Cauchy-Produktformel

Die Cauchy-Produktformel, auch Cauchy-Produkt, gestattet die Multiplikation und Division unendlicher Reihen.

Sind $(a_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ und $(b_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ zwei konvergente Reihen, so ist deren Produkt $(a_{n})\cdot (b_{n})$ gleich einer Reihe $(c_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$, mit $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{a_{k}b_{n-k}}$. In ausformulierter Darstellung ist dies also $(a_{n})\cdot (b_{n})=(a_{0}b_{0})+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})+...+(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+...+a_{k}b_{n-k}+...+a_{n}b_{0})+...$. Bricht man diese Summe bei einem gewissen Wert von $n$ ab, so erhält man (da ja die Konvergenz der Reihen vorausgesetzt wurde) eine Näherung für das gesuchte Produkt.

Werden insbesondere Potenzreihen multipliziert, d.h., sind $(a_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{n}{(x-x_{0})}^{n}$ und $(b_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }\beta _{n}{(x-x_{0})}^{n}$, so gilt für ihr Produkt $(c_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{k=0}^{n}{\alpha _{k}\beta _{n-k}})(x-x_{0})^{n}$, womit die Produktreihe nach Potenzen von $x$ geordnet werden kann.

Wenn zwei Reihen $(a_{n})$ und $(b_{n})$ absolut konvergieren, so konvergiert auch $(c_{n})$ absolut.

Um dagegen die Reihe $(c_{n})={\frac {(a_{n})}{(b_{n})}}$ aufzufinden, bildet man $(c_{n})\cdot (b_{n})=(a_{n})$für unbekannte $c_{n}$ und ermittelt diese mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs.