Fünfzehneck

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Das Fünfzehneck (Pentadekagon) ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch fünfzehn Punkte und deren fünfzehn Verbindungen namens Strecken, Seiten oder Kanten.

Variationen

Das Fünfzehneck ist z. B. darstellbar als:

• konkaves Fünfzehneck, in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist. Ein Fünzehneck kann höchstens sieben solche Winkel haben.
• konvexes Fünfzehneck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Fünfzehneck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
• Sehnenfünfzehneck, in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen ungleich sind.
• regelmäßiges Fünfzehneck: Es ist bestimmt durch fünfzehn Punkte auf einem virtuellen Kreis. Sie haben auf diesem zueinander den gleichem Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken, auch Seiten oder Kanten genannt, verbunden.
• regelmäßiges überschlagenes Fünfzehneck (Pentadekagramm): Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünfzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer (maximal sechs) übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleichlang sind.

Regelmäßiges Fünfzehneck

Eigenschaften

Das regelmäßige Fünfzehneck (griech. Pentadekagon) ist, worauf der Name schon hinweist, ein konstruierbares Polygon. Wie im regelmäßigen Fünfeck ist der Goldene Schnitt der maßgebende Baustein für eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Die Möglichkeitkeit einer exakten Konstruktion zeigt der folgende arithmetischen Ausdruck vom Kosinus des Zentriwinkels.

$\cos \left({\frac {360^{\circ }}{15}}\right)={\frac {1}{8}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right)$

Größen eines regelmäßigen Fünfzehnecks mit Kantenlänge a

Umkreisradius	${\begin{aligned}R&=a\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)\\&={\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a\approx 2{,}405\cdot a\end{aligned}}$
Inkreisradius	${\begin{aligned}r&=a\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {3\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}}}\\&={\frac {\sin ^{2}(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a\approx 2{,}352\cdot a\end{aligned}}$
Flächeninhalt	${\begin{aligned}A&=a^{2}\cdot {\frac {15}{4}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {3\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}}}\\&=15\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sin ^{2}(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a^{2}\approx 17{,}642\cdot a^{2}\end{aligned}}$
Höhe	$h=r+R\approx 4{,}757\cdot a$
Innenwinkel	${\begin{aligned}\alpha &={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {13}{15}}\cdot 180^{\circ }\\\alpha &=152^{\circ }\end{aligned}}$

Seitenlänge

$a=2\cdot R\cdot \cos \left(78^{\circ }\right)\approx 0{,}416R$

oder auch:

$a=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}\approx 0{,}416R$

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis

• ${\overline {E_{2}E_{5}}}{\widehat {=}}$ Seite von einem virtuellen regelmäßigen Fünfeck $E_{2}E_{5}E_{8}E_{11}E_{14}$

$|E_{1}E_{6}|{\widehat {=}}$ Seite von einem virtuellen gleichseitigen Dreieck $E_{1}E_{6}E_{11}$

Konstruktionsskizze
gestrichelte Linien für "Berechnung zur Konstruktion, Seitenlänge a"

Animation der Skizze

Ist ein Kreis k₁ (der Umkreis um das entstehende Fünfzehneck) um den Mittelpunkt M gegeben, lässt sich ein regelmäßiges Fünfzehneck konstruieren durch:

1. Zeichnen eines Durchmessers; Schnittpunkte mit k₁ sind A und B
2. Konstruktion eines Radius, der orthogonal zu AB steht; Schnittpunkt mit k₁ ist C
3. Konstruktion eines Kreisbogens um A mit dem Radius AM; Schnittpunkte mit k₁ sind E₁ und E₆
4. Zeichnen von E₁E₆; Schnittpunkt mit AB ist F
5. Zeichnen eines Kreisbogens um F mit dem Radius FC; Schnittpunkt mit AB ist G
6. Zeichnen eines Kreisbogens um A mit dem Radius MG; Schnittpunkte mit k₁ sind E₂ und E₅
7. dreizehnmaliges Abtragen der Sehne E₁E₂ von k₁ auf k₁; Schnittpunkte mit k₁ sind die Eckpunkte E_3–15 des Fünfzehnecks
8. Verbinden der so gefundenen Punkte.

Berechnung zur Konstruktion, Seitenlänge a

${\overline {AM}}=$ Umkreisradius R

${\overline {FM}}={\frac {1}{2}}\cdot R$

${\overline {FC}}=R\cdot {\sqrt {1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=R\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}\approx 1{,}118\cdot r$

${\overline {MG}}={\overline {AH}}={\overline {AE_{2}}}=R\cdot \left({\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)=R\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\approx 0{,}618\cdot R$

${\overline {FE_{1}}}=R\cdot \sin \left(60^{\circ }\right)=R\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\approx 0{,}866\cdot R$

${\overline {BE_{2}}}=R\cdot {\sqrt {{\overline {AB}}{^{2}}-{\overline {AE_{2}}}{^{2}}}}=R\cdot {\sqrt {4-\left({\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(5+{\sqrt {5}}\right)2}}\approx 1{,}902\cdot R$

${\frac {\overline {AE_{2}}}{AB}}={\frac {{\sqrt {1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}-{\frac {1}{2}}}{2}}={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)=\sin \left(18^{\circ }\right)\Rightarrow \angle E_{2}BA=18^{\circ }\Rightarrow \angle E_{2}MA=36^{\circ }$

${\overline {IE_{2}}}={\overline {FJ}}={\overline {BE_{2}}}\cdot \sin \left(18^{\circ }\right)=R\cdot {\sqrt {{\frac {5}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}}}\cdot {\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\approx 0{,}588\cdot R$

${\overline {BI}}=R\cdot {\overline {BE_{2}}}\cdot \cos \left(18^{\circ }\right)=R\cdot {\sqrt {{\frac {5}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {5}{8}}+{\frac {\sqrt {5}}{8}}}}=R\cdot {\frac {1}{4}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)\approx 1{,}809\cdot R$

${\overline {JE_{2}}}={\overline {BI}}-{\overline {BF}}=R\cdot \left({\overline {BI}}-{\frac {3}{2}}\right)=R\cdot \left({\frac {1}{4}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)-{\frac {3}{2}}\right)=R\cdot {\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\approx 0{,}309\cdot R$

${\overline {JE_{1}}}={\overline {FE_{1}}}-{\overline {FJ}}=R\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)=R\cdot {\frac {1}{4}}\left(2{\sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)\approx 0{,}278\cdot R$

${\overline {E_{1}E_{2}}}=R\cdot {\sqrt {{\overline {JE_{2}}}{^{2}}+{\overline {JE_{1}}}{^{2}}}}=R\cdot {\sqrt {\left({\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\right)^{2}+\left({\frac {1}{4}}\left(2{\sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right)\right)^{2}}}=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}$

$\mathbf {a={\overline {E_{1}E_{2}}}=R\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {7-{\sqrt {5}}-{\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}}}\approx 0{,}416\cdot R}$

• Der Faktor entspricht genau dem in der obigen Formel für die Seitenlänge.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seitenlänge

Die Konstruktion ist nahezu gleich mit der des Fünfecks bei gegebener Seite

Konstruktionsskizze

Animation der Skizze

Ist die Seitenlänge (Strecke) eines Fünfzehnecks gegeben, lässt sich ein regelmäßiges Fünfzehneck konstruieren durch:

1. Bezeichnen der Streckenenden mit E₁ und E₂; beide sind Eckpunkte des enstehenden Fünfzehnecks
2. Verlängern der Strecke E₁E₂ ab E₁ um ca. einer Länge dieser Strecke
3. Zeichnen eines Kreisbogens um E₁ mit dem Radius E₁E₂
4. Konstruktion einer Senkrechten zur Strecke E₁E₂ ab E₁; Schnittpunkt mit dem Kreisbogen um E₁ ist A
5. Zeichnen eines Kreisbogens um E₂ mit dem Radius E₁E₂; Schnittpunkte mit Kreisbogen um E₁ sind B und C
6. Zeichnen einer geraden Linie ab C durch B mit der Länge etwas länger als dreimal die Strecke BC; Schnittpunkt mit E₁E₂ ist D
7. Zeichnen eines Kreisbogens um D mit dem Radius DA; Schnittpunkt mit Verlängerung der Strecke E₁E₂ ist F
8. Zeichnen eines Kreisbogens um E₂ mit dem Radius E₂F; Schnittpunkt mit der geraden Linie (ab C durch B) ist G
9. Zeichnen eines kurzen Kreisbogens um E₂ mit dem Radius CG; Schnittpunkt mit Verlängerung der Strecke CB ist M, der Mittelpunkt des Umkreises des entstehenden Fünfzehnecks
10. Zeichnen des Umkreises k₁ um M mit dem Radius ME₂; Schnittpunkt mit dem Kreisbogen um E₂ ist Eckpunkt E₃
11. elfmaliges Abtragen der Sehne E₁E₂ von k₁ auf k₁; Schnittpunkte mit k₁ sind die Eckpunkte E_3–15 des Fünfzehnecks
12. Verbinden der so gefundenen Eckpunkte.

Berechnung zur Konstruktion, Umkreisradius R

${\overline {E_{1}E_{2}}}=$ Seitenlänge a

${\overline {DE_{1}}}={\frac {1}{2}}\cdot a$

${\overline {DA}}=a\cdot {\sqrt {1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=a\cdot {\frac {\sqrt {5}}{2}}\approx 1{,}118\cdot a$

${\overline {E_{1}F}}=a\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\approx 0{,}618\cdot a$

${\overline {E_{2}F}}={\overline {E_{1}G}}=a\cdot {\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\approx 1{,}618\cdot a$

${\overline {DG}}=a\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\approx 1{,}539\cdot a$

${\overline {DC}}=a\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\approx 0{,}866\cdot a$

$\mathbf {R={\overline {CG}}={\overline {E_{2}M}}={\overline {DG}}+{\overline {DG}}=a\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)\approx 2{,}405\cdot a}$

• Der Faktor entspricht genau dem in der obigen Formel (Tabelle) für den Umkreisradius.

Der Goldene Schnitt im Fünfzehneck

Sowohl in der Konstruktion bei gegebenem Umkreis als auch in der bei gegebener Seitenlänge (Kantenlänge), ist der Goldene Schnitt als bestimmendes Konstruktionselement enthalten.

Für den Vergleich der Konstruktionsvarianten sind die Punktebezeichnungen mit Indizes ergänzt: u für die Konstruktion bei gegebenem Umkreis, s für die bei gegebener Seitenlänge.

1. Seite des Fünfzehnecks:

${\overline {E_{1u}E_{2u}}}\;{\widehat {=}}\;{\overline {E_{1s}E_{2s}}}$

Radius für den Goldenen Schnitt:

${\overline {F_{u}C_{u}}}\;{\widehat {=}}\;{\overline {D_{s}A_{s}}}$

Streckenverhältnisse des Goldenen Schnitts:

$\Phi ={\frac {\overline {A_{u}H_{u}}}{\overline {H_{u}M_{u}}}}={\frac {\overline {A_{u}M_{u}}}{\overline {A_{u}H_{u}}}}\;\;\;=\;\;\;{\frac {\overline {E_{1s}E_{2s}}}{\overline {E_{1s}F_{s}}}}={\frac {\overline {E_{2s}F_{s}}}{\overline {E_{1s}E_{2s}}}}\;\;\;=\;\;\;{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}618$

Pentadekagramm

Das Pentadekagramm ist ein regelmäßig überschlagenes Fünfzehneck sowie ein regelmäßiges Sternpolygon.

Ergänzung folgt...

Weblinks

Eric W. Weisstein: Pentadecagon. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

[[Kategorie:Polygon]]