Formelsammlung Arithmetik

Die Formelsammlung zur Algebra ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

Grundrechenarten

Siehe dazu: Formelsammlung Grundrechenarten.

Arithmetische Notation

Es gilt: Punkt- vor Strichrechnung. Das heißt Mal und Geteilt binden stärker als Plus und Minus.

$a+(b\cdot c)+d=a+b\cdot c+d$

$(a\cdot b)+(c\cdot d)=a\cdot b+c\cdot d$

$(a+b)\cdot (c+d)\neq a+b\cdot c+d$

Bei Verwendung der Polnischen Notation bzw. der Umgekehrten Polnischen Notation bedarf es keiner Klammerung.

Axiome

• Assoziativ-Gesetz

 a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = a + b + c
 a · ( b · c ) = ( a · b ) · c = a · b · c

• Kommutativ-Gesetz (Vertauschungsgesetz)

 a + b = b + a
 a · b = b · a

• Distributiv-Gesetz

 a · ( b + c ) = a · b + a · c
 a · ( b - c ) = a · b - a · c

Potenzen

• Definition Potenzen

$a^{n}=a\cdot a\cdot ...\cdot a$ (n Faktoren)

formal:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle a^n=\begin{cases} 1 & n=0 \\ \prod\limits^n_{i=1} a & n \ge 1 \end{cases}}

• Begriffe zu Potenzen

$a^{n}$ (das Ergebnis der Rechnung) ist die Potenz

a ist die Basis

n ist der Exponent

• Potenzen mit gleicher Basis

$a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$

${a^{b} \over a^{c}}=a^{b-c}$

• Potenzieren einer Potenz

$({a^{b}})^{c}=a^{b\cdot c}$

• Potenzen mit gleichem Exponenten

$x^{a}\cdot y^{a}=(x\cdot y)^{a}$

${x^{a} \over y^{a}}=\left({x \over y}\right)^{a}$

Wurzeln

• Begriffe zu Wurzeln

$x={\sqrt[{n}]{a}}$

n ist der Wurzelexponent

a ist der Radikand

• Definition Wurzel

$x^{n}=a\Leftrightarrow x={\sqrt[{n}]{a}}\qquad \left(a\in \mathbb {R} ,a\geq 0,n\in \mathbb {N^{+}} \right)$

• Negativer Radikand und ungerader Exponent

${\sqrt[{n}]{-a}}=-{\sqrt[{n}]{a}}\qquad \left(a\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N^{+}} ,n=2u-1,u\in \mathbb {N^{+}} \right)$

Für $n,m\in \mathbb {N} ,n\geq 2,a\in \mathbb {R} ,a>0$ gelten folgende Regeln

• ${\sqrt[{n}]{a}}=a^{1 \over n}$
• ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}=a^{m \over n}$
• ${\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a\cdot b}}$
• ${{\sqrt[{n}]{a}} \over {\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{n}]{a \over b}}$
• ${\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{n\cdot m}]{a}}$
• ${\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{m}]{a}}={\sqrt[{n\cdot m}]{a^{n+m}}}$
• ${{\sqrt[{n}]{a}} \over {\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{n\cdot m}]{a^{m-n}}}$

Betrag, Signum, Gaußklammer

Betrag:

$\left|x\right|={\begin{cases}x,&x>0\\0,&x=0\\-x,&x<0\end{cases}}$

Signum:

${\mbox{sig}}(x)={\begin{cases}1,&x>0\\-1,&x<0\\0,&x=0\end{cases}}$

Termumformungen

8-(2-a+b) Hier ist die "Minusklammer" zu beachten. Minusklammer heißt, dass vor der Klammer ein Minus (-) steht. Somit müssen alle Werte in der Klammer mit (-1) multipliziert werden.

= 8 + ( 2 * (-1) - a * (-1) + b * (-1) ) = 8 - 2 + a - b = 6 + a - b

Quadratische Gleichungen

pq-Formel:

Bringt man die Ausgangsgleichung in die Form

$x^{2}+p\cdot x+q=0$

dann gilt

$x_{1,2}=-{p \over 2}\pm {\sqrt {({p \over 2})^{2}-q}}$

oder

$x_{1,2}=-{p \over 2}\pm {\sqrt {{p^{2} \over 4}-q}}$

abc-Formel: (äquivalent zur pq-Formel)

Bringt man die Ausgangsgleichung in die Form

$a\cdot x^{2}+b\cdot x+c=0$

dann gilt

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4\cdot ac}}}{2\cdot a}}$

$\left.{\begin{matrix}{\mbox{Zerlegung in Linearfaktoren:}}&x^{2}+px+q=(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=0\\{\mbox{Satz von Vieta:}}&p=-(x_{1}+x_{2})\qquad q=x_{1}\cdot x_{2}\end{matrix}}\right\}x_{1},x_{2}{\mbox{ sind Lösungen}}$

Gleichungen n-ten Grades

Cardanische Formeln Kubische Gleichung

Horner-Schema

Mit dem Hornerschema lässt sich die Berechnung von Funktionswerten für ein Polynom vereinfachen. Beispiel:

$f(x):=x^{2}-2x-8$

Dazu legt man eine Tabelle an. Die Anzahl der Zeilen ist drei, die der Spalten um zwei größer als der Grad des Polynoms (für das Beispiel also vier Spalten). Die Koeffizienten schreibt man, von der zweiten Spalte beginnend, in die erste Zeile. Den x-Wert schreibt man in die erste Spalte der zweiten Zeile. Beginnend mit der zweiten Spalte werden die oberen beiden Zahlen addiert. Der Faktor der zweiten Zeile der nächsten Spalte ergibt sich aus der Multiplikation der voranstehenden Summe mit dem x-Wert. Kurz: Senkrecht wird summiert, schräg wird multipliziert. Der Funktionswert befindet sich zum Schluss in der dritten Zeile der letzten Spalte.

Beispiel für $f(-2)$:

      1  -2  -8
x=-2     -2   8
---------------
      1  -4   0

Sollte der Funktionswert, wie hier, Null sein, sind die restlichen Zahlen in der letzten Zeile das Ergebnis der Polynomdivision der Funktion durch $x$ minus den Wert, hier $x-(-2)$: $f(x)=(x-4)(x+2)$

Mittelwerte

• arithmetisches Mittel von a und b:

${a+b} \over 2$

allgemeiner Ansatz:

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}$

• geometrisches Mittel von a und b:

${\sqrt {a\cdot b}}$

allgemeiner Ansatz:

${\bar {x}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}$

• gewogenes arithmetisches Mittel

${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}\cdot m_{i}}{\sum _{i=1}^{m}m_{i}}}$

• Zentralwert

Der Wert, welcher in einer geordneten Liste genau in der Mitte steht, bzw. bei zwei Werten in der Mitte das arithmetische Mittel dieser.

z.B.: 1, 2, 3 -> Zentralwert = 2

z.B.: 1, 2, 3, 4 -> Zentralwert = (2+3)/2 = 2,5

Logarithmus

• Definition des Logarithmus zur Basis b

$x=\log _{b}a\Leftrightarrow a=b^{x}$

• Logarithmus-Gesetze

1. $\log _{x}(a\cdot b)=\log _{x}a+\log _{x}b$
2. $\log _{x}\left({a \over b}\right)=\log _{x}a-\log _{x}b$
3. $\log _{x}\left(a^{b}\right)=b\cdot \log _{x}a$

Komplexe Zahlen

Definition

$\mathrm {i} ^{2}=-1$

$z=a+b\cdot \mathrm {i} \,$ mit $a,b\in \mathbb {R}$

a wird als Realteil und b als Imaginärteil bezeichnet.

Polarform und Exponentialform

Polarform

$z=r\cdot \cos(\alpha )+\mathrm {i} \cdot r\cdot \sin(\alpha )$

$z=r\cdot (\cos(\alpha )+\mathrm {i} \cdot \sin(\alpha ))$

Exponentialform

$r\cdot e^{\mathrm {i} \varphi }$

r wird als Betrag von z bezeichnet. $\varphi$wird als Argument bezeichnet. (genauere Erklärung unter Komplexe_Zahlen)

Umrechnungsformeln

$r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$   ;

für $z\neq 0$ wird das Argument wie folgt bestimmt:

$\varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a>0\\\arctan {\frac {b}{a}}+\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a<0,b\geq 0\\\arctan {\frac {b}{a}}-\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a<0,b<0\\\pi /2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a=0,b>0\\-\pi /2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a=0,b<0\end{cases}}$

$\varphi ={\begin{cases}\arccos {\frac {a}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ b\geq 0\\\arccos \left(-{\frac {a}{r}}\right)-\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ b<0\end{cases}}$

Rechenregeln

Addition $\qquad (a+ib)+(x+iy)\,=\,(a+x)+i(b+x)$

Subtraktion $\qquad (a+ib)-(x+iy)\,=\,(a-x)+i(b-y)$

Multiplikation $\qquad (a+ib)\cdot (x+iy)\,=\,ax-by+i(ay+bx)$

Division $\qquad (a+ib):(x+iy)\,=\,{\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}}+i\,{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}}\quad ,\quad x^{2}+y^{2}\,\not =\,0$

Vollständige Induktion

Zu beweisen ist eine Behauptung P für alle Natürlichen Zahlen, die größergleich sind als N

$P(n)\mid \forall n\in \mathbb {N} \,n\geq N$

1. Induktionsanfang: Man beweise P zunächst für n = N
2. Induktionsschritt: Man zeige, dass P(n+1) aus P(n) folgt.

Bemerkung: Im Regelfall will man P(n) für alle Natürlichen Zahlen zeigen, damit ist N=1 und der Induktionsanfang ist für n=1 zu beweisen

Kombinatorik

Fakultät

$n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot n=\prod _{i=1}^{n}i$

$0!=1$

Binomialkoeffizient („n über k“)

${n \choose k}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}}$

Binomischer Satz / Pascalsches Dreieck

$(a+b)^{0}=1$

$(a+b)^{1}=a+b$

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$

...

$k=0...n$

$(a+b)^{n}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+...+{n \choose n-1}ab^{n-1}+{n \choose n}b^{n}$

$=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}$

Stirlingsche Näherungsformel

$n!\approx \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\cdot {\sqrt {2\pi n}}$

N.b.

: Der Relative Fehler ${\frac {\epsilon }{n!}}$ ist bei großem $n$ klein. Das gilt nicht notwendigerweise für den absoluten Fehler. Es gilt: $n!=\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\cdot {\sqrt {2\pi n}}\cdot \left[1+{\mathcal {O}}(1/n)\right]$

Endliche Reihen

Hintergrundinformation in den Artikeln Summe und Reihe. Erklärungen zum Summenzeichen ebenfalls im Artikel Summe.

Rechenregeln

$\sum _{i=1}^{n}c=n\cdot c$ (Summation über n konstante Glieder ist soviel wie Multiplikation mit n)

$\sum _{i=m}^{n}c=(n-m+1)\cdot c$ (Summation über n-m+1 konstante Glieder)

$\sum _{i=m}^{n}c\cdot a_{i}=c\cdot \sum _{i=m}^{n}a_{i}$ (Konstanter Faktor kann vor das Summenzeichen gezogen werden)

$\sum _{i=m}^{n}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i=m}^{n}a_{i}+\sum _{i=m}^{n}b_{i}$ (Reihenfolge der Summanden kann beliebig geändert werden)

Arithmetische Reihen

$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$ (Summe der ersten n natürlichen Zahlen, Der kleine Gauß)

$\sum _{i=m}^{n}i={\frac {(n+m)(n-m+1)}{2}}$ (Summe eines Bereiches von m bis n natürlichen Zahlen)

$\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}$ (Summe der ersten n ungeraden Zahlen)

$\sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ (Summe der ersten n Quadratzahlen)

$\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$ (Summe der ersten n Kubikzahlen)

$\sum _{i=0}^{n}i^{4}=\left({\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}\right)$ (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 4)

Geometrische Reihe

$\sum _{i=0}^{n}q^{i}={\frac {\;\;1-q^{n+1}}{\!\!\!\!\!1-q}}={\frac {\;\;q^{n+1}-1}{\!\!\!\!\!q-1}}$ (geometrische Reihe)

$\sum _{i=0}^{\infty }q^{i}={\frac {1}{1-q}}\qquad {\mbox{mit }}|q|<1$(unendliche geometrische Reihe)

Reihen mit Binomialkoeffizienten

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}=(a+b)^{n}\qquad (a,b\in \mathbb {R} \ \mathrm {und} \ n\in \mathbb {N} )$ (Binomischer Lehrsatz)

Spezialfälle dieser Formel sind:

• $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$ (setze $a=1,b=1$)
• $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}=0$ (setze $a=-1,b=1$)
• $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}q^{k}=(1+q)^{n}$ (setze $a=q,b=1$)

Eine weitere Eigenschaft der Binomialkoeffizienten, die sich am pascalschen Dreieck ablesen lässt, ist die folgende:

$\sum _{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}$

Prozentrechnung

G = Grundwert, p = Prozentsatz, W = Prozentwert

$W=G\cdot {p \over 100}\quad {\mbox{oder}}\quad p={W \over G}\cdot 100\quad {\mbox{oder}}\quad G={W\cdot 100 \over p}$

Zinsrechnung

Bezeichnungen

K₀ = Anfangskapital

K_n = Endkapital (nach n Zinsperioden)

n = Laufzeit

p = Zinsfuß (Zinssatz in Prozent)

i = Zinssatz (mit i = p/100)

q = Zinsfaktor (mit q = 1 + i)

r = Rentenrate

R₀ = Rentenbarwert (zum Zeitpunkt t = 0)

R_n = Rentenendwert (nach n geleisteten Rentenzahlungen)

r = konstante Rentenrate oder Rate

n = Anzahl der Rentenperioden (Anzahl der Jahre, die der Rentenvorgang andauert)

p = Zinssatz der Verzinsung der Rentenraten bzw. des Kapitalbestandes

Als Zinsperiode wird i.d.R. das Kalenderjahr, eingeteilt in 12 Monate mit je 30 Zinstagen gewählt.

---

Einfache Zinsrechnung:

Endkapital: $\mathbf {K_{n}=K_{0}*(1+ni)}$

Zinseszins:

Endkapital: $\mathbf {K_{n}=K_{0}*q^{n}}$

Rentenrechnung

Je nachdem, zu welchem Zeitpunkt innerhalb der zugehörigen Zeitperiode die Rente zur Auszahlung kommt, unterscheidet man zwischen einer vorschüssigen Rente (pränumerando), wenn sie am Anfang, und einer nachschüssigen Rente (postnumerando), wenn sie am Ende des zugehörigen Zeitintervalls ausgezahlt wird.

Rentenrechnung (Nachschüssige Rentenzahlungen)

Rentenrate für R₀ : $\mathbf {r(na)=R_{0}*q^{n}*\left({\frac {q-1}{q^{n}-1}}\right)}$

Rentenrate für R_n : $\mathbf {r(na)=R_{n}*\left({\frac {q-1}{q^{n}-1}}\right)}$

Rentenendwert: $\mathbf {R_{n}(na)=r*\left({\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)}$

Rentenbarwert: $\mathbf {R_{0}(na)=\left({\frac {r}{q^{n}}}\right)*\left({\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)}$

Rentenrechnung (Vorschüssige Rentenzahlungen)

Rentenrate für R₀=:

Rentenrate für R_n:r* q^n -1/q-1

Rentenendwert: $\mathbf {R_{n}(na)=r*q*\left({\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)}$

Rentenbarwert: =

Abschreibung

Jährlicher (j) Abschreibungsbetrag (Lineare Abschreibung)

$r={\frac {K_{0}-K_{n}}{n}}$

Jährlicher Abschreibungsbetrag (Geometrisch degressive Abschreibung)

$\mathbf {r_{j}=K_{0}*q^{j-1}*i}$

Sparkassenformel

Ansparen mit vorschüssigen Raten: $K_{n}=K_{0}\cdot q^{n}+r\cdot q\cdot \left({\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)$

Abzahlen mit vorschüssigen Raten: $K_{n}=K_{0}\cdot q^{n}-r\cdot q\cdot \left({\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)$

Ansparen mit nachschüssigen Raten: $K_{n}=K_{0}\cdot q^{n}+r\cdot \left({\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)$

Abzahlen mit nachschüssigen Raten: $K_{n}=K_{0}\cdot q^{n}-r\cdot \left({\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)$