Topologischer Raum

topologischer Raum

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Topologie

ist Spezialfall von

Mengensystem

umfasst als Spezialfälle

parakompakter Raum kompakter Raum Kolmogoroff-Raum präregulärer-Raum Hausdorff-Raum parakompakter Hausdorff-Raum

Ein Topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik. Er besteht aus einer beliebigen Grundmenge, der durch Spezifizierung einer so genannten Topologie eine abstrakte mathematische Raumstruktur aufgeprägt wird.

Definition

Eine Topologie ist eine Familie ${\mathfrak {T}}$ von als offen bezeichneten Teilmengen der Grundmenge X (und ist damit eine Teilmenge der Potenzmenge von X), die folgenden Axiomen genügt:

• Die leere Menge und die Grundmenge X sind offene Mengen.
• Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
• Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge.

Eine Menge X zusammen mit einer Topologie auf X heißt topologischer Raum. Eine Teilmenge von X, deren Komplement offene Menge ist, heißt abgeschlossen.

Eine Topologie ${\mathfrak {T}}1$ ist feiner als eine Topologie ${\mathfrak {T}}2$, wenn jede offene Menge von ${\mathfrak {T}}2$auch offen in ${\mathfrak {T}}1$ ist. ${\mathfrak {T}}2$ heißt dann gröber als ${\mathfrak {T}}1$.

Weitere Begriffe im Zusammenhang mit topologischen Räumen sind im Topologie-Glossar zusammengefasst.

Beispiele

1. Auf jeder Grundmenge existieren als triviale Beispiele von Topologien:
   1. Die indiskrete Topologie, die nur die leere Menge und die Grundmenge enthaelt.
   2. Die indiskrete Topologie, die alle Teilmengen enthält.
2. Das System der offenen Teilmengen eines metrischen Raums ist eine Topologie.

Sprechweise

Im Hinblick auf geometrische Anwendungen werden die Elemente der Grundmenge oft als Punkte bezeichnet.

Umgebungen eines Punktes werden dann definiert als Obermengen von offenen Mengen, die den Punkt enthalten.

Umgekehrt charakterisieren die Umgebungen die offenen Mengen:

• Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie mit jedem ihrer Punkte auch eine Umgebung dieses Punktes enthält. (Dieser Satz erklärt die Verwendung des Wortes offen für den oben definierten mathematischen Begriff.)

Literatur

H. Schubert: Topologie, Teubner, Stuttgart 1964, ISBN 3519122006

Links

Weitere mathematische Räume siehe unter Raum (Mathematik)