Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist ein Verfahren in der linearen Algebra, um aus einer beliebigen Basis {b₁,...,b_n} eines Vektorraums eine Orthonormalbasis für diesen Vektorraum zu konstruieren.

Durch die folgende Konstruktionsvorschrift entsteht in {u₁,..., u_n} rekursiv eine Orthonormalbasis:

           b₁
(1) u₁ = ------
         ||b₁||

             i-1
(2) v_i = b_i - ∑ ‹u_k,b_i› u_k
             k=1

            v_i
(3) u_i = ------
          ||v_i||

Die Schritte (2) und (3) werden für alle i aus {2, ..., n} durchlaufen. Schritte (1) und (3) führen jeweils zu einer Normierung der Vektoren u_i auf die Länge 1. Vor Schritt (2) beim i-ten Durchlauf bilden die Vektoren {u₁, ..., u_i-1} jeweils eine Orthonormalbasis. In Schritt (2) wird nun ein Vektor v_i so hinzugefügt, dass er orthogonal auf den Vektoren u₁ bis u_i-1 steht und mit diesen den gleichen Raum aufspannt wie die Vektoren b₁ bis b_i (also auch wie die Vektoren u₁, ..., u_i-1, b_i). Dies wird dadurch erreicht, dass vom Vektor b_i alle Projektionen auf die Vektoren u₁ bis u_i-1 abgezogen werden. Dadurch werden alle von der bisherigen Basis {u₁, ..., u_i-1} linear abhängigen Anteile abgezogen, der resultierende Vektor v_i steht orthogonal auf allen bisherigen Vektoren.