Vollständiger Raum

In der Analysis heißt ein metrischer Raum M vollständig, wenn jede Cauchy-Folge von Punkten aus M gegen eine Element von M konvergiert.

Anschaulich ist ein Raum vollständig, wenn er keine "Löcher" hat, also keine "Punkte fehlen". Zum Beispiel ist der Raum der rationalen Zahlen nicht vollständig, weil z.B. ${\sqrt {2}}$ nicht rational ist. Es ist aber stets möglich, die Löcher auszufüllen, einen unvollständigen metrischen Raum zu vervollständigen.

Beispiele

Die Menge $\mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen mit der Betragsmetrik (erzeugt vom reellen Absolutbetrag) ist unvollständig. Oben wurde bereits ${\sqrt {2}}$ als irrationale Zahl genannt, und die Folge rationaler Zahlen

$x_{1}:=1,\quad x_{n+1}:=x_{n}/2+1/x_{n}$

ist eine Cauchy-Folge, die innerhalb von Q nicht konvergiert, denn ihr Grenzwert ist gerade ${\sqrt {2}}$.

Das offene Intervall $(0,1)$, ebenfalls mit der Betragsmetrik, ist ebenfalls nicht vollständig, denn die Cauchy-Folge $\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},\dots \right)$ hat keinen Grenzwert in diesem Intervall. Das abgeschlossene Intervall $[0,1]$ dagegen ist vollständig, der Grenzwert 0 dieser Folge liegt darin.

Der Raum der reellen Zahlen und der der komplexen Zahlen (beide mit der Betragsmetrik) sind beide vollständig, ebenso wie der euklidische Vektorraum $R^{n}$. Viele Vektorräume sind vollständig, andere nicht; die vollständigen Vektorräume nennt man Banachräume.

Der Raum $\mathbb {Q} _{p}$ der p-adischen Zahlen ist vollständig für jede Primzahl p. Dieser Raum ist die Vervollständigung von $Q$ bezüglich der Metrik des p-adischen Betrags, so wie $\mathbb {R}$ die Vervollständigung von $Q$ für die Metrik des Absolutbetrags ist.

Ist S eine beliebige nichtleere Menge, dann kann man die Menge $S_{N}$ aller Folgen in S zu einem metrischen Raum machen, indem man den Abstand zweier verschiedener Folgen $(x_{n}),(y_{n})$ auf den Wert $1/N$ setzt, wobei N der kleinste Index ist, für den $x_{N}$ verschieden ist von $y_{N}$, und den Abstand einer Folge von sich selbst auf 0 setzt. Dieser metrische Raum ist dann vollständig (und ultrametrisch). Er ist homöomorph zum Produkt abzählbar vieler Kopien des diskreten Raums S.

Einige Sätze

Jeder kompakte metrische Raum ist vollständig. Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann, wenn er vollständig und totalbeschränkt ist.

Eine Teilmenge eines vollständigen Raumes ist selbst vollständig genau dann, wenn sie abgeschlossen ist.

Ist X eine nichtleere Menge, $(M,d)$ ein vollständiger metrischer Raum, dann ist der Raum $B(X,M)$ der beschränkten Funktionen von X nach M ein vollständiger metrischer Raum mit der Metrik

$d(f,g):=\sup _{x}d(f(x),g(x))$

Ist X ein topologischer Raum und M ein vollständiger metrischer Raum, dann ist die Menge $C_{b}(X,M)$ der beschränkten stetigen Funktionen von X nach M eine abgeschlossene Teilmenge von $B(X,M)$, und als solche vollständig.

Vervollständigung

Für jeden metrischen Raum M gibt es einen vollständigen metrischen Raum M' , der M als dichten Teilraum enthält. Diesen Raum nennt man eine Vervollständigung von M. Da alle Vervollständigungen von M metrisch isomorph sind, spricht man auch von der Vervollständigung von M.

Die Vervollständigung von M kann man konstruieren als Menge von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen in M. Für zwei Cauchy-Folgen $(x_{n})_{n}$ und $(y_{n})_{n}$ in M definieren wir ihren Abstand durch

$d(x,y):=\lim _{n}d(x_{n},y_{n})$

Dieser Abstand existiert, weil die reellen Zahlen vollständig sind, er ist aber nur eine Pseudometrik, denn verschiedene Cauchy-Folgen können den Abstand 0 haben. Diese Eigenschaft, "x,y haben Abstand 0", ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Cauchy-Folgen, und die Menge aller Äquivalenzklassen M' ist mit diesem Abstandsbegriff ein metrischer Raum, und zwar ein vollständiger. Identifiziert man jedes Element x aus M mit der Äquivalenzklasse der konstanten Folge $(x)_{n}$, so erhält man eine isometrische Einbettung von M in M' .

Cantors Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen ist ein Spezialfall hiervon. Wie oben schon gesagt, erhält man andere metrische Räume Q_p, wenn man statt der gewöhnlichen Betragsmetrik eine p-adische Metrik verwendet und Q vervollständigt.

Vervollständigt man einen normierten Vektorraum, so erhält man einen Banachraum, der den ursprünglichen Raum als dichten Teilraum enthält, und vervollständigt man einen euklidischen Vektorraum, so erhält man einen Hilbertraum, in dem der ursprüngliche Raum dicht liegt.

Topologisch vollständige Räume

Vollständigkeit ist eine Eigenschaft der Metrik, nicht der Topologie, das heißt, ein vollständiger metrischer Raum kann homöomorph sein zu einem unvollständigen metrischen Raum. Zum Beispiel sind die reellen Zahlen vollständig, aber homöomorph zum offenen Intervall $(0,1)$, das nicht vollständig ist (ein Homöomorphismus ist). Ein anderes Beispiel sind die irrationalen Zahlen, die nicht vollständig sind, aber homöomorph zum Raum der natürlichen Zahlenfolgen N^N (ein Spezialfall eines Beispiels von oben).

In der Topologie betrachtet man topologisch vollständige (oder vollständig metrisierbare) Räume, für die mindestens eine Metrik existiert, die die vorhandene Topologie erzeugt. Topologisch vollständige Räume können charakterisiert werden als diejenigen Räume, die sich darstellen lassen als Durchschnitt abzählbar vieler offener Teilmengen eines vollständigen metrischen Raums.