Abelsche Identität

Die Abelsche Identität ist ein Ausdruck für die Wronski-Determinante zweier linear unabhängiger homogener Lösung einer linear, gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die Bezeichnung der Identität ist dem Mathematiker Niels Henrik Abel geschuldet.

Definition

Gegeben sei die lineare, gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+P(x){\frac {dy}{dx}}+Q(x)y=0$.

Für die Wronski-Determinante der beiden linear unabhängigen Lösungen der Differentialgleichung gilt dann:

$W(x)=W(x_{0})\exp \left\{-\int _{x_{0}}^{x}P(\xi )\,d\xi \right\}$.

Anwendung

Die Abelsche Identität erlaubt also, die Wronski-Determinate bei bekanntem Wert an der Stelle $x_{0}$ für alle anderen $x$ zu extrapolieren. Insbesondere gilt, dass die Wronski-Determinate konstant ist, wenn $P(x)$ verschwindet. Aufgrund der Beziehung, die die Wronski-Determinate zwischen zwei linear unabhängigen Lösungen herstellt, erlaubt sie u.U., die eine aus der anderen zu berechnen.

Literatur

• Eric W. Weisstein. Abel's Differential Equation Identity. From MathWorld-A Wolfram Web Resource. (siehe Weblinks)

Weblinks

• http://mathworld.wolfram.com/AbelsDifferentialEquationIdentity.html (englisch)