Zahmheits-Satz

In der Mathematik ist die Zahmheits-Vermutung eine auf Albert Marden zurückgehende Vermutung aus der Theorie der Kleinschen Gruppen in der 3-dimensionalen Topologie, die 2004 von Ian Agol, Danny Calegari und David Gabai bewiesen wurde.

Aussage

Jede vollständige 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe ist topologisch zahm, das heißt ist homöomorph zum Inneren einer kompakten Mannigfaltigkeit.

Enden hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten

Aus der topologischen Zahmheit folgt unmittelbar, dass sich jede orientierbare vollständige 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit $M$ mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe zerlegen lässt in einen kompakten Kern $K$ (welcher homöomorph zu $M$ ist) und endlich viele zusammenhängende „Enden“, welche von der Form $S_{i}\times (0,\infty )$ sind. Dabei sind die Flächen $S_{1},\ldots ,S_{k}$ homöomorph zu den Zusammenhangskomponenten von $\partial K$.

Rolle der Hyperbolizität

Die Annahme, dass $M$ hyperbolisch ist, spielt eine wesentliche Rolle im Beweis der Zahmheits-Vermutung. Es gibt Gegenbeispiele von (nicht-hyperbolischen) 3-Mannigfaltigkeiten mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe, deren Enden nicht zahm sind.

Literatur

• Calegari, Danny; Gabai, David: Shrinkwrapping and the taming of hyperbolic 3-manifolds. Journal of the American Mathematical Society 19 (2), 385–446 (2006).
• Agol, Ian: Tameness of hyperbolic 3-manifolds. arXiv:math.GT/0405568
• Marden, Albert: The geometry of finitely generated kleinian groups. Annals of Mathematics (2) 99, 383–462 (1974).
• Canary, Richard: Marden's tameness conjecture: history and applications online
• Mackenzie, Dana: Taming the hyperbolic jungle by pruning its unruly edges. Science 306 (5705): 2182–2183 (2004). online