Länge (Mathematik)

Längen von Strecken

Sind $A$ und $B$ zwei Punkte im Anschauungsraum $\mathbb {R} ^{3}$ mit den jeweiligen Koordinaten $(a_{1},a_{2},a_{3})$ bzw. $(b_{1},b_{2},b_{3})$, so ist die Länge der Strecke $AB$ nach dem Satz des Pythagoras gleich

${\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}}}.$

Es gibt im wesentlichen zwei Sichtweisen, wie man derartige Formeln verallgemeinern kann:

• Man interpretiert die Länge der Strecke $AB$ als die Länge des Vektors ${\overrightarrow {AB}}$ und definiert Längenmaße für Vektoren. Der entsprechende verallgemeinerte Längenbegriff für Vektoren heißt Norm.
• Noch allgemeiner ist der Ansatz, statt Streckenlängen den Abstand der Endpunkte zu betrachten. Allgemeine Abstandsbegriffe heißen Metriken.

Längen von Wegen

Ein Weg ist eine stetige Funktion $[a,b]\to X$ von einem Intervall in einen topologischen Raum $X$. Um Wegen eine Länge zuschreiben zu können, muss dieser Raum jedoch eine Zusatzstruktur aufweisen. Im einfachsten Fall ist $X$ die Ebene oder der Anschauungsraum mit dem üblichen Längenbegriff für Strecken; Verallgemeinerungen sind möglich für riemannsche Mannigfaltigkeiten oder beliebige metrische Räume.

Wege in der Ebene und im Raum

Ein Weg in der Ebene bzw. im Raum ist durch zwei bzw. drei Koordinatenfunktionen gegeben:

$t\mapsto (x(t),y(t))$ bzw. $t\mapsto (x(t),y(t),z(t))$ für $a\leq t\leq b$.

Für stückweise stetig differenzierbare Wege ist die Länge durch das Integral über die Länge des Ableitungsvektors gegeben:

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t$ bzw. $\int _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}+{\dot {z}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.$

Motivation

Das Bogenstück auf einer ebenen Kurve ${\begin{matrix}f(t)=(x(t),y(t))\end{matrix}}$ wird dabei in kleine Geradenstücke $\Delta s$ unterteilt, welche in zwei Komponenten $\Delta x$ und $\Delta y$ parallel zu den Koordinatenachsen zerlegt werden. Dabei gilt der Satz des Pythagoras $(\Delta s)^{2}=(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}$. Die Gesamtlänge ist die Summe aller Teilstücke:

$L=\sum \Delta s=\sum {\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=\sum {\sqrt {\left({\frac {\Delta x}{\Delta t}}\right)^{2}+\left({\frac {\Delta y}{\Delta t}}\right)^{2}}}\Delta t$

Gehen wir von der Konvergenz des Sachverhaltes aus und geben das Ergebnis ohne exakte Grenzwertberechnung an, so ist die Länge $L$ die Summe aller infinitesimal kleinen Geradenstücke, also

$L=\int \mathrm {d} s=\int {\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\,\mathrm {d} t$.

Physikalisch kann der Integrand auch als Betrag der Momentangeschwindigkeit und die Integrationsvariable als die Zeit aufgefasst werden.

Beispiele

• Die Kreislinie mit Radius $r$

$t\mapsto (r\cdot \cos t,r\cdot \sin t)$ für $0\leq t\leq 2\pi$

hat die Länge

$\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2\pi }r\,\mathrm {d} t=2\pi r.$

• Ein Stück einer Schraubenlinie mit Radius $r$ und Ganghöhe $h$

$t\mapsto {\Big (}r\cdot \cos t,r\cdot \sin t,{\frac {t\cdot h}{2\pi }}{\Big )}$ für $0\leq t\leq 2\pi$

hat die Länge

$\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t+{\Big (}{\frac {h}{2\pi }}{\Big )}^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}+{\Big (}{\frac {h}{2\pi }}{\Big )}^{2}}}\,\mathrm {d} t={\sqrt {(2\pi r)^{2}+h^{2}}}.$

Spezialfälle

Länge eines Funktionsgraphen

Sei die Funktion $f:x\rightarrow f(x)$ eine differenzierbare Funktion auf $[a,b]\in \mathbb {R}$ dann berechnet sich die Länge $L$ zwischen den Punkten ${\begin{matrix}A(a|f(a))\end{matrix}}$ und ${\begin{matrix}B(b|f(b))\end{matrix}}$ wie folgt:

$L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,\mathrm {d} x\qquad (*)$

Beispiel: Der Umfang eines Kreises lässt sich mit Hilfe von ${\begin{matrix}(*)\end{matrix}}$ berechnen. Eine Kreis mit dem Radius $r$ erfüllt die Gleichung $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ bzw. $f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.$ Die Ableitung lautet: $f'(x)={\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$.

Wendet man die Formel ${\begin{matrix}(*)\end{matrix}}$ an, so folgt:

$L=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,\mathrm {d} x=2r\int _{-r}^{r}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\,=(2r\arcsin 1)-(2r\arcsin -1)=2\pi r$

Polarkoordinaten

Ist eine ebene Kurve in Polarkoordinatendarstellung $r(\varphi )$ gegeben, also

$\varphi \mapsto (r(\varphi )\cos \varphi ,r(\varphi )\sin \varphi )$ für $\varphi _{0}\leq \varphi \leq \varphi _{1}$,

so erhält man aus der Kettenregel

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi$ und

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi$, somit also

$\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}\right)^{2}=\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )$.

Die Länge der Kurve in Polarkoordinatendarstellung ist daher

$L=\int _{\varphi _{0}}^{\varphi _{1}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\mathrm {d} \varphi$.

Wege in riemannschen Mannigfaltigkeiten

Ist allgemein $\gamma \colon [a,b]\to M$ ein stückweise differenzierbarer Weg in einer riemannschen Mannigfaltigkeit, so kann man die Länge von $\gamma$ definieren als

$L(\gamma )=\int _{a}^{b}\|{\dot {\gamma }}(t)\|\,\mathrm {d} t.$

Rektifizierbare Wege in beliebigen metrischen Räumen

Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $\gamma \colon [0,1]\to X$ ein Weg in $X$. Dann heißt $\gamma$ rektifizierbar, wenn das Supremum

$L(\gamma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=0}^{k-1}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i+1}))\right|k\in \mathbb {N} ,0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{k-1}<t_{k}=1\right\}$

endlich ist. In diesem Falle nennt man $L(\gamma )$ die Länge des Weges $\gamma$.

Die Länge eines rektifizierbaren Weges ist also das Supremum der Längen aller Approximationen des Weges durch Streckenzüge. Für die oben betrachteten differenzierbaren Wege stimmen die beiden Definitionen der Länge überein.

Es gibt stetige Kurven, die nicht rektifizierbar sind, beispielsweise die Koch-Kurve oder andere Fraktale sowie fast sicher die Pfade eines Wiener-Prozesses.

Längen von Kurven

Definition der Länge einer Kurve

Die Bildmenge eines Weges wird als Kurve bezeichnet. Zwei verschiedene Wege können das selbe Bild haben, die selbe Kurve kann also durch verschiedene Wege parametrisiert werden. Es ist naheliegend, die Länge einer Kurve als die Länge eines dazugehörigen Weges zu definieren; das setzt aber voraus, dass die Länge für jede Parametrisierung den selben Wert liefert. Anschaulich ist das klar, und es lässt sich tatsächlich für injektive Parametrisierungen zeigen. Insbesondere gilt:

Seien $\gamma _{1}:[a_{1},b_{1}]\to \mathbb {R} ^{n}$ und $\gamma _{2}:[a_{2},b_{2}]\to \mathbb {R} ^{n}$ zwei injektive Parametrisierungen der selben Kurve $\Gamma$, also $\gamma _{1}([a_{1},b_{1}])=\gamma _{2}([a_{2},b_{2}])=\Gamma$. Dann gilt $L\left(\gamma _{1}\right)=L\left(\gamma _{2}\right)$.

Parametrisierung einer Kurve nach der Weglänge

Wie bereits gesagt, gibt es für eine Kurve verschiedene Parametrisierungen. Eine besondere Parametrisierung ist dabei die Parametrisierung nach der Weglänge:

Ist $\Gamma$ eine rektifizierbare Kurve mit der Parametrisierung

$\gamma :\left\{{\begin{matrix}[a,b]&\to &\mathbb {R} ^{n}\\\tau &\mapsto &\gamma (\tau )\end{matrix}}\right.$

und $\Gamma _{t}$ für $t\in [a,b]$ die Teilkurve mit der Parametrisierung $\gamma |[a,t]$, so bezeichnet man die Funktion

$s(t):\left\{{\begin{matrix}[a,b]&\to &\mathbb {R} \\t&\mapsto &L\left(\Gamma _{t}\right)\end{matrix}}\right.$

als Weglängenfunktion von $\Gamma$. Diese Weglängenfunktion $s(t)$ ist stetig und monoton wachsend, für $\gamma$ injektiv sogar streng monoton wachsend und daher auch bijektiv. In diesem Fall existiert eine Umkehrfunktion $t(s)$. Die Funktion

${\hat {\gamma }}:\left\{{\begin{matrix}[0,L(\gamma )]&\to &\mathbb {R} ^{n}\\s&\mapsto &\gamma (t(s))\end{matrix}}\right.$

wird dabei als die Parametrisierung von $\Gamma$ mit der Bogenlänge als Parameter bezeichnet.

Ist $\gamma$ stetig differenzieberbar und ${\dot {\gamma }}(\tau )\neq 0$ für alle $\tau \in [a,b]$, so besteht die Besonderheit der Parametrisierung nach der Bogenlänge darin, dass auch ${\hat {\gamma }}$ stetig differenzierbar ist und für alle $s\in [0,L(\Gamma )]$

$\left\|{\frac {\mathrm {d} {\hat {\gamma }}(s)}{\mathrm {d} s}}\right\|=1$

gilt.