Graph des Logarithmus zur Basis 2 (grün), e (rot) bzw. 1/2 (blau)

Der Logarithmus (griech.: λόγος = Verständnis, αριθμός = Zahl) gehört zu den elementaren mathematischen Funktionen.

Logarithmieren zu einer Basis ist die Umkehrung des Potenzierens einer Basis. Wenn beispielsweise $a=b^{x}\,$ gilt, so lässt sich die Zahl b durch Radizieren ermitteln, wenn a und x bekannt sind. Sind jedoch a und b bekannt, jedoch nicht der Exponent x, so lässt sich die Gleichung durch Logarithmieren zur Basis b nach x auflösen. Man schreibt dann:

\log _{b}a=x\,

.

Die linke Seite der Gleichung nennt man Logarithmus von a zur Basis b. Das Ergebnis des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten man b potenzieren muss, um a zu erhalten.

Der Logarithmus erfüllt die Gleichung

\log(x\cdot y)=\log(x)+\log(y)

die sogenannte Funktionalgleichung des Logarithmus. Diese besagt, dass man eine Multiplikation auf eine Addition zurückführen kann, sofern man den Logarithmus und seine Umkehrung kennt bzw. berechnen kann. Anwendung findet dieser Zusammenhang beim Rechenschieber. Da der Logarithmus selbst nicht einfach zu berechnen ist, gab es früher spezielle Tabellenwerke  die sogenannten Logarithmentafeln  in denen man Logarithmen nachschlagen konnte.

Formelzeichen und Namenskonventionen

Im Sprachgebrauch wird häufig die Logarithmusfunktion selbst auch kurz als Logarithmus bezeichnet.

Den Funktionswert log_by nennt man den Logarithmus von y zur Basis b. Das Argument y heißt Logarithmand, gelegentlich auch Numerus.

Das Formelzeichen für den Logarithmus ist log. Die Basis wird als Index angehangen. Seltener findet man auch davon abweichende Schreibweisen, oder die Basis wird nicht mitnotiert, wenn sie aus dem Zusammenhang ersichtlich ist und keine Verwechslungsgefahr besteht.

log_b: Logarithmus zur Basis b
ln: logarithmus naturalis bzw. natürlicher Logarithmus, der Logarithmus zur Basis e, der Eulerschen Zahl
lg: Logarithmus zur Basis 10, auch bezeichnet als Zehnerlogarithmus oder dekadischer Logarithmus
ld: logarithmus dualis, Logarithmus zur Basis 2, auch als Zweierlogarithmus oder dyadischer oder binärer Logarithmus bezeichnet (manchmal auch mit der Abkürzung lb);
log: In der Mathematik steht log für den natürlichen Logarithmus, in technischen Anwendungen für den dekadischen Logarithmus, in der Informatik für den dyadischen Logarithmus. Gelegentlich wird log auch verwendet, wenn die verwendete Basis keine Rolle spielt.

Ein ähnliches Formelsymbol ist li für den Integrallogarithmus. Bei dieser Funktion handelt es sich nicht um eine Logarithmusfunktion.

Der Logarithmus in Anwendung und Natur

Das Gehäuse eines Nautilus zeigt eine logarithmische Spirale

Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Daten werden entweder direkt mit einer logarithmischen Skala dargestellt, oder die Einheiten selbst, wie

Berechnung der Anzahl der Stellen, die zur Darstellung einer Zahl benötigt werden. Als Basis des Logarithmus dient die Basis des Zahlensystems (z.B. 10, 2, 8 oder 16), dem die Zahl, deren Länge berechnet werden soll, zugeordnet ist. (Siehe auch „bit“ im nächsten Punkt.)
bit = Informationseinheit => Messung der Informationsmenge; die Informationstheorie sagt, dass wenn etwas mit Wahrscheinlichkeit p auftritt, das Wissen über das tatsächliche Auftreten davon eine Informationsmenge von $\log _{2}{\frac {1}{p}}$ bits ergibt. Z.B. erhält man beim Ergebnis "Kopf" eines fairen Münzwurfs ( $p={\frac {1}{2}}$ ) die Informationsmenge $\log _{2}2=1$ bit, beim Auftreten einer "1" beim Würfeln ( $p={\frac {1}{6}}$ ) dagegen $\log _{2}6={\frac {\ln 6}{\ln 2}}\approx 2,585$ bits.
Der diskrete Logarithmus (erklärt für endliche Zahlenkörper) ist erheblich aufwendiger zu berechnen, als seine Umkehrfunktion, die diskrete Exponentialfunktion, und hilft damit, als sog. Einwegfunktion, in der Kryptografie Daten zu schützen
pH-Wert (Säurewert von chemischen Lösungen) (Anmerkung: In der Chemie kann man logarithmische Skalen i. A. am vorangestellten p erkennen, z. B. beim pKs- oder pKb-Wert)
dB (Dezibel) z. B. Messung von Lautstärke, elektronischer Dämpfung
In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen, so z. B das Wachstum von Schneckenhäusern oder die Anordnung der Kerne auf der Sonnenblume.
Die Empfindlichkeit von Sinnesorganen folgt dem logarithmischen Weber-Fechner-Gesetz der Psychophysik, wonach eine Vervielfachung der Reizstärke nur eine lineare Zunahme des wahrgenommenen Reizes bewirkt.
Sternhelligkeiten werden in astronomischen Größenklassen angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt.
Logarithmische Zeitskalen finden sich in der Geschichte der Technologie ebenso wie in der geologischen Zeitskala.
Zur graphischen Darstellung von bestimmten mathematischen Funktionen werden spezielle mathematische Papiere verwendet, wie z. B. einfachlogarithmisches Papier oder doppeltlogarithmisches Papier.

Ferner erlaubt der Logarithmus die Lösung von Aufgabenstellungen, die bei Wachstums- oder Zerfallsprozessen typischerweise auftreten, da diese durch seine Umkehrfunktion, die Exponentialfunktion, modelliert werden. (Siehe u.a. Exponentieller Vorgang, Absorption)

Der Logarithmus als Größenmaßstab

Der Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus) ist im Dezimalsystem ein Maß für die Größenordnung einer Zahl, denn die Ungleichung

{10}^{k}\leq x<{10}^{k+1}

ist gleichwertig mit

k\leq \log _{10}(x)<k+1

.

Gelten diese Ungleichungen für eine ganze Zahl $k$ , so besitzt die reelle Zahl $x$ in ihrer Dezimalbruchentwicklung gerade $k+1$ Stellen vor dem Komma (für $k\geq 0$ ) bzw. beginnt bei der $|k|$ -ten Stelle nach dem Komma (für $k<0$ ).

Der Logarithmus als Rechenhilfe

Logarithmische Skaleneinteilung eines Rechenschiebers (Detail)

Im Normalfall tauchen beim Logarithmieren auch Nachkommastellen auf, die Mantisse genannt werden. So ist log₁₀(3) ≈ 0,47712. Multipliziert man eine Zahl mit der Basis, dann ändert sich zwar die Kennzahl, nicht aber die Mantisse. Es ist also

\log _{10}(3\cdot 10)=1+\log _{10}(3)\approx 1{,}47712

Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, nutzte man dies aus, um Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen. Und die Berechnung der Quadratwurzel vereinfacht sich auf der Ebene des Logarithmus zu einer Division durch 2. Weil der Logarithmus selbst nicht so leicht zu berechnen ist, waren Rechenschieber (John Napier) und Logarithmentafeln weit verbreitete Hilfsmittel.

Siehe dazu auch die Logarithmengesetze weiter unten.

Definition

Der Logarithmus über den positiven reellen Zahlen kann auf verschiedene Art und Weisen eingeführt werden. Je nach Hintergrund und Intention wird man den einen oder anderen Zugang wählen.

Die einzelnen Definitionen sind untereinander äquivalent und erfolgen mit besonderem Fokus auf den Natürlichen Logarithmus, der aus Sicht des Mathematikers auf natürliche Art auftritt, wie bei dem Zugang über die Funktionalgleichung oder über die Stammfunktion von 1/t erkennbar wird.

als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion zur Basis b

x\mapsto b^{x}

Die Funktionen b^x und log_b(x) sind also Umkehrfunktionen voneinander, d.h. Logarithmieren macht Exponenzieren rückgängig und umgekehrt:

b^{{\rm {log}}_{b}x}=x\quad {\mbox{und}}\quad {\rm {log}}_{b}(b^{x})=x

Der Natürliche Logarithmus ergibt sich mit der Basis b = e, wobei e die Eulersche Zahl ist.

als Lösung einer Funktionalgleichung

Die Logarithmusfunktionen sind die nicht-trivialen, stetigen Lösungen $L$ der Funktionalgleichung

L(x\cdot y)=L(x)+L(y)

Diese Lösungen erweisen sich sogar als differenzierbar. Den Natürlichen Logarithmus erhält man dann zusammen mit der Zusatzbedingung

L'(1)=1\,

Die Zusatzbedingung ist einer der Gründe dafür, den so erhaltenen Logarithmus als natürlich zu bezeichnen. Wollte man den Logarithmus zu einer anderen Basis $b$ über die Zusatzbedingung erhalten, dann müsste man fordern

L'(1)={\frac {1}{\ln b}}\,

und würde wieder den Natürlichen Logarithmus benötigen.

Die triviale Lösung obiger Funktionalgleichung ist die Nullfunktion L(x) = 0, welche nicht als Logarithmusfunktion angesehen wird.

als Stammfunktion von 1/t

Die Funktion

L:x\mapsto \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t

mit x > 0 ist gerade der Natürliche Logarithmus: Es ist L = ln. Zum Logarithmus mit der Basis b gelangt man durch Division der Funktion L durch die Konstante L(b) = ln b.

als Potenzreihe

Der Natürliche Logarithmus kann als Potenzreihe gemäß

\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\,x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\pm \cdots

eingeführt werden. Diese Reihe hat den Konvergenzradius 1. Durch analytische Fortsetzung oder durch Anwendung der Funktionalgleichung

\ln {\frac {1}{x}}=-\ln x

erhält man den Natürlichen Logarithmus auf den positiven reellen Zahlen.

Anmerkung

Diese Definitionen können auch herangezogen werden, um Logarithmen auf anderen mathematischen Strukturen zu erhalten, wie z.B. auf den komplexen Zahlen.

Das setzt voraus, dass in der betreffenden Struktur die zur Definition verwendeten Konzepte existieren.

Um etwa den diskreten Logarithmus auf einer Gruppe zu definieren, können Konzepte wie Differentiation/Integration sowie Multiplikation/Division nicht herangezogen werden, weil sie dort gar nicht existieren. (In einer Gruppe gibt es eine Verknüpfung und nicht zwei, die zudem noch durch ein Distributivgesetz miteinander verknüpft sind).

Rechenregeln und grundlegende Eigenschaften

Logarithmengesetze

Produkte

Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht eine hilfreiche Rechenregel zur Verfügung:

\log _{a}(x\cdot y)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)

Oder allgemeiner:

\log _{a}\left(x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)=\log _{a}\left(x_{1}\right)+\log _{a}\left(x_{2}\right)+\cdots +\log _{a}\left(x_{n}\right)

Quotienten

Diese leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall angegeben:

\log _{a}{\bigg (}{\frac {x}{y}}{\bigg )}=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)

Potenzen

Für Potenzen mit reellem Exponent $r$ gilt die Regel:

\log _{a}\left(x^{r}\right)=r\cdot \log _{a}(x)

Diese Rechenregeln lassen sich von den Potenzgesetzen ableiten. (siehe weiter unten)

Wurzeln

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus folgende Rechenregel:

\log _{a}\!\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)=\log _{a}\!\left(x^{\frac {1}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\log _{a}(x)

Basisumrechnung

Um Logarithmen zur Basis b mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis a zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang

\log _{b}(r)={\frac {\log _{a}(r)}{\log _{a}(b)}}

Denn:

a^{\log _{a}(b)\cdot \log _{b}(r)}=(a^{\log _{a}(b)})^{\log _{b}(r)}=b^{\log _{b}(r)}=r=a^{\log _{a}(r)}.

Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen i. A. Logarithmen zur Basis 10 und natürliche Logarithmen zur Verfügung. Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.

Beispiel 1:

\log _{10}(8)={\frac {\log _{2}(8)}{\log _{2}(10)}}\approx {\frac {3}{3{,}32}}\approx 0{,}90

Alternative mit Hilfe des Natürlichen Logarithmus:

\log _{10}(8)={\frac {\ln(8)}{\ln(10)}}\approx 0{,}90

Beispiel 2:

\log _{2}(1024)={\frac {\ln(1024)}{\ln(2)}}=10,\ {\mathsf {denn}}\ 2^{10}=1024

Ableitung und Integral

Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Daher erhält man die Ableitung des natürlichen Logarithmus einfach durch Anwendung der Umkehrregel (siehe Beispiel dort).

Es ergibt sich

\ln '(x)={\frac {1}{x}}

Für allgemeine Logarithmen gilt:

(\log _{b}{x})'={\frac {1}{x\ln {b}}}

Das unbestimmte Integral des natürlichen Logarithmus erhält man mit partieller Integration:

\int {\ln {x}\,\mathrm {d} x}=\int {1\cdot \ln {x}\,\mathrm {d} x}=x\cdot \ln {x}-\int {x\cdot {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x}=x\ln {x}-x

Ist bei einem bestimmten Integral des natürlichen Logarithmus eine der Grenzen Null, so kann die Regel von L'Hospital angewendet werden.

Beispiel:

\int _{0}^{1}{\ln {x}\,\mathrm {d} x}=[x\ln {x}-x]_{0}^{1}=-1

,

da

\lim _{x\to 0^{+}}x\ln {x}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln {x}}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}(-x)=0

Kurvendiskussion

Definitionsmenge: $D=]0,\infty [$
Wertemenge: alle reellen Zahlen
Nullstellen bzw. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: {1} bzw. (1|0)
Gebräuchliche Limiten / Verhalten im Unendlichen:

\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x={\begin{cases}-\infty ,&{\mbox{wenn }}b>1\\+\infty ,&{\mbox{wenn }}b<1\end{cases}}

\lim _{x\to \infty }\log _{b}x={\begin{cases}+\infty ,&{\mbox{wenn }}b>1\\-\infty ,&{\mbox{wenn }}b<1\end{cases}}

Erste Ableitung:

(\log _{b}x)'={\frac {1}{\ln b\cdot x}}

Extrempunkte: keine
Wendepunkte: keine

Null und die negativen Zahlen

In den reellen Zahlen ist der Logarithmus für Null und negative Zahlen nicht definiert.

Begründungen:

x = log_a(0) müsste dann 0 = a^x bedeuten. Was aber nicht der Fall ist, wenn a ungleich Null ist.
(als Beispiel die negative Zahl -1) x = log_a(-1) müsste dann -1 = a^x bedeuten. Was aber nicht sein kann, wenn a größer Null ist.

In der Funktionentheorie, in der Funktionen von komplexen Zahlen betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren (siehe Komplexer Logarithmus), allerdings gelten dann einige der Rechenregeln nicht mehr.

Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen

Der Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit „ln“ oder einfach „log“ (ohne Subskript) abgekürzt:

Wenn y = e^x dann ist x = log_e(y) = ln(y).

Die Zahl e ist z.B. dadurch ausgezeichnet (und könnte auch so definiert werden), dass die Exponentialfunktion $e^{x}$ sich bei Ableitung wieder selbst reproduziert, als Formel:

{\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}

Der Begriff natürlicher Logarithmus wurde gewählt, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis e in vielen Zusammenhängen (Integralrechnung, Differentialrechnung, Komplexe Zahlen, Trigonometrie) auftreten. Zudem lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach integrieren und differenzieren.

Der natürliche Logarithmus vom Betrag von x, also f(x)=ln|x| ist die Stammfunktion der Potenzfunktion f'(x)=x^(-1) bzw. 1/x.

Der Logarithmus zur Basis 10 wird oft mit „log“ abgekürzt; er heißt dekadischer Logarithmus oder auch Briggscher Logarithmus, benannt nach dem Mathematiker Henry Briggs.

Der Logarithmus zur Basis 2 – abgekürzt mit „lb“ oder „ld“ – heißt binärer, dualer oder dyadischer Logarithmus.

Abkürzungen

log_a: allgemeiner Logarithmus mit der beliebigen Basis a
ln = log_e: Natürlicher Logarithmus zur Basis e (Logarithmus naturalis)
lg = log₁₀: Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus)
lb = ld = log₂: Logarithmus zur Basis 2, binärer Logarithmus, dualer Logarithmus, Zweierlogarithmus

Berechnung des Logarithmus, Potenzreihe

Die Potenzreihenentwicklung

\ln(1+x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{k+1}}{k+1}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\pm \cdots ,\qquad -1<x\leq 1

des natürlichen Logarithmus um den Entwicklungspunkt 1 konvergiert nicht sonderlich schnell.

Zur Berechnung verwendet man besser folgende Reihendarstellung, die auf der Potenzreihenentwicklung des Areatangens Hyperbolicus beruht:

\ln(x)=2\cdot \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{2k+1}}\cdot \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}+\;R_{n+1}(x),\qquad x>0

mit der Restgliedabschätzung

|R_{n+1}(x)|\leq {\frac {(x-1)^{2}}{2\,|x|}}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2n}.

Die Reihe zeigt für x und 1/x ähnliches Konvergenzverhalten und konvergiert um so besser, je näher x bei 1 liegt. Um dies zu erreichen, verwendet man

\ln(x)=m\ln(2)+\ln(2^{-m}x).\quad

Durch Wahl einer geeigneten ganzen Zahl m kann man immer erreichen, dass gilt $1/{\sqrt {2}}\leq 2^{-m}x\leq {\sqrt {2}}$ und erhöht damit die Konvergenzgeschwindigkeit der Reihe, die man jetzt für $\left(2^{-m}\right)\cdot x$ berechnet. Allerdings braucht man dann auch eine gute Näherung für ln 2.

Für den natürlichen Logarithmus gilt zudem:

\ln(x)=\lim _{n\to \infty }n\,\left(\!{\sqrt[{n}]{x}}-1\right)

sowie

\ln(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}.

Für eine praktische Berechnung von ln x sind die beiden letzten Formeln jedoch nicht sonderlich geeignet.

Komplexer Logarithmus

Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl $w$ , die die Gleichung

e^{w}=z\,

erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von $z$ . Dies ist im Unterschied zum reellen Logarithmus jedoch nicht eindeutig, da gilt:

e^{2k\pi i}=1,\ k\in \mathbb {Z}

Hat man also einen Logarithmus $w_{0}$ von $z$ gefunden, so ist auch

w=w_{0}+2k\pi i\,

ein Logarithmus von $z$ , da gilt:

e^{w}=e^{w_{0}+2k\pi i}=e^{w_{0}}\cdot e^{2k\pi i}=e^{w_{0}}\cdot 1=e^{w_{0}}=z

Um Eindeutigkeit erreichen, schränkt man $w$ auf einen Streifen in der komplexen Zahlenebene ein. Man kann z.B. den Streifen

\left\{w\in \mathbb {C} :-\pi <\mathrm {Im} \,w\leq \pi \right\}

verwenden. Ein $w$ aus diesem Streifen heißt Hauptwert des Logarithmus und man schreibt $w=\ln {(z)}$ . Stellt man $z$ in Polarkoordinaten dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweigs der Logarithmusfunktion: