C*-Algebra

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis sind C*-Algebren eine Abstraktion der beschränkten linearen Operatoren auf einem Hilbertraum.

Zunächst trennte man den abstrakten Begriff und die konkrete Realisierungen von Norm-abgeschlossene *-Unteralgebren und nannte sie B*-Algebren und C*-Algebren. Das C soll auf die Abgeschlossenheit (closed) hinweisen. Es stellte sich heraus, daß die Trennung der Beiden Begriffe nicht notwendig war und man nutzte nur noch den Begriff C*-Algebra.

Heute wird C*-Algebra Theorie auch als nichtkommutative Topologie angesehen.

Definition und Eigenschaften

Eine C*-Algebra $A$ ist eine involutive Banachalgebra, die zusätzlich das C*-Axiom erfüllt:

$\|a^{*}a\|=\|a\|^{2}$.

Mit "involutiv" ist die Existenz einer Involution gemeint, d.h. einer Abbildung

${*}\colon A\to A,\quad a\mapsto a^{*}$

mit den folgenden Eigenschaften:

• $(a+b)^{*}=a^{*}+b^{*}$ und $(\lambda a)^{*}={\bar {\lambda }}a^{*}$ (semilinear oder konjugiert linear)
• $(ab)^{*}=b^{*}a^{*}$ (multiplikativ)
• $(a^{*})^{*}=a$ (involutiv)
• $\|a^{*}\|=\|a\|$ (isometrisch) für $a,b\in A$ und $\lambda \in \mathbb {C}$.

Seien $A,B$ C*-Algebren. Ein Abbildung $\varphi \colon A\to B$ heißt *-Homomorphismus, falls sie linear, multiplikativ und mit der Involution verträglich ist. Es wird nicht gefordert, daß $\phi$ stetig sein muß!

Jeder *-Homomorphismus ist kontrahierend, also insbesondere stetig. Kontrahierend heißt $\|\varphi (a)\|\leq \|a\|$ $\forall a\in A$.

Beispiele

• Das motivierende Beispiel für den Begriff der C*-Algebren ist die Algebra $L(H)$ der linearen Operatoren auf einem Hilbertraum $A$ mit der Bildung des adjungierten Operators als Involution.

• Auch jede *-Unteralgebra von $L(H)$, die in der Normtopologie abgeschlossen ist, ist eine C*-Algebra.

Man kann sogar zeigen, dass jede C*-Algebra isometrisch *-isomorph zu einer *-Unteralgebra von $L(H)$ für einen geeigneten Hilbertraum $H$ ist (Satz von Gelfand und Naimark).

• Sei X ein lokalkompakter Hausdorffraum. Dann bilden die komplexwertigen, stetigen und im unendlich verschwindenden Funktionen $C_{0}(X)$ eine kommutative C*-Algebra, wobei die Involution durch die Konjugation gegeben wird.

Ein ebenfalls nach Gelfand und Naimark benannter Satz besagt, daß jede kommutative C*-Algebra diese Form hat.

• $M_{n}=L(\mathbb {C} ^{n})$ $n\in \mathbb {N}$

• $K(H)$ kompakte Operatoren auf einem Hilbertraum

• direkte Summe von C*-Algebren

• direktes Produkt von C*-Algebren

• induktiver Limes von C*-Algebren

• UHF Algebren

• AF Algebren

• Rotationsalgebra

• Cuntzalgebra

• Cuntz-Krieger-Algebra

• Toeplitz-Algebra

• Gruppen C*-Algebra

Verallgemeinerungen

*-Unteralgebren von $L(H)$ für Hilberträume $H$, die in der schwachen oder starken Operatortopologie abgeschlossen sind, und den Einheitsoperator enthalten, heißen Von-Neumann-Algebren. Da sie auch in der Normtopologie abgeschlossen sind, sind sie C*-Algebren.