Rationale Zahl

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis (lateinisch Ratio) zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann (für gewöhnlich schreibt man $a/b$, lies a geteilt durch b), wobei der Nenner (hier $b$) ungleich Null ist. Jede Zahl, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt, ist also eine rationale Zahl.

Definition

Eine reelle Zahl x heißt dann rational, wenn man sie als Quotient (oder Bruch) $p/q$ zweier ganzer Zahlen mit $q\neq 0$ darstellen kann. Andernfalls heißt x irrational.

Insbesondere ist jede ganze Zahl rational (wähle z.B. $x/1$).

Bemerkenswerterweise besitzt jede rationale Zahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung.

Zur Erklärung der rationalen Zahlen

Jede rationale Zahl lässt sich im Dezimalsystem darstellen, wobei bestimmte Zahlen eine periodische Dezimalbruch-Entwicklung haben. Im Gegensatz dazu haben alle irrationalen Zahlen (wie ${\sqrt {2}}$, ${\sqrt {3}}$ oder die Kreiszahl $\pi$) eine unendliche, nichtperiodische Ziffernfolge.

Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit $\mathbb {Q}$ bezeichnet und bildet einen Körper (die Bezeichnung $\mathbf {Q}$ ist auch noch gebräuchlich).

siehe auch: reelle Zahlen, natürliche Zahlen, irrationale Zahlen

Darstellungsformen

Die rationalen Zahlen haben neben der Darstellung als gemeiner Bruch eine andere Darstellung, nämlich die Dezimalbruchentwicklung; z. B. ist

1/3	= 0,333333...	= [0,01 01 01 ...]2
9/7	= 1,285714 285714...	= [1,010 010 010...]2
1/2	= 0,50000...	= [0,10000...]2
1 = 1/1	= 1,0000... = 0,9999...	= [0,1111...]2

In den eckigen Klammern sind die entsprechenden Entwicklungen im Dualsystem angegeben. Die Dezimal-, Binär- und anderen b-adischen Entwicklungen rationaler Zahlen sind stets periodisch oder endlich (d.h. periodisch mit Periode 0). Mehrstellige Perioden sind hier jeweils durch Leerzeichen abgetrennt.

Die Bruchform einer rationalen Zahl kann man oft in so genannte Partialbrüche zerlegen, deren Nenner ganze Potenzen von Primzahlen sind; z. B.

$5/6=1/2+1/3,1/6=1/2-1/3,1/72=1/8-1/9,1/60=-1/4-4/3+8/5$.

Es gibt auch Zerlegungen als so genannte ägyptische Brüche (Stammbrüche), z. B.

$3/7=1/3+1/11+1/231,25/31=1/2+1/4+1/18+1/1116$,

die alten Ägypter kannten nur solche Summen und haben mit diesen gerechnet.

Das Zahlentripel $(1/5,24/35,5/7)$ ist ein Beispiel eines pythagoräischen Bruchs (siehe auch pythagoräisches Tripel), denn

$(1/5)^{2}+(24/35)^{2}=(5/7)^{2}$.

Konstruktion von $\mathbb {Q}$ aus $\mathbb {Z}$

Mathematisch gesehen, definiert man Brüche als geordnete Paare ganzer Zahlen $(a,b)$, wobei wieder $b$ ungleich Null ist - oft wird $b$ auch einfach als (nichtnegative) natürliche Zahl definiert. Dann definiert man Addition und Multiplikation mit diesen Paaren mit Hilfe folgender Regeln:

$(a,b)+(c,d)=(a\cdot d+b\cdot c,b\cdot d)$

$(a,b)\cdot (c,d)=(a\cdot c,b\cdot d)$

Einhergehend mit unserer Erwartung, dass $2/4=1/2$ sein soll, führen wir eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf diesen Paaren mit der folgenden Regel ein:

$(a,b)\sim (c,d)$ genau dann wenn, $a\cdot d=b\cdot c$.

Mit den obigen Rechenregeln bildet die Menge der Äquivalenzklassen modulo ~ einen Körper $\mathbb {Q}$, dessen Elemente rationale Zahlen genannt werden. Die Äquivalenzklasse von $(a,b)$ schreibt man als $a/b$.

Eigenschaften

Man kann zeigen, dass $\mathbb {Q}$ der kleinste Körper ist, der die natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ enthält. $\mathbb {Q}$ ist der Quotientenkörper der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$.

Rationale Zahlen liegen dicht auf der Zahlengerade, das heißt: Jede reelle Zahl, i.e. jeder Punkt auf der Zahlengerade, kann beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden.

Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele). Man nehme einfach das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen:

$c:=(a+b)/2$

Was zunächst überraschend klingt, ist die Tatsache, dass die Menge der rationalen Zahlen gleichmächtig zu der Menge der natürlichen Zahlen ist. Das heißt: es gibt eine bijektive Abbildung zwischen $\mathbb {N}$ und $\mathbb {Q}$, die jeder rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweist und umgekehrt.

Dies hängt jedoch nur damit zusammen, dass beide Zahlenbereiche unendlich groß ($\infty$) sind und damit auch jeweils unendlich viele Elemente enthalten.

Verwandte Themen

• Cantor-Diagonalisierung
• Bewertungstheorie: $p$-Bewertung, $p$-ganze Zahl
• Ordinalzahlen
• Zahlensystem

Weblinks

• http://www.wakkanet.fi/%7Epahio/ohjelmi.html PC-Programm »Bruch«, berechnet gewöhnliche, partielle, ägyptische, pythagoräische und dyadische Brüche, Dezimal- und Binärentwicklungen; löst exakt Gleichungen zweiten Grades mit rationalen Koeffizienten; konkrete rationale cauchysche Folgen (auch auf deutsch und französisch)