Diskussion:Global Positioning System

Geschwindigkeitsmessung mit Doppler?

Wird die Geschwindigkeit wirklich ueber den Doppler-Effekt gemessen? Ist doch viel einfacher ueber die Differenz aufeinanderfolgender Ortsmessungen zu erreichen.

--193.170.243.62 13:25, 16. Dez 2005 (CET)

Funktionsprinzip graphisch

hallo zusammen

Wäre nicht noch eine simple graphische Darstellung mit ein paar Satelliten und einem GPS Gerät auf der Erde noch etwas?. Wer kann weiterhelfen? Habe nur folgendes gefunden: http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gif/figure05.gif

Thomas

Galileo

Der Text ist irgendwie unvollständig oder zerhackt: "Der ursprüngliche Zeitplan sah wie folgt aus ... da es für zivile Anwender bislang ..." macht so keinen Sinn. Wer kann das reparieren?

Die ESA wurde von der EU beauftragt von der Industrie ein europäisches System zur Satellitennavigation mit dem Namen Galileo entwickeln zu lassen. Die Entwicklungs- und Testphase wurde im Dezember 2004 in einem 4 Jahresvertrag an die Industrie vergeben. Der ursprüngliche Zeitplan sah wie folgt aus: (bis 2005 Entwicklungs- und Testphase, Aufbau des Satellitennetzes ab 2006, Inbetriebnahme ab 2008 - Stand Juli 2004), da es für zivile Anwender bislang keine Alternativen zum US-amerikanischen GPS gibt und die zivile Nutzung davon abhängt, welche Genauigkeit das US-Militär bereitstellt.

Hallo,

gibt es denn auch ein Projekt, die Wiki-Infos zu Städten, Sehenswürdigkeiten usw. über eine GPS-Ansprungtabelle verfügbar zu machen, so daß der PDA oder ähnliches gleich die passenden Informationen liefern kann (ähnlich wie im Hitchhikers Guide through the galaxy oder im ehemaligen Vorwort von h2g2)?

Es ist schon oft überlegt worden POIs mit Koordinaten zu versehen, siehe Wikipedia Diskussion:Formatvorlage Stadt. Auch über eine stärken GIS-Einsatz bei Wikipedia z.B. Kartenerzeugung ist angedacht, siehe Wikipedia:Karten. kannst dich gerne dort an Diskussionen beteiligen bzw. es bei Wikipedia:Verbesserungsvorschläge eintragen!

Differential GPS

unter dem Absatz DGPS gibt es eine Anmerkung von FlorianB, daß die hier angeführten Information unter dem bereits vorhandenen Begriff Differential GPS aufgeführt werden sollten. Ich meine: GPS und DGPS sind in der Praxis so eng verbunden, daß unter DGPS nur ein Link auf GPS vorhanden sein sollte.

Da es mehrere Möglichkeiten des DGPS gibt, versuche ich mal den Begriff zu bearbeiten. Über Hilfe wäre ich dankbar.

JG

Wäre es nicht sinnvoll, den Artikel zu A-GPS (Assisted GPS) hier noch zu verlinken, da A-GPS ja auch zu einer genaueren bzw. schnelleren Ortung beiträgt? -- rmk 09:37, 3. Feb 2006 (CET)

Euteltracs

Ist Euteltracs nicht eher ein Rückkanalsystem für das Flottenmanagement, das seine Positionsdaten per GPS bezieht? Wer weiss da mehr?

GPS-Frequenzen

Die GPS-Signale auf der Frequenz L2 sind deutlich schwächer als die L1-Signale - sind jedoch grundsätzlich nicht verschlüsselt. Verschlüsselt ist der P-Y-Code auf den Frequenzen L1+L2; die Trägerphase ist frei verfügbar.

Ich habe diesen Eintrag geändert.

Hat jemand andere Informationen?

Josef

Empfänger-Uhren

"Da die Uhren in den Satellitenempfängern schon nach kurzer Zeit nicht mehr genügend genau mit der Systemzeit synchronisiert sind, muß für jede Positionsbestimmung auch die Abweichung der Empfängeruhrzeit von der Systemuhrzeit bestimmt werden."

Ich finde diese Formulierung so nicht OK. Sie bedeutet, daß zum Start einer Messung die GPS-und Empfänger-Uhren synchron laufen. Das kann so garnicht sein.

• In einem GPS-Empfänger befindet sich als Uhr ein Oszillator, der im Vergleich mit den Satelliten-Uhren schrecklich ungenau ist und keine absolute Zeit liefert. Diese Uhr läuft nicht, wenn der Empfänger ausgeschaltet ist.
• Dann gibt es in einem Empfänger noch eine Backup-Uhr mit einer absoluten Zeit, die auch bei ausgeschaltetem Empfänger weiterläuft (und die noch ungenauer ist).
• Beim Einschalten eines Empfängers wird die Backup-Zeit als Empfänger-Zeit übernommen (diese ungenaue Zeit erleichtert die Suche nach Satelliten).
• Bei jeder Positionsbestimmung mit mindestens 4 Satelliten wird der Fehler der Empfänger-Uhr neu bestimmt und evtl. die (absolute) Empfänger-Uhr neu gestellt.
• Sehr wichtig ist, daß die Empfänger-Uhr kurzzeitig relativ sehr genau ist (1-20mS).

Ich hoffe auf Reaktionen.

Josef

woher die exakte zeit?

angenommen ich empfange von fünf satelliten - wie kann ich aus den gesendeten daten die exakte uhrzeit berechnen? jeder satellit sendet seine zeit, ich empfange also fünf signale, die alle ein bisschen zeitlich auseinander liegen - aber kann mein gps empfänger aus diesen daten denn nun die echte uhrzeit berechnen (und damit den relativ exakten standort)? löst sich das entsprechende gleichungssystem also exakt, dass ich daraus den abstand zwischen mir und dem jeweiligen satelliten bestimmen kann? vielleicht kann jemand eine beispielberechnung geben (falls dies nicht zu umfangreich ist), zumindest aber eine wörtliche erklärung dieses problemverhaltes?

danke, --Abdull 22:09, 24. Jan 2005 (CET)

vom vierten Satelliten

Ich versuch das mal:

Nehmen wir an, wir empfangen einen Satelliten. In seinem Signal ist seine genaue Position enthalten und wann er den Datensatz exakt abgeschickt hat. Nehmen wir erst mal zur Vereinfachung weiter an, wir hätten in unserem GPS-Empfänger eine sehr genaue Uhr. Dann könnten wir jetzt aus der Differenz der Absendezeit des Signals und der Ankunftszeit, die der Empfänger ermittelt, unsere Entfernung vom Satelliten errechnen (Lichtgeschwindigkeit ...). Wir befinden uns also irgendwo auf einer virtuellen Kugeloberfläche mit besagter Entfernung vom Satelliten. Soweit alles klar.

Nun bringen wir einen zweiten Satelliten ins Spiel. Auch die Entfernung zu ihm können wir errechnen. Wir befinden uns auch auf einer virtuellen Kugeloberfläche um den zweiten Satelliten. Die beiden Kugeloberflächen schneiden sich in einer Kreislinie. Irgendwo auf dieser Kreislinie befinden wir uns.

Nächster Schritt, wir nehmen einen dritten Satelliten. Gleiche Vorgehensweise: Wir befinden uns auf einer Kugeloberfläche um den dritten Satelliten. Diese Kugeloberfläche geschnitten mit der Kreislinie, die sich aus den ersten beiden Satelliten ergeben hat, ergibt 2 Punkte. Einer wird irgendwo im All liegen, der zweite auf der Erdoberfläche und das ist jetzt unser Standort. Zumindest in der Theorie.

Aber halt, natürlich haben wir keine Atomuhr in der Tasche. Folglich werden unsere Entfernungsmessungen recht ungenau sein. Was tun? Irgend eine Kompensation ist gefragt.

Nehmen wir einfach einen weiteren (den vierten) Satelliten. Gleiches Verfahren. Wir haben jetzt vier Kugeloberflächen und stellen fest, dass sie sich nicht genau in einem Punkt schneiden. Je nachdem welche 3 Kugeln wir jeweils miteinander schneiden ergeben sich Schnittpunkte, die leider nicht deckungsgleich sind, was sie aber in der Theorie sein sollten. Die Ungenauigkeit resultiert aus unserer ungenauen Uhr im Empfänger.

Jetzt machen wir folgendes: Wir stellen unsere Empfängeruhr leicht vor und leicht zurück, so lange, bis die Schnittpunkte der Kugeloberflächen um die Satelliten sich in genau einem Punkt treffen (bzw. bis ihre Abstände minimal sind). Jetzt haben wir zwei Dinge erreicht: Wir kennen unsere genaue Position und die Uhr im Empfänger ist exakt eingestellt. Der vierte Satellit wird also benötigt um die Uhrzeit im Empfänger zu korrigieren.

Darüber hinaus macht es sogar Sinn, noch mehr Satelliten zu empfangen, der GPS-Empfänger wählt dann die Satelliten mit der besten Raumgeometrie, also diejenigen, die die besten Kugelschnitte ergeben. GPS-Besitzer kennen das: Vier Satelliten zu empfangen, die in einer Reihe am Himmel stehen, bringen eine sehr schlechte (oder gar keine) Genauigkeit. Vier Satelliten schön über den Himmel verteilt dagegen eine sehr hohe Genauigkeit.

Soweit der Versuch einer Erklärung, berechnen kann ich die Sache aber leider auch nicht.

Beste Grüße

Helmut http://www.gpswandern.de

Der vierte Satellit würde auch dann benötigt, wenn die Laufzeiten dirket gemssen werden könnten. Zwei Kugen schneiden sich, wenn der Abstand der Kugelmittelpunkte kleiner als die Summe der Kugelradien ist, und die Kugelmeittelpunkte nicht zusammenfallen, in einem Kreis. Schneidet man nun diesen Kreis mit einer weiteren Kugel, wobei obige Bedingung nun paarweise für jeweils eine der alten Kugeln und die neue Kugel gelten soll, so ist die Schnittmenge eine Menge aus zwei Punkten. Erst die vierte Kugel führt zu einer eindeutigen Positionsbestimmung. Fäll einer der zwei Punkte in die Erde, wo man für gewöhnlich keine Satellitensignale empfangen kann, benötigt man die vierte Entferungsmessung (Kugel) für die eindeutige Positionsbestimmung nicht mehr. Aber dann belit immer noc das Problem der Pseudoentferungsmessung, also das Problem der Synchronisation der EMpfängeruhr mit der Systemzeit.

Der vierte Satellit würde - glaube ich - nicht benötigt werden: Der 2. Lösungspunkt liegt meist derart 'daneben', daß er ausgeschlossen werden kann. Wurde ja oben schon beschrieben. Einige der beteiligten Satelliten müßten ungünstig stehen, damit die zwei Punkte nahe zusammenrücken. Dann wäre aber die Genauigkeit beider Punkte fraglich... Oder? -- DrScott 21:43, 7. Jun 2005 (CEST)

Woher die exakte Zeit - vom vierten Satelliten

Hi Abdul,

wenn du einen ersten Einblick in das mathematische Verfahren zur Positionsberechnung mittels GPS haben möchtest, schau dir die Programme von Sam an (Weblinks am Ende des Themas - "Hinweise zur Positionsberechnung aus Rohdaten und Tests von OEM-Empfängern", "Sam's GPS Software Pages").

Über eine exakte Uhrzeit verfügen wir nie. Auch wenn wir die Zeit so genau bestimmen, wie es möglich ist, ist es immer eine relative Zeit (sonst wären wir Gott).

Es kommt nur darauf an, daß die Satelliten- und Empfänger-Uhren gleich laufen.

- Zum Teil ist zur Positionsberechnung mittels GPS nur ein möglichst genauer Gleichlauf von Satelliten- und Empfänger-Uhren über kurze Zeit notwendig (5mS bis 20mS, neuerdings für den Indoor-Einsatz bis 1S). Eine Zeit wird nicht benötigt, sondern nur ein möglichst genauer Takt.

- Eine grobe Empfänger-Zeit kann man ganz ohne Empfängeruhr aus den Sendezeiten der Satelliten ermitteln (Mittelwert der Sendezeiten + einer geschätzten mittleren Laufzeit (so etwa 70-75mS). Der Fehler der so geschätzten Empfänger-Zeit beträgt meist weniger als 1mS. Der Fehler der Strecken zu den Satelliten beträgt somit < 300Km (Lichtgeschwindigkeit * Zeitfehler). Mit diesem kleinen (!) Uhren- und somit Streckenfehler kann man dann die Empfänger-Uhr mittels 4 oder mehr Satelliten neu stellen und eine Position berechnen. Für sehr genaue Positionsbestimmungen (1m) reicht diese so ermitttelte Zeit vermutlich nicht aus.

- Beim Einschalten eines Empfängers ist eine Empfänger-Uhr von großem Vorteil, da vom Empfänger die Satelliten erstmal gesucht werden müssen. Dies wird mittels der Empfänger-Zeit und den Informationen aus dem Satelliten-Almanach (grobe Satelliten-Bahndaten) durchgeführt. Gibt es keine Empfänger-Uhr oder geht sie sehr ungenau, muß der Empfänger den ganzen Himmel nach GPS-Satelliten absuchen und das kann sehr lange dauern.

Hi Helmut,

wenn du willst, könnten wir einen Absatz über das Verfahren der Positionsbestimmung mittels GPS zusammen versuchen. Wie man eine Position mittels GPS berechnet, fehlt bisher, wie ich finde, in dem Thema.

Gpswandern.de deutet ja nicht gerade auf einen Geodäten, Mathematiker oder Informatiker hin - aber was ich da schon alles erlebt habe! Ich bin übrigens auch kein so Einer.

Ein paar Hinweise zu deiner kurzen und wie ich finde guten Einführung in die Theorie der GPS-Positionsbestimmung´:

- Mehr als 4 auswertbare Satelliten

 Der GPS-Empfänger wählt dann die Satelliten mit der besten Raumgeometrie.
  Stimmt so nicht, obwohl auch in Lehrbüchern verbreitet.
 -> Grundsätzlich verbessert jeder zusätzliche Satellit die Geometrie.
    Bei mehr als 4 auswertbaren Satelliten wird eine Ausgleichung vorgenommen.
    Satelliten können dabei entsprechend ihrer Empfangsqualität gewichtet werden
    (i.d.R. Geheimnis der Empfänger-Hersteller)  

Soweit meine Hinweise, berechnen kann ich die Sache schon.

Freundliche Grüße

Josef

Genauigkeit der Positionsbestimmung

Bereits seit Mai 2000 stimmt die folgende Angabe nicht mehr:

• SPS (Standard Positioning Service) ist für jedermann verfügbar und ist auf eine Genauigkeit von 100 m (in 95% der Messungen) ausgelegt worden."

Ich vermute z.Z. eine mittlere Genauigkeit von etwa 2-10m unter folgenden Bedingungen: - Freiland - Kein Multipath - Simpler GPS-Empfänger - Kein Dgps!

Ich finde so eine Korrektur in dem GPS-Thema sehr wichtig, da viele noch glauben, dass ohne einen 5.000Euro Empfänger und Gyro usw. so etwas nicht möglich ist.

Josef

Wie genau PPS (Precise Positioning Service) jetzt ist, kann wohl nur das US-Militär beantworten

.Christian:

Im Artikel:

SPS (Standard Positioning Service) ist für jedermann verfügbar und ist auf eine Genauigkeit von 100 m (in 95% der Messungen) ausgelegt worden.

Code: Dieses Verfahren ermöglicht eine recht robuste Positionsbestimmung mit einer Genauigkeit von <10 m. Alle preiswerten Empfänger nutzen dieses Verfahren. Mittels DGPS sind Genauigkeiten unter einem Meter möglich.

Diese Angaben sollten zumindest aufeinander abgestimmt werden, vielleicht sind es auch nur zwei andere Genauigkeitsbetrachtungsweisen.

Vielleicht wäre eine Übersichtstabelle der Genauigkeit (zivile Nutzung) nicht schlecht, eventuell auch mit den dafür benötigten Messzeiten ...

Ich hab das mit 15m Genauigkeit in den Artikel übernommen und mich damit an den Angaben von Garmin-Geko bei ebay gehalten. Kolossos 09:25, 20. Apr 2005 (CEST)

Die Gravitationsrotverschiebung habe ich (Rothe) hinzugefügt - die Angabe Meterbereich ist mir nur sehr ungenau im Gedächtnis haften geblieben, vom Rest weiß ich sicher, dass ihn Prof. Neugebauer in seiner Vorlesung Gravitationstheorie an der Universität Jena erwähnt hat. Physikalisch ist die (allgemein-relativistische- Gravitationsrotverschiebung ein ganz anderer Effekt als der (speziell-relativistische) Gangunterschied, dessen Einfluss der vorhergehende Absatz bestreitet.

Formelflut

Hallo Physikr, auf die Schnelle: Ich würde vorschlagen zugunsten der Lesbarkeit die Formeln in Vektorschreibweise hinzuschreiben und x_i anstelle von x₁, x₂, x₃, x₄. Vielleicht auch x_i anstelle von x, y, z und x_ij für den Satelliten Nr. j und dann Summenzeichen über i. Ferner sollte hinter siehe auch, Literatur, Weblinks nichts mehr stehen. --Wolfgangbeyer 09:37, 16. Mär 2005 (CET)

Ich finde die Schreibweise näher an den einfachen Mathematikgrundkentnissen besser, als komplizierte Vektorschreibweisen aufzubauen, wo man evt. Mathe studiert haben muss, um es zu begreifen. Könntet ihr vielleicht erst mal ein Beispiel hier in die Diskussion schreiben. -- sk 10:02, 16. Mär 2005 (CET)

Ich habe an die letzte Stelle gestellt, weil es ja nur vertiefend ist, aber es kann auch wo anders hin gestellt werden. Hier das Beispiel, evtl. ist noch mehr zusammenzufassen:--Physikr

Die GPS-Grundgleichungen (ohne Korrekturen)

Der GPS-Empfänger befindet sich an einem Ort mit den Koordinaten $x_{0},~y_{0},~z_{0}$ und empfängt die Signale der Satelliten zur GPS-Systemzeit $t_{0}$. Die mindestens 4 (empfangbaren!) Satelliten, senden ihre Signale früher zur Systemzeit $t_{n}$ an den Orten $x_{n},~y_{n},~z_{n}$ aus. Dabei geht n mindestens von 1 bis 4. Obwohl sich das Signal mit Lichtgeschwindigkeit c ausbreitet, wird doch eine Zeit $\Delta t$ gebraucht, um die Entfernung zu bestimmen. Um keine Wurzeln zu benutzen, werden die Gleichungen in Quadratform geschrieben:

${\begin{matrix}{\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}(o_{1,j}-o_{0,j})^{2}\\\sum _{j=x}^{z}(o_{2,j}-o_{0,j})^{2}\\\sum _{j=x}^{z}(o_{3,j}-o_{0,j})^{2}\\\sum _{j=x}^{z}(o_{4,j}-o_{0,j})^{2}\\\end{pmatrix}}&=&c^{2}{\begin{pmatrix}(t_{1}-t_{0})^{2}\\(t_{2}-t_{0})^{2}\\(t_{3}-t_{0})^{2}\\(t_{4}-t_{0})^{2}\\\end{pmatrix}}\\\end{matrix}}$

Ausmultipliziert ergibt das:

${\begin{matrix}{\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}o_{1,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{2,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{3,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{4,j}^{2}\\\end{pmatrix}}&-&2{\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}o_{1,j}o_{0,j}\\\sum _{j=x}^{z}o_{2,j}o_{0,j}\\\sum _{j=x}^{z}o_{3,j}o_{0,j}\\\sum _{j=x}^{z}o_{4,j}o_{0,j}\\\end{pmatrix}}&+&{\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}o_{0,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{0,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{0,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{0,j}^{2}\\\end{pmatrix}}&=&c^{2}{\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}t_{1}^{2}\\t_{2}^{2}\\t_{3}^{2}\\t_{4}^{2}\\\end{pmatrix}}&-&2t_{0}{\begin{pmatrix}t_{1}\\t_{2}\\t_{3}\\t_{4}\\\end{pmatrix}}&+&{\begin{pmatrix}t_{0}^{2}\\t_{0}^{2}\\t_{0}^{2}\\t_{0}^{2}\\\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}\\\end{matrix}}$

Umsortiert wird daraus:

${\begin{matrix}2{\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}o_{1,j}o_{0,j}\\\sum _{j=x}^{z}o_{2,j}o_{0,j}\\\sum _{j=x}^{z}o_{3,j}o_{0,j}\\\sum _{j=x}^{z}o_{4,j}o_{0,j}\\\end{pmatrix}}&-&{\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}o_{0,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{0,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{0,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{0,j}^{2}\\\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}o_{1,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{2,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{3,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{4,j}^{2}\\\end{pmatrix}}-&c^{2}{\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}t_{1}^{2}\\t_{2}^{2}\\t_{3}^{2}\\t_{4}^{2}\\\end{pmatrix}}&-&2t_{0}{\begin{pmatrix}t_{1}\\t_{2}\\t_{3}\\t_{4}\\\end{pmatrix}}&+&{\begin{pmatrix}t_{0}^{2}\\t_{0}^{2}\\t_{0}^{2}\\t_{0}^{2}\\\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}\\\end{matrix}}$

Nun wird die 4. Gleichung von den ersten 3 subtrahiert. Dadurch fallen alle quadratischen Unbekannten weg:

${\begin{matrix}2{\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}(o_{1,j}-o_{4,j})o_{0,j}\\\sum _{j=x}^{z}(o_{2,j}-o_{4,j})o_{0,j}\\\sum _{j=x}^{z}(o_{3,j}-o_{4,j})o_{0,j}\\\end{pmatrix}}&=&{\begin{pmatrix}\sum _{j=x}^{z}o_{1,j}^{2}-o_{4,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{2,j}^{2}-o_{4,j}^{2}\\\sum _{j=x}^{z}o_{3,j}^{2}-o_{4,j}^{2}\\\end{pmatrix}}&-&c^{2}{\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}t_{1}^{2}-t_{4}^{2}\\t_{2}^{2}-t_{4}^{2}\\t_{3}^{2}-t_{4}^{2}\\\end{pmatrix}}&-&2t_{0}{\begin{pmatrix}t_{1}-t_{4}\\t_{2}-t_{4}\\t_{3}-t_{4}\\\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}\\\end{matrix}}$

Vorstehende Gleichungen sind nichtlinear, lassen sich aber durch einen Trick sehr vereinfachen. Dazu werden die Koordinaten in einen konstanten und einen zeitabhängigen Anteil aufgespalten:

${\begin{matrix}o_{n,j}=o_{n,j0}+o_{n,jt}t_{0}\qquad f{\ddot {u}}r\qquad n=1,~2,~3\quad und\quad j=x,~y,~z\end{matrix}}$

Nun reicht es, die Gleichungen getrennt für die konstanten und $t_{0}$-abhängigen Terme zu erfüllen.. Bei den $t_{0}$-abhängigen Termen kann $t_{0}$ gekürzt werden, so daß mit

${\begin{matrix}{\mathcal {O}}_{0}\qquad mit\qquad ((o_{j0}))\qquad f{\ddot {u}}r\qquad j=x,~y,~z\\{\mathcal {O}}_{t}\qquad mit\qquad ((o_{jt}))\qquad f{\ddot {u}}r\qquad j=x,~y,~z\\{\mathcal {M}}\qquad mit\qquad ((m_{n,j}))=2(o_{n,j}-o_{4,j})\qquad f{\ddot {u}}r\qquad n=1,~2,~3\quad und\quad j=x,~y,~z\\{\mathcal {T}}_{0}\qquad mit\qquad ((\sum _{j=x}^{z}\left[o_{n,j}^{2}-o_{n,4}^{2}\right]-c^{2}\left[t_{n}^{2}-t_{4}^{2}\right]))\qquad f{\ddot {u}}r\qquad n=1,~2,~3\\{\mathcal {T}}_{t}\qquad mit\qquad ((t_{n}))=2(t_{n}-t_{4})\qquad f{\ddot {u}}r\qquad n=1,~2,~3\\\end{matrix}}$

entsteht:

${\begin{matrix}{\mathcal {M}}({\mathcal {O}}_{0}+{\mathcal {O}}_{t}t_{0})={\mathcal {T}}_{0}+t_{0}{\mathcal {T}}_{t}\\\end{matrix}}$

Dieses Gleichungssystem kann für den konstanten und zeitabhängigen Anteil getrennt erfüllt werden:

${\begin{matrix}{\mathcal {M}}{\mathcal {O}}_{0}={\mathcal {T}}_{0}\\{\mathcal {M}}{\mathcal {O}}_{t}t_{0}=t_{0}{\mathcal {T}}_{t}\\\end{matrix}}$

Bei der unteren Gleichung kann noch $t_{0}$ gekürzt werden:

${\begin{matrix}{\mathcal {M}}{\mathcal {O}}_{0}={\mathcal {T}}_{0}\\{\mathcal {M}}{\mathcal {O}}_{t}={\mathcal {T}}_{t}\\\end{matrix}}$

Es sind also 2 Gleichungssysteme 3. Grades mit der gleichen Koeffizientenmatrix zu lösen. Die Lösungen werden in eine der 4 Ausgangsgleichungen eingesetzt, beispielsweise die erste:

${\begin{matrix}\sum _{j=x}^{z}(o_{1,j}-o_{0,j})^{2}=\sum _{j=x}^{z}[o_{1,j}-(o_{0,j0}+o_{0,jt}t_{0})]^{2}=c^{2}(t_{1}-t_{0})^{2}\end{matrix}}$

Die Terme werden ausmultipliziert und nach Potenzen von $t_{0}$ geordnet:

${\begin{matrix}A=\sum _{j=x}^{z}(o_{1,j}-o_{0,j0})^{2}-c^{2}t_{1}^{2}\\B=\sum _{j=x}^{z}(o_{1,j}-o_{0,j0})o_{0,jt}-c^{2}t_{1}\\C=\sum _{j=x}^{z}o_{0,jt}^{2}-c^{2}\\\\Ct_{0}^{2}-2Bt_{0}+A=0\\\end{matrix}}$

Mit der Lösung:

$t_{0}={\frac {B\pm {\sqrt {B^{2}-AC}}}{C}}$

Nun sind alle Werte bekannt, um die Koordinaten anzugeben.

${\begin{matrix}{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\\\end{pmatrix}}&=&{\begin{pmatrix}x_{00}\\y_{00}\\z_{00}\\\end{pmatrix}}&+&t_{0}{\begin{pmatrix}x_{0t}\\y_{0t}\\z_{0t}\\\end{pmatrix}}\\\end{matrix}}$

Das war vielleicht ein Missverständnis. Ich hatte eher eine Reduktion der Zeilenzahl im Sinn d. h. z. B.

$(x_{s}-x_{0})^{2}+(y_{s}-y_{0})^{2}+(z_{s}-z_{0})^{2}=[c(t_{s}-t_{0})]^{2}$ für s=1,..,4

oder manchmal auch nur für s=1,..,3 wie bei

$2(x_{s}-x_{4})x_{0t}+2(y_{s}-y_{4})y_{0t}+2(z_{s}-z_{4})z_{0t}=2c^{2}(t_{s}-t_{4})$ für s=1,..,3

Oder vielleicht noch weitergehend mit Doppelindizes (daher Index s wie Satellit zugunsten der Übersichtlichkeit) wie z. B.

$\sum _{i=1}^{3}(x_{s,i}-x_{0,i})^{2}=c^{2}(t_{s}-t_{0})^{2}$

Bei vektoriell dachte ich eher an

$({\vec {r}}_{s}-{\vec {r}}_{0})^{2}=c^{2}(t_{s}-t_{0})^{2}$

obwohl wir bei dieser Schreibweise wohl einige Laien abhängen zumindest was die Nachvollziehbarkeit einiger Umformungen in dieser Schreibweise anbetrifft. Ich bin schon etwas länger aus dem "Geschäft" draußen, aber zu meiner Zeit hat niemand i=x, y, z statt i=1, 2, 3 geschrieben. Hat sich das geändert? Bei Doppelindizes würde ich auch eher x statt o verwenden. o als Koordinate kenne ich auch eher nicht. --Wolfgangbeyer 08:45, 17. Mär 2005 (CET)

Was sind eigentlich der konstante und der zeitabhängige Anteil einer Koordinate, sprich eines festen Punktes auf der Erdoberfläche?

Zuerst zum Letzten: "Was sind eigentlich der konstante und der zeitabhängige Anteil einer Koordinate, sprich eines festen Punktes auf der Erdoberfläche?". Mein Satz "Dazu werden die Koordinaten in einen konstanten und einen zeitabhängigen Anteil aufgespalten" hört sich vielleicht etwas mißverständlich an, vielleicht sollte man schreiben: "Zur Berechnung der Zahlenwerte der Koordinaten werden die Zahlenwerte in 2 Anteilen betrachtet und zwar in einem parameterunabhängigen Teil und einen parameterabhängigen Teil, wobei als Parameter $t_{0}$ gewählt wird". Ist aber sehr lang und gefällt mir nicht - obwohl sachlich richtig.

Ob meine Wahl immer glücklich ist, weiß ich nicht. Ich habe o von Ort gewählt und habe bewußt nicht x gewählt, um keine Mißverständnisse aufkommen zu lassen. $x_{1}=x$, $x_{2}=y$ und $x_{3}=z$ halte ich für viele für schwerer verständlich als $o_{i}$ mit i = x, y, z. Ist vielleicht etwas ungewohnt, aber eindeutig verständlich. Aber bei reiner Vektorschreibweise muß man eindeutig sagen, daß man das Skalarprodukt des Ortsvektors meint, der Wegfall der quadratischen Terme ist nicht so einfach zu sehen. Das hat mich zu meiner Darstellung gebracht.

Wie leicht man sich verhauen kann, zeigt Deine zweite Formel. Die erste Formel ist richtig, in der zweiten Formel fehlen viele Quadrate. --Physikr

Natürlich kann man die Zahlenwerte in beliebig vielen Anteilen betrachten. Aber als Parameter die Empfängerzeit $t_{0}$ zu wählen erscheint mir doch sehr fragwürdig. Dann hätte z.B. $x_{ot}$ die Dimension einer Geschwindigkeit. Wo liegt da der physikalische Sinn? Damit sich $t_{0}$ herauskürzt ist keine ausreichende Begründung für diese Aufteilung, zumal das Argument fehlt, warum das Gleichungssystem für die beiden Anteile getrennt erfüllt sein sollte.

@anonymus: ich hab's auch erst eben kapiert. Anfangs hat man ja 4 Gleichungen für 4 Unbekannte x0, y0, z0 und t0. Durch die Reduktion auf 3 Gleichungen ist das nicht unbedingt lösbar. Der Trick besteht nun darin, t0 nicht als feste zu bestimmende Unbekannte zu betrachten sondern als variablen Parameter. Damit erhält man 3 Gleichungen für 3 Unbekannte x0, y0, z0, deren Lösung parametrisch von t0 abhängt. Da es sich um eine lineares Gleichungssystem handelt haben die Lösungen genau die angegebene Form x0=x00+x0t*t0. Das in die Gleichungen eingesetzt liefert so was wie a+b*t0=c+d*t0 für alle t0. Daher muss a=c und b=d separat gelten.

@physikr, vielleicht reicht ja einfach die Schreibweise meiner ersten beiden Gleichungen. Damit vermeiden wir die für Laien vielleicht schwer lesbaren Doppelindizes, reduzieren aber die Gruppen von 3 bis 4 Gleichungen, die sich nur um Indexwerte unterscheiden, jeweils auf eine einzige, und reduzieren damit auch die Redundanz in der Formelflut. Ich sehe in der 2. Gleichung übrigens auf die Schnelle keinen Fehler. Sie stellt die letzte Dreiergruppe von Gleichungen im Text dar. Die müsste dann auch falsch sein, denn ich habe sie mit copy+paste dort rausgefischt und angepasst. --Wolfgangbeyer 00:30, 19. Mär 2005 (CET)

Aus 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten werden 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Ein solches Gleichungssystem kann man z.B. dadurch lösen, dass man eine Unbekannte "errät". Sonst bleibt eine Unbekannte immer als Parameter übrig. Wenn man das Gleichungssystem so wie beschrieben mit einem Zahlenbeispiel durchrechnen würde, stellte man fest, dass die Terme A, B und C allesamt gleich Null sind. Dann erhält man die richtige Aussage 0=0, aber keinen Wert für $t_{0}$. Das sieht man bereits an dem Term für C. Da wir ja von einem ruhenden Empfänger ausgehen, kann als einzige Geschwindigkeit nur die Lichtgeschwindigkeit in den Gleichungen auftauchen. Für ein Funksignal gilt dann aber C=0. (technikr)

@technikr, da liegt irgendein Missverständnis vor, ich sehe nur nicht genau wo. Ich nehme an Du meinst mit A mein a? c und d sind ja von Null verschieden, denn sie berechnen sich ja unmittelbar aus den bekannten Koordinaten und Zeiten. Warum sollte $c=x_{i}^{2}-x_{j}^{2}+y_{i}^{2}-y_{j}^{2}+z_{i}^{2}-z_{j}^{2}-(c^{2}t_{i}^{2}-c^{2}t_{j}^{2})$ Null sein? Die Zeiten beziehen sich ja gar nicht auf ein Signal, das zwischen Satellit i und j ausgetauscht wird, und selbst dann wäre es nicht korrekt. Über die 3 Gleichungen mit den 3 Unbekannten erhält man zunächst nur die Lösungen x0(t0), y0(t0), z0(t0) als Funktion des noch unbekannten Paramaters t0. Um t0 zu erhalten muss man wieder auf eine der 4 Ausgangsgleichungen zurückgreifen und damit wieder eine 4. und zwar eine von den anderen 3 unabhängige Gleichung ins Spiel bringen.

@physikr, man kann sich doch das "Aufspalten" von x0 in einen konstanten und zeitabhängigen Teil umgehen, indem man schreibt:

Vorstehende Gleichungen (Wieso sollen die eigentlich nichtlinear sein? In den Unbekannten sind sie's ja nicht) lassen sich als 3 lineare Gleichungen für die Unbekannten x0, y0 und z0 interpretieren, deren Lösung jedoch noch die Unbekannte t0 enthält. Da t0 lediglich linear auftritt, führt diese Lösung zu Ausdrücken der Form

${\begin{matrix}x_{0}=x_{00}+x_{0t}t_{0}&&y_{0}=y_{00}+y_{0t}t_{0}&&z_{0}=z_{00}+z_{0t}t_{0}\\\end{matrix}}$

in denen lediglich t0 noch unbekannt ist.

Auf diese Weise könnte man es sich völlig sparen, die jeweils 3 linearen Gleichungen für den "konstanten" und den "zeitabhängigen" Teil separat hinzuschreiben. Und entfällt das Rätsel für den Leser, warum man scheinbar so unmotiviert "aufspaltet". Ich bin da auch gestolpert. --Wolfgangbeyer 12:14, 19. Mär 2005 (CET)

@Wolfgangbeyer Für die Rechnungen muß man dann doch die Gleichungen seperat lösen. Nichtlinear sind die Gleichungen insofern, das Produkte $x_{0t}t_{0}$ auftreten und deshalb ist ja auch eine quadratische Gleichung zu lösen.

Aus den 4 Gleichungen werden nicht 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten, sondern 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten und einem Parameter, der durch die 4. Gleichung Gleichung bestimmt wird. Insofern war der Einwand richtig, es muß also heißen:

${\begin{matrix}\sum _{j=x}^{z}(o_{4,j}-o_{0,j})^{2}=\sum _{j=x}^{z}[o_{4,j}-(o_{0,j0}+o_{0,jt}t_{0})]^{2}=c^{2}(t_{4}-t_{0})^{2}\\\end{matrix}}$

Die Terme werden ausmultipliziert und nach Potenzen von $t_{0}$ geordnet:

${\begin{matrix}A=\sum _{j=x}^{z}(o_{4,j}-o_{0,j0})^{2}-c^{2}t_{4}^{2}\\B=\sum _{j=x}^{z}(o_{4,j}-o_{0,j0})o_{0,jt}-c^{2}t_{4}\\C=\sum _{j=x}^{z}o_{0,jt}^{2}-c^{2}\\\\Ct_{0}^{2}-2Bt_{0}+A=0\\\end{matrix}}$

Ansonsten hat anonymos Recht.

$x_{ot}$ hat tatsächlich die Dimension einer Geschwindigkeit. Als Rechenhilfsgröße braucht man aber nicht nach einer physikalischen Bedeutung zu suchen.

Entschuldigung für das Mißverständnis bei der zweiten Gleichung. Ich hatte zu kurz geschaut und gedacht, daß die zweite Gleichung sich unmittelbar aus der ersten ergibt. Aber das ja nur aus einer späteren kurzen Gleichung rausgefischt. --Physikr

Ich beziehe mich auf die untenstehenden Gleichungen. A, B und C sind alle gleich Null. Bei C sieht man das sofort (siehe oben). Wer es nicht glaubt, kann ja spaßeshalber mal Zahlenwerte in das Ausgangsgleichungssystem einsetzen.

${\begin{matrix}A=\sum _{j=x}^{z}(o_{4,j}-o_{0,j0})^{2}-c^{2}t_{4}^{2}\\B=\sum _{j=x}^{z}(o_{4,j}-o_{0,j0})o_{0,jt}-c^{2}t_{4}\\C=\sum _{j=x}^{z}o_{0,jt}^{2}-c^{2}\\\\Ct_{0}^{2}-2Bt_{0}+A=0\\\end{matrix}}$

(technikr)

Hat das jemand schon mal nachgerechnet? Im Prinzip lässt sich ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und ebensovielen Unbekannten natürlich lösen. (technikr)

Eigentlich wollte ich mich hier gar nicht so weit hineinziehen lassen ;-). Ich glaube ein Gegenbeispiel zu C=0 gefunden zu haben. Lege aber für meine Argumentation nicht die Hand ins Feuer. Sie geht so: Es geht ja um 3 Gleichungen vom Typ

$({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}){\vec {r}}_{0}+K=c^{2}(t_{i}-t_{j})t_{0}$

wobei K eine bekannte Konstante ist. Jede einzelne dieser Gleichungen definiert eine Ebene im Raum, auf der das gesuchte ${\vec {r}}_{0}$ liegen muss, das sich letztlich als Schnittpunkt der 3 Ebenen ergeben würde, wenn t0 bekannt wäre. Jede Ebene verläuft senkrecht zu ${\vec {r_{i}}}-{\vec {r_{j}}}$ und erfährt bei Veränderung von t0 eine Parallelverschiebung. Für diese Parallelverschiebung pro Δt0 erhalte ich stets einen Wert kleiner gleich c. Gleichheit erhalte genau dann, wenn die 3 Ortsvektoren in einer Gleichung auf einer Linie liegen. In diesem Fall muss sich ${\vec {r}}_{0}(t_{0})$ mindestens mit c bewegen, nämlich dann wenn es sich in Richtung der Flächennormalen bewegt. Wenn ich einen weiteren Satelliten so platziere, dass die Ebene zu der zugehörigen Gleichung nicht gerade still steht (was nur im Sonderfall ti=tj der Fall ist), dann muss sich ${\vec {r}}_{0}(t_{0})$ mit v>c bewegen und daraus folgt C>0. Wie gesagt ohne Gewähr. Soll physikr das mal numerisch oder analytisch nachrechnen – er hat es uns ja auch eingebrockt ;-). Im Prinzip ist es sowie die Frage, inwieweit so eine Herleitung im Rahmen der Wikipedia überhaut einen Sinn ergibt, oder ob nicht einfach der Hinweis auf das System von 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten genügt. Zumindest habe ich hier noch keine annähernd ähnlich aufwendige Herleitung gesehen.--Wolfgangbeyer 17:22, 19. Mär 2005 (CET)

@Physikr, ob man zum Schluss die 4. oder die 1. der 4 Ausgangsgleichungen für die Berechnung von t0 hernimmt, dürfte irrelevant sein. Jede ist linear unabhängig von den 3 Gleichungen. Das siehst Du schon daran, dass man die 3 Gleichungen durch Differenzbildungen immer so umformen kann, als hätte man anfangs die Differenzen zu einer beliebigen anderen Ausgangsgleichung statt zur 4. gebildet. Insbesondere ist das Argument schwer haltbar, dass die 4. Gleichung noch nicht verwendet sei, wenn sie anders als die anderen sogar in jede der 3 Gleichungen bei der Differenzbildung eingegangen ist ;-). Und eine separate Lösung für die Gleichungssysteme zum "konstanten" und "zeitabhängigen" Term ist ja nur nötig, wenn man einen fertigen Algorithmus zur Lösung einsetzen will, der Zahlen für die Koeffizienten erfordert. Für eine analytische Lösung ist das nicht nötig, und damit im Artikeltext eigentlich auch nicht. --Wolfgangbeyer 17:39, 19. Mär 2005 (CET)

@Wolfgangbeyer: Deine Argumentation bezüglich C=0 sieht auf den ersten Blick recht plausibel aus. Falls die Herleitung von Physikr stimmt, könnte man sie auf eine extra Seite platzieren und mit der GPS-Seite verlinken. Dann könnten zumindest interessierte Leser die Lösung nachvollziehen, und die GPS-Seite wird nicht so überladen. Auch den "Trick" mit dem konstanten und zeitabhängigen Term würde ich dann auf der Extraseite belassen. (technikr)

Da ich es eingebrockt habe, auch mal das Rechenprogramm. Ist in VBA geschrieben und liest zunächst aus einer Excel-Tabelle mit dem Namen "Daten" die Richtungen der Satelliten in Azimut und Höhe von Meßpunkt aus gesehen zum Zeitpunkt der Aussendung.

Danach werden die Satellitenpositionen berechnet und die Laufzeit bestimmt. Danach wird eine Zufallszeit (Stellung der Empfängeruhr) dazu addiert. Diese Zeit einschließlich der Satellitenpositionen erhält der Empfangsrechner und berechnet die Empfängerposition. Zum Schluß werden die Koordinaten des berechneten Punktes ausgegeben.

Der berechnete Ort ist hier nur durch den numerischen Fehler der Rechnung gegeben und ist kleiner $10^{-8}$ m. Die berechneten Positionen schwanken bei jedem Rechengang als Folge der Zufallszeit der internen Uhr.

Private Sub Loesen_Click()

 Const h = 20200000.1, r = 6300000.1, c = 300.1 'm/"my"s
 Const anzahl = 4
 Dim n, i, j, k, wahl As Integer
 Dim daten(24, 8) As Double
 'daten(Satellitennr., Werte), 1 Azimut, 2 Höhe, 3 Abstand,
 '  4 Bodenradius
 '  5,6,7 x,y,z
 '  8 Laufzeit
 Dim pi, u, a, b, z, h1, ag, bg, cg, t0, x0, y0, z0 As Double
 'u Umwndlung Grad in Bogenmaß, a Abstand, z Zufallszeit
 Dim empfang(24, 8) As Double 'Empfangene Werte
 Dim koeff(24, 8) As Double 'Rechenmatrix

 pi = 4 * Atn(1)
 u = pi / 180
   
 'Satellitenposition lesen
 For n = 1 To anzahl
   daten(n, 1) = u * Worksheets("Daten").Cells(6 + n, 2) 'Azimut
   daten(n, 2) = u * Worksheets("Daten").Cells(6 + n, 3) 'Höhe
 Next n
 
 'Sendedaten ausrechnen
 For n = 1 To anzahl
   a = r * Sin(daten(n, 2))
   h1 = h * h + 2 * h * r + a * a
   a = Sqr(h * h + 2 * h * r + a * a) - a
   daten(n, 3) = a
   b = a * Cos(daten(n, 2))
   daten(n, 5) = b * Cos(daten(n, 1))
   daten(n, 6) = b * Sin(daten(n, 1))
   daten(n, 7) = a * Sin(daten(n, 2))
   daten(n, 8) = a / c
 Next n
 
 z = 10000.1 * Rnd 'Zufallsstand interne Uhr
 
 'Empfangsdaten
 For n = 1 To anzahl
   empfang(n, 1) = daten(n, 8) + z
   empfang(n, 2) = daten(n, 5)
   empfang(n, 3) = daten(n, 6)
   empfang(n, 4) = daten(n, 7)
 Next n

 'Gleichungssystem
 wahl = 4
 For n = 1 To wahl - 1
   For j = 1 To 3
     koeff(n, j) = 2 * (empfang(n, j + 1) - empfang(wahl, j + 1))
   Next j
   h1 = 0
   For j = 1 To 3
     h1 = h1 + empfang(n, j + 1) * empfang(n, j + 1) - empfang(wahl, j + 1) * empfang(wahl, j + 1)
   Next j
   koeff(n, 4) = h1 - c * c * (empfang(n, 1) * empfang(n, 1) - empfang(wahl, 1) * empfang(wahl, 1))
   koeff(n, 5) = 2 * c * c * (empfang(n, 1) - empfang(wahl, 1))
 Next n
 
 'Gleichungssystem lösen
 grad = 3
 zahl = 2
 
 'Lösen des Gleichungssytems - Gauß mit Pivotsuche
 For j = 1 To grad - 1
   'Jede Gleichung mit Faktor multiplizieren, damit größter Koeffizient = 1
   For i = j To grad
     h1 = Abs(koeff(i, i))
     h2 = i
     For k = i + 1 To grad       'größten absoluten Koeffizienten suchen
       If Abs(koeff(i, k)) > h1 Then
         h2 = k
         h1 = Abs(koeff(i, k))
       End If
     Next k
     If h2 > i Then
       h1 = 1 / h1
       For k = i To grad + zahl
         koeff(i, k) = koeff(i, k) * h1
       Next k
     End If
   Next i
 
   'Pivot-Suche
   h1 = Abs(koeff(j, j))
   h2 = j
   For i = j + 1 To grad
     If Abs(koeff(i, j)) > h1 Then
       h2 = i
       h1 = Abs(koeff(i, j))
     End If
   Next i
   If h2 > j Then         'Pivot-Tausch
     For k = j To grad + zahl
       h1 = koeff(j, k)
       koeff(j, k) = koeff(h2, k)
       koeff(h2, k) = h1
     Next k
   End If
 
   'führende Koeffizienten durch Addieren auf 0 bringen
   For i = j + 1 To grad
     h1 = -koeff(i, j) / koeff(j, j)
     For k = j To grad + zahl
       koeff(i, k) = koeff(i, k) + koeff(j, k) * h1
     Next k
   Next i
 Next j

 'Rückwärtseinsetzen
 For k = 1 To zahl
   koeff(grad, grad + k) = koeff(grad, grad + k) / koeff(grad, grad)
   For i = grad - 1 To 1 Step -1
     Sum = koeff(i, grad + k)
     For j = i + 1 To grad
       Sum = Sum - koeff(i, j) * koeff(j, grad + k)
     Next j
     koeff(i, grad + k) = Sum / koeff(i, i)
   Next i
 Next k

 'Werte quadratische Gleichung
 ag = 0
 bg = 0
 cg = 0
 For j = 1 To 3
   h1 = empfang(wahl, j + 1) - koeff(j, grad + 1)
   ag = ag + h1 * h1
   bg = bg + h1 * koeff(j, grad + 2)
   cg = cg + koeff(j, grad + 2) * koeff(j, grad + 2)
 Next j
 ag = ag - c * c * empfang(wahl, 1) * empfang(wahl, 1)
 bg = bg - c * c * empfang(wahl, 1)
 cg = cg - c * c
 
 t0 = (bg + Sqr(bg * bg - ag * cg)) / cg
 
 x0 = koeff(1, grad + 1) + koeff(1, grad + 2) * t0
 y0 = koeff(2, grad + 1) + koeff(2, grad + 2) * t0
 z0 = koeff(3, grad + 1) + koeff(3, grad + 2) * t0
 
 Worksheets("Daten").Cells(1, 5) = x0
 Worksheets("Daten").Cells(2, 5) = y0
 Worksheets("Daten").Cells(3, 5) = z0

End Sub

Bevor ich mich mühsam durch den Kode arbeite, was ist denn das Fazit? Wenn ich Dich richtig verstehe, simuliert das Programm eine Situation mit bekannten Koordinaten der Satelliten und eines Empfängers und berechnet aus den Signalen nach den Formeln des Artikels die Position des Empfängers. Als Ergebnis wird die Differenz zwischen der hineingesteckten und der berechneten Empfängerposition ausgegeben und der ist relativ zu irgendwelchen Abständen 10^-8. Sehe ich das richtig? Interessant wäre noch, ob Du technikrs Beobachtung A=B=C=0 widerlegen oder bestätigen kannst. --Wolfgangbeyer 00:41, 20. Mär 2005 (CET)

@Wolfgangbeyer, Du siehst das fast richtig. Die hineingesteckte Position ist der Nullpunkt. Das Ergebnis ist nicht ein relativer Fehler von 10^-8, sondern ein absoluter Fehler von 10^-8 m. " technikrs Beobachtung A=B=C=0" ist keine Beobachtung, sondern eine Behauptung, die nicht untermauert war. Im Code ist A: ag, B: bg und C: cg. Bei allen getesteten Satellitenpositionen waren die Werte ungleich 0. Da technikrs Behauptung Allgemeingültigkeit beanspruchte, ist sie damit schon widerlegt.

Die Simulation ist richtig beschrieben, stimmt aber mit der Wirklichkeit bis auf die ignorierten zusätzlichen Einflüsse überein. Der Empfänger erhält auch in der Wirklichkeit die Daten der Satellitenpositionen zur Sendezeit und mißt mit der Empfängeruhr die Empfangszeit und gewinnt daraus die Sytemzeit des Senders und seine eigene Position. --Physikr

zur Formelflut

Weil die vorherige Diskussion aus allen Nähten platz, fang ich mal eine neue Überschrift an ;) - ich finde diese Formelflut auch alles andere als ideal und ich frage mich ganz ehrlich, ob das in eine Enzyklopädie gehört. Es ist natürlich schön, wenn man diese weiterführenden Informationen irgendwo findet, aber wäre das nicht in einem anderen Projekt besser aufgehoben. Vielleicht eine Abhandlung über die Berechnung in Wikibooks?

Das ganze ist nicht sonderlich aussagekräftig, da ja schonmal der Spezialfall von 4 Satelliten, der sicher am meisten vorkommt. Aber auch mit drei Satelliten und einer Atomuhr im Empfänger ist das ganze ja möglich.

Dann ist der Anfang relativ klar: die Grundgleichungen sind - wenn man weiß, wie man das grundsätzlich berechnen kann - klar. Wenn man das schonmal nicht weiß und keine Ahnung von Mathe hat wird man schonmal die Grundgleichungen nicht verstehen. Eine Erklärung der Art (lapidar gesagt) "Der geometrische Abstand der Punkte muss genau der Strecke entsprechen, die das Signal in der vergangenen Zeit zwischen Absenden und Empfangen zurückgelegt hat" würde das ganze für den Laien ziemlich vereinfachen.

Erleichtern würde es auch, wenn beim Satz "Dadurch fallen alle quadratischen Unbekannten weg" erläutert werden würde, welche das denn sind, denn dass z.B. t0 eine Unbekannte ist - für den Laien vermutlich zunächst unklar warum - wird nicht erläuert.

Der Trick bedarf meines Erachtens nach auch noch einige Erläuterungen, wieso der Trick angewendet werden kann (laienhaft! in der Art "denn der Betrag, der links mit t0 multipliziert werden muss, muss ja genau dem Betrag rechts entsprechen und der ohne t0... blabla").

Was mir weiterhin unklar ist, ist die Tatsache, warum ich am Ende die vierte Gleichung nehmen muss. Es wird gesagt, da diese bisher unbenutzt ist, aber das ist ja nicht der Fall, ich habe sie ja bereits zur Eliminierung der quadratischen Anteile weiter oben benutzt und damit ist sie ja nicht weiter unabhängig.

Alles in allem muss man sich das wirklich ziemlich durchdenken um es zu verstehen und da könnte ein wenig Ausführlichkeit helfen. Ich schlage außerdem einen extra Artikel der Art GPS-Berechnung oder GPS-Gleichungen etc. vor, denn im reinen Lexikonartikel zu GPS ist das meiner Meinung nach zu viel. MfG --APPER\^☺☹ 01:40, 20. Mär 2005 (CET)

Hallo APPER, das ist schon richtig. Der Umfang der Herleitung ließe sich allerdings durch entsprechende Schreibweise fast auf eine Bildschirmseite eindampfen und auch der Begleittext hat deutliche Mängel und ist noch alles andere als endgültig. Für mich stellt sich aber inzwischen die prinzipielle Frage, wie wir mit mathematischen Herleitungen und Beweisen generell umgehen wollen. Mir ist bisher dieses Thema noch nicht begegnet, und ich weiß nicht, ob irgendwo schon mal darüber diskutiert wurde, und eine Empfehlung dazu existiert. Wenn nicht, sollte man das vielleicht mal auf höherer Ebene zur Diskussion stellen, z. B. auf der Mailingliste, dem Mathematik- oder Physik-Portal oder wo auch immer. Sollte so was in eigene Kapitel, in die Wikibooks, Wikisource (da gibt’s z. B. den Goldenen Schnitt auf 1000 Stellen). Fällt Dir dazu was ein? --Wolfgangbeyer 02:41, 20. Mär 2005 (CET)

Der richtige Ort dafür fiel mir auch nicht ein. Da hast du recht, das ist ein echtes Problem. Wikibooks soll ja Bücher haben - die Herleitung ist kein Buch. Die Wikipedia soll enzyklopädische Beiträge haben - das ist eine Herleitung eigentlich nicht. Wikisource soll ursprüngliche Texte haben - da passts auch nicht hin. Also wo hin? Die Frage auf der Mailingliste zu stellen ist vielleicht nichtmal so dumm - ich werd erstmal versuchen heut abend beim Berliner Stammtisch zu fragen, ob sich jemand an eine entsprechende Diskussion erinnern kann, falls sowas schonmal diskutiert wurde. MfG --APPER\^☺☹ 07:01, 20. Mär 2005 (CET)

Hallo APPER, prima Idee, Wikobooks definiert sich laut Hauptseite als Lehrbücher und andere Lern- und Lehrmaterialien. Da wär's nicht ganz so verkehrt. Eine weitere Problemkategorie, die mir in diesem Zusammenhang einfällt, sind auch Algorithmen, die in vielen Artikeln als Computer-Listings zu finden sind. Eine Idee wäre auch, generell das Konstrukt eines Anhanges als Subartikel der Form (Artikel)/Anhang für solche Sachen einzuführen bzw. zu empfehlen. Vielleicht kannst Du das heute Abend mal in die Diskussion werfen. --Wolfgangbeyer 10:45, 20. Mär 2005 (CET)

Zum Einen fällt mir auf, dass die Überschrift der Herleitung "Die GPS-Grundgleichungen (ohne Korrekturen)" missverständlich ist. Man könnte denken, dass die Korrekturen noch fehlen. Aber das Gleichungssystem geht ja von dem Idealzustand aus, dass alle Daten gleichzeitig ($t_{0}$) den Empfänger erreichen und bearbeitet werden. In Wirklichkeit ist das jedoch nicht der Fall. Die Satellitensignale werden seriell und mit einer entsprechenden Zeitverzögerung vom Empfänger synchronisiert und geladen. Während die Positionsdaten des einen Satelliten gespeichert werden, haben die anderen ihre vorige Position bereits verlassen, und zwar mit fast 4km/s. Deshalb variieren neben dem Empfangszeitpunkt auch die Sendezeiten und die Positionsdaten. Außerdem ist die Lichtgeschwindigkeit nicht konstant wegen elektrischer Effekte in der Ionosphäre und Verzögerungseffekte in der Troposphäre. Ganz abgesehen von den vielen anderen Fehlerquellen, die auf der Diskussionsseite zur Relativitätstheorie erwähnt werden, welche die Laufzeit der GPS-Signale beeinflussen. Deswegen wäre ich dafür, diese Herleitung nicht auf der GPS-Seite zu belassen, weil sonst ein falsches Bild von dieser Technik vermittelt wird. Aber auf einer eigenen (Mathe-)Seite, verlinkt mit der GPS-Seite, könnte diese Lösung ihren Platz finden. (technikr)

Zum Anderen habe ich mich von der Richtigkeit der Herleitung überzeugen lassen. Hierbei handelt es sich aber um reine Mathematik, nämlich die Lösung eines quadratischen Gleichungssystems. Die gehört auf eine Mathematikseite und nicht wie bereits oben begründet auf die GPS-Seite. (technikr)

@technikr, eigentlich finde ich eine Erwähnung dieser zu korrigierenden Effekte wie Anomalien der Erdoberfläche, Ionosphäreneffekte usw. wichtiger als die Formeln. Wenn Du Lust hast, kannst Du ja mal ;-). Wenn man mehr als 4 Satelliten auswerten will, muss man ja sowieso anders rechnen, oder wählt man bei Präsenz von mehr als 4 gewöhnlich einfach nur 4 Satelliten aus? Das einzige, was an der hiesigen Herleitung überhaupt erwähnenswert wäre, ist der Trick mit der Reduktion auf ein lineares Gleichungssystem. Aber trotzdem bleibt die generelle Frage, wohin damit. Vielleicht macht APPER uns ja morgen schlauer. --Wolfgangbeyer 11:13, 20. Mär 2005 (CET)

@Wolfgangbeyer prinzipiell stimme ich dem zu, aber es muß der Zugang zu dem Formeln sein, denn z.B. Dir wurde ja auch erst richtig klar um was es geht nach der Formeldarstellung.

Bei mehr Satelliten ist auch nicht anders zu rechnen, lediglich das Lösungssystem ist anders zu machen. Der Gaußchen Lösung sind entweder die Korrelatengleichungen vorzuschalten, die aus einem m x 3 Gleichungssystem (m > 3) ein 3 x 3 Gleichungssystem machen oder das m x 3 Gleichungssystem wird z.B. mit der Schmidtschen Orthogonalisierung direkt gelöst. Ich hatte nur das Gaußche Lösungsverfahren aus einer anderen Rechnung ohne wesentliche Anpassung kopiert. Prinzipiell kann ich auch das Schmidtsche Verfahren reinkopieren, aber das ist noch anzupassen.

@technikr, die Signale werden quasi gleichzeitig empfangen. Im Empfänger werden die Codeworte für die einzelnen Signale - die ja wegen der gleichen Frequenz aller Satelliten gleichzeitig empfangen werden - mit den eigens erzeugten Codeworten korreliert und es wird das Maximum der Kreuzkorrelationsfunktion bestimmt. Das der Satellit sich nach (bzw. während) der Aussendung weiter bewegt, ist für die Auswertung unwesentlich. Wesentlich ist nur, daß die Position des Satelliten zur Zeit der Aussendung bekannt ist. Das dauert eine Weile, da die Positionsnachrichten erst empfangen werden müssen und ausgewertet werden.--Physikr 12:36, 20. Mär 2005 (CET)

Man könnte ja im Bereich Mathematik eine Rubrik "Nichtlineare Gleichungssysteme" eröffnen und diese Herleitung als Spezialfall, in dem sich die nichtlinearen Unbekannten eliminieren lassen, einfügen. Vielleicht finden sich ja dann auch noch andere Interessenten, die den neuen Artikel ergänzen mögen;-) Noch eine Bemerkung zum GPS-Empfänger: Moderne Empfänger besitzen mehrere Digitale Signalprozessoren, so dass nach dem Empfang und der Demodulation eines Satellitensignals auch mehrere Signale gleichzeitig verarbeitet werden können. Der Zeitverbrauch für die Positionsbestimmung ist dann nicht so groß wie bei einem einkanaligen Empfänger.

In den GPS-Bestimmungsgleichungen können von vornherein Abweichungen der Empfängeruhr und Fehlersumme aller anderen auftretenden Abweichungen berücksichtigt werden, so dass mehr verfügbare Satelliten die Lösung vereinfachen. In dieser hier vorgestellten reinen Form spielen die Gleichungen aus praktisch-technischen Gründen kaum eine Rolle. Und für einen Leser des Artikels ist die hinter GPS stehende Mathematik kaum interessant, oder?

Vielleicht habe ich über Ostern etwas Zeit für gute Formulierungen und kann mal etwas zu den Fehlerquellen bei GPS schreiben... (technikr)

PS: Man benötigt übrigens zur Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems keinen "Trick", denn im linearen Gleichungssystem nach Eliminierung der quadratischen Unbekannten lassen sich die Unbekannten $x_{0}$, $y_{0}$ und $z_{0}$ in Abhängigkeit von $t_{0}$ ausdrücken und zum Schluss in eine der Grundgleichungen einsetzen. Dann erhält man $t_{0}$ und anschließend auch die restlichen Unbekannten. (technikr)

Übrigens glaube ich nicht, dass die Signale gleichzeitig empfangen werden. Die Übertragung der 1023 bit dauert um die 20 Sekunden, also kann wohl kaum davon ausgegangen werden, dass immer alles zeitgleich ankommt. Ich denke schon, dass das eine starke Vereinfachung ist und - wie ja schon gesagt - sind da keinerlei Korrekturen drin. Da es auch dem Laien keine weiteren Informationen bringt ist das ganze eigentlich nur eine Nice-To-Know-Mathe-Spielerei. Eine mathematische Erklärung der Art wie aus drei Signalen die Position bestimmt werden kann (Schnitt dreier Kugeln) mit einer schönen Grafik würde mehr bringen. An anderer Stelle ist dieses Nice-To-Know-Mathe-Wissen sicher interessant - wo genau - wikibooks, wikisource... - darüber muss erst noch ein Konsens gefunden werden. --APPER\^☺☹ 13:41, 20. Mär 2005 (CET)

@Physikr, ich hatte übersehen, dass im Empfänger gewöhnlich keine Präzisionsuhr läuft. Aber zu Verständnis genügt ja völlig der Hinweis auf die 4 Unbekannten in $({\vec {r}}_{s}-{\vec {r}}_{0})^{2}=c^{2}(t_{s}-t_{0})^{2}$. Im Prinzip ist kann man die Notwendigkeit, t0 zu bestimmen, so dass 4 Satelliten erforderlich sind, auch in Worte fassen und sich damit sogar diese Gleichung sparen. Eine Beschreibung des zugehörigen Lösungsverfahrens ist dagegen eigentlich nur für den interessant, der so was wirklich selber bauen und/oder programmieren will ;-).

@technikr, naja "Schnitt dreier Kugeln" könnte auch wieder verwirren, wenn gleichzeitig von mindestens 4 Satelliten die Rede ist. Man sollte dann den 4. Satelliten erst anschließend ins Spiel bringen. --Wolfgangbeyer 13:59, 20. Mär 2005 (CET)

@Wolfgangbeyer: Ich habe nichts zum "Schnitt dreier Kugeln" geschrieben. Das war APPER. Eine Beschreibung des Lösungsverfahrens des Nichtlinearen Gleichungssystems kann sich darauf beschränken, dass man in diesem Spezialfall die quadratischen Unbekannten eliminieren kann. Der Rest ist Lösung eines linearen Gleichungssystems. Meinen Vorschlag siehe oben! (technikr)

@APPER: Der Schnitt dreier Kugeloberflächen ergibt 2 Punkte, so dass eine vierte Kugel notwendig ist, um einen eindeutigen Punkt zu erhalten. (technikr)

Es gibt GPS-Empfänger, die mit Atomuhren ausgerüstet sind und mit drei Satelliten auskommen - dass es theoretisch einen zweiten Punkt geben kann, an dem man sich befindet kann getrost ignoriert werden, weil wenn ich mich dort befinde, dann weiß ich dass, weil dann die Luft ziemlich dünn ist so einiges oberhalb der Satelliten... Und wie du siehst gibt es bei der Herleitung die du gibst auch zwei Lösungen, denn es ist ja eine quadratische Gleichung, die gelöst wird. Die vierte Gleichung wird also nicht benutzt um zu bestimmen, ob der Schnittpunkt oberhalb der Satelliten oder der auf der Erde gemeint ist sondern zur Eliminierung von t0 - man hat halt meist keine Atomuhr dabei. --APPER\^☺☹ 17:17, 20. Mär 2005 (CET)

@APPER: Du hattest von einer "mathematischen Erklärung" geschrieben, und dafür benötigt man 4 Kugeloberflächen. Dass der Empfänger beim realen GPS trotzdem weiß, dass er nicht im Weltraum schwebt, verdankt er der eingebauten "Intelligenz" eines Koordinatensystems, welches ihn auf der Erdoberfläche lokalisiert. (technikr)

Habe den Absatz "GPS-Grundgleichungen" etwas umformuliert in einem extra Artikel abgelegt. Der Link dorthin ist unter "siehe auch" angegeben. Vielleicht hat jemand eine bessere Idee, wo man den Hinweis auf die Gleichungen unterbringen könnte.

Das ist vorläufig mal ok, denke ich. Die Frage nach dem generellen wohin mit Herleitungen ist noch offen. Siehe die Kommentare Benutzer_Diskussion:APPER#Herleitungen.2C_Beweise.2C_Algorithmen und Benutzer_Diskussion:Wolfgangbeyer#Ort_f.C3.BCr_Herleitungen. --Wolfgangbeyer 00:44, 23. Mär 2005 (CET)

Pseudostrecken usw.

Zum besseren Verständnis des GPS-Systems:

C/A-Code (zur Pseudostrecken-Bestimmung)

• Geschwindigkeit 1,023 MHz
• Codelänge 1023 Chips -> Dauer 1mS
• 1 Chip Dauer 0.98uS -> Länge 293m

Mittels eines Korrelators wird dann versucht, diese 293m noch genauer aufzulösen. Werden die Pseudostrecken zu den Satelliten nacheinander erfaßt (z.B. 1mS versetzt), müssen diese mittels Doppler oder Trägerphase auf einen gemeinsamen Zeitpunkt gerechnet werden.

Navigationsnachricht (u.a. zur Positionsberechnung)

• Geschwindigkeit 50 Bit/S
• Volle Nachricht 25 Blöcke = 37500 Bit = 12.5 Minuten
• 1 Block = 1500 Bit = 30 Sekunden
• 1 Teilblock = 300 Bit = 0.6 Sekunden

Die Blöcke werden innerhalb der 12.5 Minuten unterschiedlich häufig gesendet (Almanach häufiger, Ionosphären-Korrekturdaten nur einmal). Einige Blöcke werden von allen Satelliten mit gleichem Inhalt gesendet (z.B. Almanach), andere nur vom zuständigen Satelliten (z.B. Ephemeriden).

--Josef H. Gerstenberg 13:32, 25. Mär 2005 (CET)

Historisches

Ich vermute, daß einiges verwirrendes aus der Geschichte des GPS im Artikel enthalten ist:

Positionsbestimmung

"Theoretisch reichen dazu die Signale aus drei Satelliten, da daraus die genaue Position und Höhe bestimmt werden kann. In der Praxis haben aber die meisten GPS-Empfänger keine Uhr, die genau genug ist, um daraus die Laufzeiten korrekt berechnen zu können. Deshalb wird meist das Signal eines vierten Satelliten benötigt."

• Ich habe noch nie einen GPS-Empfänger mit Atomuhr gesehen. Es gibt ein paar in den Controlcentern des GPS. Muß das ein User wissen?
• Bei dem normalen Betrieb eines GPS-Empfängers werden alle empfangenen Satelliten genutzt. Das Ding mit 3-4 Satelliten stammt aus der Soft- und Hardware-Steinzeit des GPS-Systems.
• Um eine Position berechnen zu können, sind bei 99.99% der GPS-Empfänger 4 Satelliten notwendig.
• Mit 3 Satelliten ist über eine sehr kurze Zeit auch noch eine Positionsberechnung möglich, wenn vorher die Empfängeruhr gestellt worden ist. Es gibt da folgende Möglichkeiten:
  • Die Empfängeruhr wird nicht mehr korrigiert.
  • Die Höhe wird festgehalten.

Genauigkeit

Der Begriff Genauigkeit gefällt mir nicht - Positionsfehler finde ich besser. Wie die US-Militärs das GPS nutzen - darüber gibts fast keine Informationen. Also sollten vermutliche und mit großer Sicherheit falsche Informationen über den Positionsfehler dieses Nutzerkreises nur am Rande erwähnt werden.

Den Positionsfehler kann mit sehr unterschiedliche Methoden bestimmen. Hier nur einige:

• Z.B. bei einem Garmin-Empfänger die EPE-Anzeige -> Hat irgendwas mit dem Positionsfehler zu tun.
• Mal für einige Minuten auf einem Festpunkt mit einem Empfänger messen (Punkt dessen Koordinaten bekannt sind). -> Das Ergebnis ist vom kurzfristigen Zustand des GPS, des Empfängers, der Tropo- und Ionosphäre und der näheren Umgebung abhängig.
• Tage bis Wochen auf einem Festpunkt messen. -> Das Ergebnis ist trotzdem sehr variabel, weil sich das GPS und die Ionosphäre auch langfristig verändern.

Ergebnis: Es gibt für für das GPS und für einen Empfänger nur einen aktuellen Positionsfehler. Den kann man über kurze und lange Zeit mit einer bestimmten Zuverlässigkeit abschätzen.

Der Positionsfehler kann mit sehr unterschiedlichen Methoden berechnet werden. Alle Methoden, die einen Zeitraum < 1 Tag nutzen, halte ich grundsätzlich für ein Zufallsprodukt. Hier nur einige Methoden für Messungen >= 24 Stunden:

• Mittlere Lageabweichung (Mittelwert aller Positionen im Meßzeitraum verglichen mit den Festpunktkoordinaten) -> fast nur interessant für Langzeitmessungen.
• Standardabweichung des Positionsfehlers -> schon interessanter, da eine Einschätzung möglich ist, in welchem Bereich der Positionsfehler bei kurzfristigen Messungen liegt.
• 68% der Häufigkeitsverteilung des Positionsfehlers ->
• 95% der Häufigkeitsverteilung des Positionsfehlers ->

!!!! Ich mache weiter - bin jetzt zu müde.

--Josef H. Gerstenberg 21:09, 25. Mär 2005 (CET)

oben gibt es bereits eine Überschrift zur Genauigkeit vielleicht kannst du das dahin verschieben. Unter Historisches paßt es nicht so gut. Nun zu meiner Frage, wie groß schätzt du den Positionsfehler oder die Genauigkeit wenn man über ca. 1 min den Mittelwert bildet? Mehr oder weniger als 5 m? Messungen über 24 Stunden sind etwas schwierig durchzuführen.Kolossos 09:46, 20. Apr 2005 (CEST)

Verschiebung

Ich habe die Verschiebung nach "Globales Positions System" rückgängig gemacht. Nicht nur, dass der Benutzer, der der Meinung ist, wir sollten hier doch deutsch schreiben, anscheinend absolut keine Ahnung von der deutschen Sprache hat, auch ist dies ein feststehender Eigenname. MfG --APPER\^☺☹ 17:35, 27. Apr 2005 (CEST)

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Hm, ich habe doch gar nichts im Text selbst verändert, so dass mein "schlechtes" Deutsch doch gar nicht zum Vorschein kommen konnte. Auf jeden Fall wird im Roman SAKRILEG (Erfolgsbuch in Deutschland) vom Globalen Positions System gesprochen. Dies entspricht genau der Abkürzung GPS. Das ganze ist wahrscheinlich mit ISDN vergleichbar, was ja Integriertes System Daten Netz bedeutet, wobei dies zugegebener Maßen ja von deutschen Ingenieuren erfunden wurde. Leider weiß ich technisch nicht, wie man eine Rückgängigmachung wieder rückgängig machen kann? Rolz-reus 21:39, 27. Apr 2005 (CEST)--

Auf einen Roman sollte man sich nicht stützen. Wenn dann müsste das ganze in korrektem Deutsch "Globales Positionierungssystem" oder vielleicht noch "Globales Positionierungs-System" heißen. Aber da das ganze kein Gattungsbegriff oder ähnliches ist sondern eine Bezeichnung für ein spezielles Produkt, bleiben wir beim offiziellen Namen, den dieses Produkt hat. Wenn du ein Milky Way essen willst, fragst du ja auch nicht nach einer Milchstraße und besitzt keine Spielwürfel von In Gottes Händen. MfG --APPER\^☺☹ 00:10, 28. Apr 2005 (CEST)

ISDN heißt "Integrated Services Digital Network" und ist eine englischsprachige Abkürzung. Im Übrigen muss ich APPER zustimmen.

„Globales Positionsbestimmungssystem“ wäre die „richtigste“ von allen deutschen Entsprechungen! Globales Positionssystem ergibt keinen Sinn, und es positioniert auch nichts. Zudem würde ich meinen, daß es sich hierbei nicht um ein Produkt, sondern lediglich um ein englisches Akronym handelt. Scheinbar sind alle englischen Begriffe Eigennamen und Produkte (StewardEss, E-Mail, Keyboard, Motherboard, ...), sodaß man sie nicht übersetzen darf. Aber wir fahren ja eh bald mit Galileo in den Urlaub. Außer die „coolen“ Leute, die benutzen weiterhin ihr „Dschi-Pii-Ess“. --Kuroi-ryu 22:39, 30. Dez 2005 (CET)

Vorschlag wegen Formeln

Hallo Leute. Ich hab die Diskussion um die Integration von Herleitungen mal kurz überflogen. (ich fang mal neu an, dann kann man das alte archivieren) Also in Wikipedia sind sie nicht so gut aufgehoben, aber in einem Lehrbuch in Wikibooks durchaus. Genau passend wäre beispielsweise ein "Lehrbuch Gedodäsie". In diesem Lehrbuch werden dann die verschiedenen Berechnungsmethoden hergeleitet, erklärt und mit Beispielen gerechnet, wie in jedem anderen (Ingenieurs-)Lehrbuch auch. Und das beste ist, man kann auf dieses Lehrbuch, oder bestimmte Kapitel davon (in Wikibooks sind Kapitel bei zu großen Büchern eine eigene Unterseite) mittels Wikilinks verweisen. Also mit [[b:Schwingbewegungen|Schwingbewegungen]] erhält man einen hellblauen Interwikilink der so aussieht: Schwingbewegungen. Sowas kann man dann geeignet im Artikel platzieren. Das sollte doch die Lösung für euch sein oder? Und ich bin mir sicher, Wikibooks würde sich über ein paar mehr Autoren freuen. ;-) Arnomane 22:33, 4. Mai 2005 (CEST)

ich fände schön, wenn die Formeln, und eine verständliche Kurzfassung für den Laien, einen eigenen Artikel (Mathematische Grundlagen des GPS? bekämen. Desweiteren möchte ich an dieser unpassenden Stelle zu Koordinatenangaben in jedem Artikel, der einen geografischen Ort auf dieser Welt beschreibt, anregen. --62.180.160.148 15:08, 25. Jul 2005 (CEST)

Frage!?

Hallo, ich hab da mal eine Frage: Geosynchron sind die GPS-Satelliten ja nicht und erst recht nicht geostationär (ich glaube das gilt für SBAS). Aber was sind sie dann? ich komm nicht auf das wort, aber ich meine es gibt da eins... danke für eure hilfe!

Höhenbestimmung?

Ist es möglich mit GPS auch die Höhe festzustellen und wenn ja, wie genau sind die Werte? 84.173.165.140 15:16, 1. Okt 2005 (CEST)

Selbstverständlich, steht ja auch im Artikel. Die Genauigkeit ist prinzipbedingt etwa um das 1,7-fache schlechter als die horizontale Genauigkeit, wobei es hier immer um die 50%-ige Genauigkeit geht. --Captain Crunch 13:49, 3. Okt 2005 (CEST)

GPS Positioning Services Specified

GPS Positioning Services Specified In The Federal Radionavigation Plan Precise Positioning Service (PPS) Authorized users with cryptographic equipment and keys and specially equipped receivers use the Precise Positioning System. U. S. and Allied military, certain U. S. Government agencies, and selected civil users specifically approved by the U. S. Government, can use the PPS. PPS Predictable Accuracy - Genauigkeit 22 meter Horizontal accuracy 27.7 meter vertical accuracy 200 nanosecond time (UTC) accuracy Frequenzen der Sateliten von 1164-1592 Mhz

L-Band Navstar GPS (1973) Glonass (1996) Egnos (2004) Galileo (2006/2008)

C/A 1.023 MHz /1ms L5 1176,45 MHz 1176,45 MHz (2005) E5a 1164 - 1189 MHz E5A-E5B E5b 1189 - 1214 MHz 1.164 - 1215 MHz L2 1.227,60 MHz 1.246 MHz E6 1260 - 1300 MHz 1.260 - 1.300 MHz SAR 1544 - 1300 MHz E2 1559 - 1563 MHz E2-L1-E1 L1 1563 - 1587 MHz 1.575,42 MHz 1.602 MHz 1.575,42 MHz 1.559 - 1.591 MHz E5 1587 - 1592 MHz n0... 5.625 MHz

Die PRN/Satellite ID information für WAAS und EGNOS:

ARTEMIS ist der teuerste Satellit der ESA. Der Start war am 12.Juli 2001 die vorgeshende Position wurde am 21.Feb.2002

Anfang 2003 wird ARTEMIS betriebsbereit sein Sateliten PRN Garmin Satelliten ID Artemis mit seinem Startgewicht 3.100 Kg hat eine Position von 21,5° Ost 31.000 Km über Zentralafrika. Artemis wird Hochgeschwindigkeits-Datenübertragungen für die nahezu Echtzeit Kommunikation liefern (S-Band, Ka-Band und optische Datenrelais, Navigations- und L-Band-Mobilfunk SILEX-Betrieb

Das DGPS Programm EGNOS nutzt das L-Band

Inmarsat AOR.E (Atlantic Ocean Region East) 120 33 EGNOS Inmarsat AOR-W (Atlantic Ocean Region West) 122 35 WAAS Inmarsat IOR (Indian Ocean Region) 131 44 EGNOS Inmarsat POR (Pacific Ocean Region) 134 47 WAAS Artemis 124 37 EGNOS Inmarsat IOR-W (III-F5) (Indian Ocean Region West) 126 39 EGNOS MTSAT-1R 129 42 MSAS MTSAT-2 137 50 MSAS

NAVSTAR-GPS

Dem Artikel diesen Satz vorangestellt:

Dieser Artikel befasst sich mit dem US-Satellitensystem GPS, der Artikel GNSS mit der Satellitennavigation im Allgemeinen.

Leider klingt GPS wie Satellitennavigation. Genau genommen müsste dieser Artikel NAVSTAR-GPS heißen und nur das Satellitensystem beschreiben. Beiträge zur Satellitennavigation (=GNSS) sollten dort ergänzt werden. --Dantor 00:15, 30. Dez 2005 (CET)

relativistische Effekte

Beim GPS werden relativistische Effekte dadurch korrigiert, dass die Sendesignale der Satelliten auf einer um einen kleinen Faktor gegenüber der Empfangsferquenz der Empfänger verschoben sind. Die bisher im Artikel stehende Aussage, dass diese Effekte nicht berücksichtigt werden müssten, weil es zwischen den Satellliten keine gravierenden Differenzen der relatvistischen Effekte gäbe, ist also falsch und wurde von mir gestrichen. Tom.berger 19:36, 2. Feb 2006 (CET)

Frage: Im Text steht: "Die verringerte Gravitation in Höhe der Satellitenflugbahn lässt die Zeit schneller vergehen". Ist dies denn wirklich richtig? Ist es die 'verringerte Gravitation', die dafür verantwortlich ist? IMO würde dieser Effekt auch in einem weitestgehend homogenen Gravitationsfeld auftreten und hängt nicht ab z.B. vom Ausmaß dieser 'Verringerung'. Muss bzw. sollte der Text hier korrigiert werden? Jens Makait, 3.2.2006

Nein, es ist schon richtig so. Wären die beiden Uhren derselben Gravitation ausgesetzt (also auf derselben Höhe im Gravitationsfeld), dann gingen sie gleich schnell - so wie alle Uhren auf der als eben betrachteten Erdoberfläche oder alle Uhren in den auf gleicher Höhe kreisenden Satelliten. Außerem hat die Homogenität des Gravitationsfelds damit nichts zu tun. Das Gravitationsfeld der Erde ist bekanntlich nicht homogen, aber alle Satelliten bleiben immer auf demselben Gravitationspotential - andernfalls würden Sie ständig wechselnden Kräften ausgesetzt sein. Tom.berger 10:50, 3. Feb 2006 (CET)

Vielleicht sollten wir im Text stärker herausheben, dass sowohl Effekte der speziellen Relativitätstheorie (Geschwindigkeit der Satelliten), als auch der allgemeinen (Schwerefeld) berücksichtigt werden. Noch besser wäre ein Abschnitt unter GNSS, da auch Galileo und Glonass davon betroffen sind. Dantor 22:56, 3. Feb 2006 (CET)

Ich denke, dass der bisherige Hinweis im Text ("Damit werden sowohl die Effekte aus der Speziellen wie auch der Allgemeinen Relativitätstheorie berücksichtigt. Weitere relativistische Effekte wie z.B. der Sagnac-Effekt sind zu klein und werden nicht gesondert berücksichtigt, sondern werden bei der mehrfach täglich stattfindenden Synchronisation der Uhren wieder zurück gesetzt.") vollkommen ausreicht. Aber man sollte wohl noch Links zur SRT und ART setzen. Tom.berger 17:45, 4. Feb 2006 (CET)

Als physikalischer Laie muss ich zusehen, dass ich nicht penetrant wirke. Trotzdem versuche ich noch einmal besser zu sagen, warum ich die Formulierung "Die verringerte Gravitation in Höhe der Satellitenflugbahn lässt die Zeit schneller vergehen" falsch oder mindestens Missverständlich finde. "Die verringerte Gravitation.." klingt so, als sei die Differenz zwischen den Schwerebeschleunigungen auf der Erde oder im Orbit aussschlaggebend. Es ist aber doch, wie du richtig schreibst, vielmehr so, dass der Unterschied der Gravitationspotentiale dieser Orte die Ursache ist. Es ist zwar richtig, dass im Orbit und auf der Erde schon etwas unterschiedliche Schwerebeschleunigungen herrschen. Für die Größe des relativistischen Effektes ist aber nicht die Differenz der Schwerebeschleunigungen ausschlaggebend, sondern besagte Differenz der Gravitationspotentiale. (Das homogene Gravitationsfeld hatte ich nur erwähnt um deutlich zu machen, dass sich dort eine derartige Differenz der Gravitationspotentiale mit entsprechenden relativistischen Effekten auch finden lässt, wobei die Schwerebeschleunigungen an allen Orten dann aber gleich sind.) Ich denke daher, der Text sollte auf eine Formulierung mit "Unterschied der Gravitationspotentiale" geändert werden, da er dem Leser sonst eine falsche Vorstellung von der Ursache des relativistischen Effektes vermittelt. Jens Makait, 18:15, 4.2.2006

Deine Aussage Für die Größe des relativistischen Effektes ist aber nicht die Differenz der Schwerebeschleunigungen ausschlaggebend, sondern besagte Differenz der Gravitationspotentiale. ist falsch, denn die beiden Aussagen beschreiben dasselbe Phänomen. Die Stärke des Gravitationspotentials an einem Ort misst man z.B. durch Bestimmung der Fallbeschleunigung. Die Aussage, dass für das unterschiedliche Vergehen der Zeit auf der Erdoberfläche und im Orbit die Differenz der Schwerebeschleunigungen ursächlich ist, ist also korrekt. Der Satz "Die verringerte Gravitation in Höhe der Satellitenflugbahn lässt die Zeit schneller vergehen"ist also völlig korrekt und unmissverständlich und muss nicht geändert werden. Tom.berger 11:18, 5. Feb 2006 (CET)

Sorry, aber als Physiker kann ich nur sagen: Jens Makait hat mit seinem Einwand recht, nachzulesen auch im Artikel Zeitdilatation. Natürlich ist das Potenzial durch die Kraft definiert, aber über das Integral der Kraft - die Formulierungen "Unterschied der Gravitation" und "Unterschied des Gravitationpotenzials" sind deswegen im allgemeinen nicht äquivalent. Das Beispiel dafür (homogenes Feld) wurde schon gegeben, und der Hinweis auf die Inhomogenität des Erdfeldes entkräftet nicht das Argument, weil der fragliche Satz eine falsche Ursache für die beobachtete Wirkung angibt. Ich schlage daher die Formulierung "Aufgrund der größeren Höhe im Gravitationsfeld der Erde" vor, die korrekt ist, aber eine unnötige Verkomplizierung durch Einführung des Potenzialbegriffs vermeidet. --Laurenz Widhalm 21:54, 5. Feb 2006 (CET)

Die Behauptung, die Gangunterschiede würden zu einem Positionsbestimmungsfehler von etwa 12 km pro Tag führen, ist nicht richtig. Die Begründung stand ja auch im Text, den ich mal in modifizierter Form wieder hergestellt habe. Die ausführliche Diskussion dazu fand ab im März 2005 unter Diskussion:Relativitätstheorie/Archiv4#Uhren_im_Gravitationsfeld statt. Ich war zunächst auch dem Irrtum unterlegen, es würde der Gang der Uhren in den Satelliten mit einer im Empfänger verglichen. GPS-Empfänger haben aber keine eingebaute Atomuhr. Wäre sonst auch etwas weniger handlich aber dafür leicht teurer ;-). Die Uhren werden aber trotzdem verstimmt, damit bei anderen Korrekturen, die durchgeführt werden müssen, nicht noch die relativistischen mitgerechnet werden müssen. Und letztlich ist es schlicht simpler für den Prozess der Synchronisation mit irdischen Referenzuhren. Die Zahl 12 km pro Tag ergibt sich offenbar aus der Angabe 500m/h. Dieser Zahl sieht man aber schon an, dass es ein grober Mittelwert ist. Hängt ja von allen möglich Dingen noch ab, z. B. der Position des Empfängers auf der Erde, denn der Effekt der SRT ist ja an den Polen anders als am Äquator. Von daher wäre ist die Angabe "12" irreführend, die man ja als "mehr als 11 aber weniger als 13" interpretieren würde, sondern "etwa 10" ist völlig ok. --Wolfgangbeyer 01:48, 6. Feb 2006 (CET)

Habe nochmal nachgerechnet. Danach ist wohl 12 km doch vertretbar. Ferner sind die Variationen des SRT-Effekts ja eher winzig. --Wolfgangbeyer 02:15, 6. Feb 2006 (CET)

12 km pro Tag bezieht sich auf den Einzelabstand zu einem Satelliten. Der (horizontale) Positionsfehler auf der Erde ist aber natürlich geringer und hängt von den Satellitenpositionen ab. War schon spät gestern ;-). --Wolfgangbeyer 09:39, 6. Feb 2006 (CET)

Nun, ich bin auch Physiker :-) Und ich denke, dass man den Begriff "verringerte Gravitation" schon so stehen lassen kann. Im Begriff "verringerte" steckt ja implizit die Relativieruzng zweier Positionen, so dass das inhaltlich korrekt ist.

Aber was anderes ist mir wichtiger: zwar bräuchte man den relativistischen Effekt bei den uhrlosen Empfängern nicht zu berücksichtigen - die Empfänger würden dann eben eine minimal falsche Uhrzeit anzeigen - aber dieser Effekt würde natürlich auch umgekehrt stattfinden, wenn die Satellitenuhren von den Bodenuhren aus synchronisiert werden - und hier ist der Effekt dann nicht mehr vernachlässigbar, denn zwischen den Synchronisierungen können meines Wissens mehrere Stunden vergehen. Tom.berger 11:06, 6. Feb 2006 (CET)

Hallo Tom.berger. Ich muss deinen Diskussionspartnern leider zustimmen. "Die Stärke des Gravitationspotentials an einem Ort misst man z.B. durch Bestimmung der Fallbeschleunigung" – damit wärst du kaum durch eine Physikprüfung gekommen ;-). Klar natürlich über deren Wegintegral, womit wir wieder beim Potenzial wären, Aber die Formulierung im Artikel meinte unzweideutig die Fallbeschleunigung auf der Erde und beim Satelliten. Beim reinen 1/r-Potenzial korreliert (bzw. antikorreliert) natürlich beides, aber schon bei der Betrachtung des Potenzialsattels zwischen Erde und Mond versagt deine Darstellung: Dort ist die Fallbeschleunigung Null, die Ganggeschwindigkeit einer Uhr dort liegt aber zwischen der einer irdischen und einer weit außerhalb der Mondbahn. Habe den Abschnitt nochmal entsprechend umformuliert. --Wolfgangbeyer 00:59, 7. Feb 2006 (CET)

Ja, ich denke diese Korrektur sollte so durchgeführt werden. Du hast aber geschrieben "Das geringere Gravitationspotenzial in der Satellitenbahn lässt die Zeit schneller vergehen". Muss es hier nicht eigentlich "_höhere_ Gravitationspotenzial in der Satellitenbahn" heißen? -- Jens Makait, 7.6.2005 08:06

Danke - ich hing noch an der "geringeren Gravitation" von vorher ;-). --Wolfgangbeyer 09:41, 7. Feb 2006 (CET)

Der Abschnitt ist insgesamt falsch, weil er schon mit einer Unterscheidung "Effekte der speziellen Relativitästheorie" und "Effekte der allgemeinen Relativitätstheorie" beginnt. Die spezielle ist ein Spezialfall der allgemeinen Theorie. Es gibt in der speziellen Theorie keine Massen und keine Beobachter, die sich beschleunigt bewegen. Beides ist dagegen in GPS der Fall. In einer Situation wie hier, die mit der allgemeinen Theorie behandelt werden muss, darf nicht zwischendurch mit der speziellen Theorie argumentiert weren, bloss weil die manchmal einfacher verständlich scheint. --Phr 11:30, 8. Feb 2006 (CET)

Natuerlich gibts auch in der SRT beschleunigte Bewegungen und Massen. Es ist halt eine unvollstaendige Theorie (wie eigentlich eh alle), aber deswegen nicht "falsch". Es ist ein Irrtum zu glauben, dass in der SRT nur gleichfoermige Bewegungen beschrieben werden koennen (man macht dabei nur leicht Fehler, wenn man nicht aufpasst, siehe Zwillingsparadoxon). Eine Trennung von Effekten, die innerhalb der SRT beschrieben werden koennen und solchen, die nicht in der SRT, sondern nur der ART auftreten, ist schon zulaessig. --Laurenz Widhalm 12:07, 8. Feb 2006 (CET)

Zustimmung – schließlich ergibt sich der veränderte Uhrengang der Satelliten in bei weitem ausreichender Näherung als Summe zweier Ausdrücke, wobei einer eindeutig der SRT und der andere der ART zugeordnet werden kann. Alles andere müssen wir hier einem GPS-Interessenten nicht zumuten. --Wolfgangbeyer 13:40, 8. Feb 2006 (CET)

Das Beispiel zeigt, dass auch der falsche Rechenweg zufällig zum richtigen Ergebnis kommen kann ... Was soll heißen "... einer eindeutig der SRT und der andere der ART zugeordnet werden kann."? SRT ist ein Spezialfall der ART. Beide Ausdrücke sind aus der ART und einer findet sich zufällig auch in der SRT. Übrigens die "rotierende Scheibe" aus der Zeitdilatation leidet an ähnlicher Malaise. Was man mit solchen Gemengen alles falsch machen kann wird an den Zwillingsparadoxon-Happenings deutlich.

--Phr 21:37, 8. Feb 2006 (CET) PS: Soll ich das Zwillingsparadoxon überarbeiten ?  ;-)

Also damit wir nicht aneinander vorbeireden: natürlich kann man sich auf den Standpunkt stellen, dass die ART die "Wahrheit" ist, und alles andere als Spezialfall unter bestimmten Einschränkungen zu sehen ist. Aber abgesehen davon dass auch die ART keine allgemeingültige Theorie ist (also selber nur unter Einschränkungen gilt), und man daher vermeiden sollte, diesen Eindruck zu erwecken indem man alles als einen Spezialfall der ART behandelt, macht es durchaus Sinn, zwischen Effekten zu unterscheiden, die auch in der Näherung einer flachen Minkowski-Metrik auftreten, und solchen, die eine nichttriviale Metrik erfordern - das kann man gerne auch innerhalb der ART tun, und "SRT" sagt dann eben nur aus, dass es auch für die Näherung einer flachen Metrik gilt. Natürlich kann man auch den Apfel, der vom Baum fällt, durch Lösen der Einsteinschen Feldgleichungen "erklären", aber für mich ist das ein Missbrauch der Physik - die Physik ist mehr als der Versuch, für alles eine einzige Gleichung zu finden, aus der alles andere folgt (aber die kaum mehr jemand lösen kann). In der Praxis viel wichtiger ist es, dass sie Modelle liefert, die innerhalb gewisser Gültigkeitsbereiche brauchbare Vorhersagen liefert. Und letzlich macht die ART auch nichts anderes. Das ist vielleicht scheinbar ein bescheidenerer Anspruch an die Physik - aber ein realistischerer, und auch ein weniger dogmatischer. Die Rechnung in der SRT gibt auch nicht "zufällig" das richtige Ergebnis, sondern deswegen, weil es eben für das Verständnis dieses Effekts das allgemeinere Konzept der ART nicht braucht - das gilt eben auch fürs Zwillingsparadoxon. Das zu erkennen, halte ich für einen wesentlichen Punkt beim Verständnis eines Effekts: zu wissen, auf welche Grundannahmen es ankommt, und was in diesem Fall keine Rolle spielt, auch wenn es Teil der allgemeiner gültigen Theorie ist, und damit - scheinbar - näher an der "Wahrheit" --Laurenz Widhalm 22:20, 8. Feb 2006 (CET)

@Laurenz Widhalm: Zustimmung. Und außerdem hat es sich ganz allgemein eingebürgert, bei relativistischen Effekten, die auf Relativbewegungen zurück gehen, von "SRT-Effekten" zu sprechen und bei gravitativen Effekten von "ART". Da kommen dann schon mal sprachliche Ungenauigkeiten zustande wie "der ART-Effekt ist 5 mal so groß wie der SRT-Effekt und hat ein anderes Vorzeichen". Natürlich schließt die ART "streng genommen" die SRT mit ein, so dass der vorstehende Satz eigentlich unsinnig ist. Dennoch hilft er, die Größenordnungen und tatsächlichen Verhältnisse schnell zu sortieren. Tom.berger 18:58, 10. Feb 2006 (CET)

Satellitenuhren

Bis jetzt ist noch nicht auf die Satellitenuhren eingegangen. Der Empfänger geht bei der Ortungsberechnung davon aus, das die Zeitinformation im Signal richtig ist. Aber wegen der Uhrtoleranz stimmt das nicht ganz. Wie groß ist der Längenfehler? Nur alle 6 Stunden (= 21600 s) wird die Uhr nachgestellt. Bei einer Frequenzunsicherheit von $10^{-14}$ ist der Zeitfehler $<2.16~10^{-10}~s$. Mit der Lichtgeschwindigkeit von $3~10^{8}~m/s$ wird der Abstandsfehler < 6,5 cm. Welcher Ortsfehler daraus folgt hängt von der Lage der empfangenen Satelliten ab - wird aber in der Regel klein gegenüber den anderen Unsicherheiten des Systems bleiben.--Physikr 22:50, 7. Feb 2006 (CET)

relativistische Effekte / Synchronisation der Satellitenuhren

Es wurde hier ein Link verlangt, der belegt, dass bei der Synchronisation der Satellitenuhren relativistische Effekte berücksichtigt werden müssen. Dazu genügt der Link auf den WP-Artikel über GPS selbst, denn aus diesem geht das einwandfrei hervor. Zwischen den Atomuhren auf der Erde und in den Satelliten kommt esd urch die von der Relativitätstheorie beschriebenen Effekte zu Gangdifferenzen. Diese Differenzen spielen bei der Ortsbestimmung durch uhrenlose Empfänger in der Tat keine Rolle, weil der geringe Gangunterschied zwischen den einzelnen Messungen bei der Positionsbestimmung nur extrem gering ist. Das ändert aber nichts daran, dass es zu erheblichen Gangunterschieden der Uhren auf der Erde und in den Satelliten kommt. Die Satellitenuhren werden deshalb und auch, damit auch weitere, u.a. auch relativistische Fehler im Uhrengang kompensiert werden können, mehrmals täglich synchronisiert und übernehmen dabei den Uhrenstand der Erde. Der Gangunterschied zwischen Erd- und Satellitenuhren wird dabei also zurückgesetzt - oder mit anderen Worten: die hauptsächlich durch relativistische Effekte verursachten Uhrenfehler werden damit kompensiert. Tom.berger 20:24, 8. Feb 2006 (CET)

In diesem Zusammenhang ist mir schon auch einiges nicht klar. Zur GPS-Positionsbestimmung mit 4 Satelliten müssen eigentlich nur diese untereinander synchrone Uhren haben. Eine Synchronisierung zu einer irdischen Uhr ist eigentlich nicht nötig. Und für diese Synchronisierung genügt ein Hin- und Rücksignal paarweise zwischen 2 Satelliten. Hin- und Rück- ermöglicht eine Abstandsbestimmung und ferner eine Bestimmung einer evtl. vorhandenen Uhrstandsdifferenz mit der Möglichkeit diese im 3. Schritt zu korrigieren. Damit kennen auch alle Satelliten alle relativen Satellitendistanzen. Um dieses Koordinatensystem relativ zur Erde zu fixieren, genügen Signale von den Satelliten zu Erdstationen mit bekannter Position und wieder zurück. Die Uhrzeit auf der Erde dort wird dabei eigentlich auch nicht benötigt. D. h. mir ist offen gestanden nicht ganz klar, warum die Satellitenuhren relativistisch korrigiert werden müssen. Es sei denn, es ist wirklich für irgendwas ein synchroner Gang mit irdischen Uhren nötig. Aber wofür eigentlich? --Wolfgangbeyer 22:20, 8. Feb 2006 (CET)

Ein Argument für die Notwendigkeit einer gemeinsamen Zeitbasis wäre auf jeden Fall, dass man GPS-Empfänger auch als brauchbare Uhren verwenden will. Es gibt jede Menge Anwendungen für GPS, bei denen die aus dem GPS-System gezogene Zeit z.B. vollautomatisch an Rettungsleitstationen usw weiter gemeldet wird. Ein weiteres Argument für eine gemeinsame Zeitbasis könnte sein, dass die Satelliten eventuell nicht alle dieselbe Bahnhöhe benutzen, sondern aufgrund der Erdnähe abgebremst werden und langsam auf niedrigere Umlaufbahnen fallen - dann könnten Zeitdifferenzen zwischen den Satelliten auflaufen, die tatsächlich zu falschen Positionsbestimmungen führen - eine regelmäßige Synchronsiation auf eine gemeinsame Zeitbasis ist unkompliziert und setzt alle aufgelaufenen Fehler auf Null zurück. Tom.berger 22:27, 8. Feb 2006 (CET)

Zum besseren Verständnis des GPS-Zeitsystems zitiere ich hier gerne mal aus http://tycho.usno.navy.mil/gpsinfo.html#st:

GPS SYSTEM SEGMENTS

The GPS consists of three major segments: SPACE, CONTROL and USER.

The SPACE segment consists of 24 operational satellites in six orbital planes (four satellites in each plane). The satellites operate in circular 20,200 km (10,900 nm) orbits at an inclination angle of 55 degrees and with a 12-hour period. The position is therefore the same at the same sidereal time each day, i.e. the satellites appear 4 minutes earlier each day.

The CONTROL segment consists of five Monitor Stations (Hawaii, Kwajalein, Ascension Island, Diego Garcia, Colorado Springs), three Ground Antennas, (Ascension Island, Diego Garcia, Kwajalein), and a Master Control Station (MCS) located at Schriever AFB in Colorado. The monitor stations passively track all satellites in view, accumulating ranging data. This information is processed at the MCS to determine satellite orbits and to update each satellite's navigation message. Updated information is transmitted to each satellite via the Ground Antennas.

The USER segment consists of antennas and receiver-processors that provide positioning, velocity, and precise timing to the user.

GPS SYSTEM TIME

GPS system time is given by its Composite Clock (CC). The CC or "paper" clock consists of all operational Monitor Station and satellite frequency standards. GPS system time, in turn, is referenced to the Master Clock (MC) at the USNO and steered to UTC(USNO) from which system time will not deviate by more than one microsecond. The exact difference is contained in the navigation message in the form of two constants, A0 and A1, giving the time difference and rate of system time against UTC(USNO,MC). UTC(USNO) itself is kept very close to the international benchmark UTC as maintained by the BIPM, and the exact difference, USNO vs. BIPM is available in near real time.

The latest individual satellite measurements are updated daily. (Data format explanation.)

The best current measure of the difference, UTC(USNO MC) - GPS is based on filtered and smoothed data over the past two days.

GPS TIME TRANSFER

GPS is at the present time the most competent system for time transfer, the distribution of Precise Time and Time Interval (PTTI). The system uses time of arrival (TOA) measurements for the determination of user position. A precisely timed clock is not essential for the user because time is obtained in addition to position by the measurement of TOA of FOUR satellites simultaneously in view. If altitude is known (i.e. for a surface user), then THREE satellites are sufficient. If time is being kept by a stable clock (say, since the last complete coverage), then TWO satellites in view are sufficient for a fix at known altitude. If the user is, in addition, stationary or has a known speed then, in principle, the position can be obtained by the observation of a complete pass of a SINGLE satellite. This could be called the "transit" mode, because the old TRANSIT system uses this method. In the case of GPS, however, the apparent motion of the satellite is much slower, requiring much more stability of the user clock.

Die Übereinstimmung der Systemzeit mit UTC wird also bewusst bis auf maximal eine Mikrosekunde genau gehalten, weil für GPS-Empfänger mit eigener Uhr und bekannter Höhe dann bereits ein einziges Satellitensignal für eine genaue Ortsbestimmung genügt, und weil dem User über das GPS-System die UTC möglichst genau zur Verfügung werden soll (es geht hier um's Militär, da sollen Bomben auf die Zehntelsekunde genau gezündet werden :-)). Aber selbst wenn diese Uhrzeit des Empfängers z.B. über eine andere UTC-Funkquelle bezogen wird, ist somit noch immer eine für viele Zwecke ausreichende Genauigkeit der Navigation möglich. Für ein vorrangig zu militärischen Zwecken konzipiertes System wie GPS ist diese Ausfallsicherheit vermutlich ein wichtiges Designziel gewesen. Tom.berger 23:33, 8. Feb 2006 (CET)

Danke erstmal für die ausführliche Quellenangabe!-) Es bleibt aber meiner Meinung nach dabei: für die Synchronisation einer Satellitenuhr mit der USNO-Zeit muss man keine relativistischen Effekte berücksichtigen! Synchronisation mit USNO heißt ja nichts Anderes als Einstellen der Satellitenuhr nach einer vorgegebenen Uhrzeit. Dazu benötigt man nur die Bahndaten des betreffenden Satelliten und Informationen über eventuelle Abweichungen der Signallaufzeit durch z.B. die Ionosphäre. Dann kann man gezielt das Synchronisationssignal "abfeuern". Dabei wird über alle aufgelaufenen Zeitabweichungseffekte hinweggeregelt. --172.177.132.214 20:26, 9. Feb 2006 (CET)

Wahrscheinlich habe ich die Frage nicht verstanden. Falls doch, eine weitere Antwort: Rb-Atomuhren gehen in 20'000km Höhe zu schnell. Die Abbildungsfuntion von Rb-Zeit_Raum auf Rb-Zeit_Erde läßt sich auch nachrechnen, sie ist gerade die relativistische Korrektur. Dantor 21:53, 9. Feb 2006 (CET)

Es geht um das Einfügen folgenden Satzes in den Artikel:"Für die mehrmals täglich stattfindende Synchronisation der Uhren in den Satelliten von der Erde aus muss der relativistische Effekt jedoch berücksichtigt werden". Meiner Meinung nach ist diese Formulierung nicht korrekt. Bei der Synchronisation einer Satellitenuhr mit der USNO-Zeit wird diese Uhr mittels eines Funksignals von einem irdischen Kontrollzentrum aus neu gestellt. Das wird 1-3mal am Tag durchgeführt. Dabei muss man nur Effekte berücksichtigen, die die Signallaufzeit des Datenpakets zur Synchronisation der Satellitenuhr beeinflussen, also z.B. ionosphärische Störungen. Keineswegs aber müssen Effekte berücksichtigt werden, die zuvor zur Abweichung der Satellitenuhrzeit von der USNO-Zeit geführt haben. --172.182.113.98 16:55, 10. Feb 2006 (CET)

@172.182.113.98: aus dem von mir ausführlich zitierten Artikel über die Synchronisation geht doch eindeutig hervor, warum man neben vermutlich anderen militärischen Gründen die Satellitenzeit auf die Zeit auf der Erde synchronsieren muss: damit man auch mit weniger als vier Satelliten eine exakte Position bestimmen kann. Für die simple Positionsbestimmung, die unsere billigen GPS-Empfänger betreiben, ist das in der Tat nicht nötig (und steht sogar ganz ausdrücklich im zitierten Abschnitt), aber für eine Rakete, die durch ein Gestrüpp von Störsendern durchfinden soll und dabei keine 4 Satelliten empfängt, ist das existentiell! Tom.berger 18:48, 10. Feb 2006 (CET)

@Tom.berger: Ich glaube kaum, dass militärische Spreng-Raketen mit einer Atomuhr ausgestattet sind; das käme auf Dauer wohl etwas teuer !-) Stattdessen werden solche mobilen Sprengköpfe häufig nach dem Abschuss ferngesteuert (siehe Irak-Krieg), falls sie nicht z.B. wie Cruise Missiles nach einer eigenen Karte fliegen. Deshalb scheint mir dein diesbezügliches Argument etwas an den Haaren herbeigezogen. Nachvollziehbar ist jedoch der Wunsch der GPS-Betreiber, diese Satelliten auch als Zeitnormale zu verwenden. Dazu würde jedoch eine Zyklus der Synchronisation der Satellitenuhren von z.B. 8 Stunden nicht taugen. Denn während dieser Zeit hätten sich allein infolge der relativistischen Effekte bereits Abweichungen von knapp 0,013 ms angehäuft, viel zu viel für die angestrebte Genauigkeit von 0,001 ms. Deswegen dient nicht diese Synchronisation zur Behebung relativistischer Fehler, sondern die Frequenzänderung der Satellitenuhren.

Das Wort "irrtümlich" habe ich deswegen wieder eingefügt, weil die häufig zitierte Behauptung: Gangunterschiede der Satellitenuhren aufgrund relativistischer Effekte führten zu einem Positionsbestimmungsfehler von mehreren Kilometern pro Tag, den technischen Aufbau von GPS-Empfängern verkennt. Ohne zusätzliche "Intelligenz" im Empfänger würde eine Positionsbestimmung mittels z.B. eines einzigen Satelliten unmöglich sein. Denn die möglichen Orte für den Empfänger bei einer reinen Abstandsbestimmung bilden eine Kugelschale um den betreffenden Satelliten. Also muss im Empfänger eine Reduktion der möglichen Orts-Koordinaten stattfinden (z.B. auf die Erdoberfläche). Insofern besteht der Irrtum der zitierten Aussage darin, dass Abstandsbestimmung und Positionsbestimmung miteinander verwechselt werden. Da dieser Irrtum, auch unter Wissenschaftlern, weitverbreitet ist, halte ich es für dringend erforderlich, an dieser Stelle daraufhinzuweisen. --172.179.37.87 18:12, 13. Feb 2006 (CET)

@172.179.37.87: eine Atomuhr dürfte vermutlich das kostengünstigste Bauteil in so einer Rakete sein - Du wirst mit Leichtigkeit Selbstbauprojekte für Atomuhren im Netz finden :-)

Aber selbstverständlich benötigt so eine Rakete keine Atomuhr, sie benötigt nur die möglichst exakte Zeit, wenn sie womöglich aus einem einzigen Satellitenkontakt ihre Position bestimmen soll. Die aktuelle Zeit kann eine Rakete via Funk erhalten, so wie wir auch, und zur Überbrückung kurzer Zeitspannen ohne Funkkontakt dürfte auch eine normale Quarzuhr ausreichend genau sein. Aber das dürfte tatsächlich irrelevant sein - ich wollte damit nur auf den militärischen Zweck des GPS-Systems hinweisen. Nicht-ferngesteuerte Raketen und Cruise Missiles verwenden ganz sicher mehrere Systeme für die Orts- und Kursbestimmung.

Die Frequenzverschiebung korrigiert ausschließlich die Effekte aus Geschwindigkeit und Gravitation. Aber beispielsweise der Sagnac-Effekt hängt von der geographischen Breite des Empfängers ab und von seiner Geschwindigkeit und Richtung über die Erdoberfläche, und kann deshalb nicht allgemein kompensiert werden. Dieser Effekt ist glücklicherweise recht klein, so dass es genügt, wenn die durch ihn verursachte Abweichung mit der regelmäßigen Synchronisation der Satellitenuhren wieder auf Null zurück gestellt wird.

Das Wörtchen "irrtümlich" würde ich streichen, weil es falsche Assoziationen weckt. Diese Annahme ist nicht irrtümlich, wenn man Empfänger mit eigener Uhr betrachtet. Das GPS wird von Wissenschaftlern häufig als Beleg für die Relativitätstheorie angeführt, aber dass für eine Positionsbestimmung aus 4 Stalliten keine relativistischen Effekte berücksichtigt werden müssen, sollte Dich nicht zu dem Schluss verleiten, dass Wissenschaftler darüber im Irrtum wären. Der von Dir zurecht geforderte Hinweis auf die Zusammenhänge steht auch ohne das verwirrende "irrtümlich" korrekt im Artikel.

Als Beleg dafür, wie Laien durch das "irrtümlich" verwirrt werden: ich selbst kam nur durch eine Diskussion in einem Physik-Forum hierher, in der ein notorischer Einstein-Widerleger eben jenen Satz mit dem "irrtümlich" als Beleg für seine Ansichten einbrachte.

84.138.78.191 11:42, 14. Feb 2006 (CET)

Einen Beleg für den Irrtum eines Wissenschaftlers bitte hier nachlesen. --172.179.3.6 17:35, 14. Feb 2006 (CET)

Es existieren viele Belege, auch und gerade in populärwissenschaftlichen Veröffentlichungen, für die irrtümliche Annahme, dass infolge der relativistischen Effekte ein Positionsbestimmungsfehler von 11 km pro Tag entstehen würde, wenn diese Effekte nicht beim GPS berücksichtigt würden. Man muss nur mal in die Google-Suchmaschine "GPS Relativitätstheorie" eingeben, und man wird geradezu bombardiert mit diesen falschen Behauptungen. Gerade für den Laien ist es wichtig, im WWW einmal eine sachlich richtige Berichterstattung zu diesem Thema vorzufinden, nämlich hier bei Wikipedia. Dass dieser Irrtum auch als solcher benannt wird, führt hoffentlich zu einer hier notwendigen Aufmerksamkeit bzgl. des Themas. Sonst droht das im "Rauschen" des WWW unterzugehen! --89.51.63.163 19:17, 14. Feb 2006 (CET)

Es scheint mir nicht zu gelingen, Dir zu erklären, dass es eben 'nicht irrtümlich ist, einen Positionsfehler bei fehlender relativistischer Korrektur zu behaupten. Der Fehler tritt nur bei einer bestimmten Art der Positionsbestimmung nicht auf, die allerdings die am weitesten verbreitete ist. Bei jeder Art der Positionsbestimmung, die auf einem Vergleich von Uhren und nicht auf einer Messung von Laufzeitdifferenzen beruht, spielt diese Kompensation eben eine sehr entscheidende Rolle. Tom.berger 22:16, 14. Feb 2006 (CET) (USer nachgetragen)

Ich muss dem (leider) anonymen Befürworter für "irrtümlich" schon zustimmen. Ich habe bisher diese 11km/Tag stets als pauschale Feststellung gelesen, wonach GPS ohne ART-Korrekturen prinzipiell nicht funktionieren würde. Auf einen Hinweis darauf, dass das nur (extrem seltene) GPS-Empfänger mit Atomuhr betrifft, bin ich noch nie gestoßen. D. h. ich bin sicher, dass die Autoren sich dieser Randbedingung nicht bewusst sind, und der Leser ist es noch weniger. Es wird jedesmal beim Leser der Eindruck erweckt, sein GPS im Auto sei betroffen. Das heißt nicht, dass diese 11km/Tag auch gelegentlich korrekt dargestellt werden, aber in der Regel eben nicht. Daher ist die Formulierung "Oft wird irrtümlich darauf hingewiesen ..." in Kombination mit dem Satz "Gewöhnliche GPS-Empfänger sind aber nicht mit einer Atomuhr ausgestattet. " später im Text durchaus korrekt. --Wolfgangbeyer 01:10, 15. Feb 2006 (CET)

Sorry - der Anonymling war ich. Merkwüdigerweise setzte sich meine Anmeldung immer zurück, sobald ich auf "Editieren" klickte - hier hatte ich's gar nicht bemerkt. Tom.berger 16:20, 15. Feb 2006 (CET)

@Tom.berger: Bei jeder Art der Positionsbestimmung, die auf einem reinen Uhrenvergleich mit einem Satelliten beruht, müssen zusätzliche Bedingungen erfüllt sein; allein den korrekten Abstand zu diesem Satelliten zu kennen, reicht nicht aus. Wie oben schon gesagt muss der Empfänger in der Lage sein, seine Ortskoordinaten auf der Erdoberfläche zu lokalisieren, und nicht irgendwo im Weltraum. Dazu benötigt man Zusatzinformationen, die im Satellitensignal und im Empfängerspeicher enthalten sind. Diese schränken den möglichen Fehler bei der Positionsbestimmung erheblich ein, so dass die 11 km/Tag auch in diesem Fall nicht aufträten. --172.179.194.6 17:34, 15. Feb 2006 (CET)

PS: Um einen notorischen Einstein-Widerleger zu widerlegen sollte man nicht in Aufgeregtheit verfallen. Um die wissenschaftliche Leistung Albert Einsteins zu würdigen, braucht man nicht zu falschen oder fragwürdigen Argumenten zu greifen; das hat er nicht nötig ;-)

@172.179.194.6: Nochmals: das "irrtümlich" ist falsch. Du stellst jetzt plötzlich darauf ab, dass ich geschrieben habe, unter bestimmten Umständen sei bei Kenntnis der aktuellen Zeit bereits ein einziger Satellit ausreichend. Diese "bestimmten" Umstände" sind natürlich wie von Dir angesprochen weitere Kenntnisse über die aktuelle Position wie z.B. die aktuelle Höhe. Aber das ist gar nicht der Punkt: ausnahmslos jede Positionsbestimmung, die über einen Uhrvergleich statt über die Laufzeitmessung passiert, ist von der Kompensation der relativistischen Effekte abhängig. Ohne diese Kompensation käme es zu einer Uhrgangdifferenz von 38 Mikrosekunden pro Tag, und wenn über die Position sonst keine Daten vorliegen, ergäbe das bei der Positionsbestimmung über Uhrenvergleich den von Dir als "irrtümlich" bezeichneten Fehler. Nein, daran ist nichts irrtümlich. Tom.berger 11:41, 16. Feb 2006 (CET)

Bei einer Positionsbestimmung mittels "Uhrenvergleich" wird ja nichts anderes getan, als dass ein Satellit ein Signal mit aktuellem Zeitstempel an den Empfänger sendet und dieser aus der Differenz von Sendezeitpunkt (Satellitenuhr) und Empfangszeitpunkt (Empfängeruhr) die Signallaufzeit und daraus den Satellitenabstand errechnet. Insofern sind Uhrenvergleich und Laufzeitmessung nichts Gegensätzliches. Ich kenne aber keinen Empfänger, der seine Position ausschließlich aus einmaligen Laufzeitmessungen bestimmt. Es liegen meiner Meinung nach immer zusätzliche Daten vor, die einen möglichen Uhrenfehler teilweise kompensieren. Deswegen erscheint mir deine Argumentation rein theoretischer Natur, und sie hat nichts mit dem real existierenden GPS zu tun. Vielleicht solltest du mal die Beiträge [1] und [2] von Josef H. Gerstenberg lesen. --172.208.153.252 17:42, 16. Feb 2006 (CET)

@172.208.153.252: Tatsächlich würde bei fehlender relativistischer Korrektur der Positionsbestimmungsfehler auch bei den uhrlosen Empfängern zu deutlicher Größe auflaufen. Dabei wird der vierte Satellit als Zeitgeber benötigt (sonst würden drei Satelliten reichen), der Empfang dieser Zeitdaten benötigt alleine eine halbe Minute. Diese Daten speichert der Empfänger und verwendet sie für eine ganze Reihe von Messungen der Signallaufzeiten von 3 weiteren Satelliten. Alleine während der halben Minute Übertragungszeit fiele ein Fehler von etwa 4 Metern an, dieser Fehler würde sich bei den folgenden Messungen noch weiter vergrößern, bis der Empfänger ein neues Datenpaket mit Zeitsignal abholt. Das "irrtümlich" ist also falsch, und die Argumentation ist nur deshalb theoretisch, weil ein Empfänger nicht 24 Stunden mit der Uhrzeit eines Satelliten arbeitet. Tom.berger 10:53, 18. Feb 2006 (CET)

Du verwechselst nach wie vor Bestimmung des Abstands zu einem Satelliten und Positionsbestimmung des Empfängers miteinander. Ein Fehler in der Positionsbestimmung wird durch nachfolgende Messungen verkleinert und nicht vergrößert. Zu deiner Argumentation fällt mir nur noch folgende altbekannte Weisheit ein:"Übereifrige Verfechter einer Theorie können dieser mehr Schaden zufügen als es Gegner dieser Theorie vermögen." So long! --172.208.161.203 13:38, 18. Feb 2006 (CET)

@172.208.161.203: Nein, ich verwechsele da nichts, und Deine Überheblichkeit ist erstens unangebracht und hilft zweitens nicht einer sachlichen Diskussion weiter.

Die Position wird durch Abstandmessung zu drei Satelliten bestimmt. Der vierte Satellit liefert die Zeitbasis. Diese einmal übermittelte Zeitbasis UTC wird durch die "Zeitfrequenz" von 10,23 MHz auch im Empfänger fortgeführt. Da der normale Empfänger aber selbst keine Uhr bzw einen 10,23 MHz Frequenzgeber von ausreichender Genauigkeit hat, muss dazu weiterhin das Satellitensignal des 4. Satelliten herhalten. Da dieses aber aufgrund der relativistischen Effekte nicht mit der Erduhr synchron läuft, ist die Korrektur nötig. Nur aufgrund dieser Korrektur kann die Signallaufzeit der 3 anderen Satelliten zu deren Abstandmessung hinreichend genau genutzt werden.

Man müsste jetzt genau recherchieren, wie oft die Zeitbasis abgerufen wird, um den den Fehler bestimmen zu können, der bei fehlender relativistischer Korrektur auflaufen kann. Würde das erst nach 24 Stunden passieren, dann wären das die genannten 12 Kilometer.

Statt bösartiger persönlicher Angriffe solltest Du Dich mit den Argumenten auseinander setzen. Falls Du keine sachlichen Argumente gegen meine Darstellung vorbringen kannst, bitte ich Dich, Dein Revert zurück zu nehmen. Dabei kannst Du dann endlich auch das "irrtümlich" streichen. Tom.berger 16:07, 18. Feb 2006 (CET)

Alle empfangbaren Satelliten (mindestens 4, im Allgemeinen 6-8) liefern Orts- und Zeitkoordinaten (siehe z.B. GPS-Grundgleichungen) zur Positionsbestimmung. Da diese Satelliten über alle Himmelsrichtungen verteilt sind, mitteln sich Fehler in der Abstandsbestimmung bei der Positionsbestimmung wieder heraus. Bei Zeiträumen von einigen Minuten für eine Positionsbestimmung bleiben nur wenige Fehler-Meter übrig; da fallen andere Störeffekte (Multipath, Geschwindigkeit des Empfängers, Ionosphäre usw.) stärker ins Gewicht. Und weil die Zeitbasis von den Satelliten selbst geliefert wird, reicht es aus, wenn deren Uhren untereinander synchron laufen; sie müssen zur Positionsbestimmung nicht mit irdischen Uhren synchronisiert sein. Und genau deswegen können sich auch systematische Uhrenfehler, die bei allen Satelliten gleich auftreten, nicht kumulativ auswirken, so dass sich keineswegs ein Fehler in der Positionsbestimmung von mehr als 11 km pro Tag anhäufen kann.

@Tom.berger: Vielleicht solltest du mal darüber reflektieren, wie es wirkt, wenn du dich hier als "Verteidiger der Relativitätstheorie" aufspielst und dabei alle sachgemäßen Argumente einfach ignorierst. Mit solch einem Fanatismus ist wirklich niemandem geholfen, am wenigsten der Akzeptanz der RT. --89.51.63.248 17:37, 18. Feb 2006 (CET)

Archivierung

Hallo,

fühlt sich jemand berufen bzw. ist jemand technisch in der Lage, einen Teil der Diskussionsseite zu archivieren (Seite ist fast 100 KB groß)? Wenn ja, würde ich vorschlagen, alles incl. Punkt 14. "zur Formelflut" in ein Archiv zu verschieben. Das würde die Ladezeit der Seite bestimmt erheblich verkürzen...;-) --172.179.194.6 17:42, 15. Feb 2006 (CET)