Tensorprodukt von Moduln

Entstanden im Fachgebiet lineare Algebra der Mathematik lässt sich der Begriff des Tensorprodukts von dem des Tensorprodukts von Vektorräumen über einem Körper auf den des Tensorprodukts von Moduln über einem (beliebigen) Ring mit 1 verallgemeinern.

Er hat Bedeutung in der abstrakten Algebra und findet Anwendung in der homologischen Algebra, algebraischen Topologie und in der algebraischen Geometrie.

Definition

Sei $R$ ein Ring (mit $1$, aber nicht notwendigerweise kommutativ). Sei $M$ ein $R$-Rechtsmodul und $N$ ein $R$-Linksmodul. Das Tensorprodukt $(M\otimes _{R}N,\otimes _{R})$ über $R$ ist definiert durch eine abelsche Gruppe

$M\otimes _{R}N$

und eine $\mathbb {Z}$-bilineare Abbildung

${\begin{matrix}\otimes _{R}:&M\times N&\to &M\otimes _{R}N\\&(m,n)&\mapsto &m\otimes _{R}n,\end{matrix}}$

also durch eine Abbildung mit
	$\forall m_{1},m_{2}\in M;\,n\in N:$	$\otimes _{R}(m_{1}+m_{2},n)\;=\;\otimes _{R}(m_{1},n)+\otimes _{R}(m_{2},n)$	(1⊗)
	$\forall m\in M;\,n_{1},n_{2}\in N:$	$\otimes _{R}(m,n_{1}+n_{2})\;\;=\;\otimes _{R}(m,n_{1})+\otimes _{R}(m,n_{2})$	(2⊗),

die außerdem

$\forall m\in M;\,n\in N;\,r\in R:$

$\otimes _{R}(mr,n)=\otimes _{R}(m,rn)$

(3⊗)

erfüllt, die zusammen die folgende universelle Eigenschaft haben:

Zu jeder abelschen Gruppe $G$ und jeder $\mathbb {Z}$-bilinearen Abbildung

$g\,\colon M\times N\to G\,$

mit der zusätzlichen Eigenschaft

$\forall m\in M;\,n\in N;\,r\in R:$

$g(mr,n)=g(m,rn)$

(3g)

gibt es einen Gruppen-Homomorphismus

$g_{\otimes }:M\otimes _{R}N\to G$     mit     $g_{\otimes }\circ \otimes _{R}=g$

und dieser ist eindeutig bestimmt.

Diese universelle Eigenschaft definiert ein bis auf Isomorphie eindeutig bestimmtes Tensorprodukt, und $\otimes _{R}$ wird die kanonische (vermittelnde) bilineare Abbildung des Tensorprodukts genannt.

Bemerkungen

• Aus (1_g) folgt, dass jedes $(0,n)$ wegen $g(0,n)=g(0-0,n)=g(0,n)-g(0,n)=0_{G}$ auf das neutrale Element $0_{G}\in G$ abgebildet wird; analog $g(m,0)=0_{G}$ aus (2_g).
• Die Schrumpfung der R-Bilinearität bei der Skalarmultiplikation von

	$\forall m\in M;\,n\in N,r\in R:$	$rg(m,n)=g(mr,n)$	(3ag)
	$\forall m\in M;\,n\in N,r\in R:$	$rg(m,n)=g(m,rn)$	(3bg)

zur Bedingung (3_g) wirkt sich hauptsächlich bei nichtkommutativen Ringen R aus, da gemäß Abschnitt Konstruktion als R-Modul bei kommutativem R die R-Modul-Struktur und die volle R-Bilinearität nachträglich wieder hergestellt werden kann.

In einem nichtkommutativen Ring R gibt es jedoch sicherlich ein Paar $r,s\in R$, für das $rs-sr\neq 0$ ist. Dann ist für beliebige $m\in M,n\in N$

$rs\cdot g(m,n)=g(m\cdot rs,n)=g((m\cdot r)\cdot s,n)=s\cdot g(m\cdot r,n)=sr\cdot g(m,n)$,

d. h. $(rs-sr)\cdot g(m,n)=0$. Für viele Ringe, bspw. für alle Ringe, in denen es ein links-invertierbares $rs-sr$ gibt, sind alle R-bilinearen $g$ von vorne herein trivial. Um also auch bei nichtkommutativen Ringen zu nicht-trivialen Tensorprodukten zu kommen, wurden die Forderungen (3a_g) und (3b_g) zu (3_g) und die Moduleigenschaften des Tensorprodukts auf $\mathbb {Z}$-Modul abgeschwächt.

Grundkonstruktion

Die Existenz des Tensorprodukts erweist sich durch folgende Konstruktion.

Man betrachtet den von allen Paaren $(m,n)\in M\times N$ erzeugten freien $\mathbb {Z}$-Modul $F$, der zu ${\mathbb {Z} }^{(M\times N)}=\bigoplus _{M\times N}\mathbb {Z}$ (direkte Summe) isomorph ist. Da $\mathbb {Z}$ eine $1$ enthält, können die Paare $(m,n)\in M\times N$ als Basis von $F$ aufgefasst werden. Man bildet den $\mathbb {Z}$-Untermodul $Q$, der durch die Linearkombinationen von Basiselementen in $F$

	$\forall m_{1},m_{2}\in M;\,n\in N:$	$(m_{1}+m_{2},n)-(m_{1},n)-(m_{2},n)$	(1Z)
	$\forall m\in M;\,n_{1},n_{2}\in N:$	$(m,n_{1}+n_{2})-(m,n_{1})-(m,n_{2})$	(2Z)
	$\forall m\in M;\,n\in N;\,r\in R:$	$(mr,n)-(m,rn)$	(3Z)

erzeugt wird.

Die abelsche Gruppe $M\otimes _{R}N$ wird definiert als der Quotient von $F$ nach $Q$, in Zeichen

$M\otimes _{R}N:=F/Q$,

und das Bild von $(m,n)$ unter der bilinearen Abbildung $\otimes _{R}$ als die Nebenklasse von $(m,n)$, in Zeichen

$\otimes _{R}(m,n):=(m,n)+Q$.  ■

Für $\otimes _{R}(m,n)$ sind die abkürzenden Schreibweisen $m\otimes _{R}n$ und $m\otimes n$ gebräuchlich.

Bemerkung

• Ist $R=\mathbb {Z}$, so folgt für $r\in \mathbb {N}$ aus (1_Z)

$r\cdot (m,n)=\underbrace {(m,n)+\dots +(m,n)} _{r{\text{ Summanden}}}\equiv (\underbrace {m+\dots +m} _{r{\text{ Summanden}}},n)=(mr,n)\mod Q$

und aus (2_Z) analog $r\;(m\otimes n)=m\otimes (rn)$, zusammen $r\;(m\otimes n)=(mr)\otimes n=m\otimes (rn)$. Deshalb genügt es, bei abelschen Gruppen ($\mathbb {Z}$-Moduln) $M,N$ die Bedingungen (1_Z) und (2_Z) zu etablieren – die Bedingung (3_Z) ist dann automatisch etabliert.

Konstruktion als R-Modul

Ist der Ring $R$ kommutativ (in diesem Fall muss man nicht zwischen Links- und Rechtsmoduln unterscheiden), so ist das Tensorprodukt $M\otimes _{R}N$ nicht nur eine abelsche Gruppe, sondern ein $R$-Modul und $\otimes _{R}$ eine $R$-bilineare Abbildung, und nicht nur eine $\mathbb {Z}$-bilineare. Die Skalarmultiplikation kann dabei mit Hilfe der Festlegung (der Übersichtlichkeit halber ist das Suffix $_{R}$ bei der Abbildung $\otimes _{R}$ weggelassen)

$\forall m\in M;\,n\in N;\,r\in R:$

$r\;(m\otimes n):=(mr)\otimes n$

(4R)

definiert werden. Diese Verknüpfung ist wohldefiniert, da für jedes $s\in R$ die Unabhängigkeit vom Repräsentanten $(ms,n)$ oder $(m,sn)$ der Nebenklasse $(ms)\otimes n=m\otimes (sn)$ aus

$r\;((ms)\otimes n)=((ms)r)\otimes n=(m(sr))\otimes n=(m(rs))\otimes n=((mr)s)\otimes n=(mr)\otimes (sn)=r\;(m\otimes (sn))$

folgt. Man beachte, dass bei der dritten Gleichheit die Kommutativität von $R$ gebraucht wird.

Alternativ kann das Tensorprodukt direkt als Modul konstruiert werden. Dabei nimmt man bei der Grundkonstruktion anstelle der freien abelschen Gruppe den von $M\times N$ erzeugten freien $R$-Modul. Bei der Erzeugung von $Q$ (das in diesem Fall nicht nur eine Untergruppe, sondern ein Untermodul wird) nimmt man dabei noch die Linearkombinationen

$\forall m\in M;\,n\in N;\,r\in R:$

$r\cdot (m,n)-(mr,n)$

(4′R)

hinzu. Die Kommutativität von $R$ stellt die Assoziativität der Skalarmultiplikation sicher, denn es ist

$r\;(s\;(m\otimes n))=r\;(ms\otimes n)=((ms)r)\otimes n=(m(sr))\otimes n=(m(rs))\otimes n=(rs)\;(m\otimes n)$

für $m\in M;\ n\in N;\ r,s\in R.$

Bemerkungen

• Spezialisierung: Ist $R$ ein Körper, so sind die $R$-Moduln $M,N$ und das Tensorprodukt $M\otimes _{R}N$ $R$-Vektorräume, und Letzteres stimmt mit $M\otimes N$ aus dem Artikel Tensorprodukt von Vektorräumen überein.

• Verallgemeinerung: Man kann die Nicht-Kommutativität von $R$ zulassen und mit $Z(R)$ als Bezeichnung für das Zentrum des Ringes $R$ bei beiden Konstruktionen in diesem Abschnitt $R$ durch $Z(R)$ ersetzen, um beim eindeutig bestimmten $Z(R)$-Modul $M\otimes _{R}N$ und der $Z(R)$-bilinearen Abbildung $\otimes _{R}$ anzukommen. Zur Erfüllung von (3_⊗) wird dabei $Q$ wie vorher aus Linearkombinationen (3_Z) mit Skalaren aus dem ursprünglichen Ring $R$ erzeugt. Dieser Ring ist es auch, der das Tensorprodukt $M\otimes _{R}N$ charakterisiert.
  Zur Vermeidung von Verwechslungen geht man am besten zunächst der Definition gemäß von einem $\mathbb {Z}$-Modul $M\otimes _{R}N$ aus, den man je nach Bedarf a posteriori durch (4_R) mit einer $S$-Skalarmultiplikation versieht mit $S$ als einem Unterring von $Z(R).$

• Der Ring $R$ beim Operator $\otimes _{R}$ kann große Auswirkung haben, wie die Beispiele $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} =\mathbb {C}$ und $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}$ zeigen.

Wechsel des Rings

$R$ und $S$ seien Ringe, $\rho \colon S\to R$ sei ein Ringhomomorphismus und $M$ ein $R$-Rechtsmodul, $N$ ein $R$-Linksmodul. Dann gibt es – in den Bezeichnungen von Modul (Mathematik)#Wechsel des Rings – genau eine $\mathbb {Z}$-lineare Abbildung

$\varphi \;\colon \;M_{[S]}\otimes _{S}N_{[S]}\;\to \;M\otimes _{R}N$

derart, dass für alle $m\in M,n\in N$

$\varphi (m\otimes _{S}n)=m\otimes _{R}n.$

Diese Abbildung ist surjektiv und wird als kanonisch bezeichnet.

Sei $I$ ein zweiseitiges Ideal in $R$, welches sowohl im Annihilator von $M$ wie von $N$ enthalten ist. Dann hat $M$ resp. $N$ eine kanonische rechte resp. linke $R/I$-Modulstruktur, und der kanonische Homomorphismus

$\varphi \;\colon \;M\otimes _{R}N\;\to \;M\otimes _{R/I}N,$

der dem kanonischen Homomorphismus $\rho \colon R\to R/I$ entspricht, ist die Identität.

Spezialfälle

• $M\otimes _{R}\{0\}=\{0\}=\{0\}\otimes _{R}N.$
• Für jeden Ring $R$ mit $1$ ist

$R\otimes _{R}R=R$

mit der Ringmultiplikation

$m\otimes _{R}n=mn$

als der kanonischen $Z(R)$-bilinearen Abbildung.

• Ist $M$ ein $S$-$R$-Bimodul mit einem weiteren Ring $S$, so ist

$M\otimes _{R}N$

ein $S$-Linksmodul.

• Ist $R$ kommutativ, so sind die $R$-Moduln

$M\otimes _{R}N$ und $N\otimes _{R}M$

kanonisch isomorph.

• Ist $A$ eine $R$-Algebra, so ist

$A\otimes _{R}N$

ein $A$-Linksmodul; die Moduloperation ist gegeben durch

$b(a\otimes n)=(ba)\otimes n$ für $a$, $b$ in $A$.

• Ist $R$ ein kommutativer Ring, und sind $A$ und $B$ assoziative $R$-Algebren, so ist

$A\otimes _{R}B$

wieder eine assoziative $R$-Algebra; die Multiplikation ist gegeben durch

$(a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=(a_{1}a_{2})\otimes (b_{1}b_{2}).$

Kategorielle Eigenschaften

Verschiedene Varianten des Tensorproduktes besitzen rechtsadjungierte Funktoren:

• Ist $R$ ein Ring, $M$ ein $R$-Rechtsmodul, $N$ ein $R$-Linksmodul und $G$ eine abelsche Gruppe, so gilt:

$\mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)=\mathrm {Hom} _{R}(M,\mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G));$

dabei ist $\mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)$ ein $R$-Rechtsmodul vermöge

$(f\cdot r)(n)=f(rn)\quad {\text{für }}f\in \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G),\,r\in R,\,n\in N.$

• Ist $R$ ein Ring, $A$ eine $R$-Algebra, $M$ ein $R$-Linksmodul und $N$ ein $A$-Linksmodul, so gilt:

$\mathrm {Hom} _{A}(A\otimes _{R}M,N)=\mathrm {Hom} _{R}(M,N)$.

• Ist $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement und sind $M$, $N$, $G$ drei $R$-Moduln, so gilt:

$\mathrm {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,G)=\mathrm {Hom} _{R}(M,\mathrm {Hom} _{R}(N,G))$.

Insbesondere ist das Tensorprodukt ein rechtsexakter Funktor.

Das Tensorprodukt ist der Pushout in der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement; insbesondere ist für einen kommutativen Ring $R$ mit Eins das Tensorprodukt über $R$ das Koprodukt (für endlich viele Objekte) in der Kategorie der $R$-Algebren.

Beispiele

• $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} =\mathbb {Z} /\mathrm {ggT} (m,n)\mathbb {Z}$
• $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{0\}$
• $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} =\mathbb {R}$
• Lokalisierungen von Moduln sind Tensorprodukte mit den lokalisierten Ringen, also ist beispielsweise

$\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} .$

• Ist $R$ ein Ring, $I$ ein zweiseitiges Ideal und $M$ ein $R$-Linksmodul, so ist

$M/IM=M\otimes _{R}R/I.$

• Ist $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist

$R[X]\otimes _{R}R[Y]=R[X,Y].$

• $R[X]=R\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [X]$

Weiterführende Begriffe

In der Algebra:

• Flachheit
• Brauergruppe

In der Differentialgeometrie:

• Tensorfeld
• Differentialform
• Vektorbündel

In der Funktionalanalysis

• Tensorprodukt für von-Neumann-Algebren
• Räumliches Tensorprodukt (C*-Algebren)
• Maximales Tensorprodukt (C*-Algebren)

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6. „Tensorprodukt über Ringen“: Abschnitt 7.2 S. 299.