Fundamentalsatz der Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass der Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist.

Das bedeutet anders ausgedrückt: Sucht man Nullstellen eines nicht konstanten Polynoms mit ganzen, reellen oder komplexen Koeffizienten, und dehnt man die Suche in den Bereich der komplexen Zahlen aus, so wird man immer fündig. Es ist aber nicht so, dass Polynome mit reellen Koeffizienten nur reelle Nullstelle haben. Da man die zu den Nullstellen gehörenden Linearfaktoren abspalten kann, zerfällt somit jedes Polynom über $\mathbb {C}$ komplett in ein Produkt aus Linearfaktoren.

Der erste vollständige Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra wurde 1799 von Gauß im Rahmen seiner Dissertation angegeben. Inzwischen kennt man mehrere sehr unterschiedliche Beweise, die Begriffe und Ideen aus Analysis, Algebra und/oder Topologie beinhalten. Trotz seines Namens kann der Satz nicht mit rein algebraischen Methoden bewiesen werden, da er eine Aussage über den Körper $\mathbb {C}$ macht - und dieser ist ein Konstrukt der Analysis. Am einfachsten kann der Fundamentalsatz der Algebra mit Methoden der Funktionentheorie (Satz von Liouville) bewiesen werden.

Beispiel

Die Polynomgleichung

$P(x)=x^{5}-5x^{4}+17x^{3}-13x^{2}=0$

hat die Lösungen

$\mathbb {L} =\{0^{(2)},1,2-3i,2+3i\}$

die natürlich die Nullstellen des Polynomes sind. Die Lösung 0 wird dabei doppelt gezählt, was aus der zerlegten Form des Polynomes ersichtlich ist:

$P(x)=x\cdot x(x-1)\cdot (x-2+3i)\cdot (x-2-3i)$

Anmerkungen

Komplexe Nullstellen treten bei Polynomen mit reellen Koeffizienten immer paarweise konjugiert auf. D.h. ist $\lambda =x+iy$ Nullstelle, so auch ${\overline {\lambda }}=x-iy$. Beweis:

$f({\overline {\lambda }})={\overline {f(\lambda )}}={\overline {0}}=0.$

(Verschiedene Beweise sind auf der englischen Seite zu finden, vielleicht werden sie noch hierher übersetzt?)