Orthoptische Kurve

Die orthoptische Kurve (gr. ορθοπτική orthoptiké „Geradesehen“) einer ebenen Kurve $k$ ist in der Mathematik der geometrische Ort aller Schnittpunkte orthogonaler Tangenten der Kurve $k$.

die orthoptische Kurve einer Parabel ist die Leitlinie

Ellipse mit orthoptischer Kurve (lila)

Hyperbel mit orthoptischer Kurve (lila)

Beispiele

Die orthoptische Kurve

1) einer Parabel ist ihre Leitgerade (Beweis: s. Parabel),

2) einer Ellipse ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ist der Kreis $x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$ (s. unten),

3) einer Hyperbel ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\,a>b,$ ist der Kreis $x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}$,

(Im Fall $a\leq b$ gibt es keine orthogonalen Tangenten ! s. unten),

4) einer Astroide $x^{\tfrac {2}{3}}+y^{\tfrac {2}{3}}=a^{\tfrac {2}{3}}$ ist das Vierblatt (Kurven) (quadrifolium) mit der Polardarstellung $r^{2}={\tfrac {a^{2}}{2}}\cos ^{2}(2\varphi )$.

Verallgemeinerungen

1) Eine isoptische Kurve einer ebenen Kurve $k$ ist der geometrische Ort aller Schnittpunkte von Tangenten der Kurve $k$, die sich unter einem festen Winkel schneiden (s. unten).

2) Eine isoptische Kurve zweier ebener Kurven $k_{1},k_{2}$ ist der geometrische Ort aller Schnittpunkte von Tangenten der Kurven $k_{1},k_{2}$, die sich unter einem festen Winkel schneiden.

3) Der Thaleskreis über einer Strecke ${\overline {P_{1}P_{2}}}$ lässt sich als orthoptische Kurve von zwei zu den Punkten $P_{1},P_{2}$ degenerierten Kreisen auffassen.

Bemerkung: In der Augenheilkunde gibt es die ähnlich lautenden Begriffe Orthoptik und Orthoptistin.

Orthoptische Kurve einer Ellipse bzw. Hyperbel

Ellipse

Die Ellipse mit der Gleichung ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ lässt sich durch die etwas ungewöhnliche Parameterdarstellung

• ${\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}},{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right),\,m\in \mathbb {R} \,,$

beschreiben, dabei ist $m$ die Tangentensteigung im jeweiligen Ellipsenpunkt und ${\vec {c}}_{+}(m)$ die obere und ${\vec {c}}_{-}(m)$ die untere Hälfte der Ellipse. Die Punkte mit senkrechten Tangenten (Scheitel $(\pm a,0)$) werden durch diese Parameterdarstellung nicht erfasst, was aber kein Problem ist, da die senkrechten Tangenten sich offensichtlich mit den waagrechten Tangenten $y=\pm b$ in den Punkten $(\pm a,\pm b)$ der orthoptischen Kurve (Kreis mit Radius ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$) schneiden.

Die Tangente im Punkt ${\vec {c}}_{\pm }(m)$ ist

$y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}$.

Geht eine Tangente durch einen Punkt $(x_{0},y_{0})$, der nicht auf der Ellipse liegt, so gilt

$y_{0}=mx_{0}\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}$.

Beseitigt man die Wurzel durch Umformen und Quadrieren, so erhält man die quadratische Gleichung

$m^{2}-{\frac {2x_{0}y_{0}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}m+{\frac {y_{0}^{2}-b^{2}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}=0$,

die zwei Lösungen $m_{1},m_{2}$ besitzt, welche den beiden Tangenten durch den Punkt $(x_{0},y_{0})$ entsprechen. Das absolute Glied einer quadratischen Gleichung (in Normalform) ist immer gleich dem Produkt der Lösungen. Damit sich die Tangenten in $(x_{0},y_{0})$ orthogonal schneiden, muss also

$m_{1}m_{2}=-1={\frac {y_{0}^{2}-b^{2}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}$

sein. Die letzte Gleichung ist zu

$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=a^{2}+b^{2}$

äquivalent. Dies bedeutet

• die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten liegen auf einem festen Kreis mit Radius ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Von einem beliebigen Punkt des orthoptischen Kreises aus erscheint die Ellipse in einem Öffnungswinkel von $90^{\circ }$.

Hyperbel

Der Ellipsenfall lässt sich für den Hyperbelfall fast wörtlich übernehmen. Die einzigen notwendigen Änderungen sind: 1) man ersetze $b^{2}$ durch $-b^{2}$ und 2) schränke $m$ durch $|m|>b/a$ ein. Damit erhält man

• die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten liegen auf einem festen Kreis mit Radius ${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$. Dabei muss $a>b$ sein.

Isoptische Kurven von Prabel, Ellipse und Hyperbel

isoptische Kurven (lila) einer Parabel für die Winkel 80 bzw. 100 Grad

isoptische Kurven (lila) einer Ellipse für die Winkel 80 und 100 Grad

isoptische Kurven (lila) einer Hyperbel für die Winkel 80 und 100 Grad

Im Folgenden werden die isoptischen Kurven zu einem Schnittwinkel $\alpha \neq 90^{\circ }$ angegeben und kurz mit $\alpha$-isoptische Kurven bezeichnet. Zu den Beweisen: siehe Abschnitt Beweise.

Gleichungen der isoptischen Kurven

Parabel

Die $\alpha$-isoptischen Kurven der Parabel mit der Gleichung $y=ax^{2}$ sind die Äste der Hyperbel

$x^{2}-\tan ^{2}\alpha \;(y+{\tfrac {1}{4a}})^{2}-{\frac {y}{a}}=0$.

Die beiden Äste der Hyperbel liefern die isoptischen Kurven für die beiden Winkel $\alpha ,180^{\circ }\!-\!\alpha$. (s. Bild)

Ellipse

Die $\alpha$-isoptischen Kurven der Ellipse mit der Gleichung ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ sind Teile der Kurve 4.Grades

$\tan ^{2}\alpha \;(x^{2}+y^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}=4(a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}-a^{2}b^{2})$. (s. Bild)

Hyperbel

Die $\alpha$-isoptischen Kurven der Hyperbel mit der Gleichung ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ sind Teile der Kurven 4.Grades

$\tan ^{2}\alpha \;(x^{2}+y^{2}-a^{2}+b^{2})^{2}=4(a^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}+a^{2}b^{2})$.

Beweise:

Parabel

Eine Parabel $y=ax^{2}$ lässt sich durch die Tangentensteigung $m=2ax$ parametrisieren:

${\vec {c}}(m)=({\frac {m}{2a}},{\frac {m^{2}}{4a}}),\,m\in \mathbb {R}$.

Die Tangente mit der Steigung $m$ ist:

$y=mx-{\frac {m^{2}}{4a}}$.

Ein Punkt $(x_{0},y_{0})$ liegt auf der Tangente, wenn

$y_{0}=mx_{0}-{\frac {m^{2}}{4a}}$

gilt d.h. die Steigungen $m_{1},m_{2}$ der beiden Tangenten durch $(x_{0},y_{0})$ erfüllen die quadratische Gleichung

$m^{2}-4ax_{0}m+4ay_{0}=0$.

Damit der Schnittwinkel der beiden Tangenten $\alpha$ oder $180^{\circ }-\alpha$ ist, muss

$\tan ^{2}\alpha =({\frac {m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}})^{2}$ gelten.

Löst man die quadratische Gleichung für $m$, setzt die beiden Lösungen $m_{1},m_{2}$ in die letzte Gleichung ein, ergibt sich nach Beseitigung der Nenner, die $x_{0},y_{0}$ enthalten, die Gleichung

$x_{0}^{2}-\tan ^{2}\alpha \;(y_{0}+{\frac {1}{4a}})^{2}-{\frac {y_{0}}{a}}=0$.

Dies ist die obige Hyperbelgleichung, deren Äste die beiden isoptischen Kurven der Parabel zu den Winkeln $\alpha$ und $180^{\circ }-\alpha$ sind.

Ellipse

Für eine Ellipse ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ kann man den Ansatz für die orthoptische Kurve bis zur quadratischen Gleichung

$m^{2}-{\frac {2x_{0}y_{0}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}m+{\frac {y_{0}^{2}-b^{2}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}=0$

übernehmen. Hier muss man, wie im Parabelfall, die quadratische Gleichung lösen, die Lösungen $m_{1},m_{2}$ in die Gleichung $\tan ^{2}\alpha =({\tfrac {m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}})^{2}$ einsetzen und die Nenner beseitigen. Es ergibt sich die behauptete Gleichung 4. Grades

$\tan ^{2}\alpha \;(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}=4(a^{2}y_{0}^{2}+b^{2}x_{0}^{2}-a^{2}b^{2})$.

Hyperbel

Die Lösung für den Hyperbelfall ergibt sich aus dem Ellipsenfall, durch die Ersetzung von $b^{2}$ durch $-b^{2}$ (wie bei den orthoptischen Kurven, s. o.).

Bemerkung: Zur Visualisierung der Kurven siehe implizite Kurve

Weblinks

• Special Plane Curves
• Mathcurve: Orthoptic
• Mathcurve: Isoptic

Literatur

• Boris Odehnal: Equioptic Curves of Conic Sections,Journal for Geometry and Graphics Volume 14 (2010), No. 1, 29–43.
• Hermann Schaal: Lineare Algebra und Analytische Geometrie Band III, Vieweg, 1977,ISBN 3 528 03058 5, S. 220.
• Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie, B. G. Teubner, Leipzig 1867 (bei Google Books: [1]), 2. Teil, S.186.
• Maurizio Ternullo: Two new sets of ellipse related concyclic points, Journal of Geometry 2009, 94, S. 159-173.