Alembert auf eine solche niedrigerer Ordnung zurückführen.

Jedoch können allgemeine Aussagen über die Struktur des Lösungsraumes einer linearen homogenen Differentialgleichunge n-ter Ordnung gemacht werden. Das Fundamentalsystem umfasst genau dann alle Lösungen, wenn die Variationen von x des zugehörigen Anfangswertproblems (AWP) das ganze Intervall I abdecken.

Anfangswertproblem:

$y(x_{0})=y_{0},\;y'(x_{0})=y'_{0},\;...,\;y^{(n-1)}(x_{0})=y_{0}^{(n-1)}\!$

Durch Einsetzen der Linearkombination der Lösungen in das AWP kann ein Gleichungssytem mit n Gleichungen in n Unbekannten gebildet werden. Eine Matrix, welche die n Lösungen als Spalten und deren n-1 Ableitungen als Zeilen enthält heißt Wronski-Matrix. Bekanntlich gilt nach einem Satz aus der linearen Algebra, dass die Lösbarkeit des Gleichungssytems genau dann gewährleistet ist, wenn die Determinante der Matrix (Wronski-Determinante) einen Wert ungleich 0 hat. Die Matrix heißt dann eine Fundamentalmatrix der DGL.

Wronski-Determinante und Wronski-Matrix:

$\mathrm {w} (y_{1},...,y_{n})=\det({\mathcal {W}})\!$ mit ${\mathcal {W}}=\left(y_{i}^{(j)}\right)_{ji}\!$ für i ∈ {1, ..., n} und j ∈ {0, ..., n-1)

Lineare inhomogene Differentialgleichungen

Bei inhomogenen Differentialgleichungen löst man zuerst die zugehörige homogene Differentialgleichung und erhält als allgemeine Lösung die Linearkombination mit einer beliebigen speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung:

$y=y_{h}+y_{p}\!$

Dabei ist:

• y_h die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung, woraus folgt y_h = 0.
• y_p eine beliebige Lösung der inhomogenen Gleichung

Somit ist die Struktur des Lösungsraumes gegeben, denn wie wir bereits wissen besitzt der Lösungsraum einer homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung genau n Dimensionen und erfährt nun eine Translation durch die partikuläre Lösung.

Eine spezielle Lösung erhalten wir durch die Methode der Variation der Konstanten oder wenn es möglich ist durch spezielle Lösungsmethoden.

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Im Gegensatz zu den vorhergehend beschriebenen allgemeinen linearen DGLn ist es bei solchen mit konstanten Koeffizienten möglich ein Fundamentalsystem der homogenen DGL aufgrund eines expliziten Lösungsverfahrens zu ermitteln. Bei einer inhomogenen DGL mit konstanten Koeffizienten führt die Methode der Variation der Konstanten oder später beschriebene spezielle Ansätze über Reihen schließlich wieder zu einer partikulären, und somit durch ihre Linearkombination mit der homogenen zu einer allgemeinen Lösung.

Bestimmung des Fundamentalsystems

Sei eine lineare homogene DGL mit konstanten Koeffizienten gegeben durch:

$\sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}(x)=0\!$ bzw. $y'=Fy\!$ mit $c_{i}\in \mathbb {R}$

Dann führt der Ansatz $y(x)=e^{\lambda x}$ mit zunächst unbekanntem $\lambda$ zum Ziel. Setzt man nun den Ansatz in die gegebene DGL ein, also $y=e^{\lambda x}$, $y'=\lambda e^{\lambda x}$, $y''=\lambda ^{2}e^{\lambda x}$, ... und kürzt schließlich mit $e^{\lambda x}$ erhält man ein Polynom $n$-ten Grades, der Form:

$\sum _{i=0}^{n}c_{i}\lambda ^{i}=0\!$

Dieses ist genau das charakteristische Polynom von $F$ und hat im Allgemeinen $n$ komplexe Nullstellen (Eigenwerte von $F$). Diese sind jeweils entweder reell oder paarweise komplex konjugiert. Aufgrund ihrer zugehörigen algebraischen Vielfachheit erzeugt jeder Eigenwert $\lambda$ genau $v$ linear unabhängige Lösungen. Diese sind:

• für reelle Eigenwerte $\lambda _{i}$ mit der Vielfachheit $v_{i}$:

$e^{\lambda _{i}x},\,xe^{\lambda _{i}x},\,...,\,x^{v_{i}-1}e^{\lambda _{i}x}\!$

• für komplex konjugierte Eigenwerte $\lambda _{i}=\alpha +i\beta$ und $\lambda _{j}=\alpha -i\beta$ und deren Vielfachheiten $v_{i}=v_{j}$:

$e^{\lambda _{i}x}\cos(\beta x),\,xe^{\lambda _{i}x}\cos(\beta x),\,...,\,x^{v_{i}-1}e^{\lambda _{i}x}\cos(\beta x)\!$

$e^{\lambda _{i}x}\sin(\beta x),\,xe^{\lambda _{i}x}\sin(\beta x),\,...,\,x^{v_{i}-1}e^{\lambda _{i}x}\sin(\beta x)\!$

Bestimmung einer partikulären Lösung

Nachdem nun das Fundamentalsystem der homogenen DGL vollständig bestimmt wurde, widmen wir uns der allgemeinen Lösung für den inhomogenen Fall, indem wir eine partikuläre Lösung berechnen.

Sei nun eine lineare inhomogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gegeben durch:

$\sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}(x)=q(x)\!$ mit c_i ∈ R

und ihr Fundamentalsystem bekannt, dann führt die Methode der Variation der Konstanten zu einer gewünschten Lösung. Für (viele) spezielle Funktionen ist es aber möglich einen direkten Ansatz zu wählen:

Ist q(x) eine beliebige reelle Funktion der Form:

$q(x)=e^{\alpha x}\sin(\beta x)\sum _{i=0}^{m}\alpha _{i}x^{i}\!$ mit α_i, β_i ∈ R

Dann führt der Ansatz:

$y_{p}(x)=x^{v}e^{\alpha x}\sin(\beta x)\left(\sum _{i=0}^{m}{\tilde {a}}_{i}x^{i}\right)+x^{v}e^{\alpha x}\cos(\beta x)\left(\sum _{i=0}^{m}{\tilde {b}}_{i}x^{i}\right)$ mit

• v ist die algebraische Vielfachheit von λ = α + iβ (Ist λ kein Eigenwert, so gilt v = 0) und
• ${\tilde {a}}_{i},{\tilde {b}}_{i}\in \mathbb {R}$ beliebige durch Einsetzen zu bestimmende Konstanten

zu einer zulässigen partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.

Lässt man für λ nun auch komplexe Werte zu, so kann der Ansatz möglicherweise eine einfachere Gestallt annehmen. Es gilt für beliebige komplexe Funktion q(x) mit der Form:

$q(x)=e^{\lambda x}\sum _{i=0}^{m}c_{i}x^{i}\!$ mit λ ∈ C und c_i ∈ R

führt der Ansatz:

$y_{p}(x)=x^{v}e^{\lambda x}\sum _{i=0}^{m}{\tilde {c}}_{i}x^{i}\!$ mit

• v ist die algebraische Vielfachheit von λ (Ist λ kein Eigenwert, so gilt v = 0) und
• ${\tilde {c}}_{i}\in \mathbb {R}$ beliebige durch Einsetzen zu bestimmende Konstanten

zu einer zulässigen partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichunge.

Spezielle lineare Differentialgleichungen

Eine weitere Klasse von DGLn mit einem allgemeinen Lösungsverfahren bildet die Eulersche Differentialgleichung der Form:

$\sum _{k=0}^{n}(ax+b)^{k}\;y^{(k)}(x)=q(x)\!$

Die Lösung kann hierbei mit dem Ansatz $y=(ax+b)^{\lambda }$ ermittelt werden.

Nichtlineare DGL

Neben linearen Systemen lassen sich Differentialgleichungen, die separierbar sind durch die Methode Trennung der Veränderlichen lösen.

Manche Typen von Differentialgleichungen lassen sich durch Potenzreihen lösen.

Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation eignet sich aufgrund ihres Differentiationssatzes u.a. dazu Differentialgleichungen zu lösen. Dazu transformiert man die Differentialgleichung in den Spektralbereich, löst die so erhaltene algebraische Gleichung und transformiert die Lösung in den Zeitbereich zurück.

Besonderen Wert hat hier die Laplace-Transformation bei Differentialgleichungssystemen: Da Ableitungen im Bildbereich als Produkt aus Originalfunktion und Laplace-Faktor s entstehen, werden DGL Systeme zu einfacheren normalen Gleichungssystemen.

Numerische Verfahren

Da sich gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung immer auf Systeme erster Ordnung reduzieren lassen, geht man bei der Konstruktion von numerischen Lösungsverfahren im Normalfall von einem System erster Ordnung aus:

${\dot {x}}(t)=f(t,x(t))$    mit   $x:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$   und   $f:\mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} ^{n}$.

Es gibt zwei wichtige Klassen von numerischen Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen, die Einschrittverfahren (insbesondere die Runge-Kutta-Verfahren) und die linearen Mehrschrittverfahren. Eine Verallgemeinerung von beiden Klassen stellen die allgemeinen linearen Verfahren (General linear Methods (GLM)) dar.

Spezielle nichtlineare DGL

• d'Alembert-Differentialgleichung
• Clairaut-Gleichung
• Bernoulli-Gleichung
• Exakte Differentialgleichung $f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy=0$
• Riccati-Gleichung

Literatur

• M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme, Oldenbourg Verlag, München und Wien, 2004, ISBN 3-486-27606-9
• B. Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen, Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2004, ISBN 3-8274-1492-X
• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, März 2004, ISBN 3519322277
• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, 2000, ISBN 3540676422

siehe auch: partielle Differentialgleichung, Anfangswertproblem, Randwertproblem