Bruchrechnung

Die Bruchrechnung befasst sich mit der Division von ganzen Zahlen. Ein Bruch (manchmal auch gewöhnlicher Bruch, engl. vulgar fraction, oder verallgemeinert auf die ganzen Zahlen eine Bruchzahl) ist dabei die Darstellung einer rationalen Zahl als Quotient (d.h. als Ergebnis einer Division), er drückt also ein Verhältnis oder einen Anteil aus.

Brüche werden im Allgemeinen durch eine Übereinanderstellung von Zähler und Nenner, getrennt durch einen waagerechten Strich, dargestellt:

{\frac {Z}{N}}

der Zähler Z ist dabei der Dividend der Division, der Nenner N ist der Divisor. Nur bei kommutativer Multiplikation gilt (siehe hierzu auch die Diskussion): Jede Division lässt sich als Bruch schreiben. Denn in der Bruchschreibweise kann man nicht zwischen Z x (1/N) und (1/N) x Z unterscheiden.

Zähler und Nenner einer konkreten Bruchzahl sind ganze Zahlen, für Brüche im Allgemeinen können sie aber auch algebraische Ausdrücke sein. Dabei darf der Nenner niemals Null sein, da eine Division durch Null nicht definiert ist (und sich nicht sinnvoll definieren lässt).

Im Alltag schreibt man auch unechte Brüche, also den ganzzahligen Anteil, d.h. die zur Null hin gerundete Zahl, und anschließend den Divisionsrest (kurz Rest) als echten Bruch, zum Beispiel 1½ statt 3/2.

Beispiele

Beispiel:

{\frac {2}{3}}

der Bruch mit der 2 im Zähler und der 3 im Nenner bedeutet "zwei Drittel", also zwei Teile eines in drei gleichgroße Teile geteilten Ganzen.

{\frac {3}{4}}

bedeutet entsprechend "drei Viertel".

Es ist hierbei implizit verstanden, dass "ein Ganzes" aus "drei (gleich großen) Dritteln", "vier (gleich großen) Vierteln" usw. besteht. Somit wird klar, dass man einen Bruch auch als eine rationale Zahl auffassen kann, die man bei der Division des Zählers durch den Nenner erhält.

{\frac {3}{4}}\;=\;3:4\;=\;3/4\;=\;0{,}75

Brüche können gekürzt werden, wenn Zähler und Nenner mindestens einen gemeinsamen ganzzahligen Teiler haben. Dabei ist es hilfreich, wenn man den Zähler und den Nenner in ihre Primfaktoren zerlegt.

{\frac {6}{8}}\;=\;{\frac {2\cdot 3}{2\cdot 2\cdot 2}}\;=\;{\frac {3}{2\cdot 2}}\;=\;{\frac {3}{4}}

Auch algebraische Ausdrücke, die Variablen enthalten, kann man als Bruch schreiben:

{\frac {2x}{5}}

bedeutet "zwei x geteilt durch Fünf", was das gleiche ist wie "zwei Fünftel x".

Rechenregeln speziell

Addition (von gleichnamigen Brüchen)

{\frac {a}{n}}\;+\;{\frac {b}{n}}\;=\;{\frac {a+b}{n}}

Subtraktion (von gleichnamigen Brüchen)

{\frac {a}{n}}\;-\;{\frac {b}{n}}\;=\;{\frac {a-b}{n}}

Multiplikation

{\frac {a}{b}}\;\cdot \;n\;=\;{\frac {a\cdot n}{b}}

Division

{\frac {a}{b}}\;:\;n\;=\;{\frac {a}{b\cdot n}}

Rechenregeln allgemein

Addition

{\frac {a}{b}}\;+\;{\frac {c}{d}}\;=\;{\frac {a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}}

Subtraktion

{\frac {a}{b}}\;-\;{\frac {c}{d}}\;=\;{\frac {a\cdot d-c\cdot b}{b\cdot d}}

Multiplikation

{\frac {a}{b}}\;\cdot \;{\frac {c}{d}}\;=\;{\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}

Division

{\frac {a}{b}}\;:\;{\frac {c}{d}}\;=\;{\frac {a}{b}}\;\cdot \;{\frac {d}{c}}\;=\;{\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}

Man dividiert also durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Die Division wird also auf die Multiplikation zurückgeführt.

Kürzen und Erweitern

{\frac {a\cdot c}{b\cdot c}}\;=\;{\frac {a}{b}}

{\frac {a}{b}}\;=\;{\frac {a\cdot c}{b\cdot c}}

Faktoren kürzen, das ist brav; wer Summen kürzt, der ist ein Schaf.
Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.

Unzulässige Rechnungen

Der Nenner eines Bruches darf nie null sein.

Siehe auch