Gerichtete Menge

In der Mathematik heißt eine nicht-leere Menge $X$ genau dann gerichtete Menge, wenn auf ihr eine Relation "$\triangleleft$" (Sprechweise: Richtung) erklärt ist, die folgenden Axiomen genügt:

${\begin{matrix}(R1)&\forall x\in X:x\triangleleft x&(\mathrm {Reflexivit{\ddot {a}}t} )\\(R2)&\forall x,y,z\in X:(x\triangleleft y)\land (y\triangleleft z)\Rightarrow (x\triangleleft z)&(\mathrm {Transitivit{\ddot {a}}t} )\\(R3)&\forall x,y\in X:\exists z\in X:(x\triangleleft z)\land (y\triangleleft z)&({\mbox{Schreibweise: }}{\mathit {x,y\triangleleft z}})\\\end{matrix}}$

Um die Richtung hervorzuheben (auf einer Menge können durchaus mehrere Richtungen erklärt sein) nennt man auch das geordnete Paar $\left(X,\triangleleft \right)$ gerichtete Menge. Sprechweise für $x\triangleleft y$ ist "x vor y" oder auch "y nach x". Unter $y\triangleright x$ versteht man $x\triangleleft y$.

Anschauliche Deutung

Das eigentliche Richtungsaxiom ist (R3); es erlaubt an jedem Punkt $x$ der Menge $X$ einen weiteren Punkt $z$ zu finden, der "hinter" $x$ liegt (Man setze dazu $y\,:=x$ in (R3)). Damit kann man in $X$ einen "Kurs" einschlagen: dazu wähle man einen Punkt $x_{0}$ aus (ein solcher existiert, da $X$ nicht leer ist), zu diesem bestimme man mit (R3), nach Obigem, einen Punkt $x_{1}$. Zu diesen beiden bestimme man wieder mit (R3) einen Punkt $x_{2}$. Zu $x_{1},x_{2}$ bestimme man $x_{3}$. Induktiv fortfahrend, bestimmt man so eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{0}\triangleleft x_{1}\triangleleft x_{2}\triangleleft \cdots x_{n}\triangleleft \cdots$.

Beispiele

• $X\subseteq \mathbb {C} ^{n};\,\rho \in \mathbb {C} ^{n}\ \mathrm {fest} ;\,\forall x,y\in X:(x\triangleleft y):\Leftrightarrow \left\|y-\rho \right\|\leq \left\|x-\rho \right\|\quad$
  

(Sprechweise: "${\mathit {X}}$ ist auf ${\mathit {\rho }}$ gerichtet", "${\mathit {\rho }}$ ist Richtungszentrum von ${\mathit {X}}$") Man kann durch diese Richtung den Grenzwert einer Funktion $f:X\to \mathbb {C} ^{m}$ für $x\to \rho$ als (Netz)Konvergenz des zugehörigen Netzes auffassen.

• $X=\mathbb {N} ;\,\forall n,m\in X:(n\triangleleft m):\Leftrightarrow n\leq m$
  

• $X=\mathbb {R} ;\,\forall x,y\in X:(x\triangleleft y):\Leftrightarrow x\leq y$
  Mit Hilfe dieser gerichteten Mengen lassen sich Grenzwerte von Funktionen bzw. Folgen für $x{\mbox{ bzw. }}n\to \infty$, ähnlich dem ersten Beispiel, als (Netz)Konvergenzen ihrer zugehörigen Netze auffassen.

• $X=\mathbb {N} ^{2};\,\forall (n,m),(p,q)\in X:((n,m)\triangleleft (p,q)):\Leftrightarrow (n\leq p)\land (m\leq q)$
  Mit dieser Richtung auf $\mathbb {N} ^{2}$ lässt sich Konvergenz von Doppelfolgen, wiederum als Netzkonvergenz, definieren.