Jordan-Maß

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Das Jordan-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie. Dieser geht auf Marie Ennemond Camille Jordan zurück, welcher ihn im Jahr 1890 aufbauend auf Arbeiten von Giuseppe Peano entwickelte. Mit dem Jordan-Maß kann man beschränkten Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ einen Inhalt zuordnen und erhält einen Integralbegriff, der dem riemannschen Integralbegriff analog ist.

Definition

Es bezeichne für $a=(a_{1},\ldots ,a_{n}),b=(b_{1},\ldots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$

]a,b[\;:=\prod _{i=1}^{n}\;]a_{i},b_{i}[

das offene $n$ -dimensionales Hyperrechteck und

J^{n}:=\{]a,b[:a,b\in \mathbb {R} ^{n},a\leq b\}

die Menge aller solcher Hyperrechtecke. Weiter sei

{\mathcal {J}}^{n}:=\left\{\bigcup _{k=1}^{m}I_{k}:I_{1},\ldots ,I_{m}\in J^{n},\ {\text{paarweise disjunkt}}\right\}

die Menge aller endlichen Vereinigungen von paarweise disjunkten Hyperrechtecken.

Es bezeichne weiter $\mu ^{n}$ den Inhalt, der für alle $a,b\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $a_{i}\leq b_{i}$ für alle $i=1,\dots ,n$ durch

\mu ^{n}\left(]a,b[\right)=\prod _{j=1}^{n}(b_{j}-a_{j})

und $\mu ^{n}(\emptyset ):=0$ definiert ist.

Der innere Inhalt einer beschränkten Menge A sei

{\underline {i^{n}}}(A):=\sup\{\mu ^{n}(M):M\in {\mathcal {J}}^{n},M\subset A\},

ihr äußerer Inhalt sei

{\overline {i^{n}}}(A):=\inf\{\mu ^{n}(N):N\in {\mathcal {J}}^{n},N\supset A\}.

Eine Menge $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ heißt Jordan-messbar oder quadrierbar, wenn $A$ beschränkt ist und ${\overline {i^{n}}}(A)={\underline {i^{n}}}(A)$ .

Das Jordan-Maß einer Jordan-messbaren Menge $A$ ist durch $i^{n}(A):={\overline {i^{n}}}(A)={\underline {i^{n}}}(A)$ gegeben.

Gilt ${\overline {i^{n}}}(A)=0$ für ein beschränktes $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ , so ist $A$ Jordan-messbar und wird Jordan-Nullmenge genannt.

Eigenschaften

Das Jordan-Maß ist ein Inhalt und nicht $\sigma$ -additiv, d. h. abzählbare Vereinigungen von Jordan-messbaren Mengen müssen nicht notwendig Jordan-messbar sein. (Siehe auch Beispiel 2.) Daher ist das Jordan-Maß kein Maß im Sinne der Maßtheorie.
Ist $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ Jordan-messbar, so ist $A$ auch Lebesgue-messbar, und es gilt $\lambda ^{n}(A)=i^{n}(A)$ . Dabei bezeichnet $\lambda ^{n}(A)$ das Lebesgue-Maß von $A$ .
Eine Menge $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ ist genau dann Jordan-messbar, wenn $A$ beschränkt ist und der Rand von $A$ eine Jordan-Nullmenge ist.
Eine beschränkte Menge $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ ist genau dann Jordan-messbar, wenn $\lambda ^{n}(A^{\circ })=\lambda ^{n}({\overline {A}})$ ist. Dann gilt auch $i^{n}(A)=\lambda ^{n}(A^{\circ })=\lambda ^{n}({\overline {A}})$ .
Eine kompakte Menge $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ ist genau dann eine Lebesgue-Nullmenge, wenn $A$ eine Jordan-Nullmenge ist.

Beispiele

Der Einheitskreis im $\mathbb {R} ^{n}$ ist Jordan-messbar, da er beschränkt und sein Rand eine Jordan-Nullmenge ist.
Die Menge $A=[0,1]\cap \mathbb {Q}$ ist nicht Jordan-messbar. Denn für jede Menge $A\supset M\in {\mathcal {J}}^{1}$ gilt $M=\emptyset$ und für jede Menge $A\subset N\in {\mathcal {J}}^{1}$ gilt $[0,1]\subset N,$ woraus $0={\underline {i^{1}}}(A)<{\overline {i^{1}}}(A)=1$ folgt. Für jedes $q\in A$ gilt $\lambda ^{1}(\{q\})=i^{1}(\{q\})=0$ . Aufgrund der $\sigma$ -Additivität des Lebesgue-Maßes gilt $\textstyle \lambda ^{1}(A)=\sum _{q\in A}\lambda ^{1}(\{q\})=\sum _{q\in A}0=0$ . $A$ ist also Lebesgue-Nullmenge. Das Jordan-Maß ist, wie dieses Beispiel zeigt, nicht $\sigma$ -additiv.