Projektive Ebene

Eine projektive Ebene ist in der Geometrie eine Punkte und Geraden umfassende Inzidenzstruktur, die im Wesentlichen durch zwei Forderungen charakterisiert ist, nämlich dass je zwei Geraden einen (eindeutigen) Schnittpunkt und je zwei Punkte eine (eindeutige) Verbindungsgerade besitzen.

Projektive Ebene über einem Körper

Es sei $K$ ein Körper. Die projektive Ebene $KP^{2}$ ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt im $K^{3}$ . Formal definiert man dies wie folgt.

Auf $K^{3}\setminus \{0\}$ sei die Äquivalenzrelation

x\sim y\Leftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus \{0\}\colon x=\lambda y

definiert. In Worten heißt dies, dass $x$ genau dann äquivalent zu $y$ ist, wenn es ein $\lambda \in K^{*}:=K\setminus \{0\}$ gibt, so dass $x=\lambda y$ gilt. Alle Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung – der Ursprung ist nicht enthalten – werden also miteinander identifiziert und nicht mehr unterschieden. Der Quotientenraum $\left(K^{3}\setminus \{0\}\right)/\sim$ wird projektive Ebene genannt und mit $KP^{2}$ notiert.

Falls der Körper $K$ aus dem Kontext klar ist, wird die projektive Ebene häufig auch nur mit $P^{2}$ oder $P$ bezeichnet.

Homogene Koordinaten

Jeder Punkt der projektiven Gerade kann in homogenen Koordinaten als

\left[x:y:z\right]

mit $x,y,z\in K,(x,y)\not =(0,0)$ dargestellt werden, wobei $\left[x:y:z\right]=\left[\lambda x:\lambda y:\lambda z\right]$ für alle $\lambda \in K$ gilt und diese Darstellung ansonsten aber eindeutig ist.

Gerade im Unendlichen

Die affine Ebene $K^{2}$ sitzt auf natürliche Weise in der projektiven Ebene als Menge aller 1-dimensionalen Unterräume, die nicht in der x-y-Ebene enthalten sind, also als

K^{2}\simeq \left\{\left[x;y:z\right]\in KP^{2}\colon z=1\right\}

.

Ihr Komplement bildet die sogenannte projektive Gerade im Unendlichen

KP^{1}\simeq \left\{\left[x:y:z\right]\colon z=0\right\}

.

Analog kann man auch zu jedem anderen 2-dimensionalen Unterraum $E\subset K^{3}$ eine Zerlegung $KP^{2}=E\cup P(E)$ konstruieren. Die entsprechende Teilmenge $E\subset KP^{2}$ heißt affine Karte.

Im Fall $K=\mathbb {R}$ liefert diese Zerlegung eine Zerlegung von $\mathbb {R} P^{2}$ als CW-Komplex mit jeweils einer Zelle in Dimensionen 2,1,0. Im Fall $K=\mathbb {C}$ erhält man eine Zerlegung von $\mathbb {C} P^{2}$ mit jeweils einer Zelle in Dimension 4,2,0.

Automorphismen

Die Gruppe der projektiven Transformationen ist die Projektive Lineare Gruppe $PGL(3,K)$ . Zu je zwei geordneten 4-Tupeln von Punkten in $KP^{2}$ gibt es eine eindeutige projektive Transformation, welche das eine 4-Tupel in das andere überführt.

Im Fall $K=\mathbb {R}$ hat man einen Isomorphismus $PGL(3,\mathbb {R} )=SL(3,\mathbb {R} )$ .

Duale Ebene

Für einen fest gewählten Körper $K$ bezeichnen wir mit $P^{*}$ den Raum der Geraden in der projektiven Ebene $P$ (also der 2-dimensionalen Unterräume in $K^{3}$ ). Eine Dualitätsabbildung ist eine projektiv-lineare Abbildung von $P$ auf $P^{*}$ , also ein Homöomorphismus, der kollineare Punkte auf sich schneidende Geraden abbildet. Jede Dualität $\Delta \colon P\to P^{*}$ induziert eine duale Abbildung $\Delta ^{*}\colon P^{*}\to P$ vermittels $\Delta ^{*}({\overline {pq}})=\Delta (p)\cap \Delta (q)$ .

Eine Polarität ist eine von einem Skalarprodukt auf $K^{3}$ induzierte Dualitätsabbildung: jedem 1-dimensionalen Unterraum $l\subset K^{3}$ ordnet man den bzgl. des Skalarproduktes orthogonalen 2-dimensionalen Unterraum $e\subset K^{3}$ zu, dies definiert eine Abbildung $\Delta \colon P\to P^{*}$ .

Projektives Tangentialbündel

Das sogenannte prpjektive Tangentialbündel der projektiven Ebene ist die Fahnenmannigfaltigkeit

Flag(K^{3})=\left\{(l,e)\in P\times P^{*}\colon l\in e\right\}

.

Mittels der durch ein Skalarprodukt definierten Polarität kann man Ebenen in $V=K^{3}$ als 1-Formen $e\in P(V^{*})$ auffassen und das projektive Tangentialbündel dann auch definieren als

Flag(K^{3})=\left\{(l,e)\in P(V)\times P(V^{*})\colon e(l)=0\right\}

.

Projektive Ebenen in Topologie und Differentialgeometrie

Reelle Projektive Ebene

Bryant-Kusner-Parametrisierung der Boyschen Fläche

Die reelle projektive Ebene als Quotientenmenge einer Sphäre

In mancher Hinsicht, insbesondere was die Topologie angeht, kann man eine reelle projektive Ebene auffassen als das, was man erhält, wenn man auf einer Sphäre (Oberfläche einer Kugel im 3-dimensionalen Raum) jeweils Antipoden, also Punkte der Sphäre, die an beiden Enden eines Durchmessers liegen, "gleichsetzt". Genauer ausgedrückt heißt das: man nimmt als Punkte der projektiven Ebene jeweils Antipodenpaare und als Geraden derselben die Großkreise, also die Kreise, die Schnitt der Sphäre mit einer durch den Sphärenmittelpunkt gehenden gewöhnlichen Ebene sind. Damit wird die reelle projektive Ebene auch topologisch zur Quotiententopologie der Kugel.

Die reelle projektive Ebene als nicht-orientierbare Fläche

Die Sphäre selbst ist eine orientierbare Fläche, die durch diesen Prozess der Quotientenbildung entstehende projektive Ebene ist es nicht mehr, da die Antipodenabbildung als Spiegelung um den Mittelpunkt keine Drehung und damit keine orientierungs-erhaltende Abbildung ist.

Die reelle projektive Ebene (in diesem Zusammenhang meist nur als projektive Ebene bezeichnet) ist das einfachste Beispiel einer nicht-orientierbaren Fläche, sie ist die nicht-orientierbare Fläche vom Geschlecht 1. Jede andere nicht-orientierbare Fläche erhalt man als zusammenhängende Summe der (in diesem Zusammenhang auch als Kreuzhaube bezeichneten) projektiven Ebene mit einer Anzahl von Tori - das folgt aus der Klassifikation der Flächen.

Immersionen der reellen projektiven Ebene in den 3-dimensionalen Raum

Die reelle projektive Ebene kann als Fläche im dreidimensionalen Raum bildlich dargestellt werden. Beispiele hierfür sind die Boysche Fläche und die römische Fläche. Genau wie bei der ebenfalls nicht-orientierbaren Kleinschen Flasche ist eine Einbettung der projektiven Ebene in den dreidimensionalen Raum ohne Selbstdurchdringung nicht möglich.

Unter den Immersionen der projektiven Ebene in den $\mathbb {R} ^{3}$ realisiert die Bryant-Kusner-Parametrisierung die Immersion minimaler Willmore-Energie.

Komplexe Projektive Ebene

Die komplexe projektive Ebene ist von grundlegender Bedeutung in algebraischer Geometrie und algebraischer Topologie.

Durch ein homogenes Polynom $P\in \mathbb {C} \left[x,y,z\right]$ definierte Teilmengen

V(P)=\left\{\left[x:y:z\right]\in \mathbb {C} P^{2}\colon P(x,y,z)=0\right\}

heissen Algebraische Kurven, sie sind Riemannsche Flächen und die einfachsten Beispiele Algebraischer Varietäten.

Die zweite Homologiegruppe $H_{2}(\mathbb {C} P^{2})$ ist isomorph zu den ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ und die von einer glatten algebraischen Kurve definierte Homologeklasse entspricht unter diesem Isomorphismus dem Grad des definierenden Polynoms. Das Geschlecht einer durch ein Polynom vom Grad $d$ definierten Riemannschen Fläche ist $g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)$ . Die mittels Seiberg-Witten-Theorie bewiesene Thom-Vermutung besagt, dass algebraische Kurven die Flächen minimalen Geschlechts in ihren Homologieklassen sind.

Die komplexe projektive Ebene ist von Bedeutung in der Kobordismustheorie und der Theorie charakteristischer Klassen. Für den orientierbaren Kobordismusring $\Omega _{*}^{SO}$ gilt

\Omega _{*}^{SO}\otimes \mathbb {Q} =\mathbb {Q} \left[\mathbb {C} P^{2i}\colon i\geq 1\right]

,

insbesondere wird die 4-dimensionale orientierte Kobordismusgruppe von $\mathbb {C} P^{2}$ erzeugt.

Projektive Ebenen als Inzidenzstruktur

Definition

Eine Inzidenzstruktur heißt projektive Ebene, falls gilt:

Zu je zwei verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die mit beiden inzidiert.
Zu je zwei verschiedenen Geraden gibt es genau einen Punkt, der mit beiden inzidiert.
Es gibt ein vollständiges Viereck, d.h. vier Punkte, von denen keine drei mit derselben Geraden inzidieren.

Beispiele

Wenn man in den dreidimensionalen Vektorräumen über den reellen Zahlen oder den komplexen Zahlen die zweidimensionalen Unterräume als Geraden und die eindimensionalen Unterräume als Punkte auffasst, erhält man Modelle einer projektiven Ebene. Die Inzidenzrelation ist die gewöhnliche Inklusion $\subseteq$ . Diese Ebenen zusammen mit den ähnlich gewonnenen Ebenen über den Quaternionen oder den Oktonionen werden auch als klassische Ebenen bezeichnet. Statt der reellen oder komplexen Zahlen kann man einen beliebigen Körper K nehmen, sogar einen Schiefkörper (der bekannteste besteht aus den Quaternionen). Solche projektiven Ebenen über Schiefkörpern erfüllen alle den Satz von Desargues und werden daher als desarguessche projektive Ebenen bezeichnet.
Die kleinstmögliche endliche projektive Ebene (Minimalmodell) besteht aus sieben Geraden und sieben Punkten (s. Abb.). In diesem Fall ist K der Körper, der nur aus der 0 und der 1 besteht und in dem 1+1=0 ist, also der Restklassenkörper $\mathbb {F} _{2}$ .
Es existieren auch nichtdesarguessche projektive Ebenen. Sie können durch (endliche oder unendliche) Ternärkörper in ähnlicher Weise koordinatisiert werden, wie die desarguesschen durch Schiefkörper. → Siehe auch Klassifikation projektiver Ebenen.

Anmerkungen

Dualitätsprinzip

Man kann zeigen, dass es in einer projektiven Ebene stets vier Geraden gibt, von denen keine drei durch denselben Punkt gehen. Hieraus und aus der symmetrischen Formulierung der beiden ersten Axiome ist ersichtlich, dass man durch Vertauschen der Bezeichnungen Punkt und Gerade wieder eine projektive Ebene erhält. Die Punkte und Geraden von ${\mathfrak {P}}$ bilden die Geraden und Punkte der zu ${\mathfrak {P}}$ dualen Ebene ${\mathfrak {P}}^{\star }$ .

Zusammenhang mit affinen Ebenen

Nimmt man bei einer affinen Ebene ${\mathfrak {A}}=\langle P,{\mathcal {L}},{\textbf {F}}\rangle$ für jede Schar paralleler Geraden einen weiteren uneigentlichen Punkt zu $P$ hinzu, welcher mit genau den Geraden seiner Schar inzidieren soll, und erweitert man ${\mathcal {L}}$ um die uneigentliche Gerade $W$ , die genau diese Punkte enthält, so bekommt man eine projektive Ebene, den projektiven Abschluss ${\overline {\mathfrak {A}}}$ von ${\mathfrak {A}}$ . Umgekehrt erhält man einen affinen Anteil ${\mathfrak {P}}^{W}$ einer projektiven Ebene ${\mathfrak {P}}$ durch Streichen einer beliebigen Geraden $W$ mit allen ihren Punkten. Dabei ist zu beachten:

Die durch Streichen von zwei unterschiedlichen Geraden aus einer projektiven Ebene entstehenden affinen Ebenen müssen nicht zueinander isomorph sein.
insbesondere liefert der Abschluss einer affinen Ebene durch eine Ferngerade und anschließendes Streichen einer anderen Geraden (auch Schlitzen längs einer Geraden genannt) in der so gebildeten projektiven Ebene stets eine neue affine Ebene, die aber nicht unbedingt zur ursprünglichen affinen Ebene isomorph ist.

Die projektiven Ebenen, bei denen alle geschlitzten Ausschnitte doch zueinander isomorphe affine Ebenen sind, sind genau die Moufangebenen.

Endliche projektive Ebenen

Wie das oben beschriebene Minimalmodell zeigt, können projektive Ebenen endlich sein, d. h. nur endlich viele Punkte und Geraden enthalten. Enthält eine Gerade n+1 Punkte, so enthalten alle Geraden n+1 Punkte, durch jeden Punkt gehen n+1 Geraden und insgesamt gibt es n²+n+1 Geraden und n²+n+1 Punkte. n heißt in diesem Fall die Ordnung der Ebene. Eine endliche projektive Ebene der Ordnung $n$ lässt sich kombinatorisch als ein symmetrischer $2-(n^{2}+n+1,n+1,1)$ -Blockplan auffassen. Die kleinstmögliche Ordnung einer endlichen projektiven Ebene ist zwei. Für jede Ordnung, die eine Primzahlpotenz $p^{n}\,(n\geq 1)$ ist, lässt sich eine endliche projektive Ebene konstruieren. Ob es eine solche Ebene gibt, deren Ordnung keine Primzahlpotenz ist, ist ein ungelöstes Problem. Teilresultate: Die Nichtexistenz einer projektiven Ebene der Ordnung 10 wurde mit großem Computereinsatz bewiesen. Der Satz von Bruck-Ryser-Chowla besagt: Ist die Ordnung einer projektiven Ebene n = 4k+1 oder 4k+2, so ist n Summe zweier ganzer Quadratzahlen. Danach gibt es keine projektiven Ebenen der Ordnungen 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, 46,.... Ob es solche der Ordnungen 12, 15, 18, 20, 24, 28,... gibt, ist unbekannt.

Eine besondere Klasse von endlichen projektiven Ebenen der Ordnung n lässt sich durch eine Menge von nur $n+1$ natürlichen Zahlen vollständig beschreiben: Die Ebenen, die von einer Differenzenmenge abstammen. Bekannt ist, dass jede desarguessche endliche Ebene dieser Klasse angehört und es wird vermutet, dass jede Ebene dieser Klasse desarguessch ist.

Klassifikation

Schließungssätze

Naheliegend ist eine Klassifikation der projektiven Ebenen rein aufgrund des Begriffes der Inzidenz. Dies geschieht durch die Feststellung, ob bestimmte geometrische Sätze der Form "wenn eine bestimmte Konfiguration von Inzidenzen vorliegt, so gilt auch eine weitere Inzidenz" in einer Ebene gelten. Beispiele für solche Schließungssätze sind die aus der reellen Ebene bekannten (und dort gültigen) Sätze von Desargues und Pappos (manchmal auch Satz von Pappos-Pascal genannt). Ebenen, in denen die genannten Sätze gelten, werden als Desarguessche Ebenen bzw. Pappossche Ebenen bezeichnet. Eine Ebene in der der kleine projektive Satz von Desargues allgemeingültig ist, heißt Moufangebene. Jede pappossche Ebene ist desarguesch und jede desarguesche Ebene eine Moufangebene.

Koordinatisierung

Zur Nutzbarmachung von Methoden der Algebra ist ein weiteres in der Geometrie übliches Verfahren die Einführung von Koordinaten. Diese stellen einen Zusammenhang zwischen der geometrischen Struktur der Ebene und der algebraischen eines zugrundegelegten Koordinatenbereichs her. In jeder projektiven Ebene können Koordinaten eingeführt werden: Dazu wird eine projektive Punktbasis in der Ebene ausgewählt, die eine Gerade zur Ferngeraden bestimmt (→ siehe Projektives Koordinatensystem). Dann kann auf der affinen Ebene, die durch Ausschneiden dieser Ferngeraden entsteht, als Koordinatenmenge ein Ternärkörper mit einer Ternärverknüpfung, die sich rein geometrisch beschreiben lässt, konstruiert werden. Die Rechenregeln in einem Körper gelten im zugehörigen Koordinatenbereich, dem Ternärkörper, im Allgemeinen nicht.

Es besteht ein direkter Zusammenhang zwischen der geometrischen Struktur der Ebene und der algebraischen des Koordinatenbereichs, welcher in gewisser Weise die Ebenen charakterisiert. Die Moufangebenen sind z. B. genau die projektiven Ebenen, deren Koordinatenbereich ein Alternativkörper ist, die desarguesschen Ebenen sind genau die, die einen Schiefkörper als Koordinatenbereich haben. Ist der Koordinatenbereich ein kommutativer Körper, dann ist die Ebene pappossch. In diesem Fall verwendet man meist homogene Koordinaten (→ siehe den Hauptartikel Homogene Koordinaten). Aus dem Satz von Wedderburn ergibt sich, dass endliche desarguessche Ebenen immer pappossch sind. Ruth Moufang gelang der Beweis, dass sogar jede endliche Moufangebene pappossch ist.

Kollineationen

Die geradentreuen Bijektionen sind die strukturerhaltenden Abbildungen (oder Isomorphismen) zwischen projektiven Ebenen. Eine solche Bijektion bildet die Punkte auf die Punkte und die Geraden auf die Geraden in der Weise ab, dass die Inzidenz erhalten bleibt. Die Kollineationen, das sind die geradentreuen Bijektionen einer projektiven Ebene auf sich selbst, bilden eine Gruppe, die sogenannte Kollineationsgruppe der Ebene. Beispiele für Kollineationen, die in der geschlitzten projektiven Ebene, also als affine Kollineationen operieren, sind Translationen oder Drehungen und allgemeiner Affinitäten.

Auf der projektiven Ebene selbst ist die Gruppe der Projektivitäten eine Untergruppe der Kollineationsgruppe. Diese Untergruppe wird in der synthetischen Geometrie definiert als Erzeugnis der Teilmenge der Perspektivitäten in der Kollineationsgruppe, Die Untersuchung der Operationen bestimmter Untergruppen der Kollineationsgruppe auf der Ebene stellt eine weitere Möglichkeit der Klassifikation dar.

Literatur

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Jean Gallier; Dianna Xu: A guide to the classification theorem for compact surfaces. Geometry and Computing, 9. Springer, Heidelberg, 2013. ISBN 978-3-642-34363-6; 978-3-642-34364-3
Günter Pickert: Projektive Ebenen. 2. Auflage. Springer, Berlin u.a. 1975, ISBN 3-540-07280-2.
Daniel R. Hughes, Fred C. Piper: Projective Planes. Springer, Berlin u.a. 1973, ISBN 3-540-90044-6.
Hanfried Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie. Geest & Portig, Leipzig 1965.
Wendelin Degen und Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie, Teubner, Stuttgart, 1976, ISBN 3-519-02751-8
Peter Dembowski: Finite geometries. Springer, Berlin u.a. 1968.
Helmut Salzmann et al.: Compact projective planes. de Gruyter, Berlin u.a. 1995, ISBN 3-11-011480-1.

Weblink

Projektive Geometrie, Kurzskript, Uni Darmstadt (PDF; 180 kB)