Innenproduktraum

Innenproduktraum

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Lineare Algebra Geometrie Funktionalanalysis

ist Spezialfall von

metrischer Raum Vektorraum normierter Raum

umfasst als Spezialfälle

Euklidischer Raum reelle Zahlen Unitärer Raum komplexe Zahlen Hilbertraum

Ein Skalarprodukt ist eine Funktion, die zwei Elementen eines Euklidischen Raums - oder allgemeiner, eines reellen Vektorraums - orraum]]s eine reelle Zahl zuordnet.

Element des dem Vektorraum zugrundeliegenden Skalarkörpers zuordnet.

Historisch zuerst wurde das Skalarprodukt für den Euklidischen Raum eingeführt. Hier gilt die folgende Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b

Ein Vektorraum, auf dem ein Skalarprodukt definiert ist, heißt Innenproduktraum oder Prähilbertraum. Innenprodukträume verallgemeinern den Euklidischen Raum; sie ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.

Formale Definition

Um den Begriff des Skalarprodukts auf abstrakte Räume zu übertragen, abstrahiert man aus den vorstehenden Überlegungen einige Minimalvoraussetzungen, die ein skalares Produkt zweier Vektoren besitzen muss, um im Fall des Euklidischen Raums mit dem naiv eingeführten Skalarprodukt zusammenzufallen.

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K der reellen oder komplexen Zahlen. Ein Skalarprodukt ist eine positiv definite Hermitesche Form, das ist: eine Abbildung <·,·>: V×V→K die für alle x, y, z aus V und für alle a, aus K die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt:

• (1) <x,x> ≥ 0 (positiv);
• (2) aus <x,x> = 0 folgt x = 0 (definit);
• (3) $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}$ (Hermitesch);
• (4) <x,ay+z> = a<x,y>+<x,z> (linear in einem Argument).

Bemerkungen:

• Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet komplexe Konjugation. In einem reellen Vektorraum (wenn also K=R) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung; das Skalarprodukt ist dann nicht nur Hermitesch, sondern sogar symmetrisch.
• Aus Bedingungen (3) und (4) folgt <ax + z, y> = ${\overline {a}}$<x, y> + <z, y>; das Skalarprodukt ist also nicht nur eine Linearform im zweiten Argument, sondern auch eine Semilinearform im zweiten Argument, insgesamt also eine Sesquilinearform; über einem reellen Vektorraum ist das Skalarprodukt sogar eine Bilinearform.
• Das Skalarprodukt über einem komplexen Vektorraum wird oft auch als linear im ersten Argument, und damit semilinear im zweiten, definiert. Man muss also aufpassen, ob in einem gegeben Text <ax,y> = a<x,y> oder <ax,y> = ${\overline {a}}$<x,y> gilt.

Beispiel

Ein Beispiel für einen Innenproduktraum, der kein Euklidischer Raum ist, ist der Raum aller stetigen Funktionen von einem reellen Intervall [a,b] nach R mit dem Skalarprodukt

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}p(x)f(x)g(x)\ {\rm {d}}x$,

wobei p(x) eine positive Gewichtsfunktion (oder "Belegung") ist (statt p(x)>0 genügt es, p(x)≥0 mit schwachen Zusatzbedingungen zu fordern). Eine orthogonale Basis dieses Raums heißt orthogonales Funktionensystem; Beispiele für solche Funktionensysteme sind die trigonometrischen Funktionen, die in Fourier-Reihen verwendet werden, die Legendre-Polynome, die Tschebyscheff-Polynome, die Laguerre-Polynome, die Hermite-Polynome usw.

Norm und Winkel

Das Skalarprodukt induziert eine Norm

$\|\mathbf {x} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}.$

Damit ist jeder Innenproduktraum ein normierter Raum.

Bemerkung: der Beweis, dass das so definierte ||·|| tatsächlich eine Norm ist, also insbesondere die Dreiecksungleichung erfüllt, erfordert als nichttrivialen Zwischenschritt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Die Norm kann man anschaulich als die Länge eines Vektors verstehen. Zumindest in geometrischem Kontext schreibt man die Norm üblicherweise mit einfachen Betragszeichen

$|\mathbf {x} |:=\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}$

und nennt sie auch den Betrag eines Vektors. Vektoren mit dem Betrag 1 heißen Einheitsvektoren.

Unter Verwendung der Norm kann man das Skalarprodukt beliebiger Vektoren

xy = |x| |y| cos φ

schreiben. Die Zahl φ kann man geometrisch als den von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkel deuten.

Dabei verwendet man wiederum die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, die sicherstellt, dass -|x| |y| ≤ xy ≤ |x| |y|, was die Voraussetzung dafür ist, dass wir den Quotienten xy/|x||y| als einen Cosinus interpretieren.

Diese geometrische Deutung legt es nahe, Vektoren, deren Skalarprodukt Null ist, senkrecht oder orthogonal zueinander zu nennen. Orthogonale Einheitsvektoren heißen orthonormal.

Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen

Mit der durch das Skalarpodukt induzierten Norm ist jeder Innenproduktraum ein normierter Raum, damit auch ein metrischer Raum, damit auch ein topologischer Raum; er besitzt also sowohl eine geometrische als auch eine topologische Struktur.

Ein vollständiger Innenproduktraum heißt Hilbertraum. Ein Banachraum auf dem man ein Skalarprodukt definiert, wird ein Hilbertraum.

Eine Verallgemeinerung von Innenprodukträumen sind Bilinearräume, bei denen das Skalarprodukt ersetzt ist durch eine Bilinearform, die nicht notwendig positiv definit ist. Ein wichtiges Beispiel ist der Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie.

Bilinearräume erlauben auch die Betrachtung anderer Grundkörper außer den reellen oder komplexen Zahlen. Die Theorie der Bilinearräume ist eng verbunden mit der Theorie der quadratischen Formen (homogene Polynome vom Grad 2).