Ikosaeder

Der (auch: das) Ikosaeder ist ein Polyeder, der aus 20 gleich großen gleichseitigen Dreiecken besteht. Der Ikosaeder hat 12 Ecken, an denen jeweils fünf Dreiecke zusammenstoßen, und 30 gleich lange Kanten. Er ist einer der fünf Platonischen Körper.

Maße

Wenn man die Kantenlänge des Ikosaeders mit a bezeichnet, findet man folgende Beziehungen:

• Volumen: $V={\frac {5\left(3+{\sqrt {5}}\right)}{12}}\cdot a^{3}$

• Oberfläche: $A_{O}=5a^{2}{\sqrt {3}}$

• Umkreisradius: $r_{u}={\frac {a}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$

• Inkreisradius: $r_{i}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\frac {7+3{\sqrt {5}}}{6}}}$

Symmetrie

Wenn man die 12 Ecken eines Ikosaeders gleichmäßig abschneidet, erhält man einen fußballförmigen Körper aus 12 Fünfecken und 20 Sechsecken, der auch abgestumpfter Ikosaeder genannt wird. Wenn man weiterdrückt, bis die Sechsecke verschwinden, erhält man einen Dodekaeder.

Ikosaeder, Fußball und Dodekaeder besitzen somit dieselbe hohe Symmetrie, die in einer eigenen Punktgruppe, der Ikosaedergruppe, zum Ausdruck kommt. Da der Ikosaeder fünfzählige Symmetrieachsen besitzt, kann ein Kristall keine ikosaedrische Symmetrie haben - wohl aber ein Quasikristall.

Realisierungen

Viele Viren, darunter HIV, haben eine ikosaedrische Form, was damit erklärt wird, dass Viren möglichst klein sein müssen und der Ikosaeder von allen regelmäßigen Polyedern das größte Verhältnis von Volumen zu Durchmesser hat.