Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation (nach Pierre-Simon Laplace) ist eine Integraltransformation, die eine gegebene kausale Funktion f(t) vom reellen Zeitbereich (t = Zeit) nach der Vorschrift:

${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt\qquad ({\textrm {mit:\quad }}s=\sigma +\mathrm {j} \omega ;\quad \sigma >0;\quad t\geq 0)$

in eine Funktion F(s) im komplexen Spektralbereich (Bildbereich) überführt. Die Funktion F(s) wird auch Laplace-Transformierte der Funktion f(t) genannt. Kausal bedeutet in diesem Zusammenhang, dass $f(t)$ für Zeiten $t<0$ verschwindet.

Für den Fall $\sigma =0$ entsteht der Sonderfall der einseitigen Fourier-Transformation.

Laplace-Rücktransformation

Eine universelle Methode zur Ermittlung der Zeitfunktion f(t) zu einer gegebenen Spektralfunktion F(s) stellt das Lösen des Bromwich-Integrals dar. f(t) ist hierbei gegeben durch

${\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}=f(t)={\frac {1}{2\pi \mathrm {j} }}\int _{c-\mathrm {j} \infty }^{c+\mathrm {j} \infty }F(s)e^{st}\,\mathrm {d} s\qquad ({\textrm {mit:\quad }}c\in \mathbb {R} ,c>\max _{i}\Re (Res_{i}))$

Da hier über eine komplexe Variable integriert wird, muss die Rücktransformation mit den Methoden der Funktionentheorie gelöst werden. In der Praxis verwendet man daher häufig Korrespondenztabellen, mit denen diese Aufgabe leichter gelöst werden kann. Hierbei wird ausgenutzt, dass viele Anwendungen der Laplace-Transformation auf gebrochen-rationale Spektralfunktionen führen, die sich (beispielsweise durch Partialbruchzerlegung) in Terme niedriger Ordnung umformen lassen, die sich in den Tabellen wiederfinden.

Schließlich ist in einigen Fällen (gebrochen-rationale Funktion mit nur einfachen Polstellen) auch die Rücktransformation mit dem Residuensatz (auch: Heavisidescher Entwicklungssatz) möglich. Nach diesem ergibt sich die Laplace-Rücktransformierte zu

$f(t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {Z(s_{i})}{N'(s_{i})}}e^{s_{i}t}$

wobei für die $s_{i}$ die Polstellen einzusetzen sind. Z ist das Zählerpolynom der gebrochen-rationalen Funktion, $N'$ die Ableitung des Nennerpolynoms nach s. Die Vorgehensweise entspricht hierbei der bei der Verwendung von Korrespondenztabellen, mit dem Unterschied, dass man die Spektralfunktion grundsätzlich in Terme erster Ordnung zerlegt und aufhört, sobald man einen der tabellierten Ausdrücke erreicht hat. Nachteilig ist, dass man trigonometrische Funktionen grundsätzlich über den Umweg der Euler-Darstellung erhält, also auch im Zeitbereich mit komplexen Größen umgehen muß.

Laplace-Transformation zur Lösung von Differentialgleichungen

Die Laplace-Transformation eignet sich aufgrund ihres Differentiationssatzes unter anderem dazu, Differentialgleichungen zu lösen. Dazu transformiert man die Differentialgleichung in den Spektralbereich, löst die so erhaltene algebraische Gleichung und transformiert die Lösung in den Zeitbereich zurück. An dieser Stelle sei noch einmal darauf hingewiesen, dass das gewonnene Ergebnis ausschließlich Aussagen für den Zeitraum ab t = 0 liefert, da die Laplace-Transformierte durch die Integration ab t = 0 bestimmt wird.

Besonderen Wert hat hier die Laplace-Transformation bei Differentialgleichungssystemen: Da Ableitungen im Bildbereich als Produkt aus Originalfunktion und Laplace-Faktor s entstehen, werden Differentialgleichungssysteme zu einfacheren algebraischen („normalen“) Gleichungssystemen.

Besonders effizient ist das Lösen von linearen Anfangswertproblemen mit Hilfe der Laplace-Transformation. Das lineare Differentialgleichungssystem zerfällt dann in ein lineares Gleichungssystem. Im Allgemeinen ist jedoch die Rücktransformation meist kompliziert.

Bei zeitdiskreten Systemen führt die Laplace-Transformation zur Z-Transformation.

Wichtige Eigenschaften der Laplace Transformation

Linearitätssatz

${\mathcal {L}}\{a_{1}f_{1}(t)\ +a_{2}f_{2}(t)\}=a_{1}{\mathcal {L}}\{f_{1}(t)\}+a_{2}{\mathcal {L}}\{f_{2}(t)\}$

Verschiebungssatz

1) Verschiebung nach rechts

${\mathcal {L}}\{f(t-a)\}=\mathrm {e} ^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t)\}=\mathrm {e} ^{-as}F(s)\qquad (t\geq a>0)$

2) Verschiebung nach links

${\mathcal {L}}\{f(t+a)\}=\mathrm {e} ^{as}\left(F(s)-\int _{0}^{a}f(t)\mathrm {e} ^{-st}\mathrm {d} t\right)\qquad (t\geq a>0)$

Ähnlichkeitssatz

${\mathcal {L}}\{f(at)\}={\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right)\qquad (a>0)$

Dämpfungssatz

${\mathcal {L}}\{\mathrm {e} ^{-at}f(t)\}=F(s+a)\qquad (a\in \mathbb {C} )$

Multiplikationssatz

${\mathcal {L}}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}F^{(n)}(s)\qquad (n=1,2,\dots )$

Divisionssatz

${\mathcal {L}}\left\{{\frac {1}{t}}f(t)\right\}=\int _{s}^{\infty }F(q)\mathrm {d} q$

Differentiationssatz

${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=sF(s)-f(+0)$

${\begin{matrix}{\mathcal {L}}\{f^{(n)}(t)\}&=&s^{n}F(s)-s^{n-1}f(+0)-s^{n-2}f'(+0)-\dots -f^{(n-1)}(+0)\\&=&s^{n}F(s)-\sum _{v=1}^{n}s^{n-v}f^{(v-1)}(+0)\end{matrix}}$

Falsch!

Integrationssatz

${\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(q)\mathrm {d} q\right\}={\frac {1}{s}}F(s)$

Faltungssatz

${\mathcal {L}}\{f_{1}(t)*f_{2}(t)\}=F_{1}(s)\cdot F_{2}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f_{1}(u)f_{2}(t-u)\mathrm {d} u\right\}$

${\mathcal {L}}\{f_{1}(t)\cdot f_{2}(t)\}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }F_{1}(\sigma )F_{2}(s-\sigma )\mathrm {d} \sigma$

Periodische Funktion

${\mathcal {L}}\{p(t)\}={\frac {1}{1-e^{-sT}}}\int _{0}^{T}p(\tau )\cdot e^{-s\tau }d\tau$

wobei T die Periode der Funktion p(t) darstellt.

Grenzwertsätze

$\lim _{s\to 0+}s\cdot F(s)=\lim _{t\to \infty }f(t)$

$\lim _{s\to \infty }s\cdot F(s)=\lim _{t\to 0+}f(t)$

Der erste Grenzwertsatz gilt nur, wenn F(s) keine Singularitäten in der Halbebene Re[s] > 0 besitzt.

Eindeutigkeit der Laplace-Transformation

Wenn für zwei Zeitfunktionen f(t) und g(t) die Voraussetzungen gelten:

• $f(t)$ und $g(t)$ sind stückweise stetig
• $f(t)$ und $g(t)$ sind von exponentieller Ordnung für $t\to \infty$ und $t\to -\infty$
• die Laplace-Transformierten $F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}$ und $G(s)={\mathcal {L}}\{g(t)\}$ existieren und besitzen überlappende Konvergenzbereiche in der s-Ebene
• $F(s)=G(s)$ im Konvergenzbereich

dann ist $f(s)=g(s)$ überall dort, wo $f(t)$ und $g(t)$ stetig sind.

Vergleiche: Eindeutigkeitssatz von Lerch

Siehe auch: Fourier-Transformation, Faltung

Korrespondenztabellen

Korrespondenztabelle 1: Allgemeine Eigenschaften

Id	Allgemeine Eigenschaft bzw. Operation	Originalfunktion $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}$	Bildfunktion $F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$
1	Linearität	$a_{1}f_{1}(t)+a_{2}f_{2}(t)\,$	$a_{1}F_{1}(s)+a_{2}F_{2}(s)$
2	Ähnlichkeitssatz	$f(at)\,$	${\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right)\qquad (a>0)\,$
3	Dämpfung im Originalbereich	$e^{-at}\cdot f(t)\,$	$F(s+a)\qquad (a\in \mathbb {C} ))\,$
4	Sinus-Multiplikation	$sin(at)\cdot f(t)\,$	${\frac {1}{2i}}\cdot (F(s-ia)-F(s+ia))$
5	Cosinus-Multiplikation	$cos(at)\cdot f(t)\,$	${\frac {1}{2i}}\cdot (F(s-ia)+F(s+ia))$
6		$sinh(at)\cdot f(t)\,$	${\frac {1}{2}}\cdot (F(s-a)-F(s+a))$
7		$cosh(at)\cdot f(t)\,$	${\frac {1}{2}}\cdot (F(s-a)+F(s+a))$
8	Verschiebung im Originalbereich	$f(t-a)\ \,$	$e^{-as}F(s)\,$
9	Periodische Funktion	$f(t)=f(t+T)\,$	${\frac {1}{1-e^{-sT}}}\int _{0}^{T}f(t)\cdot e^{-st}dt$
10	Endliche Laplace-Transformation	$f(t)=0\qquad t>T\,$	$F(s)=\int _{0}^{T}f(t)e^{-st}dt$ ganze Funktion
11	Rationale Funktion $a_{k}\,$ Nullstellen von $Z(s)\,$	$\sum _{k=1}^{n}{\frac {N(a_{k})}{Z^{\prime }(a_{k})}}e^{a_{k}t}dt\,$	${\frac {N(s)}{Z(s)}}\,$

Korrespondenztabelle 2: Ableitungen und Integrale

Id	Operation	Originalfunktion $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}$	Bildfunktion $F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$
12	1. Ableitung im Originalbereich	${\dot {f}}(t)\,$	$sF(s)-F(0)\,$
13	2. Ableitung im Originalbereich	${\ddot {f}}(t)\,$	$s^{2}F(s)-sF(0)-F^{\prime }(0)\,$
14	$n^{te}$ Ableitung im Originalbereich	$f^{(n)}(t)\,$	$s^{n}F(s)-\sum _{k=0}^{n-1}F^{k}(0)s^{n-k-1}\,$
15	1. Ableitung im Bildbereich	$-tf(t)\,$	$F^{\prime }(s)\,$
16	2. Ableitung im Bildbereich	$t^{2}f(t)\,$	$F^{\prime \prime }(s)\,$
17	$n^{te}$ Ableitung im Bildbereich	$(-t)^{n}f(t)\,$	$F^{(n)}(s)\,$
18	Integration im Originalbereich	$\int _{0}^{t}f(u)\,du$	${\frac {1}{s}}F(s)$
19	Integration im Bildbereich	${\frac {1}{t}}f(t)$	$\int _{s}^{\infty }f(u)\,du$
20	Faltung im Originalbereich Multiplikation im Bildbereich	$\int _{0}^{t}f(u)\,g(t-u)\,du)$	$F(s)\,G(s)$
21	Multiplikation im Originalbereich Faltung im Bildbereich	$f(t)\,g(t)$	${\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }F(\sigma )\,G(s-\sigma )\mathrm {d} \sigma$

Korrespondenztabelle 3: Elementare Funktionen

Id	Funktionsname	Originalfunktion $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}$	Bildfunktion $F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$	Konvergenz- bereich
22	Dirac’sche Deltafunktion Einheitspuls	$\delta (t)\,$ $\delta ^{n}(t)\,$	$1\,$ $s^{n}\,$	$s\in \mathbb {C} \,$
23	Heaviside’sche Sprungfunktion Einheitspuls	$1\,$	${\frac {1}{s}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
24	Exponentialfunktion	$e^{-at}\,$	${\frac {1}{s+a}}$	$\operatorname {Re} (s)>-a$
25	n-te Potenz	$t^{n}\,$	${n! \over s^{n+1}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
26	Potenzreihe	$\sum _{0}^{\infty }a_{n}(t-t_{0})^{n}\,$	$\sum _{0}^{\infty }{a_{n}n! \over s^{n+1}}e^{t_{0}s}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
27	Gedämpfte Potenzialfunktion	$t^{n}e^{-at}\,$	${\frac {n!}{(s+a)^{n+1}}}$	$\operatorname {Re} (s)>-a$
28		${\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}\cdot e^{\pm at}\,$	$(s\mp a)^{-n}$	$\operatorname {Re} (s)>-a$
29	n-te Wurzel	${\sqrt[{n}]{t}}$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	$\operatorname {Re} (s)>0$
30	Sinus	$\sin(at)\,$	${\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
31	Cosinus	$\cos(at)\,$	${\frac {s}{s^{2}+a^{2}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
32	Sinus hyperbolicus	$\sinh(at)\,$	${\frac {a}{s^{2}-a^{2}}}$	$\operatorname {Re} (s)>|a|\$
33	Cosinus hyperbolicus	$\cosh(at)\,$	${\frac {a}{s^{2}-a^{2}}}$	$\operatorname {Re} (s)>|a|\$
34	Logarithmus naturalis	$\ln(at)\,$	$-{\frac {1}{as}}(\ln({\frac {s}{a}})+\gamma )$	$\operatorname {Re} (s)>0$

Korrespondenztabelle 4: Spezielle Funktionen der Mathematischen Physik

Id	Funktionsname	Originalfunktion $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}$	Bildfunktion $F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$	Konvergenz- bereich
30	Bessel-Funktion erster Art der Ordnung 0	$J_{0}(at)\,$	${\frac {1}{\sqrt {s^{2}+a^{2}}}}\,$	$\operatorname {Re} (s)>0$
31	Modifizierte Bessel-Funktion erster Art der Ordnung 0	$I_{0}(at)\,$	${\frac {1}{\sqrt {s^{2}-a^{2}}}}\,$	$\operatorname {Re} (s)>0$
32	Bessel-Funktion erster Art der Ordnung n	$J_{n}(at)\,$	${\frac {({\sqrt {s^{2}+a^{2}}}-s)^{n}}{a^{n}{\sqrt {s^{2}+a^{2}}}}}\,$	$\operatorname {Re} (s)>0$ $(n>-1)\,$
33	Modifizierte Bessel-Funktion erster Art der Ordnung n	$I_{n}(at)\,$	${\frac {(s-{\sqrt {s^{2}-a^{2}}})^{n}}{a^{n}{\sqrt {s^{2}-a^{2}}}}}\,$	$\operatorname {Re} (s)>0$ $(n>-1)\,$
34	Laguerre-Polynome der Ordnung n	$L_{n}(at)\,$	${\frac {(s-a)^{n}}{s^{n+1}}}\,$	$\operatorname {Re} (s)>0$

Literatur

• O. Föllinger, M. Kluwe, Laplace-, Fourier- und z-Transformation, Hüthig, September 2003, ISBN 3778529110

• G. Doetsch, Einführung und Anwendung der Laplace-Transformation, (Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe, Bd. 24) 3. Auflage, Birkäuser Verlag, Basel und Stuttgart, 1976, ISBN 3-7643-0784-6

• Murray R. Spiegel, Laplace-Transformation, Theorie und Anwendung, Schaum's Outline, McGraw-Hill Book Company GMBH, 1977, ISBN 0-07-09201-3

Weblinks

http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html http://www.mathe.braunling.de/Laplace.htm http://www.iei.tu-clausthal.de/~promise/rt1/skript/node11.html http://www.iei.tu-clausthal.de/~promise/rt1/skript/node51.html http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/aufgaben/L/laplace_transformation.html http://www3.htl-hl.ac.at/homepage/bok/dt/mathe/mindex.html http://www.seeit.de/xedu/formeln/Lars%20Weiser/laplace.pdf http://www-hm.ma.tum.de/hm/ss05/mw4/folien/Laplace.pdf