Diskussion:Gruppentheorie

Ist Gruppentheorie nicht mit Algebra gleichzusetzen?

Algebra bedeutet lediglich das Ausführen einer Zahl von Operationen in einer Rechenstruktur, die durch bestimmte Regeln vorgegeben ist. Existiert zu den Regeln auch noch eine oder mehrere Trägermengen (beispielsweise die ganzen Zahlen),auf denen operiert wird, so spricht man von einer konkreten Algebra, ansonsten von einer abstrakten Algebra. Gruppentheorie ist also eine spezielle Form von abstrakter Algebra, und die Betrachtung spezieller Gruppen eine Form von konkreter Algebra. --Hermel

Das Gebiet der abstrakten Algebra beschaeftigt sich noch mit ganz anderen Strukturen. Von Ringen, Koerpern, Verbaenden etc. kommt man zu Moduln, Algebren und anderen Strukten. Das kann beliebig kompliziert werden. Gruppentheorie ist da nur eine von mehreren Grundlagen. --SirJective 12:47, 11. Dez 2003 (CET)

Beispiele für die Grundkonzepte der Gruppentheorie

Es wäre schön, wenn wir ein paar Beispiele zu den Grundkonzepten erarbeiten könnten. Conny 10:56, 2. Jan 2005 (CET).

Erklärung für Nicht-Mathematiker

Ich habe die "Definition für nicht Mathematiker" unbenannt und überarbeitet, bin aber noch nicht ganz glücklich damit. Vielleicht möchte sich das nochmal jemand anschauen, der da etwas mehr "nicht-mathematischen" Zugang hat? --Glotzfrosch 21:13, 14. Mär 2005 (CET)

1. Die Hauptschwierigkeit eines interessierten Nicht-Mathematikers mit dem Begriff "Gruppe" vermute ich darin, daß er mit den Begriffen Menge und Verknüpfung nichts anzufangen weiß. Vielleicht sollte man da noch etwas langsamer (mit Einführung durch ein Beispiel wie C_3 oder S_3) vorgehen?

2. Die Idee, "Slogans" für die Axiome zu geben, gefällt mir. Durch "Alles aus demselben Topf" oder "Es gibt ein Spiegelbild" wird meiner Meinung nach aber nicht die Bedeutung der Axiome klar: Die Abgeschlossenheit muß eigentlich nicht mehr als Axiom genannt werden, wenn man von einer "inneren Verknüpfung" spricht, und statt von einem "Spiegelbild" zu sprechen, schlage ich vor: "Jede Verknüpfung kann umgekehrt werden" (ist das erhellender???).

3. Beispiele finde ich gut (eines sollte meines Erachtens sogar an den Anfang); von einem Nicht-Mathematiker würde ich aber nicht erwarten, daß er etwas mit den "Buchstaben" Z und Q anzufangen weiß. --FRR 11:20, 28. Jul 2005 (CEST)

ad 1: Symmetriegruppen einfacher geometrischer Figuren wären eine Möglichkeit.

ad 2: "Spiegelbild" ist für endliche Spiegelungsgruppen natürlich Unsinn, aber für Liegruppen genau richtig. Ich halte diese "Abgeschlossenheit" für ziemlichen Unsinn, seit ich einmal in einer Klausur lesen durfte: "Ein Ring ist eine abgeschlossene Menge in einem Vektorraum." Hauptsache abgeschlossen :-(

ad 3: abgesehen davon, dass die Begriffe nicht verlinkt sind, steht ja dabei, dass es sich um die ganzen bzw. rationalen Zahlen handelt.

--Gunther 11:53, 28. Jul 2005 (CEST)

Slogans sind ok, aber "alles aus demselben Topf" trifft den Kern nicht. Für Abgeschlossenheit müsste es "alles in denselben Topf" heißen.

Darüberhinaus gehört Abgeschlossenheit sowieso nicht hierher, da der Begriff nur Sinn macht, wenn von Unterstrukturen die Rede ist, er hat also bei der Definition einer :Gruppe nichts verloren. Bei der Mathematikerdefinition ist das sowieso klar, aber auch für Nichtmathematiker sollte man darauf verzichten, denn je

weniger Axiome, desto besser. Darüberhinaus stelle ich mir vor, ein Nichtmathematiker fängt an darüber zu grübeln, was die Abgeschlossenheit eigentlich bedeuten soll,

gerade im Hinblick auf die Beispiele, sollte es also passieren können, dass die Summe zweier Zahlen keine Zahl mehr ist? Ich glaube, sowas führt nur zur Verwirrung.

--Anna Torsion8:00, 5.10.2005 (CEST)

Kategorien

Anwendungsgebiet zu sein genügt nicht für eine Kategorisierung, sonst müsste man noch 20 Mathematik-Kategorien hinzufügen. Mir ist auch immer noch nicht klar, was Gruppentheorie mit Chemie zu tun hat. Es kommen Symmetriegruppen vor, aber geht es dann nicht eher um die Darstellungstheorie dieser Gruppen?-- Gunther 21:20, 11. Apr 2005 (CEST)

Kommentare zu den Anwendungen in der Chemie

• Symmetrieeigenschaften haben primär nichts mit Gruppentheorie zu tun. In der Gruppentheorie geht es um Eigenschaften der Menge der Symmetrien als Gruppe, nicht um das Vorhandensein von Symmetrien. (Das betrifft den Satz zum Dipolmoment und die beiden folgenden.)

--Gunther 15:50, 26. Apr 2005 (CEST)

Definition

1. Die Abgeschlossenheit könnte aus dem Axiomensystem gestrichen werden, wenn dem Leser klar ist, was eine "innere Verknüpfung" ist: Ich nehme an, daß dieses "Axiom" deshalb aufgenommen wurde, weil es zu den Dingen gehört, die man bei dem Nachweis der Gruppeneigenschaft berücksichtigt. Sie erscheint mir trotzdem unnötig.

2. Durch Auslagern des Kommutativitätsaxioms in eine Randbemerkung würde die Anzahl der Axiome auf drei verringert und der elementare Gruppenbegriff weniger furchteinflößend.

3. Eine Randbemerkung wert wäre auch die Eindeutigkeit von neutralem und inversem Element. --FRR 11:57, 28. Jul 2005 (CEST)

Im "Ausblick" wird auf die - in der Uebersicht nicht mehr aufgefuehrte - Abgeschlossenheit Bezug genommen, und es werden die Axiome mit Nummern bezeichnet, die so nicht mehr stimmen. Meiner Meinung nach sollte die Definition vollstaendig sein. ---stk 22:58, 2. Nov 2005 (CET)

Neutrales Element

Neutrales Element: Es existiert ein Element e (auch 1 genannt) in M, so dass für alle Elemente gilt a × e = e × a = a.

Das neutrale element wird nur im falle der Multiplikation 1 genannt. Bei addition z.B. wäre es ja 0.

Ich hab den Klammerzusatz entfernt. Alle Notationsvarianten in der Definition zu nennen, wäre vollkommen unübersichtlich. Die Frage ist, ob man darauf weiter unten noch ausführlicher eingehen sollte.--Gunther 01:14, 5. Okt 2005 (CEST)

Womöglich könnte man den Abschnitt 'Notation for Groups' aus dem Englischen Artikel übernehmen. Bei 'Abschwächung der Definition' sollte vielleicht noch bemerkt werden das diese definition nur bei Kommutativität gilt. Oder habe ich da unrecht? Helohe 01:21, 5. Okt 2005 (CEST)

Nein, die gilt in jedem Fall, die Begründung steht eigentlich auch im Artikel dabei.--Gunther 01:26, 5. Okt 2005 (CEST)

Ok, stimmt. Helohe 01:32, 5. Okt 2005 (CEST)

Trennung

Hallo,

1. 1 ich denke, daß man die Def. des Gruppenbegriffs aus diesem Artikel in einen eigenen Artikel verschieben sollte: In einem Artikel über Gruppentheorie sollten IMHO eher allgemeiner gehaltene Sachen (wie etwa Anwendungen, die Rolle von Gruppen bei der Auflösung alg. Gleichungen [Galois-Theorie]), Verallgemeinerungen/Erweiterungen (Begriff der Gruppenaktion, Topologische Gruppen usw.) stehen. Nicht zu vergessen, die Klassifizierung endlicher Gruppen (Erwähnung des "Klassifikationssatzes).
2. 2 Der Beweis, daß, wenn man in den Axiomen zunächst nur das Linksinverse/-neutrale Element fordert, sich daraus ergibt, dass sie auch rechtsinvers/neutral sind, kann man noch was verkürzen - bloß ein Vorschlag. Dadurch kann man auch die Häufung von Klammern etwas reduzieren ;-); außerdem bin ich nicht sicher, ob doppelte Hochstellungen immer korrekt angezeigt werden.
3. 3 Die Stelle, an der das inverse Element als Spiegelbild bezeichnet wird, ist noch nicht so gut geraten: Bei einem Spiegelbild denk ich eher an etwas, daß 2mal hintereinander angewendet wieder "auf sich selbst zurückfällt". Das wäre dann aber eher eine allgemeine Eigenschaft der "Inversionsabbildung", nicht die eines einzelnen Elements.

Gruß --Zahlenspieler 09:00, 20. Nov 2005 (CET)

1 Vgl. Diskussion:Ringtheorie. 3 Das ist der Unterschied Spiegelbild/Spiegelung.--80.136.175.208 13:37, 22. Nov 2005 (CET)

Leere Gruppe?

Existiert sowas wie eine leere Gruppe, also eine Gruppe über einer leeren Menge? --DFG 00:55, 22. Nov 2005 (CET)

Nein. Die leere Menge enthält kein Element, welches als neutrales fungieren könnte. (Aussagen der Form "es existiert ein e aus der leeren Menge mit ..." sind immer falsch.) --Glotzfrosch 05:52, 22. Nov 2005 (CET)

Was ist mit Restklassen?

Die werden gar nicht erwähnt.

Ich finde die Bezeichnungen in dem Teil über die Restklassen verwirrend. Zunächst einmal - was ist die "Trägermenge"? Ferner - so, wie ich das kenne, definiert man die Restklassen für eine Untergruppe U einer Gruppe G, bei der angegebenen Definition wird aber auf (jedenfalls für mich unverständliche) Art und Weise zwischen "U" und "M" hin und her gesprungen. --Denoevyn 23:19, 23. Jan 2006 (CET)

Soweit ich sehen kann, war vor Deiner Bearbeitung alles o.k. M ist die Gruppe, U die Untergruppe. (Frag' mich nicht, wieso die Gruppe M und nicht G heißt.)--Gunther 10:59, 24. Jan 2006 (CET)

Abschwächung der Definition

Ich weiß als Mathematiker zwar, was mit dem Teilsatz "Wir können eine äquivalente, nicht schwächere Definition geben" gemeint ist, klingt jedoch trotzdem widersprüchlich zur Überschrift. Vielleicht so etwas wie Folgende schwächere Definition ist äquivalent zur oben angegebenen? --FloxCauchy 23:32, 6. Mär 2006 (CET)

Es zeigt für meinen Geschmack recht gut, wie unsinnig dieses Streben nach Minimalität ist ;-) --Gunther 23:34, 6. Mär 2006 (CET)

Wie meinst Du das? Ist halt Geschmackssache, wie viel man als Forderungen in die Definition mit einbezieht. --FloxCauchy 23:36, 6. Mär 2006 (CET)

Mein Geschmack sagt mir, dass man keine Teile aus Definitionen weglassen sollte, die beim Nachweis sowieso keine Probleme bereiten. Wurde irgendwo anders schon diskutiert, es gibt unterschiedliche Ansichten, ich weiß.--Gunther 23:50, 6. Mär 2006 (CET)

Ordnung von Elementen

"Falls kein solches n existiert, sagt man, dass a unendliche Ordnung hat. Die Ordnung des Elements entspricht dann der Ordnung der von a erzeugten Untergruppe.": Diese Kombination zweier Sätze finde ich sehr widersprüchlich. Wieso entspricht sie "dann" der Ordnung der Untergruppe? Die Ordnung des Elements ist dann einfach unendlich, und da sein Erzeugnis sowieso nur abzählbar sein kann, gibt es auch keine verschiedenen Sorten von unendlich. --FloxCauchy 23:32, 6. Mär 2006 (CET)

Ich nehme mal an das ist irgendwie so gemeint: "Wenn man also nicht nur Elementen endlicher Ordnung eine Ordnung zuordnet, dann ..." Finde ich aber auch überflüssig. Allerdings sollte man überhaupt diesen Stil vermeiden: "Ach ja, fast hätt' ich's vergessen, da gibt es ja noch einen Spezialfall, in dem wir eine andere Definition nehmen müssen..." Trifft hier nicht zu.--Gunther 23:38, 6. Mär 2006 (CET)

Ich würde gerne so etwas schreiben wie Wenn es eine natürlich Zahl gibt, so dass [...], so nenne die kleinste solche Zahl die Ordnung; ansonsten sei die Ordnung unendlich. Kann ich das editieren? Bin noch etwas neu hier, deshalb die Frage ... ;-) --FloxCauchy 23:43, 6. Mär 2006 (CET)

Sehe ich jetzt nicht so den großen Unteschied ... Und natürlich kannst Du das ändern, es gibt die Devise "Sei mutig!"--Gunther 23:54, 6. Mär 2006 (CET)

Und wie ich gerade bemerke, befolge ich meine schlauen Ratschläge (den oben durchgestrichenen Satz) selbst nicht...--Gunther 23:56, 6. Mär 2006 (CET)