Fraktal
Fraktal (Adjektiv oder Substantiv) ist ein von Benoit Mandelbrot (1977) geprägter Begriff (aus dem lateinischen adjektiv: fractus; von dem lat. Verb frangere: in Stücke zerbrechen, irregulär), der alle natürlichen oder künstlichen Gebilde oder Muster bezeichnet, einen hohen Grad von Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit aufweisen.
Mandelbrot benutzte den Begriff der verallgemeinerten Dimension nach Hausdorff und stellte fest, dass fraktale Gebilde als Räume (oder mathematische Gebilde) mit einer nicht-ganzzahligen Dimension angesehen werden können. (Zur Erinnerung: ein Zahlenstrahl hat die Dimension 1, eine Fläche die D 2, ein Raum die D 3.) Daher wird nach ihm alles, was eine gebrochene Dimension aufweist, als Fraktal bezeichnet. In Mandelbrots Worten:
- A fractal is by definition a set for which the Hausdorff-Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension.
- Ein Fraktal ist laut Definition eine Menge, deren Hausdorff-Besikowitsch Dimension (auch: "fraktale Dimension") ihre topologische Dimension echt übersteigt.
Die fraktale Dimension D ist ein Maß für die Vervielfachung der selbstähnlichen Einheiten eines Fraktals mit wachsender Vergrößerung der fraktalen Struktur.
Beispiele
Linie, Quadrat, Koch'sche Schneeflocke,...
Die Selbstähnlichkeit muss nicht perfekt sein, wie die erfolgreiche Anwendung der Methoden der fraktalen Geometrie auf natürliche Gebilde wie Bäume, Wolken, Küstenlinien, etc. zeigen. Die genannten Objekte sind in mehr oder weniger starkem Maß selbstähnlich strukturiert (ein Baumzweig sieht ungefähr so aus wie ein verkleinerter Baum!), die Ähnlichkeit ist jedoch nicht streng, sondern stochastisch.
Mandelbrot fand heraus, dass kein Fraktal in der Ebene eine Dimension größer als e haben kann. ?
Fraktale Muster werden oft durch rekursive Operationen erzeugt. Auch einfache Erzeugungsregeln ergeben nach wenigen Rekursionsschritten schon komplexe Muster.
Ein künstlich erzeugter Baum. Siehe Applet
Siehe auch: Chaostheorie, Chaos-Spiel, Sierpinski-Dreieck, Apfelmännchen, Julia-Menge, Lindenmayer-Systeme