Benutzer:Panda17/Spielwiese

Die Küstenlänge bezeichnet die Länge der Meeresküste eines geografischen Gebietes, meist die Meeresküste eines Staates oder einer Insel.

Messungen von Küstenlängen werfen verschiedene praktische, vor allem aber theoretische Fragen zum Thema Längenmessung auf: Küstenlängen sind aufgrund ihrer unregelmäßigen Natur anders als zum Beispiel gerade Strecken, Rechtecksumfänge oder Kreisbögen keine rektifizierbaren geometrischen Linien. Deshalb besteht kein wahrer Wert einer solchen Messung, stattdessen divergiert der Messwert mit zunehmender Präzision der Messung, überschreitet also jeden noch so hohen vorgegebenen Wert. Die Unmöglichkeit der Messung einer Küstenlänge in einer erwarteten Maßeinheit wie Kilometer oder Meilen widerspricht der allgemeinen Erwartung vieler Menschen, weshalb das Phänomen als „Küstenlinien-Paradoxon“ bezeichnet wird.

Allen praktischen und theoretischen Einwänden zum Trotz werden Küstenlängen in Kilometern bzw. Meilen von Küstenstaaten oder zum Beispiel von der Central Intelligence Agency (CIA) und vom World Resources Institute publiziert. Manche Autorenschaften sind sich der Problematik der Messung bewusst, manche nicht.

Statt mit einer Kilometer- oder Meilenangabe sollten Küstenlängen mit ihrer Minkowski-Bouligand-Dimension charakterisiert werden. Diese Dimensionen liegen zwischen 1 und 2, sind also Bruchzahlen: Mehrheitlich gerade Küsten haben eine Minkowski-Bouligand-Dimension knapp über 1, stark verästelte Küsten eine solche von fast 2. Weil die Dimensionen Bruchzahlen sind, werden Küstenlinien als Fraktale bezeichnet.

Die vollständige Charakterisierung einer Küstenlänge besteht aus dem Hausdorff-Maß, welches zum Beispiel für Großbritannien auf 28000 km^1,4 ermittelt wurde: Das Hausdorff-Maß besteht also aus einer Maßzahl und einem Längenmaß mit der Minkowski-Bouligand-Dimension als Exponent. Minkowski-Bouligand-Dimensionen von Küstenlinien oder gar vollständige Hausdorff-Maße wurden bisher erst sehr vereinzelt gemessen oder publiziert (Stand 2014).

Definition der Länge

Allgemein

Bei der Messung einer Küstenlänge treten zwei Problematiken auf:

1. Es muss definiert werden, was genau gemessen werden soll. So können bei einer Küstenlinie menschliche Strukturen wie Dämme oder Piers ein- oder ausgeschlossen werden.
2. Die Messmethode muss festgelegt werden, da durch die Erhöhung der Präzision nicht eine Annäherung an einen wahren Wert erreicht wird, sondern eine beliebige Erhöhung des Ergebnisses.

Definitorische Fragen der ersten Art sind bei jeder naturwissenschaftlichen Messung wichtig. Unterschiedliche Definitionen der Messung führen dabei zwar zu leicht unterschiedlichen Ergebnissen, doch sie führen nicht zu Ergebnissen, die sich um Größenordnungen unterscheiden.

Definitionen der zweiten Art (Messmethode) hingegen sind beim Versuch einer trivialen Messung einer Küstenlänge in Kilometern oder Meilen geradezu ausschlaggebend für das Ergebnis, das heißt: Je nach Wahl des Maßstabs ergibt sich für ein und dieselbe Küstenlänge eine gemessene Länge von 2000 km, 20000 km, 200000 km und so weiter.

Diese beiden völlig unterschiedlichen Problematiken werden im Folgenden detailliert dargestellt.

Definition des zu messenden Objekts

Die Definition einer Küstenlänge ist aus verschiedenen geografischen Gründen nicht trivial und muss explizit erfolgen. Elemente einer solchen Definition können sein:

• Historische Meereshöhe (Jahresangabe)
• Wahl des Gezeitenstandes
• Stand der Küstenerosion
• Behandlung der Mündung von Flüssen
• Einbezug oder Ausschluss von Inseln, bei Einbezug: minimale Inselgröße
• Gewachsenes Terrain vs. Einbezug menschliche Bauten (Piers, Dämme, Brücken)
• Behandlung von Gletscherzungen
• Planare oder sphärische Daten

Umfassende Definitionen finden sich leider bei den wenigsten Publikationen von Küstenlängen. So publiziert zum Beispiel das US-amerikanische National Geophysical Data Center, dessen Datensätze des World Resources Institute für weltweite Angaben von Küstenlängen verwendet werden, in Bezug auf die obigen Definitionselemente gerade mal die folgenden Spezifikationen:

• Horizontales Koordinatensystem gemäß WGS 84.
• Vertikales Bezugssystem: Mittleres Hochwasser (Mean High Water, MHW).

Das Mittlere Hochwasser wird amtlicherseits von vielen Ländern zur Definition der Küstenlinie herangezogen.

Messproblematik aufgrund des fraktalen Charakters

Wesentlich für eine empirische Messung ist die Existenz eines sogannten „wahren Wertes“, selbst wenn nicht klar ist, wie groß dieser Wert ist. Die untersuchende Person muss davon ausgehen können, dass die Messungen je nach Genauigkeit im Messvorgang in einer mehr oder weniger großen Umgebung dieses wahren Wertes liegen.

Wenn eine glatte Kurve rektifiziert wird, entsteht eine wohldefinierte, messbare Strecke gleicher Länge.

Bei einer Längenmessung setzt dies die Rektifizierbarkeit (Streckbarkeit) des untersuchten Objekts voraus. So sind Polygone oder auch Kreisbögen, aber auch alle anderen glatten Kurven rektifizierbar (streckbar). Glatte Kurven haben eine messbare Länge, ihre empirische Messung konvergiert zu einem wahren Wert. Dasselbe gilt für Kurven, die aus einer endlichen Anzahl glatter Kurvenstücke zusammengesetzt sind, da jedes einzelne Kurvenstück rektifizierbar ist.

Die empirische Untersuchung einer Küste oder eines Küstenabschnitts ergibt bei keinem noch so kleinen Maßstab eine glatte Kurve oder wenigstens eine Zusammensetzung von ausschließlich glatten Kurvenstücken.

Somit entsteht durch die ständige Verfeinerung des Maßstabs ein Polygonzug, der divergiert. Benoît B. Mandelbrot fasste dieses Phänomen zusammen mit den Worten:

„Geographical curves are so involved in their detail that their lengths are often infinite or more accurately, undefinable. [...] The concept of „length“ is usually meaningless for geographical curves.“

„Geografische Kurven sind so verwickelt in ihrem Detailreichtum, dass ihre Längen oft unendlich sind, oder genauer: undefinierbar. [...] Das Konzept der „Länge“ ist für geografische Kurven eigentlich bedeutungslos.“

– Mandelbrot, 1967

Definitionsversuche

Minimale Länge

Eine wiederholt verbesserte Messgenauigkeit in der Messung einer Küstenlinie führt zwar zu beliebig hohen Messergebnissen. Immerhin kann - umgekehrt - eine minimale Länge einer Küstenlinie angegeben werden, indem die minimale Eichlänge gesucht wird. Im Falle der im Zusammenhang mit der Küstenlänge gut dokumentierten Küste Großbritanniens beträgt die maximale Eichlänge 975 km, was eine minimale Küstenlänge von 2 x 965  = 1930 km ergibt.

Dieser Ansatz ist auch für nicht geschlossene Küstenlinien denkbar, in dem der Abstand der Endpunkte verwendet wird.

Der Ansatz ist jedoch nicht intuitiv und wird in der Praxis nicht verwendet.

Glatte Außenkurve

Während die Küstenlinie nicht mit herkömmlichen Methoden zu messen ist, wäre selbstverständlich eine Schnur, die eine Insel wie Großbritannien straff umspannt, von endlicher Länge und daher konventionell in Kilometern (oder Meilen) messbar.

Diese Methode der konvexen Hüllkurve kommt der intuitiven Vorstellung einer Küstenmessung näher als die Methode der minimalen Länge (siehe oben). Die Schwäche dieser Methode ist jedoch die Vernachlässigung aller Buchten. Auch diese Methode wird in der Praxis nicht verwendet.

Glatte Innenkurve

Bei nicht geschlossenen Küsten (zum Beispiel der Küste Deutschlands) ist sowohl die Messung der konvexen Außenkurve als auch die Messung der konvexen Innenkurve möglich.

Auch diese Methode wird in der Praxis für Küstenlinien nicht verwendet.

Die Methode der gespannten Schnur bietet sich jedoch an für die Vermessung von Flusslängen: Während jedes der beiden Ufer eines Flusses eine fraktale Dimension hat und daher nicht in Kilometern vermessen werden kann, ist selbstverständlich die Länge einer zwischen Quelle und Mündung gespannten Schnur endlich und konventionell messbar.

Innen- oder Außenkurve mit einem fixen Abstand zur Küstenlinie

Benoît B. Mandelbrot diskutiert die Messung der Küstenlinie in einem definierten Abstand zur Küste („Minkowski-Wurst“). Sowohl außen (Wasser) wie innen (Land) wäre die „Haut“ dieser Wurst eine rektifizierbare, messbare Linie.

Leider divergieren auch diese beiden Längenmessungen, wenn keine objektiv begründbare Dicke dieser Wurst gefunden werden kann: Je kleiner der Abstand von der Küstenlinie gewählt wird, desto dünner wird die Minkowski-Wurst und um so länger sowohl die Innen- wie auch die Außenhaut.

Messlatten verschiedener Grösse

Die Messung der Länge einer Küstenlinie in Längenmaßen wie Meter, Kilometer oder Meile wurde und wird durch verschiedene Autoren durch Annäherung mit Hilfe eines Polygonzugs versucht. So kann man zum Beispiel mit einem Stechzirkel Punkte in einem bestimmten Abstand $G$ auf der Küstenlinie bestimmen. Aus der Anzahl der so gefundenen Küstenabschnitte und einem Reststück kann eine Näherung $L(G)$ für die Küstenlänge angegeben werden. Wenn $G$ groß ist, entstehen Ergebnisse, die abhängig vom Startpunkt sind und stark streuen, doch mit abnehmendem $G$ wird dieser Fehler gering.

• Zunehmend feinere Messungen der Küstenlänge Großbritanniens mit unterschiedlich langen, geraden Messabschnitten
• 
  Gerade Messabschnitte von 200 km Länge.
  Gesamtlänge ungefähr 2350 km.
• 
  Gerade Messabschnitte von 100 km Länge.
  Gesamtlänge ungefähr 2775 km.
• 
  Gerade Messabschnitte von 50 km Länge.
  Gesamtlänge ungefähr 3425 km.

Da abhängig vom Maßstab nicht alle Details der Küste (Buchten, Landzungen) erfasst werden können, hängt das Ergebnis massiv vom Punktabstand $G$ ab. Die ermittelte Küstenlänge $L(G)$ konvergiert nicht etwa wie bei glatten, mathematischen Kurven: Mit kleiner werdendem $G$ divergiert das Ergebnis bzw. würde jeden vorgegebenen Wert irgendwann überschreiten.

Lewis Fry Richardson stellte 1961 in einer empirischen Untersuchungen von Staatengrenzen fest, dass bei jedem untersuchten Objekt ein Zusammenhang zwischen $G$ und $L(G)$ bestand:

$L(G)=F\,G^{1-D}$,

mit dem positiven Faktor $F$ und der Konstanten $D$. Er stellte außerdem fest, dass $D$ bei allen untersuchten geografischen Linien zwischen 1 und 2 lag und für diese Linie charakterisch war für diese Linie:

• Bei einer geraden Linie ist $D=1$, so dass die gemessene Länge unabhängig von $G$ ist.
• Je unregelmäßiger die Linie ist, desto größer ist $D$.
• Für die ausgesprochen unregelmäßige Westküste Englands fand Richardson den Wert $D=1,25$, d. h. bei einer Halbierung von $G$ wird $L(G)$ etwa um den Faktor $1,19$ größer.
• Allgemein beträgt der Verlängerungsfaktor bei Halbierung des Maßstabs $2^{D-1}$.

Der Verlängerungsfaktor für D = 1 ist demnach 1 für glatte Kurven, zum Beispiel eine völlig gerade Küste, ein exakter Kreis oder eine Zusammensetzung sonstiger gerader Kurven. Mit anderen Worten, eine Verlängerung findet trotz Verfeinerung der Messmethode nicht statt und die gemessene Länge ist in der Nähe des wahren Wertes (sinnvolle Längenbestimmung).

Der Verlängerungsfaktor für alle höheren Dimensionen zwischen 1 und 2 liegt ist größer als 1, maximal 2. Das heißt, mit jeder Verfeinerung wird die Länge um einen konstanten Faktor größer: Das Ergebnis divergiert, ein Wahrer Wert existiert nicht.

Hugo Steinhaus plädiert daher schon 1954 dafür, dass man Ergebnisse mit unterschiedlichen Maßstäben nicht miteinander vergleiche. So verminderte er bewusst die Präzision von Ergebnissen auf der Basis moderner Landkarten, damit er sie mit historischen Daten vergleichen konnte. Hugo Steinhaus kommt so auf den Begriff der „relativen Länge“.

Auch das World Resources Institute (WRI) rät in seiner Datensammlung zu Küstenlängen eindringlich, nur Küstenlängen mit dokumentierten, identischen Maßstabslängen miteinander zu vergleichen.

Mandelbrot stellte 1967 fest, dass diese Willkür in der Wahl des Maßstabs notwendig ist, da ein geografisch begründbarer Maßstab nicht vorliege:

„Geographers will disagree about the value of G. [...] There is usually no clear-cut gap or crossover between the realm of geography and details with which geography need not be concerned.“

„Geografen werden nie eine Einigung für den Wert G finden. Eigentlich gibt es keine festumrissene Kluft, einen Übergang zwischen der Domäne der Geografie und den Details, die die Geografie nicht mehr interessieren braucht.“

– Mandelbrot, 1967

So bewegt sich G letztlich zwischen den extremen Grenzen der Planckschen Länge und dem weitesten Abstand zweier Punkt der Küstenlinie. Beide G-Werte ergeben sinnlose $L(G)$, die zum Beispiel im Falle von Großbritannien zwischen minimal 1930 km und vielen Milliarden Lichtjahren lägen.

Die beiden größten Datensammlungen weltweiter Küstenlinien in Kilometern stellen der CIA und das WRI zur Verfügung, siehe weiter unten.

Angabe der fraktalen Dimension

Die Größe $D$ wurde schon in der Studie von Richardson von 1961 als Dimension interpretiert. Im Falle von glatten Kurven entsprach $D$ der gewohnten topologischen Dimension, nämlich 1. Je eingekrümmter eine Linie war und je mehr Fläche sie einnahm, desto näher war sie bei der topologischen Dimension einer gewöhnlichen Fläche, also 2.

Expliziter wies Mandelbrot 1967 auf die Interpretation von $D$ als Dimension hin, trotz der Tatsache, dass $D$ eine Bruchzahl ist:

„The degree of complication [of a curve] can be described by a quantity D that has many properties of a „dimension“ though it is fractional.“

„Der Grad an Verwicklung [einer Kurve] kann beschrieben werden mit der Größe D, die viele Eigenschaften einer „Dimension“ hat, obschon sie eine gebrochene Zahl ist.“

– Mandelbrot, 1967

Fraktale Dimensionen von Küstenlängen werden im Wesentlichen durch zwei Methoden ermittelt:

• Anwendung verschieden langer Maßstäbe, wie weiter oben dargestellt. Die daraus resultierende Größe ist die Hausdorff-Dimension.
• Box-Counting, einer Methode, bei der bei verschiedenen Maßstäben geprüft wird, wie viele Karos eines Messpapier von der zu messenden Kurve überstrichen wird. Die daraus resultierende Größe ist die Minkowski-Bouligand-Dimension.

Box-Counting eignet sich gewöhnlich besser bei Analysen mit Hilfe von Informatikmitteln.

Es gibt keine weltweiten Datensammlungen zu fraktalen Dimensionen. Häufig zitiert werden die originalen Beispiele von Richardson aus dem Jahr 1961 (Stechzirkelmethode):

• 1,25 für die Westküste Grossbritanniens
• 1,15 für Deutschland im Jahr 1899
• 1,14 für die Grenze zwischen Spanien und Portugal
• 1,13 für die Küste Australiens
• 1,02 für die Küste Südafrikas

Huang Yu San bestimmt die Gesamtküste Grossbritanniens mit der Box-Counting-Methode zu 1,43, was im Vergleich mit Richardsons Wert für die Westküste eher hoch erscheint.

Hausdorff-Maß

Das Hausdorff-Maß, benannt nach dem deutschen Mathematiker Felix Hausdorff, ist ein mathematisches Inhaltsmaß für fraktale und nicht-fraktale Gebilde:

• Bei nicht-fraktalen Gebilden wie eindimensionalen Strecken, zweidimensionalen Flächen und dreidimensionalen Volumina entspricht es den Größenangaben in Meter, Quadratmeter oder Kubikmeter.
• Bei fraktalen Gebilden besteht die Inhaltsangabe aus einer Zahl und einer gebrochenen Potenz des Meters. So hat die Küste von Grossbritannien einen Hausdorff-Inhalt von 28000 km^1.43.

Das Hausdorff-Mass einer Küstenlänge macht gleichzeitig eine Aussage über die Zerklüftung der Küsten und der Ausdehnung der Küstenlinie: Die Dimension des Meter- oder Kilometermaßes entspricht der Zerklüftung, die Masszahl entspricht der Ausdehnung. Eine Dimension von 1.00 bedeutet keine Zerklüftung, eine solche von 1,99 eine extrem starke Zerklüftung.

Die Publikation von Huang Yu San aus dem Jahr 2014 ist nach eigenen Angaben der erste Versuch, nicht nur die Hausdorff-Dimension, sondern das gesamte Hausdorff-Maß einer Küstenlinie zu bestimmen.

Paradoxon

Ob ein Phänomen als Paradoxon wahrgenommen wird, hängt von der Alltagserfahrung der konfrontierten Personen ab. Folgende natürlichen Erfahrungen sprechen intuitiv für eine messbare, endliche Küstenlänge:

• Ein Mensch kann eine Küstenlinie in einer endlichen, messbaren Zeit abschreiten, also muss auch ihre Länge endlich und messbar sein. (Aber: Die Schrittlänge eines Menschen nicht die kleinste mögliche Schrittlänge, je kleiner das Lebewesen, desto länger würde die Küste.)
• Ein Fluss hat von Quelle bis Mündung auch eine endliche Länge, man könnte, zumindest theoretisch, ein Seil spannen, und dieses wäre endlich und messbar. (Aber: Das Seil bildet, indem es sich um die Landzungen der beiden Ufer krümmt, mathematisch eine glatte Kurve und ist darum messbar. Die Ufer selber haben unzählige weitere Buchten und Landzungen.)
• Grundstücke auf Katasterplänen haben einen wahren Wert und sind messbar. Genau so sollte ein Land mit einer Küstenlinie messbar sein. (Aber: Grundstücke sind durch Grenzsteine definiert; zwischen diesen Grenzsteinen werden gerade Linien gedacht, die das Territorium definieren; daher ist ein Grundstück normalerweise ein mathematisches Rechteck oder ein Polygonzug und daher messbar.)
• Messverfeinerungen führen normalerweise bloß zu genaueren Werten, die Werte konvergieren jedoch zu einem wahren Wert.
• Wenn die Fläche einer Insel endlich und messbar ist, dann muss auch ihr Umfang endlich und messbar sein.

In der Antike schien es sogar großen Denkern plausibel, dass gekrümmte Kurven ganz grundsätzlich keine endliche Länge hätten, dass also zum Beispiel Kreise oder Ellipsen unendliche Umfänge hätten. Die Approximation durch unendlich vieler Polygonstücke schien selbst beim Kreis (von dem wir heute wissen, dass er einen endlichen Umfang hat) auf eine unendliche Länge zu deuten. Bei vielen antiken Mathematikern hätten Hugo Steinhaus, Lewis Fry Richardson oder Benoît Mandelbrot daher mit ihrem Paradoxon der unendlich langen Küstenlängen kein Erstaunen hervorgerufen.

Erst die Infinitesimalrechnung klärte ab dem 17. Jahrhundert den wichtigen mathematischen Begriff des Grenzwerts und zeigte, dass auch Summen aus unendlich vielen Summanden (eben beispielsweise immer kleiner werdende Kreissegmente) endlich sein können. Damit verschwanden zwar Paradoxa wie jenes von Achilles und der Schildkröte, andererseits erscheint uns heute die divergierende Küstenlänge als Paradoxon.

Analoge Problemstellungen

Allgemeines

Obschon sich die frühen Publikationen von Hugo Steinhaus und Benoît B. Mandelbrot mit dem Thema Küstenlänge und Flussuferlänge beschäftigten, ist die Thematik nicht auf Wasserlinien beschränkt.

Dimensionen zwischen 0 und 1

Benoît B. Mandelbrot beschäftigte sich in den 1960er Jahren intensiv mit Mengen disjunkter Punkt auf der Zeitachse. Konkreter Anlass dafür war die Analyse von Datenübertragungsfehlern in der Elektrotechnik (punktuelle Ereignisse in der Zeit) und fand dafür eine fraktale Dimension zwischen 0 und 1. Vorarbeit zu dieser Analyse bildetedie Entwicklung der Cantor-Menge durch Georg Cantor im Jahr 1883.

Dimensionen zwischen 1 und 2

Das Paradoxon der Längenmessung einer natürlichen Linie wurde zwar von verschiedenen Mathematikern zunächst vor allem anhand von Meeresküsten erörtert, bezieht sich aber auf praktisch alle Linien in der Natur, also auch Uferlängen von Seen, Umfänge von Seeinseln, Umfänge von Staaten, wenn diese mindestens teilweise durch natürliche Grenzen bestimmt sind, Längen von Wasserscheiden, Länge der Baumgrenze, Länge der Schneegrenze, Umfang eines Mondkraters, Länge des Atlantikgrabens, Umfang eines Feigenblattes und so fort.

Alle diese Objekte haben fraktale Dimensionen zwischen 1 und 2.

Dimensionen zwischen 2 und 3

Die anhand von Küstenlängen gemachten Überlegungen lassen sich auch auf scheinbar zweidimensionale Strukturen übertragen: Auch die durch Hügel, Gebirge, Täler und Furchen geformte Oberfläche eines Landes, die Oberfläche eines Gehirns und die physiologisch wirksame Innenoberfläche von Lunge oder Niere lassen sich nicht in bekannten Flächenmaßen wie km² oder cm² messen. Stattdessen sind auch hier Minkowski-Bouligand-Dimensionen zu ermitteln, und zwar liegen diese zwischen 2 (glatte Oberfläche) und 3 (stark differenzierte Oberfläche) liegen.

Normalfall und Ausnahme

Es kann der Eindruck entstehen, Objekte mit gebrochenen Dimensionen seien ein abstraktes Thema der neueren Mathematik seit den 1960er Jahren. Tatsächlich aber sind Objekte mit fraktalen Dimensionen in der Natur eher der Regelfall als die Ausnahme, während Objekte mit nicht-fraktalen Dimensionen eher in den Bereich der abstrakten Mathematik gehören. Schon der Titel von Mandelbrots Publikation von 1987, „Die fraktale Geometrie der Natur“ ist ein Versuch, dieser falschen Wahrnehmung entgegenzuwirken, ebenfalls einer der Untertitel mit dem Wortlaut: „Ein Manifest: Die Geometrie der Natur hat ein fraktales Gesicht“. Hier eine Außensicht über die Arbeit von Mandelbrot:

„Die Natur hat - wie Mandelbrot herausgearbeitet hat - mit den Mathematikern ihren Spaß getrieben. [...] Von den [fraktalen] Strukturen, die die Mathematiker erfanden, um sich vom Naturalismus des 19. Jahrhunderts zu lösen, erweist sich nun, dass sie vertrauten, uns umgebenden Objekten innewohnen.“

– Freeman Dyson, 1978

Geschichte

Athener Seefahrer

Es wird überliefert, dass bereits Athener Seeleute in der Antike über Schwierigkeiten in der Bestimmung der Küstenlänge von Sardinien berichteten.

Alexander von Humboldt

Alexander von Humboldt (1769 - 1859) suchte Ursachen für die Unterschiede in der Kulturentwicklung der Kontinente. Er stellte die Hypothese auf, der Erfolg der Länder verschiedener Kontinente hänge im Wesentlichen ab vom kontinentalen Verhältnis von Küstenlänge zu Fläche. Seine Hypothese fußte auf der Vermutung, dass eine größere Berührung mit dem Meer einen größeren Teil des Landes aufschließe und dem Weltverkehr zugänglich mache, was in direktem Zusammenhang mit der wirtschaftlichen Potenz stehe. Seine Erhebungen und Berechnungen stützten seine Hypothese, denn Europa war zu seiner Zeit wirtschaftlich am erfolgreichsten (kleinster Nenner), Afrika am wenigsten erfolgreich (größter Nenner):

• Europa 1:37
• Asien 1:105
• Afrika 1:152
• Nordamerika 1:56
• Südamerika 1:94
• Australien 1:73

Angaben zur Erhebung der Küstenlänge machte Humboldt nicht, möglicherweise sind seine Ergebnisse eine direkte Folge genauer bzw. ungenauer Karten.

Hugo Steinhaus

Hugo Steinhaus analysierte 1954 Länderumfänge und die Ufer der Weichsel. Er stellte bereits plausibel dar, warum solche Größen nicht sinnvoll zu messen seien, und generalisierte bereits damals für die Natur allgemein:

„A statement nearly adequate to describe reality would be to call most arcs encountered in nature not rectifiable. This statement is contrary to the belief that non-rectifiable arcs are an invention of mathematicians and that natural arcs are rectifiable: it is the opposite that is true.“

„Die Aussage, die die Realität eigentlich adäquat beschreibt, wäre, dass die meisten Kurvenbögen, die man in der Natur vorfindet, nicht streckbar sind. Diese Aussage widerspricht dem Glauben, nicht-streckbare Bögen seien eine Erfindung der Mathematiker und dass natürliche Bögen streckbar seien: Genau das Gegenteil ist der Fall.“

– Steinhaus, 1954

Hugo Steinhaus publizierte zwar auf Englisch, jedoch im polnischen Journal Colloquium Mathematicum. Seine Publikation wurde im Westen nicht wahrgenommen und war Mandelbrot im Vorfeld seiner Publikum von 1967 noch nicht bekannt.

Lewis Fry Richardson

Lewis Fry Richardson untersuchte die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Staaten miteinander einen Krieg beginnen. Er vermutete einen direkten Zusammenhang zwischen der Länge der gemeinsamen Grenze und der Kriegswahrscheinlichkeit.

Dabei fiel ihm auf, dass die Angaben zur Grenzlänge in verschiedenen Quellen erheblich voneinander abwichen: Skurrilerweise publizieren benachbarte Staaten oft unterschiedliche Längen für ein und dieselbe Grenze. So gab zum Beispiel Portugal gemäß seiner Arbeit von 1961 die Grenze zu Spanien mit 1220 km an, während Spanien 990 km angab. Dies ist kein Einzelfall, und es ist nicht ungewöhnlich, dass das kleinere Land die gemeinsame Grenze für länger hält.

Er nahm dies zum Anlass, die Länge geografischer Linien allgemein zu untersuchen. Dabei fand er die weiter oben detailliert beschriebene Formel für die Länge $L$ in Abhängigkeit von der Maßstabslänge $G$:

$L(G)=F\,G^{1-D}$

Er berechnete als erster verschiedene gebrochene Dimensionen $D$ für Küstenlängen (siehe oben).

Im Grunde genommen hatte ja Hugo Steinhaus das Divergieren von Küstenlängen mit zunehmender Messgenauigkeit bereits im Jahre 1954 beschrieben. Da Hugo Steinhaus jedoch in Polen publizierte und im Westen nicht wahrgenommen wurde, wurde das Phänomen der Divergenz in der Längenmessung als „Richardson effect“ und nicht etwa als „Steinhaus effect“ in die Literatur aufgenommen.

Benoît B. Mandelbrot

Als Benoît B. Mandelbrot 1967 den später häufig zitierten Artikel „„How long is the coast of Britain?““ (deutsch „„Wie lange ist die Küste Britanniens?““) schrieb, waren ihm zunächst nur die Arbeiten von Lewis Fry Richardson bekannt, nicht aber jene von Hugo Steinhaus.

Tatsächlich war Hugo Steinhaus aber den Verantwortlichen bei Science bekannt: Er wurde als Peer Reviewer ausgewählt, was laut Mandelbrot zu einer Annahme des Artikels „mit wundersamer Schnelligkeit“ führte. Benoît B. Mandelbrot ergänzte daraufhin den Artikel mit kritischen Gedanken über die Zugänglichkeit von Forschungswissen innerhalb der wissenschaftlichen Gemeinde und über den teilweise zufälligen Charakter des wissenschaftlichen Peer Review-Prozesses.

Datensammlungen

Allgemeines

Alle in diesem Kapitel dargestellten Daten sind zu betrachten unter den oben dargestellten kritischen Einwänden zur Messung von Küstenlängen. Bei keiner der dargestellten Messungen wurde die Methode dokumentiert. Die Messungen sind daher aufgrund der fraktalen Eigenschaften einer Küstenlinie zwecklos. Insbesondere ist es nicht legitim, die verschiedenen Messungen miteinander zu vergleichen, aber auch innerhalb einer Datensammlung - zum Beispiel Daten der CIA - ist ein Vergleich der Messungen der Küstenlängen nicht zulässig.

Küstenlänge Deutschlands

Es gibt unterschiedliche Angaben für die Küstenlänge Deutschlands, bei denen jedoch selten angegeben wird, auf welche genaue Küstenlinie sie sich beziehen und wie sie bestimmt wurden. Die norddeutschen Küstenländer schätzen die Länge der Festlandküste auf etwa 1200 km. Bei dieser Angabe fehlen die Küstenlängen der Inseln.

Im World Factbook der CIA wird dieselbe Küstenlänge mit 2389 km angegeben, ohne Angaben darüber, wie dieser Wert ermittelt wurde.

Das WRI wiederum findet für die deutsche Küste xxxx .

Die einzelnen deutschen Bundesländer geben in ihren statistischen Berichten teilweise mehrere oder gar keine Küstenlängen an. In Schleswig-Holstein wird zwischen der Küstenlänge an der Ostsee (328 km, einschließlich Fehmarn: 402 km) und an der Nordsee (202 km, einschließlich Inseln und Halligen: 468 km) unterschieden. Die Schlei, ein tief ins Landesinnere reichender Wasserarm, wird dabei nicht berücksichtigt. In Mecklenburg-Vorpommern wird die Länge der Außenküste (377 km) sowie die Länge der Bodden- und Haffküste (1568 km) angegeben.

An anderer Stelle gibt Schleswig-Holstein die Länge der Festlandsküsten an Nord- und Ostsee mit insgesamt etwa 1200 km an.

Factbook der Central Intelligence Agency (CIA)

Der CIA gibt nicht an, wie er die Küstenlängen bestimmt hat, wie seine weltweiten Daten zu Küstenlängen erhoben worden sind. Seine sparsame Definition der Küstenlänge lautet:

„[The entry ‚coastline‘] gives the total length of the boundary between the land area (including islands) and the sea.“

„[Der Wert ‚Küstenlänge‘] bezeichnet die Gesamtlänge der Grenze zwischen Landfläche (einschließlich der Insel) und dem Meer.“

– CIA

Die Gesamtlänge aller Küstenlinien weltweit wird im World Factbook mit 356.000 km angegeben. Dies umfasst die Küstenlinien aller Kontinente und der Inseln.

Manche Staaten haben im Verhältnis zu der Fläche ihres Staatsgebietes ausgesprochen kurze Küstenlinien. In folgender Tabelle sind einige Staaten mit besonders kurzen Küsten aufgeführt:

Staat	Staatsgebiet	Küstenlänge	Küstenlänge pro km² Staatsfläche
Kongo	000000002345410.00000000002.345.410 km²	40 km	0,017 m
Jordanien	000000000089342.000000000089.342 km²	27 km	0,30 m
Bosnien-Herzegowina	000000000051129.000000000051.129 km²	24 km	0,47 m
Togo	000000000056785.000000000056.785 km²	56 km	0,99 m
Belgien	000000000030528.000000000030.528 km²	72,3 km	2,3 m
Slowenien	000000000020273.000000000020.273 km²	46,6 km	2,3 m

Im Vergleich dazu kommen in Frankreich auf einen km² Staatsfläche rund 6,3 Meter, in Norwegen rund 65 Meter und im Zwergstaat Monaco sogar 2.081 Meter. Beim Inselstaat der Malediven sind es gemäß CIA 2.161 Meter Küstenlänge pro km² Staatsfläche. Vor dem Hintergrund des fraktalen Charakters ist der Sinn all dieser Werte in Frage zu stellen.

World Resources Institute

Auch das World Resources Institute publiziert weltweit alle nationalen Küstenlängen. Ausgewählte Beispiel, in Gegenüberstellung zu den Werten des CIA, sind:

Staat	CIA	WRI
Kanada	202080 km	265523 km
Indonesien	54716 km	95181 km
Australien	25760 km	66530 km

Das WRI gibt nationale Küstenlängen im Schnitt etwa 2,4 mal so lang an wie die CIA.

Das WRI ist sich im Gegensatz zum CIA der Skalenabhängigkeit bewusst. Obschon das Institut den verwendeten Maßstab nicht nennt, versichert es, die Küstenlängen seien wenigstens alle mit demselben Maßstab erhoben worden. Das Institut weist darauf hin, dass nur Vergleiche innerhalb der Daten des WRI sinnvoll sind.

Amtliche Vermessung Norwegens

2011 publizierte das Magazin Norwegian American Weekly für Norwegen eine neue Küstenlänge von 103000 km. Bis dahin war die Küstenlänge amtlich mit 85000 km angegeben worden. Der Leiter des norwegischen Amtes für Landesvermessung, Kartverket, wird jedoch zitiert mit der Aussage:

Norwegen ist natürlich nicht gewachsen, aber wir haben detailliertere Informationen über die Küstenlinie. Es ist ja so, dass man die Küstenlänge fast beliebig lang berechnen kann, je nach Grad der zugrunde liegenden Details.

Das World Factbook gibt dieselbe Länge mit 25148 km an, das WRI mit 53199 km.

Literatur

• Benoît Mandelbrot: How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. In: Science 156, 5. Mai 1967, S. 636–638. (PDF; 32 kB; englisch)
• Benoît Mandelbrot: Fractals: Form, chance, and dimension., W.H. Freeman and Company, San Francisco 1977, ISBN 9780716704737.
• Benoît B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature, W.H. Freeman and Company, New York 1977.
• Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometry der Natur, Springer, Basel 1987, ISBN 978-3-0348-5028-5.