Hallo, ich habe die Bedeutung umgeschrieben und versucht, das Paradoxon in den philosophischen Kontext der damaligen Zeit einzubetten. Aus den verschiedenen Ansätzen könnte man Unterpunkte zu dem Punkt "Lösungsmöglichkeiten" machen. Auch in finde, dass der Artikel zu lang ist, insbesondere die einzelnen Ansätze. Man sollte einfach nur das Paradoxon mathematisch modellieren und dann auf die entsprechenden Artikel (z.B. geometrische Reihe) verweisen. Falls es noch keine oder unzureichende Artikel mit dem mathematischen Hintergrund gibt, sollte man liebe jene ergänzen, als diesen Artikel aufzuplustern und allein durch die Text- und Bildermasse einen falschen Schwerpunkt zu verleihen. Dann bräuchte man hier auch nicht über die mathematischen Details zu diskutieren. --- Hegelkant

Ist schon besser geworden. Da viel Mist von mir ist, sage ich dazu: Der mathematische Hintergrund in der Wikipedia zu Zählen, Zahlwert (Zahlgröße), Logik (insbesondere meine bevorzugte Begriffslogik) ist nicht vorhanden. Das ursprüngliche Problem ist wohl nicht mathematisch gemeint gewesen, wird aber heutzutage im Untericht so aufgefasst. Außerdem liegt auch hier etwas Zirkuläres vor. Wer beschreibt wen? Die Läufer das Rennen, ein Läufer und das Rennen den anderen. Das Rennen und ein Läufer einen Läufer? Es wird nicht herauszubekommen sein, welche Voraussetzung einen Widerspruch verursacht, weil immer zwei beschreibende Voraussetzungen im Schluß einen Widerspruch erzeugen.--Roomsixhu 08:23, 30. Nov 2005 (CET)

Hallo, ich habe versucht, einige der geäußerten Kritikpunkte in der Einleitung aufzugreifen. Insgesamt finde ich den Artikel aber viel zu lang. Wieso braucht man verschiedene Ansätze oder warum soll man beweisen, dass eine unendliche geometrische Reihe einen Grenzwert hat? Dazu gibt es meiner Meinung nach bereits entsprechende Artikel.

Interessant ist vielleicht noch der Punkt, der weiter unten geäußert wird: Die geometrische Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ... und der Wert 2 sind zwei verschiedene Dinge. In der heutigen Mathematik sind die geometrische Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ... und die reelle Zahl 2 aber in der Tat dasselbe - so sind die reellen Zahlen gerade definiert!

Diesen letzten Punkt sollte man sicher in dem Artikel erwähnen, aber die ganze Epsilontik würde ich gerne streichen. --Christian Gawron 01:36, 5. Nov 2005 (CET)

So, ich habe den Atikel jetzt fertig im Großen und Ganzen, sind jetzt weniger math's und Zahl und Maß stehen jetzt weiter auseinanderm und noch zwei Anmerkungen. Ich hoffe es sind jetzt keine Rechenfehler drin.---Roomsixhu 01:02, 10. Nov 2004 (CET) Hatte ich eh vor und habe es jetzt gemacht. Vieleicht kann sie jemand flüssiger machen, also weniger math's setzen. Sorry, ich bevorzuge das ß und Achilles wurde grausam weil er eben unbesiegbar war, aber sein Größenwahn wurde eben durch seine doch verwundbare Ferse beendet, was hoffen läßt. --Roomsixhu 19:32, 9. Nov 2004 (CET)

Kann vielleicht jemand die Formeln in TeX umsetzen? Ich habe jetzt zunächst nur ein paar kleine Änderungen vorgenommen. --Oracle of truth 17:57, 9. Nov 2004 (CET)

So sieht es schon besser aus :) . Unabhängig von

persöhnlichen Präferenzen ist die ß-Schreibung bei "dass" etc. nach dem Duden nun mal falsch, außerdem wird in den restlichen Artikeln der Wikipedia auch die neue Rechtschreibung benutzt. Ach ja, versuche Änderungen doch einfach in einem Rutsch zu machen, sieht dann zumindest übersichtlicher aus. --Oracle of truth 14:47, 10. Nov 2004 (CET)

Das mit dem einfachen Rutsch ist auch mein Anliegen, aber da waren beim 20. Durchlesen noch große Fehler drin, und ich war nocht nicht so formelerfahren. Das ss und ß Problem ist schon ok, kommt aber gerade in dem Wort Maß , Maße und Masse vor.---Roomsixhu

Philosophisches

Hi, könnte man die Schilderung des Problems etwas historisch angemessenter machen? Sonst versteht man schlecht, warum an dieser Stelle die antike Mathematik am Ende war. Z.B. könnte man in der derzeitigen Formulierung denken, dass man doch einfach nur ein Weg-Zeit-Diagramm hätte zeichnen können um den Überholpunkt damit geometrisch zu bestimmen. Das geht nicht, weil es erst seit Descartes-Galilei üblich wurde, Zeit als Kontinuum aufzufassen und mit Strecken zu identifizieren. Auch gibt es, damit zusammenhängend, den Begriff der Geschwindigkeit in heutiger Lesart erst seit Newton/Leibniz, also nochmals 150 Jahre später. Grob gesagt hatten die antiken Griechen keinen Begriff davon, wie die Dauern der unendlich vielen Ereignisse "Achill erreicht die vorige Position der Schildkröte" miteinander zu vergleichen wären. Das ist auch der Kern der weiteren Paradoxa, im antiken geistigen Betriebssystem, dem "angeborenen" "A-priori der Erkenntnis" gab es weder eine universale Zeitgerade noch die Operation, die Vorgängen eine Strecke auf ihr zuordnete. Jedes Ding hatte seine eigene, von allem anderen separate Zeit.--LutzL 18:13, 10. Nov 2004 (CET)

In etwa so: ohne Geschwindigkeit: Während Achilles eine Strecke zurücklegt, legt die Schildkröte nur 1/10 dieser Strecke zurück.

Das Paradoxon: Irgendein Gott (damit O Reaktionszeit), z.B. Chronos, möchte den Moment festhalten, in welchem Achill die Schildkröte überholt (Nasenspitze zählt), ohne den genauen Zeitpunkt ausrechnen oder gar messen zu können. Dazu macht er eine Serie von Bildern, z.B. eins bei jedem Schritt von Achilles oder eins bei jedem Schritt der Schildkröte, aber egal wie er es anstellt, er verpasst fast sicher den genauen Augenblick. Dann die "geniale" Idee: Immer wenn Achilles die vorige Position der Schilkröte erreicht, wird ein Bild gemacht. Das Problem: Jetzt hat er zwar unendlich viele Bilder, die er wie im Daumenkino übereinanderlegen könnte, aber egal wie weit er blättert, nie hat Achill die Schildkröte überholt. Er ist in einem unendlichen "Freeze" gefangen.

Dazu ist wie oben anzumerken, dass, im Prinzip bis zur Renaissance, nur der Augenblick absolut war, Zeitabstände aber relativ und damit nicht miteinander vergleichbar. So unterteilten die antiken Griechen zwar den Tag, aber eben von Sonnenauf- bis -untergang. Zenon konnte hier also die unendlich kleinen Zeitabstände gar nicht aufsummieren, um Endlich- oder Unendlichkeit festzustellen, da diese gar nicht mit einem gemeinsamen Maß gemessen werden konnten. Die Frage des Grenzübergangs taucht also gar nicht auf, und wäre evtl. analog zu Archimedes' Exhaustationsmethode zumindest "intuitiv" zu beantworten gewesen (falls Zenon diese kannte).--LutzL 13:21, 12. Nov 2004 (CET)

Ich kann zu diesem ganzen Komplex, genau mein Thema, leider nur zwei ältere Links anbieten. 1. Descartes http://members.aol.com/_ht_a/roomsixhu/cartesius.htm, erst seit ihm kann man überhaupt mit Längen, Größen und Zahlen gemeinsam rechnen, weil er sie auf die Einheitslänge normiert hat, dabei aber in gewissem SInn die Individualität opfert (dort auch Auszug aus seiner Geometrie, 1637 o.s.ä), und 2. Leibniz http://members.aol.com/_ht_a/roomsixhu/leibniz.htm mit seiner neuen Rechenmethode ohne auf den Begriff Differential einzugehen (dort Auszug aus seiner Über die Analysis des Unendlichen, Neue Methode der Maxima, Minima..., 16-17xx) , aber ehrlich gesagt die vielen Formeln schrecken mich noch ab.--Roomsixhu 22:45, 10. Nov 2004 (CET)

Mathematischer Firlefanz

Letzter Kommentar: vor 19 Jahren1 Kommentar1 Person ist an der Diskussion beteiligt

Ich halte diesen Artikel für ziemlich schlecht. Erstmal hört sich der Titel "Achilles und die Schildkröte" wie ein Kinderbuch an. Das was beschrieben wird, ist das Paradoxon von Zenon. Zweitens wird hier mit erschlagender Maschinerie ein Beweis erbracht, der formal korrekt ist, aber völlig am Thema vorbeigeht. Die Frage ist nähmlich nicht, ob irgendwas konvergiert, sondern: Hat das mathematische Objekt "Grenzwert" eine reale Bedeutung? Wer beweist, dass der Grenzwert, der berechnet wird, wirklich die Strecke ist, die Archilles in der berechneten Zeit zurücklegt? Wittgenstein (siehe Philosophische Untersuchungen) hat diesen Fehler bemerkt, auf den so ziehmlich alle Mathematik-Studenten hereinfallen, und anscheinend auch die Schreiber hier. Die geometrische Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ... und der Wert 2 sind zwei verschiedene Dinge. Das letzter ist ein Teil der allgemeinen menschlichen Erfahrung (2 Meter sind real messbar). Das erstere nicht. In der Mathematik sind beide zwar gleich, aber das sagt nichts über die Realität aus. Das ist der Punkt über den man schreiben sollte und n icht ellenlage Formeln. 128.97.70.87 01:51, 9. Mär 2005 (CET)

Paßt an dieser Stelle besser (statt ganz unten), denn die Kritik, soweit ich es verstehe, deckt sich mit meinem Ausgangspost.--LutzL 09:12, 9. Mär 2005 (CET)

Wo bitte genau steht die Stelle bei Wittgenstein? Könnt Ihr den Link unten, Aufatz über Zenon, eine ps-datei, nicht lesen, dann biete ich an ihn in eine pdf Datei umzuwandeln. Das ist ein Artikel aus der Universität Erlangen Mathematikgeschichtliches Institut. Dort steht auch warum die diversen Ansätze immer wieder krepieren, so zum Beisplei der mit der Geschwindigkeit und wie zum Beispiel das Problem mengentheoretisch aufgefaßt werden kann, und warum Aristoteles Zenon nicht widerlegt hat, und wie überhaupt die Quellenlage ist. Wem das gefällt, der kann ja daraus für den Artikel übernehemen. --Roomsixhu 17:07, 15. Mär 2005 (CET)

Ja ich fände pdf besser, kann ps nicht öffnen. Pdf ist einfach auch verbreiteter.

zenon.pdf steht jetzt hier--Roomsixhu 01:24, 18. Jul 2005 (CEST)

Sorry, da ich eh schon einige Urheberrechtsprobleme hier habe kann ich sie Dir nur per e-mail zuschicken, wielleicht kannst Du sie dann auf eine andere Homepage stellen und verlinken. Der Autor ist Kurt von Fritz und bestimmt wieder nicht lange genug tot. Meine e-mail: roomsixhu@freenet.de. Gruß --Roomsixhu 14:00, 28. Mai 2005 (CEST)Beantworten

Ein Essay

Hier liegt meines Erachtens eine Schwierigkeit denn Individuelles ist mit sich identisch und für die Logik unfruchtbar. Erst wenn man diesen Individualbegriff zu einem Algemeinbegriff macht wird er für die Logik fruchtbar, allerdings verliert der Individualbegriff dadurch zweifelsohne. In der Musikgeschichte hat die Gregorialmelodik zweifellos Noten verloren, um sich in die neue Dur -Mollharmonik einzupassen, und erst in jüngerer Zeit schaffen wir wieder eine Melodik, die so individuell wie die der Gregorianik ist, und dennoch wird niemand behaupten, daß es mit der logischen Harmonielehre europäischen Zuschnitts gelungen ist ein allgemeingültige Fuge zu komponieren, vielmehr speist sich die jetzige Entwicklung aus einer Auflösung und Überwindung der Dur Moll Harmonik (nicht Untergang). Auch sind die oft Doppelten Begrifflichkeiten ein Hindernis, es gibt Epsilontik , Intervall-Chiontik etc. und das nur, um Indivisibilen und unendlich Kleine zu unterscheiden. Descartes normiert (willkürlich (zufällig?)) und schafft aus Individualbegriffen Allgemeinbegriffe, um sich in der Geometrie der Zahlzeichen zu bedienen, und man kann seit ihm zwanglos a²+a addieren, was vorher unmöglich war, eine Länge und eine Fläche zu addieren. Er hat also eine Länge (geometrische Figur) seiner Individualität beraubt, um einen Allgemeinbegriff für unsere Logik zu erhalten , und die ist bestimmt nicht von den Griechen. Dasselbe passiert nun noch einmal mit den unendlichkleinen Größen. Eine unendlichkleine Größe (dx, bei Leibniz sogar in seinen Figuren eingezeichnet) wird ihrer Individualität beraubt, um durch diese Normierung einen Allgemeinbegriff zu schaffen, und Begriffe unvereinbarer Sachverhalte logisch zu bearbeiten , also unendlich und endlich ( wie vorher Fläche oder Kubus und Länge). Es gib danach ja auch unendlichkleine Größen verschiedener Ordnung. Jetzt kann man unendlichkleine Größen addieren und einen bestimmten Wert angeben, sofern sie konvergieren, ansonsten bleibt es unbestimmt. Auch die Newtonschen Bezeichnungen "Fluente" und "Fluxion" entstammen den mittelalterlichen Termini "forma fluens" und "fluxus formae", ohne daß freilich die Begriffe genau dieselben wären. Überhaupt haben alle griechischen Begriffe wie Ding, unendlich für mich charakteristisch individuelles.Und die Griechen wirken nicht gewillt sie einer Begriffslogik zu opfern. Schließlich ein nachvollziehbares Experiment (mit Galilei): Mann lasse seinem siebenjährigen Sohn einen Vorsprung und beginne einen Wettlauf mit der festen Absicht ihn (Sohn) zu ärgern. Ich habe ein Ergebnis erzielt: Ich holte meinen Sohn ein, ja überholte ihn sogar, und er ärgerte sich, was auch ihm eine Beobachterrolle zuweist. Und einmal erreicht ist ein Widerspruch zu "nie" erreicht. Überhaupt sehe ich die Tragik unserer Kultur, daß nicht irgendeine Zivilisation, Nation die notwendigen Opfer bringt, wenn Individuen für Allgemeingültigkeit geopfert werden, sondern jeder Einzelne persönlich muß entscheiden, ob er verlieren will, wenn er seine "natürlichen " Individualbegriffe verallgemeinert, um sie einer Logik oder ähnlichem zugänglich zu machen. Ich persönlich bin nicht mehr dazu bereit, das Opfer ist meist zu hoch.

Physikalischer Ansatz

In den Artikel unter dem Abschnitt Kinematischer Ansatz verschoben.

Die Plancklänge ist nicht die kleinste physikalische Länge. Es besteht allenfalls die Gefahr, dass die Schildkröte in ein schwarzes Loch gerät, wenn sie sich um diese Länge fortbewegt. Für alle praktischen Zwecke wird Achilles ihr dann aber schon nah genug sein. Nopherox 11:15, 6. Apr 2005 (CEST)

Wenn's um "praktische Anwendung" geht, fällt mir doch immer wieder dieser Witz ein:

Die Fachschaften Mathematik und Physik veranstalten gemeinsam einen Ball. Damit es nicht allzu langweilig wird, wird ein Spiel vorgeschlagen.

Alle stellen sich huebsch nach Maennlein und Weiblein getrennt an entgegengesetzten Seiten der Tanzflaeche auf. Die einzige Regel besagt, dass wenn das Orchester einen Tusch spielt, sich die beiden Parteien um die Haelfte der jeweiligen Distanz naehern duerfen.

Sofort verlassen die Mathematiker frustriert die Tanzflaeche. Fragt ein solcher einen Physiker: "Warum macht Ihr denn weiter? Ihr erreicht die Frauen ja doch nicht."

Physiker: "Stimmt schon, aber spaetestens nach dem dritten Tusch reicht es fuer die praktische Anwendung."

Langec ☎ 17:09, 6. Apr 2005 (CEST)

Berwertung (aus Artikel)

Bewertung

Es sind für das konkrete Problem folgende Voraussetzungen unklar: Läuft Achilles hinter der Schildkröte? Hinter ihr kann er sie nicht überholen. Läuft er neben ihr? Wie werden dann die Strecken verglichen? (Das ist erst seit Descartes möglich). Was passiert beim Zusammentreffen der beiden? Tötet Achilles die Schildkröte, weil er ein Held ist? Aber jedenfalls nicht mit Pfeil und Bogen, denn nach Zenon bewegt sich der Pfeil nicht; ein weiteres Paradoxon. Überholt Achilles die Schildkröte? Hebt er sie auf und läuft mit ihr weiter? Setzt er sie auf seinen ausgestreckten Arm und die Schildkröte läuft weiter? Zenon als Beobachter ist eigentlich immer schneller, sowohl als Achilles, als auch die Schildkröte, mit seinem Zollstock zur Stelle um das Problem auszumessen.

Hab ich aus dem Artikel hierher verschoben, wohl eher Humor... es sei den die Bewertung besteht aus historischen Zitaten... --qwqch 19:54, 7. Feb 2005 (CET)

keine kleinsten Einheiten

Durch die Quantenphysik mit kleinsten Einheiten für Masse, Energie, Raum und Zeit bekommen Zenons Paradox allerdings neue Akzente. wieder rausgenommen. Auch in der Quantenphysik gibt es keine kleinsten Einheiten für diese Größen sondern nur eine Unbestimmtheit bei der gleichzeitigen Messung mit anderen Größen. --Nopherox 10:32, 29. Mär 2005 (CEST)

Gut, dass der Unfug draußen ist. — Martin Vogel 鸟 17:48, 6. Apr 2005 (CEST)

Einleitung

Seht gut, aber die ganzen Teile mit beispielsweise müssen dann als Voraussetzung wieder rein, weil der ganze Artikel damit rechnet. Vielleicht ein Absatz Vorraussetzung vor infinitesimaler Ansatz.--Roomsixhu 01:50, 30. Jul 2005 (CEST)

artikel muss grösstenteils neu geschrieben werden; berechnung der strecke bis zum einholen mit geom. reihen ist zu ausführlich; berechnung der strecke bis zum einholen (unter kinematischer ansatz...) aus geschwindikeit und zeit ist überflüssig; sätze wie "ich habe das thema jetzt an der uni behandelt" (o.ä.) gehören nicht in ein lexikon; sätze wie "folgender ansatz geht am thema vorbei" (sinngemäss) auch nicht; insgesamt verkennt der artikel die philosophische problematik des paradoxons fast gänzlich

Nicht ganz, er hat die philosophische Problematik noch nicht ganz eingearbeitet, und ich hatte schon bei den links "Aufsatz über Zenon" (zenon.ps) und oben in der Diskussion auf den Aufsatz von Kurt von Fritz (zenon.pdf) zwecks Einarbeitung hingewiesen. Mathematisch ist es wahrscheinlich, daß Zenon die Lösung kannte, aber er wollte kein mathematisches Paradoxon aufstellen sondern im Sinne seines Lehrers ein philosophosches. Ich bin gerade am Zahlbegriff von Weierstraß dran, dort ist sogar fragwürdig, ob man die Gleichheit zweier gleicher aber anders gebildeter Strecken (Zahlgrößen) überhaupt allgemein nachweisen kann. Weierstraß mußte sich mit einer beliebig genauen Annäherung zufriedengeben. Das ist im Großen und ganzen auch unser moderner Standpunkt. Zum Nachdenken die schöne Antinomie: "Die Menge aller Mengen" oder " Die Menge, die sich selbst enthält".
Noch ein Beispiel von Platon:
Ein Mensch ist ein federloser Zweibeiner.
Ein federloser Zweibeiner ist ein gerupftes Huhn.
Also: Ein Mensch ist ein gerupftes Huhn
Bitte beweisen, schön mit Symbolen und so. (es müßte gehen)--Roomsixhu 01:32, 2. Aug 2005 (CEST)

Zenons rechnerische Lösung

Es ist anzunehmen, dass Zenon eine rechnerische Lösung wusste und zwar für den Fall, wo das Schneller-Verhältnis ganzzahlig ist. Ist eine Strecke 4 Mal länger als eine andere, heißt das doch, dass die längere 4 von den kurzen enthält. 5 cm sind 5 x 1 cm und nicht 3 cm + 1 cm + 0,9 cm + 0,09 cm + ... Wenn man das Verhältnis zweier Strecken angeben will, müssen diese gemeinsame Teiler haben, anders geht es nicht. Ich habe eine mögliche - recht einfache - Lösung in den Artikel eingebunden. --Michi 17:31, 19. Feb 2006 (CET)

Ersatzvorschlag

Achilles und die Schildkröte

Achilles und die Schildkröte ist der Titel eines Paradoxon des griechischen Philosophen Zenon von Elea.

Achilles, der unbesiegbare griechische Held, misst sich im Wettrennen mit einer Schildkröte. Weil die Schildkröte um vieles langsamer ist, gibt er ihr einen großen Vorsprung. Um sie nun einzuholen, muss Achilles aber erst den Punkt erreichen, an dem die Schildkröte startet. Wenn er diesen Punkt erreicht hat, hat sich die Schildkröte ebenfalls weiter bewegt, sie liegt also immer noch vorne. Hat Achilles auch diese Strecke überwunden, so hat sich auch die Schildkröte wieder ein Stück weiter bewegt. Achilles kann die Schildkröte also niemals einholen.

Achilles die Schildkröte ein; er überholt sie auch. Eine andere Form dieses Paradoxons besagt, dass Achilles gar nicht erst mit dem Lauf beginnen kann. Bevor er die erste Strecke zurücklegen kann, muss er erst die Hälfte zurücklegen, und davon die Hälfte usw. und so kommt er nicht zum Loslaufen. Es gilt als wahrscheinlich, dass Zenon seine Impulse zur Erfindung der Paradoxien aus den Spekulationen des Parmenides erhielt.

Aus mathematischer Sicht wurden bis 2004 immer wieder Lösungsversuche veröffentlicht (meißtens über einen so genannten infinitesimalen oder kinematischen Ansatz). Der Kern des Paradoxons ist aber unklar.

Literatur

Diels-Kranz: Die vorsokratischen Philosophen?.
Diels-Kranz: Die Fragmente der Vorsokratiker. 6. Auflage, Berlin, 1952.
Oskar Becker: Grundlagen der Mathematik. Suhrkamp, 1975, ISBN 3-518-07714-7.
Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach. ISBN 3-608-94338-2. (In diesem Buch sind Achilles und die Schildkröte die Protagonisten der Dialoge zwischen den Kapiteln.)

Weblinks

Aufsatz über Zenon stellt auf 6 Seiten das Thema erschöpfend dar
G.G.L. Nova Methodus Pro Maximis & minimis, itemque tangentibus, ..., acta eruditorum, 1684, download als .pdf-datei.

Der letzte Satz (Vor Literatur) sollte noch einmal überprüft werden. --Jaer 10:49, 6. Aug 2005 (CEST)

Tu Dir keinen Zwang an! Ich weise noch einmal auf den Aufsatz über Zenon hin. Das "tatsächlich" bedarf einer Erklärung: Warum tatsächlich und theoretisch nicht? Bitte fröhlich drauflosverbessern, da ich den Artikel fast asuwendig kenne, werde ich die gröbsten Fehler schon bemerken und zur Diskussion stellen. Auf jeden Fall ist dieser Artikel stark frequentiert im Gegensatz zu anderen. Meines Erachtens ist Zenon ein Nichtstandardanalysist.---Roomsixhu 18:07, 6. Aug 2005 (CEST)

"polynomial kompakte Operator in einem Hilbertraum einen invarianten Unterraum besitzt. Allerdings ist die Konstruktion nicht konstruktiv, sie benötigt Ultrafilter und das Auswahlaxiom. Es gibt ferner Anwendungen der Nichtstandardanalysis in der Stochastik und der Topologie." (dem Nichtstandardanalysis-Artikel) An der Stelle hört es für mich auf. Ich bin zwar angehender Mathe-LKler, aber bitte nicht so etwas.

Aber zum Text: Das "Tatsächlich" stammt aus dem Urtext, das ist der Grund, weshalb ich das Wort gelassen habe. Mir tut es aber eigentlich nicht weh, es heraus zu nehmen (Was ich jetzt auch tue). Wenn du den Artikel so gut kennst, was meinst du? Kann man das hier als Ersatz reinstellen? Ich verweise nochmal auf die und die Diskussion zu dem Thema. --Jaer 18:25, 6. Aug 2005 (CEST)

Ich les mal erst die beiden links durch. das Auswahlprinzip ist doch auch schon von Cohen glaub ich in den 1960ern widerlegt worden. Die Nichtstandardanalysis wird momentan auch von Herrn D.D Spalt stark beharkt und es gibt dort keinen einheitlichen Ansatz. Am meisten stört mich hier der Absatz: Ansatz des Praktikers. Den würde ich am liebsten löschen. Ich habe auch noch eine witzige physiklaische Lösung angegeben , aber die hat ein löschwütiger DaTroll, nachdem er gelacht hat, gelöscht. Die Schildkröte scheint ein spezifisches Schulthema zu sein, es gibt in Suchmaschinen wahnsinnig viele Ergebnisse.

Zur Entspannung: Benutzer:Roomsixhu/Physikalischer_Ansatz -- Roomsixhu 19:12, 6. Aug 2005 (CEST)

Vielen Dank für Eure Beteiligung und den Hinweis auf Lynds Zenon's Paradoxa. A Timely Solution. Ehrlich gesagt sind neunseitige pdfs und noch so klein gedruckt eine Zumutung, zum Glück geht mein Drucker momentan. Und ich möchte eine neue Patrone.

Drei Ideen kamen mir bei der Lektüre von Lynds

Historisch (In antiker und späterer Betrachtungsweise) gibt es Zeitpunkte und Positionen in der Betrachtung dieser Probleme (Achilles, Pfeil, Dichotomie). Das führt zu einem Konflikt zwischen Kontinuität und Bestimmtheit. Also entweder ist von etwas (Pfeil) eine Position während der Bewegung nicht genau bestimmt (Bestimmtheitsgrenze von Intervallen) oder es steht ganz still, weil man von einer exakten Position (Punkt) nicht wieder zur Kontinuität einer Bewegung (Intervall) gelan

gt. Vielleicht kann jemand diesen Gedanken in dem Monsterabsatz von Lynbs Arbeit besser zuasmmenfassen: Absatz (a) Time and Mechanics: Indeterminacy vs. Discontinuity. Dieses Dilemma zieht sich bis in die moderne Physik hinein (also auch relativistische oder ähnliche Ansätze gehen am Problem vorbei).

Zeit und Raum werden individuell wahrgenommen. Über Zeit und Raum kann man jedoch Aussagen a priori machen (Unter anderem feststellen, wo Achilles die Schildkröte überhohlt). In welcher Form nun Zeit und Raum eines Individuums wirklich werden, in die Welt treten, vorhanden sind, gibt wohl eher die Ontologie eine Auskunft als die Logik (mathematisch oder nicht ist egal).
Man könnte noch einen Rekursionsansatz machen. Wer hat eine Idee?
So nun das Entscheidende: Man muß die Begriffe Zeitpunkt und Position fallen lassen. Statt dessen betrachtet man einen Zeitwert (1t) für den die Bewegung eine Veränderung oder Änderung (wie die Dehnung eines Gummibandes) durchmacht. Ich meine jetzt konkret folgendes. Wir betrachten jetzt das Rennen anders und das Paradoxon wird nicht auftreten: Das Rennen verändert sich in einer Zeiteinheit um 81 Meter. In einer Zeiteinheit läuft Achilles 90 Meter, die Schildkröte 9 Meter. In zweien Achilles 180, die Schildkröte 18 Meter. Aus unserem Ansatz im Artikel könnte folgen: Achilles hat die Schildkröte vor 80 Metern überholt und liegt 72 Meter vorne. Aber das ist zuviel behauptet, denn : In diesem Ansatz geht die unglückliche Formulierung eines Vorsprungs von 90 Metern (und den zwei exakten Positionen von Achilles und der Schildkröte) nicht ein (diese Betrachtung gilt beliebig überall während des Rennens) und wenn wir der Schildkröte nur einen von 45 Metern eingeräumt hätten, wäre Achilles schon 117 Meter voraus. Man hat den Vorteil der kontinuirlichen Bewegung und zweifelt gar nicht am Überholen, sondern hätte im Gegensatz das Problem dem Punkt an dem das Paradoxon auftreten soll seine exakte Position zuzuschreiben. Und auch an dieser determinierten Position wird das Rennen nicht stehenbleiben. (Bemerkung: Ab dem Überholpunkt kommen eventuell Vorzeichen oder Umkehrungen ins Spiel. Und daß Umkehrungen auch einem Herrn Cantor, Leibniz, Newton Überaschungen (Neues) Bescheren, will wohl keiner bezweifeln.)

So das wäre es erst mal. Lynds erwähnt, daß diese Auffassung von Bewegung seit der Neuzeit (Galilei) physikalisches Messen ermöglicht. Darauf folgt der mathematische Aussschluß des Unendlichen durch Cauchy und Weierstraß. Nun haben diese beiden eine völlig entgegengesetzten Begriff von "Zahlgrößen" (Variablen). Der Weierstraßsche wird in unseren heutigen weiterentwickelt. (Das war aber für Weierstraß nicht abzusehen) (Wie für Cantor unserer heutige Mengenlehre). Cauchy hatte einen Begriff der Veränderung wie unter 4.. Dieser Begriff war aber rückwärtsgewandt, im Sinne einer Vollendung des Alten (Leibniz)(s. Spalt Die Vernunft im Cauchy-Mythos) und wurde nicht weiterverfolgt oder gar zur Kenntns genommen. Da wir heutzutage mit unserem modernen Begriffen eine gewisse Vollständigkeit der Lösungen besitzen kann man sich die Frage stellen, ob nicht das Aufgreifen anderer Begriffe nicht sinnvoll und nützlich wäre. So kommt bei Cauchy nicht das Dilemma auf, daß ein Differential im Differentialquotienten eine Nullfolge mit einem und gegen einen festen Punkt als Grenze ist und hinter dem Integral ein Intervall ist (Der Hinweis erübrigt sich fast wenn man bedenkt, was für eine Fläche eine Linie hat). Aber das genau sind Zenons Paradoxa.

Ich muß mich bei allen Lesern entschuldigen, da ich den Reihenansatz wegen der Lust am Latexformatieren hier einfach reingestellt haben, habe ich übersehen, daß einen Vorsprung explizit mit 90 Metern anzugeben zusehr die Vorstellung von Positionen in den Vordergrund rückt und die Vorstellung einer Bewegung oder Veränderung vernachläßigt, aber zu meiner Entschudigung führe ich noch an, daß ich erst im Laufe der Auseinandersetzung hier mit Wikipedianern darauf gekommen bin. Bei Gefallen jetzt einarbeiten.--Roomsixhu 03:44, 7. Aug 2005 (CEST)

Bitte, ich habe jetzt mehrmals versucht, deinen Text zu verstehen. Sei mir bitte nicht böse, aber ich komme nicht dahinter, was du mir sagen willst. (Auch auf die Gefahr, hier dumm zu wirken, aber so zwei, drei einfache Sätze würden mir nicht schlecht gefallen.) --Jaer 23:11, 7. Aug 2005 (CEST)

Zenon hat recht: Hier liegt ein ungelöstes Problem. Bis heute ungelöst.
Wir machen es heute trotzdem, obwohl falsch, nach entweder dem infinitesimalen Ansatz oder
dem kinematischen Ansatz. (Ich finde ihn aber nicht ausreichend dargestellt).--Roomsixhu 11:54, 8. Aug 2005 (CEST)

Danke, das war gut. Ich habe jetzt diese beiden Informationen in meinen Vorschlag eingebaut. Könnten wir den so schon übernehmen? -- Jaer 12:24, 8. Aug 2005 (CEST)

Nicht ohne Belege. Wer spricht von einem "infinitesimalen" oder "kinematischen Ansatz"?--Gunther 12:32, 8. Aug 2005 (CEST)

Beleg: Aufsatz von Peter Lynds.Aufsatz von Fritz von Klein. Alles was ich hatte, habe ich schon in den Artikel hineingestellt. Den Link Lynds werde ich noch hineinkopieren, in den Artikel. Meinetwegen auch "infinitesimaler" Ansatz oder Reihenansatz. Den kannten vermutlich schon Zenon und die Griechen, was fast jeder belegt. Und meinetwegen auch "kinematischer" Ansatz, aber den muß ich noch klarer herausstellen und noch mal bei Galilei und den frühen messenden Physikern nachschlagen. Voschlag für einen neuen Namen. "Dynamischr Ansatz" (Die Vorstellung ist Veränderung, Änderung oder Bewegung, nicht so unbedingt Newtons "Fließen" glaube ich). Und dann gibt es noch die Mannschaft, die sagt, das Problem sei gelöst. Zu dieser gehört vermutlich auch Gunther (s. Lynds). Gruß--Roomsixhu 18:33, 8. Aug 2005 (CEST)

Bei Lynds lese ich nichts von der Bezeichnung infinitesimaler oder kinematischer Ansatz. Wen oder was Du mit "Fritz von Klein" meinst, ist mir nicht klar. Wie Lynds schreibt, haben die Reihenrechnung oder die Geschwindigkeitsrechnung mit potentiellen Lösungen des Paradoxons nichts zu tun (Abschnitt 4, erster Absatz), weil sie im mathematischen Modell bleiben und nicht auf die Anwendbarkeit des Modells eingehen.--Gunther 18:55, 8. Aug 2005 (CEST)

Fritz von Klein ist der "Aufsatz über Zenon" in den Links, den ich hier auch mehrmals als pdf zur Verfügung gestellt habe zenon.pdf--Roomsixhu

Kontinuierlicher Ansatz

Will sich vielleicht schon mal jemand mit meinem neuen Ansatzentwurf zum Kontinuum und Zählen beschäftigen, dann hier. Sonst wird es hier noch chaotischer, erstmal auf meiner Benutzterseite. Damit kann man auch zählen lernen, das muß aber noch eingearbeitet werden.--Roomsixhu 20:17, 20. Aug 2005 (CEST)

Exhaustion

Was ist eine Exhaustion?? --Langec ☎ 15:02, 24. Okt 2005 (CEST)

siehe Exhaustionsmethode--Roomsixhu 07:15, 25. Okt 2005 (CEST)

Axiomatische Definition der reelen Zahlen

Lieber Umschreiber. Ich habe mich etwas mit Definitionstheorie befaßt und mich unterrichtet, daß eine Definition etwas sehr starkes ist und im Zweifelsfall die empfindliche Logik eines schwächeren Systems einfach plattwalzt, wie hier geschehen. Zenon fragt nach der Einheit. Und im Zusammenhanng mit Ordnung und Halbordnung ist mehr möglich als lediglich die reelen Zahlen. Dir sind dabei mindestens drei Ansätze verloren gegangen und Du reduzierst das Problem auf den infinitesimalen Ansatz. Du betrachtest auschließlich Relationen, Wenn Zenon das gemeint hätte, hätte er Relationen gesagt. Sein Lehrer Parmenides war auf jeden Fall kein Dummer.--Roomsixhu 01:27, 5. Nov 2005 (CET)

Und was heißt Zeit als Kontinuum? Was ist eine Veränderung. Das Auswahlaxiom für die Menge der reelen Zahlen ist auch nicht erwiesen, ist angeblich selbst ein Paradox. Also axiomatisch ist das nicht. Daß die geometrische Reihe 1+1/2+1/4+ ... konvergiert, wußten sie in der Antike sehr wohl. Darauf geht Zenon gar nicht ein, denn sein Paradox sollte wohl kein mathematisches werden, es wird nur heutzutage an Unis oft gestellt. Also bitte eine allgemeingültige Einleitung.--Roomsixhu 01:36, 5. Nov 2005 (CET)

Bisher wurde in der Einleitung das Paradoxon aber doch eher auf das mathematische Problem reduziert, dass die Reihe und ihr Grenzwert nur "asymptotisch gleich" seien (so habe ich die Grafik jedenfalls verstanden). Von daher sollte der Satz Sowohl die Vorstellung, dass die unendlichen vielen Ereignis se Achilles erreicht die vorherige Position der Schildkröte in endlicher Zeit stattfinden könnten, als auch dass die unendliche geometrische Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ... und die Zahl 2 ein und dasselbe sind, waren damals nicht allgemein anerkannt. doch eher in Deinem Sinne sein? Aber an dem Halbsatz zur geometrischen Reihe hänge ich nicht ...

Und für die Lösung des Paradoxons mit "modernen" Methoden braucht man doch tatsächlich nur den Begriff der reellen Zahlen und die Vorstellung, dass man mit diesen Strecken und Zeitintervalle abmessen kann. Und was soll der Hinweis auf das Auswahlaxiom? --Christian Gawron 01:55, 5. Nov 2005 (CET)

Der erste der das Problem im modernen Sinne lösen konnte, war Cauchy, von ihm stammen ja auch einige

\epsilon

, aber hatte nicht unsere heutigen reelen Zahlen und schon gar keine Mengen und bestimmt keine Auswahlfunktion dazu. Er hatte eine Anschauung der Dezimalzahlen, ihrer ausreichenden Brauchbarkeit, bewies für sie alles, was er brauchte, und er hatte einen messenden Zahlbegriff der Zahlgröße, die er im Ansatz schon als Grenzwert fasste, und dafür ebenso alles in der gesamten Analysis korrekt bewies. Cauchy hat keine Schule hinterlassen, deshalb ist seine genaue Begriffsbildung verlorengegangen. Danach reichte Weierstraß Zahlbegriff wenigstens für bedingte Konvergenz nicht aus, und Cantor radikalisierte diesen Ansatz, indem er nicht nur bedingt konvergente Reihen auf eine Grundreihe bezog, sondern alle Zahlen als Beziehungen fasste. Wie nun aus Beziehungen Maßzahlen werden bedarf eines logischen Beweises, der schon in der Verbandstheorie ansetzt, weil dort Beziehungen zu Verknüpfungen werden. Man kann doch auch die natürlichen Zahlen kontinuierlich fassen, wie Cauchy. Also im modernen Sinne dreht sich das ganze Problem mathematisch darum, wie man eine Zahl als Maß fassen kann. Das hat eigentlich am ehehsten Galilei gemacht. Im übrigen sollte das Paradox in der Voraussetzung schon endlich sein, was es doch sehr einfach macht. Dazu sagt Zenon jedoch nichts. Das nicht mathematische Problem halte ich von Zenon für überbestimmt, und damit nicht lösbar.

Ich sehe ehrlich gesagt drei Ansätzte:

Den messenden kontinuierlichen, mit dem Zählen. Seit ca. Galilei
Den anlytischen nach Cauchy mit epsilons, der nicht dargestellt ist, weil sehr abstrakt. Also epsilon ohne Mengen.
Den vergleichenden mit der Menge der reelen Zahlen seit Cantor, der andere Schwierigkeiten heraufbeschwören kann, z.B. eben, wie wird aus einer Verhältniszahl eine Maßzahl. Und Menge kann man auch ohne Menge-Element Beziehung begründen. siehe Boolsche Algebra. Das studiere ich aber gerade erst.

Dann kann man natürlich auch mit unendlich großen Zahlen rechnen. Dazu gibt es Ansätze von einem Hrn. Laugwitz und Hrn. Petzinger.

Und schließlich habe ich noch die Mengelehre hier hereingeschrieben, aber an der Brauchbarkeit der Beweise über Abzählbarkeit, die das diagonale Beweisverfahren in zirkulärer (selbstbezüglicher) Weise nutzen zweifle ich begründet.

Ansonsten können Definitionen so stark sein, daß sie den ganzen logischen Kalkül der Erörterung sinnlos machen, was bei einseitiger moderner Herangehensweise sicher der Fall ist. Zenons Fr

age nach einer Einheit von Relationen mit Relationen und einer Einheit zu beantworten, ist so etwas.--Roomsixhu 12:26, 5. Nov 2005 (CET)

-- Lösung!!!!!!! Ich überhole die Schildkröte einfach indem ich den Punkt den sie vermutlich erreichen wird vor ihr betrete. Das ist doch wirklich total einfach, wo soll da ein Paradoxon sein?

Das geht doch nicht, Du verwechselst den vorgestellten Punkt aus Deinem Kopf, nach der Rechnung und mit der Lösung 100 m, mit dem wirklichen, wo Du erst die Schildkröte überholen mußt, um an einen solchen Punkt heranzukommen. In der Rechnung ist man vor der Schildkröte bei 100 m angelangt, in der Wirklichkeit ereicht man hinter ihr und dann mit ihr gleichzeitig diesen Punkt.--Roomsixhu 03:05, 12. Nov 2005 (CET)

Lässt sich das Paradoxon nicht einfach auflösen, indem man den realen Vorgang des Laufens von der mathematischen Modellvorstellung löst. Man weiss schliesslich aus der Erfahrung, dass in der Vergangenheit schnellere Objekte langsamere immer in endlicher Zeit überholt haben. Daher können wir vermuten, dass dies auch in der Zukunft der Fall sein wird. Mathematische Objekte wie Zahlen oder Konvergenz sind aber nur rein imaginäre Dinge. Daher folgen sie Gesetzen die Menschen festgelegt haben. Kurz gesagt: Achilles ist keine Zahl ist, und daher wird er die Schildkröte einholen.

Erfahrung würde ich nicht gerade sagen, das mündet in den Positivismus, und was ist dabei "real", aber es gibt in der Begriffslogik eine Individualbegriffsdeklaration, die dem Problem vielleicht angemessen ist. Das allgemeine logische Modell auf das individuelle Rennen zu übertragen ist natürlich nicht Lösung für alles, aber diese Art von Gattungsbegriff für die beiden Läufer macht die Stärke unserer heutigen neuzeitlichen Kultur im Umgang mit solchen Problemen aus, bis hin zu Unsinnigkeiten leider. Außerdem besteht in der Mathematik wirkliche ein gewisser Widerspruch zwischen Rechnen und Zählen. Mit einen Rechenschieber kann man auch nicht addieren. Soetwas kann man natürlich als Problem fassen oder nicht. Ob dabei etwas konstruktives herauskommt ist dabei die Frage. Logik löst nicht alle Probleme. Sehr entscheiden ist auch die Endlichkeit des Rennens. etc, bla bla--Roomsixhu 08:07, 30. Nov 2005 (CET)

Ich habe noch die Mengentheoretische Lösung selbst abgetippt und reingestellt. Aber die Überabzählbarkeit habe ich in eine seltsamen Beweis gesehen, der nicht minimale Voraussetzungen hat und zirkulär ist, s. Hofstätter. Aber dies ganze Schlußweise ist entweder trivial oder widersprüchlich, was ein Herr Andereas Otte Nachgewisen hat. Zirkulär ist so was wie "dreisilbig", beschreibt sich selbst. Wenn es sich dann noch selbst verändert, kann man nicht mehr herausbekommen von welcher der mehreren Prämissen der Widerspruch verursacht wird. Also soetwas glaube ich nicht mehr.--Roomsixhu 08:13, 30. Nov 2005 (CET)